Vào giữa những năm 1980, giống như máy nghe băng Walkman và áo sơ mi nhuộm cà vạt, hình bóng giống con bọ của bộ Mandelbrot có mặt ở khắp mọi nơi.

Sinh viên dán nó lên tường phòng ký túc xá trên khắp thế giới. Các nhà toán học đã nhận được hàng trăm lá thư, những yêu cầu háo hức về bản in của bộ này. (Đáp lại, một số người trong số họ đã sản xuất các danh mục, hoàn chỉnh với bảng giá; những người khác biên soạn những đặc điểm nổi bật nhất của nó thành sách.) Những người hâm mộ am hiểu công nghệ hơn có thể chuyển sang số tháng 1985 năm XNUMX của tạp chí Khoa học Mỹ. Trên trang bìa của nó, bộ Mandelbrot mở ra như những đường tua rực lửa, đường viền của nó rực lửa; bên trong là những hướng dẫn lập trình cẩn thận, trình bày chi tiết cách người đọc có thể tự tạo ra hình ảnh mang tính biểu tượng.

Đến lúc đó, những sợi dây đó cũng đã mở rộng tầm với của chúng vượt xa toán học, vào những lĩnh vực dường như không liên quan đến cuộc sống hàng ngày. Trong vòng vài năm tới, bộ tranh của Mandelbrot sẽ truyền cảm hứng cho những bức tranh mới nhất của David Hockney và những sáng tác mới nhất của một số nhạc sĩ - những tác phẩm fuguelike theo phong cách của Bach. Nó sẽ xuất hiện trong các trang tiểu thuyết của John Updike và hướng dẫn cách nhà phê bình văn học Hugh Kenner phân tích thơ của Ezra Pound. Nó sẽ trở thành chủ đề của ảo giác ảo giác và của một bộ phim tài liệu nổi tiếng được thuật lại bởi nhà khoa học viễn tưởng vĩ đại Arthur C. Clarke.

Tập hợp Mandelbrot là một hình dạng đặc biệt với đường viền fractal. Sử dụng máy tính để phóng to ranh giới lởm chởm của trường quay và bạn sẽ bắt gặp các thung lũng cá ngựa và cuộc diễu hành của voi, các thiên hà xoắn ốc và các sợi giống như tế bào thần kinh. Cho dù bạn khám phá sâu đến đâu, bạn sẽ luôn nhìn thấy các bản sao gần như của bộ gốc - một dòng thác vô tận, chóng mặt về sự giống nhau.

Sự giống nhau đó là yếu tố cốt lõi trong cuốn sách bán chạy nhất của James Gleick Chaos, điều này đã củng cố vị trí của bộ Mandelbrot trong văn hóa đại chúng. “Nó chứa đựng cả một vũ trụ ý tưởng,” Gleick viết. “Một triết lý nghệ thuật hiện đại, sự biện minh cho vai trò mới của thử nghiệm trong toán học, một cách đưa các hệ thống phức tạp ra trước công chúng.”

Tập hợp Mandelbrot đã trở thành một biểu tượng. Nó thể hiện nhu cầu về một ngôn ngữ toán học mới, một cách tốt hơn để mô tả bản chất fractal của thế giới xung quanh chúng ta. Nó minh họa mức độ phức tạp sâu sắc có thể xuất hiện từ những quy tắc đơn giản nhất - giống như chính cuộc sống. (“Do đó, đây là một thông điệp thực sự về hy vọng,” John Hubbard, một trong những nhà toán học đầu tiên nghiên cứu về tập hợp này, đã nói trong một video năm 1989, “rằng sinh học có thể thực sự có thể được hiểu theo cách giống như cách hiểu những bức tranh này.”) Trong tập hợp Mandelbrot, trật tự và hỗn loạn tồn tại hài hòa; thuyết quyết định và ý chí tự do có thể được dung hòa. Một nhà toán học nhớ lại việc tình cờ gặp phim trường này khi còn là một thiếu niên và coi nó như một phép ẩn dụ cho ranh giới phức tạp giữa sự thật và sự giả dối.

Bộ Mandelbrot có mặt ở khắp mọi nơi, cho đến khi nó không còn nữa.

Trong vòng một thập kỷ, nó dường như biến mất. Các nhà toán học chuyển sang các chủ đề khác và công chúng chuyển sang các ký hiệu khác. Ngày nay, chỉ 40 năm sau khi được phát hiện, fractal đã trở thành một thứ sáo rỗng, rập khuôn.

Nhưng một số nhà toán học đã từ chối từ bỏ nó. Họ đã cống hiến cả cuộc đời mình để khám phá những bí mật của bộ Mandelbrot. Bây giờ, họ nghĩ rằng cuối cùng họ cũng sắp thực sự hiểu được nó.

Câu chuyện của họ là câu chuyện về sự khám phá, thử nghiệm — và về cách công nghệ định hình cách chúng ta suy nghĩ cũng như những câu hỏi mà chúng ta đặt ra về thế giới.

Thợ săn tiền thưởng

Vào tháng 2023 năm 20, 1800 nhà toán học từ khắp nơi trên thế giới đã tụ tập trong một tòa nhà gạch thấp ở nơi từng là cơ sở nghiên cứu quân sự của Đan Mạch. Căn cứ được xây dựng vào cuối những năm XNUMX ở giữa rừng, nằm ẩn mình trên một vịnh hẹp trên bờ biển phía tây bắc của hòn đảo đông dân nhất Đan Mạch. Một quả ngư lôi cũ bảo vệ lối vào. Những bức ảnh đen trắng mô tả các sĩ quan hải quân mặc đồng phục, những chiếc thuyền xếp hàng tại bến tàu và các cuộc thử nghiệm tàu ​​ngầm đang diễn ra, trang trí trên các bức tường. Trong ba ngày, khi một cơn gió dữ dội thổi tung mặt nước ngoài cửa sổ thành những bọt trắng sủi bọt, cả nhóm đã ngồi nghe một loạt bài nói chuyện, hầu hết là của hai nhà toán học đến từ Đại học Stony Brook ở New York: Misha Lyubich và Dima Dudko.

Trong hội thảo, khán giả là một số nhà thám hiểm dũng cảm nhất của bộ phim Mandelbrot. Gần phía trước ngồi Mitsuhiro Shishikura của Đại học Kyoto, người vào những năm 1990 đã chứng minh rằng ranh giới của tập hợp này phức tạp nhất có thể. Một vài chỗ ngồi phía trên là Hiroyuki Inou, người cùng với Shishikura đã phát triển các kỹ thuật quan trọng để nghiên cứu một khu vực đặc biệt nổi bật của tập hợp Mandelbrot. Ở hàng cuối cùng là Sói Jung, người tạo ra Mandel, phần mềm dùng để nghiên cứu tương tác tập hợp Mandelbrot của các nhà toán học. Hiện diện còn có Arnaud Cheritat của Đại học Toulouse, Carsten Petersen của Đại học Roskilde (người tổ chức hội thảo) và một số người khác đã có đóng góp lớn cho sự hiểu biết của các nhà toán học về tập hợp Mandelbrot.

Và trên bảng trắng là Lyubich, chuyên gia hàng đầu thế giới về chủ đề này, và Dudko, một trong những cộng tác viên thân cận nhất của ông. Cùng với các nhà toán học Jeremy Kahn và Alex Kapiamba, họ đang nỗ lực chứng minh một phỏng đoán lâu đời về cấu trúc hình học của tập Mandelbrot. Phỏng đoán đó, được gọi là MLC, là trở ngại cuối cùng trong nỗ lực kéo dài hàng thập kỷ nhằm mô tả đặc điểm của fractal, nhằm chế ngự vùng hoang dã rối rắm của nó.

Bằng cách xây dựng và mài giũa một bộ công cụ mạnh mẽ, các nhà toán học đã giành được quyền kiểm soát hình học của “hầu hết mọi thứ trong tập hợp Mandelbrot”, cho biết. Caroline Davis của Đại học Indiana - ngoại trừ một số trường hợp còn lại. “Misha, Dima, Jeremy và Alex giống như những thợ săn tiền thưởng, cố gắng truy tìm những kẻ cuối cùng này.”

Lyubich và Dudko đã đến Đan Mạch để cập nhật cho các nhà toán học khác về những tiến bộ gần đây trong việc chứng minh MLC và các kỹ thuật mà họ đã phát triển để làm điều đó. Trong 20 năm qua, các nhà nghiên cứu đã tập trung tại đây để tổ chức các hội thảo nhằm giải thích các kết quả và phương pháp trong lĩnh vực giải tích phức, nghiên cứu toán học về các loại số và hàm được sử dụng để tạo ra tập hợp Mandelbrot.

Đó là một sự sắp đặt bất thường: Các nhà toán học ăn tất cả các bữa ăn của họ cùng nhau, trò chuyện và cười đùa bên những cốc bia suốt nửa đêm. Cuối cùng, khi quyết định đi ngủ, họ lui về giường tầng hoặc cũi trong những căn phòng nhỏ mà họ ở chung trên tầng hai của cơ sở. (Khi đến nơi, chúng tôi được yêu cầu lấy ga trải giường và vỏ gối từ một đống và mang chúng lên lầu để làm giường.) Trong một số năm, những người tham dự hội nghị đã dũng cảm bơi trong làn nước lạnh giá; thường xuyên hơn, họ đi lang thang trong rừng. Nhưng phần lớn, không có gì để làm ngoại trừ môn toán.

Điển hình như một người tham dự đã nói với tôi rằng hội thảo thu hút rất nhiều nhà toán học trẻ. Nhưng lần này không phải như vậy - có lẽ vì lúc đó đang là giữa học kỳ, hoặc, anh suy đoán, vì môn học quá khó. Anh thú nhận rằng vào thời điểm đó, anh cảm thấy hơi lo sợ về viễn cảnh phải diễn thuyết trước rất nhiều chuyên gia vĩ đại trong lĩnh vực này.

Nhưng vì hầu hết các nhà toán học trong lĩnh vực giải tích phức rộng hơn không còn làm việc trực tiếp trên tập Mandelbrot nữa, tại sao lại dành toàn bộ hội thảo cho MLC?

Tập hợp Mandelbrot không chỉ là một fractal, và không chỉ mang ý nghĩa ẩn dụ. Nó đóng vai trò như một loại danh mục chính của các hệ động lực - về tất cả các cách khác nhau mà một điểm có thể di chuyển trong không gian theo một quy tắc đơn giản. Để hiểu danh mục tổng thể này, người ta phải xem qua nhiều bối cảnh toán học khác nhau. Tập hợp Mandelbrot có liên quan sâu sắc không chỉ với động lực học mà còn với lý thuyết số, cấu trúc liên kết, hình học đại số, lý thuyết nhóm và thậm chí cả vật lý. “Nó tương tác với phần còn lại của toán học một cách tuyệt vời,” nói Sabyasachi Mukherjee của Viện nghiên cứu cơ bản Tata ở Ấn Độ.

Để đạt được tiến bộ về MLC, các nhà toán học đã phải phát triển một bộ kỹ thuật phức tạp - điều mà Chéritat gọi là “một triết lý mạnh mẽ”. Những công cụ này đã thu hút được nhiều sự chú ý. Ngày nay, chúng tạo thành trụ cột trung tâm trong việc nghiên cứu các hệ động lực ở phạm vi rộng hơn. Hóa ra chúng rất quan trọng trong việc giải quyết một loạt các vấn đề khác - những vấn đề không liên quan gì đến tập hợp Mandelbrot. Và họ đã biến MLC từ một câu hỏi thích hợp thành một trong những phỏng đoán mở sâu sắc nhất và quan trọng nhất trong lĩnh vực này.

Lyubich, nhà toán học được cho là người chịu trách nhiệm chính trong việc đúc kết “triết lý” này thành hình thức hiện tại, đứng thẳng và nói nhỏ. Khi các nhà toán học khác tại hội thảo tiếp cận anh để thảo luận về một khái niệm hoặc đặt câu hỏi, anh nhắm mắt lại và chăm chú lắng nghe, đôi lông mày rậm nhíu lại. Anh ta trả lời cẩn thận bằng giọng Nga.

Nhưng anh ấy cũng nhanh chóng bật ra những tiếng cười lớn, ấm áp và pha những trò đùa hài hước. Anh ấy rất hào phóng với thời gian và lời khuyên của mình. Mukherjee, một trong những cựu tiến sĩ của Lyubich và là cộng tác viên thường xuyên của Lyubich, cho biết ông “thực sự đã nuôi dưỡng khá nhiều thế hệ nhà toán học”. Như anh ấy kể, bất kỳ ai quan tâm đến việc nghiên cứu động lực học phức tạp đều dành thời gian ở Stony Brook để học từ Lyubich. Mukherjee nói: “Misha có tầm nhìn về cách chúng tôi nên thực hiện một dự án nhất định hoặc những gì cần xem xét tiếp theo. “Anh ấy có bức tranh vĩ đại này trong tâm trí mình. Và anh ấy rất vui khi được chia sẻ điều đó với mọi người.”

Lần đầu tiên, Lyubich cảm thấy mình có thể nhìn thấy toàn bộ bức tranh vĩ đại đó.

Những người chiến đấu giải thưởng

Bộ Mandelbrot bắt đầu với một giải thưởng.

Năm 1915, được thúc đẩy bởi những tiến bộ gần đây trong việc nghiên cứu hàm số, Viện Hàn lâm Khoa học Pháp đã công bố một cuộc thi: Trong thời gian ba năm, họ sẽ trao giải thưởng lớn trị giá 3,000 franc cho nghiên cứu về quy trình lặp - chính quy trình sẽ sau đó tạo tập Mandelbrot.

Lặp lại là việc áp dụng lặp đi lặp lại một quy tắc. Cắm một số vào một hàm, sau đó sử dụng đầu ra làm đầu vào tiếp theo của bạn. Hãy tiếp tục làm điều đó và quan sát những gì xảy ra theo thời gian. Khi bạn tiếp tục lặp lại hàm của mình, các con số bạn nhận được có thể nhanh chóng tăng lên đến vô cùng. Hoặc chúng có thể bị kéo về phía một con số cụ thể, giống như mạt sắt di chuyển về phía nam châm. Hoặc cuối cùng nảy sinh giữa hai con số giống nhau, hoặc ba, hoặc một nghìn, trong một quỹ đạo ổn định mà chúng không bao giờ có thể thoát ra được. Hoặc nhảy từ số này sang số khác mà không có vần điệu hay lý do, đi theo một con đường hỗn loạn, không thể đoán trước.

Viện Hàn lâm Pháp, và rộng hơn là các nhà toán học, có một lý do khác để quan tâm đến phép lặp. Quá trình này đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ động lực - các hệ như chuyển động quay của các hành tinh quanh mặt trời hoặc dòng chảy hỗn loạn, các hệ thay đổi theo thời gian theo một số bộ quy tắc cụ thể.

Giải thưởng đã truyền cảm hứng cho hai nhà toán học phát triển một lĩnh vực nghiên cứu hoàn toàn mới.

Đầu tiên là Pierre Fatou, người ở một kiếp khác có thể đã là một người lính hải quân (truyền thống gia đình), nếu không phải vì sức khỏe kém. Thay vào đó, ông theo đuổi sự nghiệp toán học và thiên văn học, và đến năm 1915 ông đã chứng minh được một số kết quả quan trọng trong phân tích. Sau đó còn có Gaston Julia, một nhà toán học trẻ đầy triển vọng sinh ra ở Algeria do Pháp chiếm đóng, việc học tập của anh bị gián đoạn do Thế chiến thứ nhất và việc anh phải nhập ngũ vào quân đội Pháp. Ở tuổi 22, sau khi bị một chấn thương nặng ngay sau khi bắt đầu nghĩa vụ - anh ấy sẽ đeo một chiếc dây da quanh mặt suốt đời, sau khi các bác sĩ không thể sửa chữa được vết thương - anh ấy quay trở lại với toán học, thực hiện một số phép tính tác phẩm mà anh ấy sẽ gửi để nhận giải thưởng Học viện từ trên giường bệnh.

Giải thưởng đã thúc đẩy cả Fatou và Julia nghiên cứu điều gì xảy ra khi bạn lặp lại các hàm. Họ làm việc độc lập nhưng cuối cùng lại có những khám phá rất giống nhau. Có quá nhiều sự trùng lặp trong kết quả của họ đến nỗi ngay cả bây giờ, không phải lúc nào cũng rõ ràng về cách phân bổ tín dụng. (Julia hướng ngoại hơn, và do đó nhận được nhiều sự chú ý hơn. Cuối cùng anh ấy đã giành được giải thưởng; Fatou thậm chí còn không nộp đơn.) Nhờ công trình này, cả hai hiện được coi là người sáng lập lĩnh vực động lực học phức tạp.

“Phức tạp”, bởi vì Fatou và Julia lặp lại các hàm của số phức - các số kết hợp một số thực quen thuộc với cái gọi là số ảo (bội số của i, ký hiệu mà các nhà toán học sử dụng để biểu thị căn bậc hai của −1). Trong khi số thực có thể được trình bày dưới dạng các điểm trên một đường thẳng, số phức được hiển thị dưới dạng các điểm trên một mặt phẳng, như sau:

Fatou và Julia nhận thấy rằng việc lặp lại ngay cả những hàm phức tạp đơn giản (không phải là một nghịch lý trong lĩnh vực toán học!) có thể dẫn đến những hành vi phong phú và phức tạp, tùy thuộc vào điểm xuất phát của bạn. Họ bắt đầu ghi lại những hành vi này và thể hiện chúng bằng hình học.

Nhưng sau đó công việc của họ chìm vào quên lãng trong nửa thế kỷ. “Mọi người thậm chí còn không biết phải tìm kiếm điều gì. Họ bị giới hạn về những câu hỏi để hỏi,” nói Artur Avila, Một giáo sư tại Đại học Zurich.

Điều này đã thay đổi khi đồ họa máy tính ra đời vào những năm 1970.

Vào thời điểm đó, nhà toán học Benoît Mandelbrot đã nổi tiếng là một học giả tài tử. Anh ấy đã nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, từ kinh tế đến thiên văn học, tất cả đều khi làm việc tại trung tâm nghiên cứu của IBM ở phía bắc Thành phố New York. Khi được bổ nhiệm làm thành viên của IBM vào năm 1974, ông càng có nhiều tự do hơn để theo đuổi các dự án độc lập. Anh quyết định áp dụng sức mạnh tính toán đáng kể của trung tâm để đưa các động lực học phức tạp ra khỏi trạng thái ngủ đông.

Lúc đầu, Mandelbrot sử dụng máy tính để tạo ra các loại hình dạng mà Fatou và Julia đã nghiên cứu. Các hình ảnh được mã hóa thông tin về thời điểm điểm bắt đầu, khi được lặp lại, sẽ thoát ra vô tận và khi nào nó sẽ bị mắc kẹt trong một số mẫu khác. Những bức vẽ của Fatou và Julia từ 60 năm trước trông giống như những cụm hình tròn và hình tam giác - nhưng những hình ảnh do máy tính tạo ra mà Mandelbrot tạo ra trông giống như rồng và bướm, thỏ và thánh đường và đầu súp lơ, đôi khi thậm chí là những đám mây bụi rời rạc. Vào thời điểm đó, Mandelbrot đã đặt ra từ “phân dạng” để chỉ các hình dạng trông giống nhau ở các tỷ lệ khác nhau; từ này gợi lên khái niệm về một loại hình học mới - một thứ gì đó bị phân mảnh, phân số hoặc bị phá vỡ.

Những hình ảnh xuất hiện trên màn hình máy tính của ông - ngày nay được gọi là tập hợp Julia - là một trong những ví dụ đẹp nhất và phức tạp nhất về fractal mà Mandelbrot từng thấy.

Công việc của Fatou và Julia đã tập trung vào hình học và động lực học của từng bộ này (và các chức năng tương ứng của chúng). Nhưng máy tính đã cho Mandelbrot một cách để suy nghĩ về toàn bộ nhóm chức năng cùng một lúc. Anh ta có thể mã hóa tất cả chúng thành hình ảnh mang tên anh ta, mặc dù vẫn còn là vấn đề tranh luận liệu anh ta có thực sự là người đầu tiên phát hiện ra nó hay không.

Bộ Mandelbrot xử lý các phương trình đơn giản nhất mà vẫn làm được điều gì đó thú vị khi lặp lại. Đây là các hàm bậc hai có dạng f(z) = z² + c. Cố định một giá trị c - nó có thể là bất kỳ số phức nào. Nếu bạn lặp lại phương trình bắt đầu bằng z = 0 và thấy rằng các số bạn tạo ra vẫn nhỏ (hoặc bị chặn, như các nhà toán học nói), thì c nằm trong tập Mandelbrot. Mặt khác, nếu bạn lặp lại và nhận thấy rằng cuối cùng số của bạn bắt đầu tăng dần đến vô cùng, thì c không có trong tập Mandelbrot.

Thật đơn giản để chứng minh rằng các giá trị của c gần bằng 0 nằm trong tập hợp. Và cũng dễ dàng chứng minh rằng những giá trị lớn của c không. Nhưng số phức đúng như tên gọi của chúng: Ranh giới của tập hợp này vô cùng phức tạp. Không có lý do rõ ràng nào cho việc thay đổi c với số lượng rất nhỏ sẽ khiến bạn tiếp tục vượt qua ranh giới, nhưng khi bạn phóng to nó, vô số chi tiết sẽ xuất hiện.

Hơn nữa, tập hợp Mandelbrot hoạt động giống như một bản đồ của các tập hợp Julia, như có thể thấy trong hình tương tác bên dưới. Chọn một giá trị của c trong tập Mandelbrot. Bộ Julia tương ứng sẽ được kết nối. Nhưng nếu bỏ tập Mandelbrot thì tập Julia tương ứng sẽ bị ngắt kết nối bụi.