Chúng ta có xu hướng nghĩ toán học hoàn toàn logic, nhưng việc giảng dạy toán học, các giá trị, tính hữu ích và cách vận hành của toán học lại chứa đựng rất nhiều sắc thái. Vậy toán học “tốt” là gì? Năm 2007, nhà toán học Terence tao đã viết một bài luận cho Bản tin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ đã tìm cách trả lời câu hỏi này. Ngày nay, với tư cách là người nhận Huy chương Fields, Giải thưởng Đột phá về Toán học và Học bổng MacArthur, Tao là một trong những nhà toán học được vinh danh và sung mãn nhất còn sống. Trong tập này, anh ấy tham gia cùng người dẫn chương trình và nhà toán học đồng nghiệp của chúng tôi Steven Strogatz để xem lại quá trình hình thành nên một môn toán tốt.

Lắng nghe về Podcast của Apple, Spotify, Google Podcasts, người may quần áo, TuneIn hoặc ứng dụng podcasting yêu thích của bạn, hoặc bạn có thể truyền nó từ Quanta.

Bảng điểm

STEVEN STROGATZ: Trở lại tháng 2007 năm XNUMX, thời điểm iPhone thế hệ đầu tiên vẫn còn là một mặt hàng hot và thị trường chứng khoán đang ở mức cao nhất mọi thời đại trước cuộc Đại suy thoái, Terence Tao, giáo sư toán học tại UCLA, đã quyết tâm trả lời một câu hỏi: câu hỏi đã được tranh luận từ lâu giữa các nhà toán học: Toán học tốt chính xác là gì?

Có phải là về sự nghiêm khắc? Sang trọng? Tiện ích trong thế giới thực? Terry đã viết một bài luận rất chu đáo và hào phóng, tôi thậm chí có thể nói là cởi mở, về tất cả những cách mà toán học có thể tốt. Nhưng bây giờ, hơn 15 năm sau, liệu chúng ta có cần suy nghĩ lại thế nào là toán tốt?

Tôi là Steve Strogatz và đây là “The Joy of Why”, một podcast từ Tạp chí Quanta nơi người đồng dẫn chương trình của tôi, Janna Levin, và tôi lần lượt khám phá một số câu hỏi chưa có lời giải lớn nhất trong toán học và khoa học ngày nay.

(Vở kịch chủ đề)

Hôm nay ở đây để xem lại câu hỏi muôn thuở về điều gì làm nên môn toán tốt chính là Terry Tao. Giáo sư Tao là tác giả của hơn 300 tài liệu nghiên cứu về nhiều lĩnh vực toán học bao gồm giải tích điều hòa, phương trình vi phân từng phần, tổ hợp, lý thuyết số, khoa học dữ liệu, ma trận ngẫu nhiên và nhiều hơn nữa. Ông được mệnh danh là “Mozart của toán học”. Và với tư cách là người giành được Huy chương Fields, Giải thưởng Đột phá về Toán học, Học bổng MacArthur và nhiều giải thưởng khác, biệt danh đó chắc chắn rất xứng đáng.

Terry, chào mừng đến với “Niềm vui của Tại sao”.

TERENCE TAO: Rất vui được ở đây.

strogatz: Tôi rất vui mừng được nói chuyện với bạn về câu hỏi này về điều gì khiến một số loại hình nghiên cứu toán học trở nên tốt đẹp. Tôi có thể nhớ khá rõ việc lật qua trang Bản tin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ trở lại năm 2007 và tình cờ gặp bài luận của bạn về vấn đề này mà bạn đã đặt ra cho chúng tôi. Đó là điều mà tất cả các nhà toán học đều nghĩ tới. Nhưng đối với những người ngoài kia có thể không quen thuộc lắm, bạn có thể cho chúng tôi biết, bạn đã đưa ra câu hỏi này như thế nào không? Vào thời điểm đó, bạn định nghĩa môn toán tốt như thế nào?

TAO: Đúng, vâng. Thực ra đó là một lời mời chào. Vì vậy biên tập viên của Bản tin lúc đó đã yêu cầu tôi đóng góp một bài viết. Tôi nghĩ tôi đã có một ý tưởng rất ngây thơ về toán học khi còn là học sinh. Tôi chợt nảy ra ý tưởng rằng có một hội đồng gồm những ông râu xám sẽ giải quyết các vấn đề để mọi người cùng giải quyết. Và đó là một cú sốc đối với tôi khi còn là một nghiên cứu sinh, nhận ra rằng thực sự không có cơ quan trung ương nào giải quyết vấn đề, và mọi người đều tự nghiên cứu.

Tôi tiếp tục trò chuyện và lắng nghe cách các nhà toán học khác nói về điều họ thấy thú vị và điều khiến họ hào hứng với toán học, cũng như thực tế là mỗi nhà toán học có một cách tiếp cận toán học khác nhau. Giống như, một số theo đuổi các ứng dụng, một số theo đuổi vẻ đẹp thẩm mỹ, một số chỉ vì giải quyết vấn đề. Họ muốn giải quyết một vấn đề và họ sẽ tập trung vào những nhiệm vụ khó khăn nhất, thách thức nhất. Một số sẽ tập trung vào kỹ thuật; một số sẽ cố gắng làm cho mọi thứ thanh lịch nhất có thể.

Nhưng điều làm tôi ấn tượng khi nghe rất nhiều nhà toán học khác nhau nói về những gì họ thấy có giá trị trong toán học là, mặc dù tất cả chúng ta đều có những lý tưởng khác nhau về việc một môn toán tốt sẽ trông như thế nào, nhưng tất cả họ đều có xu hướng hội tụ đến cùng một điều.

Nếu một phần toán học thực sự hay, những người theo đuổi cái đẹp cuối cùng sẽ tìm thấy nó. Bạn biết đấy, những người theo đuổi, coi trọng sức mạnh kỹ thuật hoặc ứng dụng, cuối cùng sẽ tìm đến nó.

Wigner có một bài luận rất nổi tiếng về hiệu quả phi lý của toán học trong khoa học vật lý gần một thế kỷ trước, nơi ông vừa quan sát thấy rằng có những lĩnh vực toán học - ví dụ, hình học Riemannian, nghiên cứu về không gian cong - ban đầu chỉ là một bài tập lý thuyết thuần túy đối với các nhà toán học, bạn biết đấy, cố gắng chứng minh định đề song song, v.v., hóa ra chính xác là những gì Einstein, Poincaré và Hilbert cần để mô tả toán học của thuyết tương đối rộng. Và đó chỉ là một hiện tượng xảy ra.

Vì vậy, không chỉ toán học, mà [điều] các nhà toán học thấy thú vị về mặt trí tuệ cuối cùng lại quan trọng về mặt vật lý. Nhưng ngay cả trong toán học, những chủ đề mà các nhà toán học cho là tao nhã cũng tình cờ mang lại những hiểu biết sâu sắc.

Điều tôi cảm thấy là, bạn biết đấy, có một số phép toán tốt mang tính thuần túy ở ngoài kia, và tất cả các hệ thống giá trị khác nhau của chúng ta chỉ là những cách khác nhau để tiếp cận những thứ tốt đẹp khách quan đó.

strogatz: Thật là thú vị. Bản thân là một loại người có xu hướng suy nghĩ thuần khiết, tôi rất muốn đồng ý. Mặc dù tôi hơi ngạc nhiên khi nghe bạn nói điều đó, bởi vì tôi đã nghĩ ban đầu bạn sẽ đi đâu, kiểu như, có rất nhiều quan điểm khác nhau về vấn đề này. Tuy nhiên, có một thực tế thú vị, một loại thực tế thực nghiệm, là chúng ta đều đồng ý về điều gì là tốt hay không tốt, mặc dù, như bạn nói, chúng ta tiếp cận nó từ rất nhiều giá trị khác nhau.

TAO: Phải. Sự hội tụ có thể mất thời gian. Bạn biết đấy, vì vậy, chắc chắn có những trường chẳng hạn, trong đó chúng trông đẹp hơn rất nhiều khi được đo bằng một số liệu so với các trường khác. Kiểu như có thể họ có rất nhiều ứng dụng nhưng cách trình bày của họ thì cực kì tởm bạn biết đấy.

(Strogatz cười)

Hoặc những thứ rất trang nhã nhưng chưa có nhiều ứng dụng tốt trong thế giới thực. Nhưng tôi có cảm giác như cuối cùng nó sẽ hội tụ.

strogatz: À, để tôi hỏi bạn về điểm tiếp xúc này với thế giới thực. Đó là một sự căng thẳng thú vị trong toán học. Và, bạn biết đấy, khi còn nhỏ, giả sử, khi chúng ta lần đầu tiên học về hình học, lúc đó bạn có thể nghĩ rằng hình tam giác là có thật, hoặc hình tròn hoặc đường thẳng là có thật, và chúng có thể cho bạn biết về các hình chữ nhật mà bạn nhìn thấy trong các tòa nhà trên thế giới, hoặc những người khảo sát cần sử dụng hình học. Và xét cho cùng, từ này xuất phát từ phép đo Trái đất, đúng không, “hình học”. Và vì vậy, đã có lúc hình học mang tính thực nghiệm.

Nhưng điều tôi muốn hỏi bạn liên quan đến một nhận xét rằng John von Neumann làm ra. Vì vậy, von Neumann, đối với những ai chưa quen, bản thân ông là một nhà toán học vĩ đại. Và ông đã đưa ra nhận xét này trong bài luận này, “Nhà toán học,” về mối quan hệ giữa toán học và thế giới thực nghiệm, thế giới thực, nơi ông nói đại khái rằng các ý tưởng toán học bắt nguồn từ kinh nghiệm, nhưng đến một lúc nào đó, khi bạn đã có được những ý tưởng toán học, chủ đề bắt đầu có một đời sống riêng của nó. sở hữu. Và sau đó nó giống như một tác phẩm nghệ thuật sáng tạo hơn. Tiêu chí thẩm mỹ trở nên quan trọng. Nhưng anh ấy nói điều đó gây nguy hiểm. Rằng khi một đối tượng bắt đầu trở nên quá xa rời nguồn gốc thực nghiệm của nó, đặc biệt là ở thế hệ thứ hai hoặc thứ ba, ông nói rằng có khả năng đối tượng đó có thể phải chịu quá nhiều cận huyết trừu tượng và nó có nguy cơ bị thoái hóa.

Bạn có suy nghĩ gì về điều đó không? Ý tôi là, toán học có nhất thiết phải giữ mối liên hệ với nguồn thực nghiệm của nó không?

TAO: Vâng, tôi nghĩ nó phải có căn cứ. Khi tôi nói điều đó, về mặt thực nghiệm, tất cả những cách làm toán khác nhau này đều hội tụ, đó chỉ là vì - điều này chỉ xảy ra khi đối tượng là lành mạnh. Vì vậy, bạn biết đấy, tin tốt là thường thì như vậy.

Nhưng, ví dụ, các nhà toán học đánh giá cao những bằng chứng ngắn hơn những bằng chứng dài, tất cả những thứ khác đều như nhau. Nhưng người ta có thể tưởng tượng mọi người sẽ quá nhiệt tình và, giống như, một lĩnh vực toán học bị ám ảnh bởi việc đưa ra các bằng chứng càng ngắn càng tốt và có những bằng chứng hai dòng cực kỳ mờ đục về các định lý sâu sắc. Và họ biến nó thành cuộc thi này, và sau đó nó trở thành một loại trò chơi khó hiểu và sau đó bạn mất hết trực giác. Bạn có thể mất đi sự hiểu biết sâu sắc hơn bởi vì bạn quá bị ám ảnh bởi việc làm cho tất cả các bằng chứng của mình càng ngắn gọn càng tốt. Bây giờ, điều này không thực sự xảy ra trong thực tế. Nhưng đây chỉ là một ví dụ lý thuyết, và tôi nghĩ von Neumann cũng đưa ra quan điểm tương tự.

Và trong những năm sáu mươi và bảy mươi, có một kỷ nguyên toán học mà sự trừu tượng hóa đang đạt được những bước tiến lớn trong việc đơn giản hóa và thống nhất nhiều loại toán học mà trước đây rất thực nghiệm. Đặc biệt là trong đại số, bạn biết đấy, mọi người đang nhận ra rằng các con số, đa thức và nhiều đối tượng khác trước đây được xử lý riêng biệt, bạn đều có thể coi chúng là thành viên của cùng một lớp đại số, trong trường hợp này là một vành.

Và rất nhiều tiến bộ trong toán học đã được thực hiện bằng cách tìm ra sự trừu tượng phù hợp, bạn biết đấy, cho dù đó là không gian tôpô hay không gian vectơ, bất kể thứ gì, và chứng minh các định lý ở dạng tổng quát. Và đây đôi khi là cái mà chúng ta gọi là kỷ nguyên Bourbaki trong toán học. Và nó đã đi quá xa so với việc được căn cứ.

Tất nhiên, chúng tôi đã có toàn bộ tập phim Toán mới ở Hoa Kỳ, nơi các nhà giáo dục cố gắng dạy toán theo phong cách Bourbaki và cuối cùng nhận ra rằng đó không phải là phương pháp sư phạm phù hợp ở trình độ đó.

Nhưng bây giờ con lắc đã quay trở lại khá nhiều. Chúng tôi có một loại - chủ đề đã phát triển khá nhiều và mọi lĩnh vực toán học, hình học, cấu trúc liên kết, bất cứ thứ gì, chúng tôi đều có những loại hình thức hóa thỏa đáng và chúng tôi biết thế nào là những sự trừu tượng phù hợp. Và bây giờ lĩnh vực này lại tập trung vào các kết nối và ứng dụng. Bây giờ nó đang kết nối nhiều hơn với thế giới thực.

Ý tôi là, không chỉ là vật lý, một mối liên hệ truyền thống, mà bạn biết đấy, khoa học máy tính, khoa học đời sống, khoa học xã hội, bạn biết đấy. Với sự gia tăng của dữ liệu lớn, gần như mọi lĩnh vực chuyên môn của con người hiện nay đều có thể được toán học hóa ở một mức độ nào đó.

strogatz: Tôi rất quan tâm đến từ mà bạn vừa sử dụng cách đây một phút về “sự kết nối”, bởi vì đó có vẻ là điểm trọng tâm để chúng ta thảo luận. Đó là điều mà bạn đề cập trong bài luận của mình, cùng với những điều này, cái mà bạn gọi là tiêu chí “địa phương” về sự sang trọng, hay ứng dụng trong thế giới thực, hay bất cứ điều gì, bạn đề cập đến khía cạnh “toàn cầu” này của toán học tốt: toán học tốt đó kết nối với các lĩnh vực khác. toán học tốt.

Đó gần như là chìa khóa tạo nên sự tốt đẹp của nó, đó là nó được tích hợp với các bộ phận khác. Nhưng điều đó thật thú vị vì nó nghe gần giống như lý luận tuần hoàn: toán giỏi là môn toán kết nối với các môn toán hay khác. Nhưng đó là một ý tưởng thực sự mạnh mẽ và tôi chỉ tự hỏi liệu bạn có thể mở rộng nó thêm một chút nữa không.

TAO: Vâng, vậy, ý tôi là, toán học nói về điều gì - một trong những điều mà toán học làm là nó tạo ra những kết nối rất cơ bản và cơ bản, nhưng không rõ ràng nếu bạn chỉ nhìn nó từ cấp độ bề mặt. Một ví dụ rất sớm về điều này là việc phát minh ra tọa độ Cartesian của Descartes đã tạo ra mối liên hệ cơ bản giữa hình học - nghiên cứu về điểm, đường và các đối tượng không gian - và các con số, đại số.

Vì vậy, ví dụ, một hình tròn bạn có thể coi là một đối tượng hình học, nhưng bạn cũng có thể coi nó như một phương trình: x² + y² = 1 là phương trình đường tròn. Vào thời điểm đó, đó là một kết nối mang tính cách mạng. Bạn biết đấy, người Hy Lạp cổ đại coi lý thuyết số và hình học là những môn học gần như hoàn toàn rời rạc.

Nhưng với Descartes, có mối liên hệ cơ bản này. Và bây giờ nó đã được nội địa hóa; bạn biết đấy, cách chúng ta dạy toán. Không có gì đáng ngạc nhiên nữa khi nếu bạn gặp một bài toán hình học, bạn tấn công nó bằng những con số. Hoặc nếu bạn gặp vấn đề với các con số, bạn có thể tấn công nó bằng hình học.

Điều này phần nào là do cả hình học và số học đều là những khía cạnh của cùng một khái niệm toán học. Chúng ta có cả một lĩnh vực được gọi là hình học đại số, không phải đại số hay hình học, mà là một môn học thống nhất nghiên cứu các đối tượng mà bạn có thể coi là các hình dạng hình học, như đường thẳng và đường tròn, v.v., hoặc như phương trình.

Nhưng thực sự, đó là sự kết hợp toàn diện của cả hai điều mà chúng tôi nghiên cứu. Và khi chủ đề đi sâu hơn, chúng tôi nhận ra rằng bằng cách nào đó nó còn cơ bản hơn cả đại số hoặc hình học riêng biệt, theo một cách nào đó. Vì vậy, những mối liên hệ này đang giúp chúng ta khám phá ra loại toán học thực sự mà ban đầu, bằng cách nào đó, các nghiên cứu thực nghiệm của chúng ta chỉ cung cấp cho chúng ta một góc của chủ đề.

Có câu chuyện ngụ ngôn nổi tiếng về con voi, tôi quên mất ở đâu, nếu bạn có... Có bốn người mù, và họ phát hiện ra một con voi. Và một người trong số họ sờ vào chân con voi và nghĩ: “Ồ, cái này thô quá. Nó chắc phải giống như một cái cây hay gì đó.”

Và một trong số họ sờ vào cái vòi, và phải rất lâu sau họ mới nhận ra rằng có một vật thể con voi duy nhất đang giải thích tất cả các giả thuyết riêng biệt của họ. Vâng, ban đầu tất cả chúng ta đều bị mù, bạn biết đấy. Chúng ta chỉ đang quan sát những cái bóng trên hang động của Plato và chỉ sau đó mới nhận ra -

strogatz: Wow, ở đây bạn rất triết lý. Đây là một cái gì đó. Bây giờ tôi không thể cưỡng lại được: Nếu bạn định bắt đầu nói về con voi và những người mù, điều này gợi ý rằng bạn nghĩ rằng toán học ở ngoài kia - nó giống như con voi và chúng ta là những người mù… Hoặc, bạn biết đấy, chúng tôi đang cố gắng nhìn thấy thứ gì đó tồn tại độc lập với con người. Đó có thực sự là điều bạn tin tưởng?

TAO: Khi bạn làm toán tốt, nó không chỉ là đẩy các ký hiệu xung quanh. Bạn thực sự cảm thấy như có một đối tượng thực tế nào đó mà bạn đang cố gắng hiểu và tất cả các phương trình mà chúng ta có chỉ là những dạng gần đúng của đối tượng đó, hay bóng tối.

Bạn có thể tranh luận về quan điểm triết học về thực tế thực sự là gì, v.v. Ý tôi là, đây là những thứ bạn thực sự có thể chạm vào, và những thứ càng thực tế về mặt toán học, đôi khi chúng càng có vẻ ít vật lý hơn. Như bạn đã nói, hình học ban đầu, bạn biết đấy, là một thứ rất hữu hình về các vật thể trong không gian vật lý mà bạn có thể - bạn biết đấy, bạn thực sự có thể tạo ra một hình tròn và một hình vuông, v.v.

Nhưng trong hình học hiện đại, bạn biết đấy, chúng ta làm việc ở những chiều không gian cao hơn. Chúng ta có thể nói về những hình học rời rạc, tất cả các loại cấu trúc liên kết kỳ quặc. Và ý tôi là, môn học vẫn xứng đáng được gọi là hình học, mặc dù không còn Trái đất nào được đo nữa. Từ nguyên của tiếng Hy Lạp cổ đại đã rất lỗi thời nhưng đúng là như vậy, nhưng chắc chắn có điều gì đó ở đó. Cho dù - bạn muốn gọi nó thực tế đến mức nào. Nhưng tôi đoán vấn đề là với mục đích thực sự làm toán, việc tin rằng nó có thật sẽ giúp ích.

strogatz: Vâng, điều đó không thú vị sao? Nó có. Có vẻ như đó là thứ đã đi rất sâu vào lịch sử toán học. Tôi rất ấn tượng với bài luận của Archimedes viết cho bạn ông, hay ít nhất là đồng nghiệp, Eratosthenes.

Bây giờ chúng ta đang nói đến, khoảng năm 250 trước Công Nguyên Và anh ấy đưa ra nhận xét, anh ấy đã khám phá ra cách để tìm diện tích của cái mà chúng ta gọi là đoạn parabol. Anh ấy đang lấy một hình parabol, anh ấy cắt ngang nó bằng một đoạn thẳng vuông góc với trục của parabol, và anh ấy tính ra diện tích này. Anh ấy nhận được một kết quả rất đẹp. Nhưng anh ấy nói điều gì đó với Eratosthenes như, "Những kết quả này vốn có trong các số liệu." Bạn biết đấy, họ đang ở đó. Họ ở đó. Họ chỉ đang đợi anh tìm thấy.

Nó không giống như anh ấy đã tạo ra chúng. Nó không giống như thơ. Ý tôi là, nó thực sự thú vị phải không? Đó là rất nhiều nghệ sĩ vĩ đại - Michelangelo đã nói về việc thả bức tượng ra khỏi đá, bạn biết đấy, như thể nó đã ở đó ngay từ đầu. Và có vẻ như bạn và nhiều nhà toán học vĩ đại khác đã - như bạn nói, sẽ rất hữu ích khi tin vào ý tưởng này, rằng nó đang ở đó chờ đợi chúng ta, chờ đợi những bộ óc phù hợp khám phá ra nó.

TAO: Phải. Chà, tôi nghĩ một biểu hiện của điều đó là những ý tưởng thường rất phức tạp để giải thích khi chúng được phát hiện lần đầu, chúng sẽ được đơn giản hóa. Ý tôi là, bạn biết đấy, thường thì lý do tại sao lúc đầu một điều gì đó có vẻ rất sâu sắc hoặc khó khăn là do bạn không có ký hiệu đúng.

Ví dụ, bây giờ chúng ta có ký hiệu thập phân để thao tác với các con số và nó rất tiện lợi. Nhưng trước đây, bạn biết đấy, chúng ta có các chữ số La Mã và sau đó thậm chí còn có những hệ thống số nguyên thủy hơn, thực sự rất khó sử dụng nếu bạn muốn làm toán.

của Euclid Các yếu tố, bạn biết đấy - một số lập luận trong những văn bản cổ này. Giống như, có một định lý trong Euclid Các yếu tố Tôi nghĩ nó được gọi là Cầu của những kẻ ngốc hay gì đó. Nó giống như câu nói rằng, tôi nghĩ câu nói đó giống như một tam giác cân, hai góc đáy bằng nhau. Giống như, đây giống như một phép chứng minh hai dòng trong các văn bản hình học hiện đại, bạn biết đấy, với các tiên đề đúng. Nhưng Euclid đã có cách làm việc đó thật khủng khiếp. Và đó là lúc nhiều sinh viên hình học thời cổ điển hoàn toàn từ bỏ toán học.

strogatz: ĐÚNG VẬY. (cười)

TAO: Nhưng bạn biết đấy, giờ đây chúng ta có cách tốt hơn để làm điều đó. Vì vậy, những sự phức tạp mà chúng ta thấy trong toán học thường là sản phẩm của những hạn chế của chính chúng ta. Và vì vậy, khi chúng ta trưởng thành, bạn biết đấy, mọi thứ trở nên đơn giản hơn. Và nó có cảm giác chân thực hơn vì điều đó. Chúng tôi không nhìn thấy hiện vật. Chúng ta đang nhìn thấy bản chất.

strogatz: Chà, quay lại bài luận của bạn: Khi bạn viết nó, vào thời điểm đó - ý tôi là, đây là thời điểm khá sớm trong sự nghiệp của bạn, không phải là sự khởi đầu, nhưng vẫn vậy. Tại sao lúc đó bạn lại cảm thấy rằng điều quan trọng là phải cố gắng xác định thế nào là môn toán tốt?

TAO: Tôi nghĩ… Vì vậy, vào thời điểm đó, tôi đã bắt đầu tư vấn cho các sinh viên tốt nghiệp, và tôi nhận thấy rằng, bạn biết đấy, có một số quan niệm sai lầm về điều gì là tốt và điều gì là không. Và tôi cũng đã nói chuyện với các nhà toán học trong các lĩnh vực khác nhau, và lĩnh vực toán học của một người có giá trị dường như khác với những lĩnh vực khác. Tuy nhiên, bằng cách nào đó, tất cả chúng tôi đều học cùng một chủ đề.

Và đôi khi ai đó sẽ nói điều gì đó khiến tôi cảm thấy khó chịu, bạn biết đấy, chẳng hạn như, "Toán học này không có ứng dụng nên nó không có giá trị." Hoặc “Chứng minh này quá phức tạp; vì vậy nó không có giá trị,” hay điều gì đó. Hoặc ngược lại, bạn biết đấy, “Chứng minh này quá đơn giản; vì vậy nó không có giá trị…” Bạn biết đấy. Giống như, có một số kiểu như kiểu hợm hĩnh, v.v., đôi khi tôi gặp phải.

Và theo kinh nghiệm của tôi, toán học tốt nhất đến khi tôi hiểu được một quan điểm khác, một cách nghĩ khác về toán học từ một người ở lĩnh vực khác và áp dụng nó vào một vấn đề mà tôi quan tâm. Và vì vậy trải nghiệm của tôi về cách sử dụng toán học một cách đúng đắn, cách vận dụng nó, rất khác so với những điều này - kiểu như “một cách làm toán thực sự”.

Tôi cảm thấy như điểm này phải được thực hiện bằng cách nào đó. Rằng thực sự có nhiều cách làm toán, nhưng trong khi toán học vẫn thống nhất.

strogatz: Điều đó rất rõ ràng, bởi vì tôi đã tự hỏi, bạn biết đấy, giống như, trong phần giới thiệu của mình, tôi đã đề cập đến nhiều nhánh toán học khác nhau mà bạn đã khám phá, và tôi thậm chí còn không đưa vào một số nhánh. Giống như, tôi có thể nhớ chỉ vài năm trước, công trình của bạn về bí ẩn này trong động lực học chất lỏng, về việc liệu một số phương trình mà chúng ta nghĩ có hoạt động tốt trong việc tính gần đúng chuyển động của nước và không khí hay không. Tôi không muốn đi sâu vào chi tiết, nhưng chỉ muốn nói rằng, bạn đây, mọi người nghĩ đến việc bạn đang làm lý thuyết số hoặc phân tích điều hòa, và đột nhiên bạn đang giải các câu hỏi về động lực học chất lỏng. Ý tôi là, tôi nhận ra đó là phương trình vi phân từng phần. Tuy nhiên, mức độ quan tâm của bạn dường như liên quan đến mức độ chấp nhận những hiểu biết sâu sắc khác nhau, những ý tưởng có giá trị khác nhau từ tất cả các cách giải toán tốt khác nhau.

TAO: Tôi quên mất ai đã nói điều đó, nhưng có hai loại nhà toán học. Có nhím và cáo. Cáo là người biết chút ít về mọi thứ. Nhím là sinh vật biết rất rõ một điều. Và không cái nào tốt hơn cái kia. Họ bổ sung cho nhau. Ý tôi là, trong toán học, bạn cần những người thực sự là chuyên gia sâu trong một lĩnh vực con và họ biết rõ một chủ đề. Và bạn cần những người có thể nhìn thấy mối liên hệ giữa lĩnh vực này với lĩnh vực khác. Vì vậy, tôi chắc chắn xác định mình là cáo, nhưng tôi làm việc với rất nhiều nhím. Công việc tôi tự hào nhất thường là sự hợp tác như vậy.

strogatz: Ồ, vâng. Họ có nhận ra rằng họ là những con nhím không?

TAO: Được rồi, vai trò thay đổi theo thời gian. Giống như, có những sự hợp tác khác mà tôi là con nhím và người khác là con cáo. Những thứ này không tồn tại vĩnh viễn - bạn biết đấy, những thứ này không có trong DNA của bạn.

strogatz: À, ý kiến ​​hay. Chúng ta có thể nhận nuôi - chúng ta có thể mặc cả hai chiếc áo choàng.

À, thế còn bài luận lúc đó có phản hồi gì không? Mọi người có nói gì lại với bạn không?

TAO: Nói chung tôi nhận được phản hồi khá tích cực. Ý tôi là, cái Bản tin của AMS Tôi nghĩ đó không phải là một ấn phẩm được lưu hành rộng rãi và rộng rãi. Ngoài ra, tôi thực sự không nói điều gì quá gây tranh cãi. Ngoài ra, loại phương tiện truyền thông xã hội này đã có từ trước, nên tôi nghĩ có thể có một vài blog toán học đã đăng tải nó, nhưng lại không có Twitter. Không có gì có thể khiến nó lan truyền.

Vâng, tôi cũng nghĩ, nói chung, các nhà toán học không dành nhiều thời gian và vốn trí tuệ của họ cho việc suy đoán. Ý tôi là, có một nhà toán học khác tên là minhyong kim người đã có một phép ẩn dụ rất hay rằng, đối với các nhà toán học, uy tín giống như tiền tệ, như tiền bạc. Nếu bạn chứng minh các định lý và chứng tỏ rằng bạn hiểu biết về chủ đề đó, thì bằng cách nào đó bạn đang tích lũy được uy tín này trong ngân hàng. Và một khi bạn có đủ tiền, bạn có thể đủ khả năng để suy đoán một chút bằng cách triết lý một chút và nói những gì có thể đúng hơn là những gì bạn thực sự có thể chứng minh.

Nhưng chúng ta có xu hướng thận trọng và không muốn có khoản thấu chi trong tài khoản ngân hàng của mình. Bạn biết đấy, bạn không muốn phần lớn bài viết của mình mang tính suy đoán và chỉ có một phần trăm thực sự chứng minh được điều gì đó.

strogatz: Đủ công bằng. Được thôi. Vì vậy, rất nhiều năm đã trôi qua kể từ đó. Chúng ta đang nói về điều gì vậy? Đã hơn 15 năm rồi.

TAO: Ồ vâng, thời gian trôi nhanh.

strogatz: Ý kiến ​​của bạn đã thay đổi chưa? Có điều gì chúng ta cần sửa lại không?

TAO: Chà, văn hóa toán học đang thay đổi khá nhiều. Tôi đã có một cái nhìn rộng hơn về toán học, và bây giờ tôi thậm chí còn có một cái nhìn rộng hơn nữa.

Vì vậy, một ví dụ rất cụ thể là: Các phép chứng minh có sự hỗ trợ của máy tính vẫn còn gây tranh cãi vào năm 2007. Có một giả thuyết nổi tiếng gọi là giả thuyết Kepler, liên quan đến cách hiệu quả nhất để đóng gói các quả bóng đơn vị trong không gian ba chiều. Và có một cách đóng gói tiêu chuẩn, tôi nghĩ nó được gọi là cách đóng gói trung tâm hình khối hay gì đó mà Kepler phỏng đoán là cách tốt nhất có thể.

Vấn đề này cuối cùng đã được giải quyết nhưng bằng chứng được hỗ trợ rất nhiều bởi máy tính. Chuyện đó khá phức tạp và [Thomas] Halescuối cùng thực sự đã tạo ra cả một ngôn ngữ máy tính để chính thức xác minh bằng chứng cụ thể này, nhưng nó không được chấp nhận như một bằng chứng thực sự trong nhiều năm. Nhưng nó minh họa khái niệm về bằng chứng mà bạn cần sự hỗ trợ của máy tính để xác minh gây tranh cãi như thế nào.

Trong những năm kể từ đó, đã có rất nhiều ví dụ khác về bằng chứng trong đó con người có thể biến một vấn đề phức tạp thành một vấn đề vẫn cần đến máy tính để xác minh. Và sau đó máy tính sẽ tiến hành xác minh nó. Chúng tôi đã phát triển các phương pháp thực hành về cách thực hiện việc này một cách có trách nhiệm. Bạn biết đấy, cách xuất bản mã và dữ liệu cũng như các cách để kiểm tra và những thứ mới về nguồn mở, v.v. Và hiện nay, việc chứng minh có sự hỗ trợ của máy tính đã được chấp nhận rộng rãi.

Bây giờ, tôi nghĩ, sự thay đổi văn hóa tiếp theo sẽ là liệu bằng chứng do AI tạo ra có được chấp nhận hay không. Hiện tại, các công cụ AI chưa đạt đến trình độ có thể tạo ra bằng chứng để thực sự nâng cao các vấn đề toán học. Có thể các bài tập về nhà ở trình độ đại học, họ có thể giải quyết được, nhưng nghiên cứu toán học, họ vẫn chưa đạt đến trình độ đó. Nhưng đến một lúc nào đó, chúng ta sẽ bắt đầu thấy các bài báo có sự hỗ trợ của AI xuất hiện và sẽ có một cuộc tranh luận.

Cách văn hóa của chúng ta đã thay đổi theo một số cách… Trở lại năm 2007, chỉ một phần nhỏ các nhà toán học cung cấp bản thảo trước khi xuất bản. Các tác giả sẽ bảo vệ bản in trước của họ một cách ghen tị cho đến khi họ nhận được thông báo chấp nhận từ tạp chí. Và sau đó họ có thể chia sẻ.

Nhưng bây giờ mọi người đều đặt giấy tờ của mình lên máy chủ công cộng như arXiv. Có nhiều sự cởi mở hơn trong việc đưa video và bài đăng trên blog, về nguồn gốc của ý tưởng của một bài báo. Bởi vì mọi người nhận ra rằng đây là điều khiến công việc có ảnh hưởng và tác động mạnh mẽ hơn. Nếu bạn cố gắng không công khai tác phẩm của mình và giữ bí mật về nó, nó sẽ không gây được tiếng vang lớn.

Toán học đã trở thành hợp tác hơn nhiều. Bạn biết đấy, 50 năm trước, tôi có thể nói rằng phần lớn các bài báo về toán học là của một tác giả. Hiện nay, chắc chắn phần lớn là hai, ba hoặc bốn tác giả. Và chúng ta mới bắt đầu thấy những dự án thực sự lớn như chúng ta làm trong khoa học, bạn biết đấy, như hàng chục, hàng trăm người cộng tác. Điều đó vẫn còn khó khăn đối với các nhà toán học, nhưng tôi nghĩ chúng ta sẽ đạt được điều đó.

Đồng thời, chúng ta đang trở nên liên ngành hơn nhiều. Chúng tôi đang làm việc với các ngành khoa học khác nhiều hơn nữa. Chúng tôi đang làm việc giữa các lĩnh vực toán học. Và nhờ có Internet, chúng tôi có thể cộng tác với mọi người trên khắp thế giới. Vì vậy, cách chúng ta làm toán chắc chắn đang thay đổi.

Tôi hy vọng trong tương lai chúng ta sẽ có thể tận dụng được cộng đồng toán nghiệp dư nhiều hơn. Có những lĩnh vực khác như thiên văn học, nơi các nhà thiên văn học tận dụng rất nhiều cộng đồng thiên văn nghiệp dư, chẳng hạn như bạn biết đấy, rất nhiều sao chổi được tìm thấy bởi những người nghiệp dư.

Nhưng các nhà toán học… Có một số lĩnh vực toán học biệt lập như xếp lớp, xếp lớp hai chiều, và có thể tìm bản ghi ở số nguyên tố. Có một số lĩnh vực toán học rất chọn lọc mà những người nghiệp dư có thể đóng góp và họ được hoan nghênh. Nhưng có rất nhiều rào cản. Trong hầu hết các lĩnh vực toán học, bạn cần được đào tạo rất nhiều và trí tuệ thông thường hoặc được tiếp thu đến mức chúng ta không thể thu thập được mọi thứ. Nhưng điều này có thể thay đổi trong tương lai. Có lẽ một tác động của AI là cho phép các nhà toán học nghiệp dư đóng góp một cách có ý nghĩa cho toán học.

strogatz: Thật là thú vị.

[Nghỉ để chèn quảng cáo]

strogatz: Vì vậy, những người nghiệp dư có thể, với sự trợ giúp của AI, đặt những câu hỏi mới hay hoặc giúp khám phá tốt những câu hỏi hiện có, đại loại như vậy?

TAO: Có nhiều phương thức khác nhau — vâng. Vì vậy, ví dụ, hiện nay có những dự án nhằm chính thức hóa việc chứng minh các định lý lớn trong những thứ được gọi là trợ lý chứng minh chính thức, giống như ngôn ngữ máy tính có thể xác minh 100% xem một định lý có đúng hay không và - có được chứng minh hay không. Điều này thực sự cho phép sự hợp tác trên quy mô lớn trong toán học.

Vì vậy, trước đây, nếu bạn cộng tác với 10 người khác để chứng minh một định lý và mỗi người đóng góp một bước thì mọi người phải xác minh phép toán của những người khác. Bởi vì vấn đề của toán học là nếu một bước mắc lỗi, toàn bộ mọi thứ có thể sụp đổ.

Vì vậy, bạn cần sự tin tưởng, và vì vậy - do đó điều này ngăn cản, điều này thực sự cản trở sự hợp tác thực sự ở quy mô lớn trong toán học. Nhưng hiện nay, đã có những ví dụ thành công về các định lý thực sự lớn được chính thức hóa ở nơi có một cộng đồng lớn, tất cả chúng không biết nhau, không tin tưởng lẫn nhau, nhưng chúng giao tiếp thông qua việc tải lên kho lưu trữ Github hoặc điều gì đó, chẳng hạn như, bằng chứng riêng lẻ về các bước riêng lẻ trong lập luận. Và phần mềm chứng minh chính thức sẽ xác minh mọi thứ nên bạn không cần phải lo lắng về độ tin cậy. Vì vậy, chúng tôi đang kích hoạt các phương thức cộng tác mới mà chúng tôi chưa từng thấy trước đây.

strogatz: Thật thú vị khi nghe được tầm nhìn của bạn, Terry. Đó là một suy nghĩ hấp dẫn. Bạn không nghe thấy cụm từ “nhà toán học công dân”. Bạn đã nghe nói về khoa học công dân, nhưng tại sao lại không phải là toán công dân?

Nhưng tôi chỉ thắc mắc, có xu hướng nào khiến bạn lo lắng không, chẳng hạn như bằng chứng được hỗ trợ bởi máy tính hoặc bằng chứng do AI tạo ra? Liệu chúng ta có biết rằng một số kết quả nhất định là đúng nhưng lại không hiểu tại sao?

TAO: Vậy đó là một vấn đề. Ý tôi là, nó đã là một vấn đề ngay cả trước khi AI ra đời. Vì vậy, có nhiều lĩnh vực mà các bài viết trong một chủ đề ngày càng dài hơn, hàng trăm trang. Và tôi hy vọng rằng ngược lại AI có thể giúp đơn giản hóa và nó có thể giải thích cũng như chứng minh.

Vì vậy, đã có phần mềm thử nghiệm, chẳng hạn như nếu bạn lấy một bằng chứng đã được chính thức hóa, bạn thực sự có thể chuyển đổi nó thành một tài liệu tương tác mà con người có thể đọc được, nơi bạn có bằng chứng và bạn thấy các bước cấp cao và nếu có một câu bạn không hiểu bạn có thể nhấp đúp vào nó và nó sẽ mở rộng thành các bước nhỏ hơn. Tôi nghĩ bạn cũng có thể sớm có một chatbot AI ngồi cạnh bạn trong khi bạn xem qua bằng chứng, họ có thể đặt câu hỏi và có thể giải thích từng bước như thể họ là tác giả. Tôi nghĩ chúng ta đã rất gần với điều đó rồi.

Có những lo ngại. Chúng ta phải thay đổi cách giáo dục học sinh của mình, đặc biệt là hiện nay, với nhiều cách giao bài tập về nhà truyền thống, v.v., chúng ta gần như đã đến lúc những công cụ AI này có thể trả lời ngay lập tức nhiều câu hỏi thi tiêu chuẩn của chúng ta. Và vì vậy, chúng ta cần dạy cho học sinh những kỹ năng mới, như cách xác minh xem kết quả đầu ra do AI tạo ra có chính xác hay không và cách lấy ý kiến ​​​​thứ hai.

Và bạn biết đấy, chúng ta có thể thấy sự xuất hiện của một khía cạnh thực nghiệm hơn trong toán học. Vì vậy, toán học gần như hoàn toàn mang tính lý thuyết, trong khi hầu hết các ngành khoa học đều có cả thành phần lý thuyết và thực nghiệm. Cuối cùng, chúng tôi có thể có những kết quả mà lần đầu tiên chỉ được chứng minh bằng máy tính và như bạn nói, chúng tôi không hiểu. Nhưng sau khi chúng tôi có dữ liệu mà AI và các bằng chứng do máy tính tạo ra cung cấp, chúng tôi có thể tiến hành thử nghiệm.

Bây giờ có một chút toán học thực nghiệm. Người ta nghiên cứu những tập dữ liệu lớn về nhiều thứ khác nhau, chẳng hạn như đường cong elip. Nhưng nó có thể trở nên lớn hơn nhiều trong tương lai.

strogatz: Gee, bạn có một cái nhìn rất lạc quan, tôi nghe có vẻ như vậy. Nó không giống như thời kỳ hoàng kim trong quá khứ. Nếu tôi nghe đúng thì bạn nghĩ rằng có rất nhiều điều thú vị ở phía trước.

TAO: Vâng, rất nhiều công cụ công nghệ mới có tác dụng rất mạnh mẽ. Ý tôi là, AI nói chung có nhiều ưu và nhược điểm phức tạp. Và bên ngoài khoa học, có rất nhiều sự gián đoạn có thể xảy ra đối với nền kinh tế, quyền sở hữu trí tuệ, v.v. Nhưng trong môn toán, tôi nghĩ tỷ lệ tốt và xấu tốt hơn nhiều lĩnh vực khác.

Và bạn biết đấy, Internet thực sự đã thay đổi cách chúng ta làm toán. Tôi cộng tác với rất nhiều người ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Tôi không thể làm điều này nếu không có internet. Thực tế là tôi có thể truy cập Wikipedia hoặc bất cứ nơi nào và bắt đầu học một chủ đề, tôi có thể gửi email cho ai đó và chúng tôi có thể cộng tác trực tuyến. Nếu tôi phải làm những việc theo kiểu cũ, nơi tôi chỉ có thể nói chuyện với mọi người trong bộ phận của mình và sử dụng thư tín cho mọi việc khác, thì tôi không thể tính toán như bây giờ.

strogatz: Ồ, được rồi. Tôi chỉ cần nhấn mạnh những gì bạn vừa nói, bởi vì tôi chưa bao giờ nghĩ trong một triệu năm nữa tôi sẽ nghe điều này: Terry Tao đọc Wikipedia để học toán?

TAO: Là điểm khởi đầu. Ý tôi là, không phải lúc nào cũng là Wikipedia, mà chỉ để lấy từ khóa, sau đó tôi sẽ thực hiện tìm kiếm chuyên biệt hơn, chẳng hạn như, ToánSciNet hoặc một số cơ sở dữ liệu khác. Nhưng vâng.

strogatz: Đó không phải là một lời chỉ trích. Ý tôi là, tôi cũng làm điều tương tự. Wikipedia thực ra là, nếu có bất kỳ lời chỉ trích nào về toán học trên Wikipedia, có thể là đôi khi nó hơi quá cao cấp đối với người đọc so với mục đích của nó, tôi nghĩ vậy. Không phải lúc nào cũng vậy. Ý tôi là, nó phụ thuộc. Nó thay đổi rất nhiều từ bài viết này sang bài viết khác. Nhưng điều đó thật buồn cười. Tôi thích nghe điều đó.

TAO: Ý tôi là, những công cụ này, bạn phải có khả năng kiểm tra đầu ra. Bạn biết đấy, ý tôi là, lý do tại sao tôi có thể sử dụng Wikipedia để làm toán là vì tôi đã đủ hiểu biết về toán học để có thể ngửi thấy liệu một phần Wikipedia về toán học có đáng ngờ hay không. Bạn biết đấy, nó có thể nhận được một số nguồn và một trong số chúng sẽ là nguồn tốt hơn nguồn kia. Và tôi biết các tác giả, và tôi biết tài liệu tham khảo nào sẽ tốt hơn cho tôi. Nếu tôi sử dụng Wikipedia để tìm hiểu về một chủ đề mà tôi chưa có kinh nghiệm thì tôi nghĩ nó sẽ giống một biến số ngẫu nhiên hơn.

strogatz: Ồ, vậy là chúng ta đã nói khá nhiều về điều gì tạo nên toán học tốt, tương lai có thể có cho những loại toán học tốt mới. Nhưng có lẽ chúng ta nên giải quyết câu hỏi: Tại sao điều này lại quan trọng? Tại sao việc học giỏi môn toán lại quan trọng?

TAO: À, trước hết, ý tôi là, tại sao chúng ta lại có các nhà toán học? Tại sao xã hội đánh giá cao các nhà toán học và cung cấp cho chúng ta nguồn lực để làm những gì chúng ta làm? Bạn biết đấy, đó là vì chúng tôi mang lại một số giá trị. Chúng ta có thể có ứng dụng cho thế giới thực. Có sự quan tâm trí tuệ và một số lý thuyết mà chúng tôi phát triển cuối cùng sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc về các hiện tượng khác.

Và không phải tất cả toán học đều có giá trị như nhau. Ý tôi là, bạn có thể tính ngày càng nhiều chữ số của số pi, nhưng đến một lúc nào đó, bạn không học được gì cả. Bất kỳ chủ đề nào cũng cần một số phán đoán về giá trị vì bạn phải phân bổ nguồn lực. Có rất nhiều toán học ngoài kia. Bạn muốn nêu bật, công khai những tiến bộ nào và cho người khác biết về những tiến bộ nào, và những tiến bộ nào có lẽ bạn chỉ nên ngồi yên lặng ghi nhật ký ở đâu đó?

Ngay cả khi bạn nghĩ một chủ đề là hoàn toàn khách quan và bạn biết đấy, chỉ có đúng hoặc sai, chúng ta vẫn phải đưa ra lựa chọn. Bạn biết đấy, chỉ vì thời gian là nguồn lực có hạn. Sự chú ý là một nguồn lực hạn chế. Tiền là một nguồn lực có hạn. Vì vậy, đây luôn là những câu hỏi quan trọng.

strogatz: Chà, thật thú vị khi bạn đề cập đến việc công khai hóa, bởi vì tôi nghĩ đó là một điểm đặc biệt trong công việc của bạn, rằng bạn cũng đã nỗ lực rất nhiều để làm cho môn toán có thể truy cập công khai qua blog của bạn, thông qua nhiều bài viết khác nhau' đã viết. Tôi nhớ đã thảo luận về một bài mà bạn đã viết trong Nhà khoa học người Mỹ về tính phổ quát và ý tưởng đó. Tại sao điều quan trọng là làm cho môn toán có thể tiếp cận được và dễ hiểu một cách công khai? Ý tôi là, bạn đang cố gắng làm gì vậy?

TAO: Nó xảy ra một cách tự nhiên. Thời kỳ đầu trong sự nghiệp của tôi, World Wide Web vẫn còn rất mới và các nhà toán học bắt đầu có các trang web với nhiều nội dung khác nhau, nhưng không có nhiều thư mục trung tâm. Trước Google, v.v., thực sự rất khó để tìm được các tài nguyên riêng lẻ.

Vì vậy, tôi bắt đầu làm các thư mục nhỏ trên trang web của tôi. Và tôi cũng sẽ tạo các trang web cho các bài viết của riêng mình và đưa ra một số bình luận. Ban đầu, nó mang lại lợi ích cho riêng tôi nhiều hơn, chỉ là một công cụ tổ chức, chỉ để giúp tôi tìm kiếm đồ vật. Là một sản phẩm phụ, nó được cung cấp cho công chúng, nhưng tôi là người tiêu dùng chính, hoặc ít nhất là tôi nghĩ vậy, đối với các trang web của riêng mình.

Nhưng tôi nhớ rất rõ, có một lần tôi viết một bài báo và đưa nó lên trang web của mình, và tôi có một trang con nhỏ tên là “Có gì mới?” Và tôi chỉ nói: “Đây là một tờ báo. Trong đó có một câu hỏi mà tôi vẫn chưa trả lời được và tôi cũng không biết giải quyết thế nào.” Và tôi vừa đưa ra nhận xét này. Và giống như hai ngày sau, tôi nhận được email có nội dung: “Ồ, tôi vừa kiểm tra trang chủ của bạn. Tôi biết câu trả lời cho điều này. Có một tờ giấy sẽ giải quyết được vấn đề của bạn.”

Và trước hết, nó khiến tôi nhận ra rằng mọi người thực sự đang truy cập trang web của tôi, điều mà tôi thực sự không biết. Nhưng sự tương tác đó với cộng đồng thực sự có thể - à, nó có thể giúp tôi trực tiếp giải quyết các câu hỏi của mình.

Có luật này gọi là Định luật Metcalfe trong mạng điều đó, bạn biết đấy, nếu bạn có n mọi người và tất cả họ đều nói chuyện với nhau, có khoảng n² các kết nối giữa chúng. Và do đó, lượng khán giả càng lớn và diễn đàn nơi mọi người có thể nói chuyện với nhau càng lớn thì bạn càng có thể tạo ra nhiều kết nối tiềm năng và càng có nhiều điều tốt đẹp có thể xảy ra.

Ý tôi là, trong sự nghiệp của tôi, rất nhiều khám phá mà tôi đã thực hiện, hoặc những mối liên hệ mà tôi đã tạo ra đều là do một mối liên hệ bất ngờ. Toàn bộ kinh nghiệm nghề nghiệp của tôi là càng nhiều kết nối đồng nghĩa với việc những điều tốt đẹp hơn sẽ xảy ra.

strogatz: Tôi nghĩ một ví dụ hay về điều bạn vừa đề cập đến, nhưng tôi rất muốn nghe bạn nói về nó, đó là mối liên hệ mà bạn đã tạo ra với những người trong ngành khoa học dữ liệu, những người quan tâm đến các câu hỏi liên quan đến chụp ảnh cộng hưởng y tế , MRI. Bạn có thể kể cho chúng tôi nghe một chút về câu chuyện đó được không?

TAO: Tôi nghĩ đó là vào khoảng năm 2006, 2005. Vì vậy, tôi nghĩ có một chương trình liên ngành trong khuôn viên trường UCLA về phân tích hình học đa tầng, hoặc thứ gì đó tương tự, nơi họ tập hợp các nhà toán học thuần túy, những người quan tâm đến loại hình học đa tầng theo đúng nghĩa của nó, và sau đó, bạn biết đấy, những người gặp vấn đề về kiểu dữ liệu rất cụ thể.

Và tôi mới bắt đầu nghiên cứu một số vấn đề trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, nên tôi được biết đến như một người có thể thao tác ma trận. Và tôi đã gặp một người mà tôi đã biết, Emmanuel Candès, vì lúc đó anh ấy làm việc ngay cạnh Caltech. Và anh ấy cùng một cộng tác viên khác, Justin Romberg, họ đã phát hiện ra hiện tượng bất thường này.

Vì vậy, họ đang xem hình ảnh MRI, nhưng chúng rất chậm. Để thu thập đủ hình ảnh có độ phân giải thực sự cao của cơ thể con người, hoặc đủ để có thể phát hiện được khối u, hoặc bất kỳ đặc điểm quan trọng về mặt y tế nào mà bạn muốn tìm, thường phải mất vài phút vì họ phải quét tất cả các góc độ khác nhau này rồi tổng hợp dữ liệu . Và đây thực sự là một vấn đề, bởi vì trẻ nhỏ, chẳng hạn, chỉ ngồi yên trong ba phút trong máy MRI là khá khó khăn.

Vì vậy họ đang thử nghiệm một cách khác, sử dụng một số đại số tuyến tính. Họ hy vọng sẽ cải thiện hiệu suất tốt hơn 10%, 20%. Bạn biết đấy, hình ảnh sắc nét hơn một chút bằng cách tinh chỉnh thuật toán tiêu chuẩn một chút.

Vì vậy, thuật toán tiêu chuẩn được gọi là xấp xỉ bình phương tối thiểu và họ đang làm một việc khác, gọi là tối thiểu hóa tổng biến thể. Nhưng sau đó, khi họ chạy phần mềm máy tính, họ đã tái tạo được hình ảnh thử nghiệm gần như hoàn hảo. Cải tiến lớn, lớn. Và họ không thể giải thích điều này.

Nhưng Emmanuel đã có mặt tại chương trình này và chúng tôi đang trò chuyện trong bữa trà hay gì đó. Và anh ấy vừa đề cập đến điều này, và thực sự, suy nghĩ đầu tiên của tôi là bạn chắc hẳn đã mắc sai lầm trong tính toán, rằng những gì bạn đang nói thực tế là không thể xảy ra. Và tôi nhớ đêm đó tôi đã trở về nhà và cố gắng viết ra một bằng chứng thực tế rằng những gì họ đang thấy không thể thực sự xảy ra. Và rồi được nửa chừng, tôi nhận ra mình đã đưa ra một giả định không đúng. Và sau đó tôi nhận ra rằng nó thực sự có thể hoạt động. Và sau đó tôi đã tìm ra lời giải thích. Và sau đó chúng tôi làm việc cùng nhau, và chúng tôi thực sự đã tìm ra một lời giải thích hợp lý và chúng tôi đã công bố nó.

Và khi chúng tôi làm điều đó, mọi người nhận ra rằng có nhiều tình huống khác mà bạn phải thực hiện một phép đo thường đòi hỏi rất nhiều dữ liệu và trong một số trường hợp, bạn có thể lấy lượng dữ liệu nhỏ hơn nhiều mà vẫn đạt được kết quả thực sự cao- đo độ phân giải

Vì vậy, hiện nay, các máy MRI hiện đại chẳng hạn - một lần quét trước đây mất ba phút giờ có thể mất 30 giây vì phần mềm này, thuật toán này đã được nối cứng, mã hóa cứng vào máy.

strogatz: Đó là một câu chuyện hay, đó là một câu chuyện tuyệt vời. Ý tôi là, nói về toán học quan trọng đang thay đổi cuộc sống, theo nghĩa đen, trong bối cảnh hình ảnh y tế. Tôi thích sự tình cờ của nó và sự cởi mở của bạn, bạn biết đấy, khi nghe ý tưởng này và sau đó nghĩ, "điều này là không thể, tôi có thể chứng minh điều đó." Và rồi nhận ra, thực ra là không. Thật tuyệt vời khi thấy toán học có tác động như vậy.

Được rồi, tôi nghĩ tốt hơn là tôi nên để anh đi, Terry. Tôi thực sự rất vui khi được thảo luận về bản chất của toán học tốt với bạn. Cảm ơn rất nhiều vì đã tham gia cùng chúng tôi ngày hôm nay.

TAO: Vâng, không, đó là một niềm vui. 

[Nghỉ để chèn quảng cáo]

strogatz: “Niềm vui của Tại sao” là một podcast từ Tạp chí Quanta, một ấn phẩm độc lập về mặt biên tập được hỗ trợ bởi Quỹ Simons. Các quyết định tài trợ của Quỹ Simons không ảnh hưởng đến việc lựa chọn chủ đề, khách mời hoặc các quyết định biên tập khác trong podcast này hoặc trong Tạp chí Quanta.

“Niềm vui của Tại sao” được sản xuất bởi Sản phẩm PRX. Đội ngũ sản xuất gồm có Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler và Merritt Jacob. Nhà sản xuất điều hành của PRX Productions là Jocelyn Gonzales. Morgan Church và Edwin Ochoa đã hỗ trợ thêm. Từ Tạp chí Quanta, John Rennie và Thomas Lin cung cấp hướng dẫn biên tập, với sự hỗ trợ của Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana và Madison Goldberg.

Nhạc chủ đề của chúng tôi là từ APM Music. Julian Lin đã nghĩ ra tên podcast. Hình ảnh của tập phim là của Peter Greenwood và logo của chúng tôi là của Jaki King và Kristina Armitage. Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn tới Trường Báo chí Columbia và Burt Odom-Reed tại Phòng thu Phát sóng Cornell.

Tôi là chủ nhà của bạn, Steve Strogatz. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi hoặc ý kiến ​​​​cho chúng tôi, xin vui lòng gửi email cho chúng tôi tại [email được bảo vệ]. Cảm ơn vì đã lắng nghe.