Vào ngày 15 tháng XNUMX, các thông báo hội thảo hấp dẫn đã gây xôn xao khắp lĩnh vực tổ hợp, nghiên cứu toán học về phép đếm. Ba cộng tác viên đã lên kế hoạch tổ chức các buổi nói chuyện phối hợp vào ngày hôm sau. Julian Sahasrabudhe sẽ giải quyết các nhà toán học ở Cambridge, Anh, trong khi Simon Griffiths sẽ chia sẻ tin tức ở Rio de Janeiro và Marcelo Campos ở São Paulo. Cả ba cuộc nói chuyện đều có tiêu đề giống hệt nhau và phần tóm tắt hai câu khó hiểu đề cập đến “tiến bộ gần đây về một vấn đề cũ của Erdős”. Trong khi Paul Erdős, một nhà toán học người Hungary qua đời năm 1996, hàng trăm vấn đề trong sự nghiệp của mình, các nhà tổ hợp nhanh chóng xác định được vấn đề cụ thể mà bộ ba dự định nói đến. Tin đồn xoay quanh một thứ gọi là số Ramsey, một trong những đại lượng khó tính toán nhất trong toán học.

Các số Ramsey đã sinh ra cả một nguyên tắc gọi là lý thuyết Ramsey, tìm kiếm các mẫu không thể tránh khỏi trong một phạm vi rộng lớn các hệ thống.

Ví dụ: giả sử bạn cố gắng trải đều tất cả các số nguyên trong một số nhóm và bạn muốn tránh đặt các chuỗi số cách đều nhau trong bất kỳ nhóm nào. Lý thuyết Ramsey chỉ ra rằng bạn sẽ thất bại (trừ khi bạn có vô số thùng). Lý thuyết có thể được áp dụng cho hầu hết mọi thứ bạn có thể đếm được. Benny Sudakov, một nhà toán học tại Viện Công nghệ Liên bang Thụy Sĩ Zurich, cho biết bài học trung tâm của nó là “bạn không thể tạo ra một hệ thống hoàn toàn hỗn loạn.

Số Ramsey định lượng mức độ lớn của một ví dụ khung mẫu trước khi các mẫu cụ thể chắc chắn phát sinh. Nhưng bất chấp tính trung tâm của nó, không ai có thể tính toán số Ramsey cho tất cả trừ trường hợp đơn giản nhất. Điều tốt nhất mà họ có thể làm là tìm ra các giới hạn (hoặc giới hạn) về những gì có thể xảy ra. Ngay cả khi đó, giới hạn trên lần đầu tiên được thiết lập bởi Erdős và một cộng tác viên gần một thế kỷ trước hầu như không nhúc nhích.

Sau đó, trong buổi hội thảo ngày 16 tháng XNUMX, và trong một bài báo được đăng vào tối hôm đó, các nhà nghiên cứu thông báo rằng họ đã cải thiện giới hạn trên của số Ramsey theo cấp số nhân.

“Tôi đã được thả nổi,” nói Yuval Wigderson, một nhà toán học tại Đại học Tel Aviv, khi nghe về kết quả mới. "Tôi thực sự đã run rẩy trong nửa giờ đến một giờ."

Đường lối của Đảng

Lý thuyết Ramsey thường đặt câu hỏi về số nguyên hoặc về đồ thị. Trong ngữ cảnh này, biểu đồ đề cập đến tập hợp các điểm được gọi là nút, được nối với nhau bằng các đường gọi là cạnh, có thể có các thuộc tính như độ dài hoặc - như trong trường hợp của các số Ramsey - màu sắc.

Một biểu đồ hoàn chỉnh vừa phức tạp vừa đơn giản — mọi nút đều được kết nối với mọi nút khác. Số Ramsey mô tả có bao nhiêu nút mà một biểu đồ hoàn chỉnh phải chứa để buộc phải có một cấu trúc cụ thể. Giả sử các cạnh của một đồ thị hoàn chỉnh được gán một trong hai màu: đỏ hoặc xanh lam. Và giả sử bạn cố gắng tô màu các cạnh theo cách tránh kết nối một nhóm các nút với các cạnh cùng màu. Vào năm 1930, Frank Ramsey đã chứng minh rằng nếu một đồ thị đủ lớn, thì không thể tránh khỏi việc tạo ra cái mà các nhà toán học gọi là một nhóm đơn sắc — một nhóm các nút có các cạnh chung hoặc toàn màu đỏ hoặc toàn màu xanh.

Chính xác thì một biểu đồ phải lớn đến mức nào trước khi một nhóm đơn sắc buộc phải xuất hiện? Câu trả lời phụ thuộc vào quy mô của nhóm. Ramsey đã chỉ ra rằng tồn tại một số, ngày nay được gọi là số Ramsey, đại diện cho số nút tối thiểu mà một cụm đơn sắc có kích thước nhất định phải tồn tại, bất kể các cạnh được tô màu như thế nào.

Nhưng kích thước của con số Ramsey rất khó xác định. Năm 1935, năm năm sau khi Ramsey cho thấy nó tồn tại, Erdős và George Szekeres đã cung cấp một giới hạn trên mới, chặt chẽ hơn về mức độ lớn của số Ramsey đối với một nhóm có kích thước nhất định. Nhưng kể từ đó, các nhà toán học gần như không thể cải thiện cách tính toán của Erdős và Szekeres.

Để có trực giác tốt hơn về ý nghĩa của điều này, hãy xem xét một ví dụ cổ điển, trong đó các nút đại diện cho khách tại một bữa tiệc. Tô màu cạnh giữa hai khách bất kỳ màu đỏ nếu họ đã gặp nhau trước đó và màu xanh lam nếu họ chưa từng gặp nhau. Bạn có thể chọn bất kỳ quy mô nhóm nào bạn muốn — mời đủ người tham gia bữa tiệc và bạn không thể tránh việc mời một nhóm người mà tất cả đều biết nhau (một nhóm theo nhiều nghĩa của từ này) hoặc mời một nhóm người chưa từng gặp nhau trước đây.

“Điều đơn giản nhất mà bạn có thể có trong một biểu đồ là một nhóm đơn sắc,” nói Maria Chudnovsky, một nhà toán học tại Đại học Princeton. “Thật ngạc nhiên là trong mỗi biểu đồ khổng lồ, bạn có thể tìm thấy một biểu đồ lớn trong số đó. Nó hoàn toàn không rõ ràng.”

Một số số Ramsey đầu tiên tương đối đơn giản để tính toán. Giả sử bạn muốn biết kích thước của đồ thị nhỏ nhất chắc chắn phải chứa một nhóm kích thước hai hoặc R(2) đối với các nhà toán học. Vì một đồ thị đầy đủ có hai nút chỉ là hai nút được nối với nhau bằng một cạnh và cạnh đó phải có màu đỏ hoặc xanh, nên R(2) bằng 2. Tổng quát hơn, R(k), hoặc số Ramsey của k, là số lượng nút tối thiểu mà ngoài một biểu đồ không thể tránh khỏi việc chứa một cụm kích thước k.

Không khó để chỉ ra rằng số Ramsey cho một nhóm cỡ 3, hay R(3), là 6 (xem hình). Nhưng mãi đến năm 1955, R(4) mới được xác định ở mức 18. R(5) vẫn chưa được biết — ít nhất là 43 và không lớn hơn 48. Mặc dù những con số này nhỏ, nhưng việc sàng lọc qua tất cả các phép tô màu có thể sẽ không có kết quả của câu hỏi, David Conlon của Viện Công nghệ California cho biết. Xét số lượng tô màu trên một đồ thị đầy đủ có 43 nút. “Bạn có 903 cạnh; mỗi trong số đó có thể được tô màu theo hai cách, anh ấy giải thích. “Vì vậy, bạn nhận được 2⁹⁰³, nó chỉ lớn về mặt thiên văn.

Khi quy mô của nhóm tăng lên, nhiệm vụ tìm ra số Ramsey chỉ trở nên khó khăn hơn. Erdős đã châm biếm rằng cuộc chiến tổng lực với những người ngoài hành tinh đòi hỏi về mặt toán học sẽ dễ dàng hơn là cố gắng tìm ra R(6), nằm trong khoảng từ 102 đến 165. Phạm vi không chắc chắn tăng nhanh: Theo ước tính được biên soạn bởi Stanisław Radziszowski, R(10) có thể nhỏ tới 798 và lớn tới 23,556. Nhưng mục tiêu của các nhà toán học vượt xa con số 10 của Ramsey. Họ muốn một công thức cho phép ước lượng chính xác R(k), thậm chí — hoặc đặc biệt — khi k là vô cùng lớn.

“Tôi không biết có người nào trong lĩnh vực tổ hợp lại không nghĩ về vấn đề này dù chỉ một chút,” Wigderson nói. “Tôi nghĩ vấn đề này thực sự đặc biệt.”

Trật tự tại Tòa án

Frank Ramsey là một nhân vật lỗi lạc, theo chủ nghĩa chiết trung, qua đời ở tuổi 26. Chỉ vài tuần trước khi ông qua đời, Kỷ yếu của Hội Toán học London công bố giấy trong đó ông giới thiệu số Ramsey. Công việc đó thậm chí không phải về đồ thị, mà là về một vấn đề trong logic toán học. Ramsey đã chứng minh rằng một tuyên bố thỏa mãn một số điều kiện nhất định phải đúng ít nhất trong một số thời điểm. Một trong những điều kiện đó là có một “vũ trụ” lớn các tình huống để kiểm tra tuyên bố. Như một bước đệm cho kết quả này, Ramsey đã chỉ ra rằng số Ramsey là hữu hạn.

Năm năm sau, Erdős và Szekeres chỉ ra rằng số lượng Ramsey k nhỏ hơn 4^k. Và 12 năm sau đó, Erdős cho thấy rằng nó lớn hơn khoảng $latex sqrt{2}^k$. Để làm được điều đó, ông đã tính toán khả năng một biểu đồ có các cạnh được tô màu ngẫu nhiên chứa một cụm đơn sắc. Kỹ thuật “xác suất” này đã trở nên có ảnh hưởng lớn trong lý thuyết đồ thị. Nó cũng mắc bẫy R(k) giữa hai cột mục tiêu đang phát triển theo cấp số nhân: $latex sqrt{2}^k$ và $latex 4^k$.

Nhiều thập kỷ trôi qua, nhiều nhà toán học đã cố gắng thu hẹp khoảng cách giữa các giá trị có thể có của số Ramsey. Một số thành công: Năm 1975, Joel Spencer nhân đôi giới hạn dưới. Và một loạt các bài báo của Pig, Andrew Thomason và Ashwin Sah đẩy xuống giới hạn trên theo hệ số khoảng $latex 4^{log(k)^2}$ vào năm 2020. Nhưng so với kích thước của các giới hạn trên số Ramsey, những điều chỉnh này là nhỏ. Ngược lại, bất kỳ sự giảm xuống 4 trong công thức của Erdős và Szekeres R(k) < 4^k sẽ là một cải tiến theo cấp số nhân, phát triển nhanh chóng khi k Lớn hơn.

“Có vẻ như đó chỉ là một câu hỏi nhỏ dễ thương,” nói Rob Morris, một nhà toán học tại IMPA, Viện toán học thuần túy và ứng dụng của Brazil, ở Rio de Janeiro, người đồng tác giả kết quả mới với Campos, Griffiths và Sahasrabudhe. “Đó là một chút tinh tế để đánh giá cao. Nhưng mọi người thực sự quan tâm đến nó.” Đây có thể là một cách đánh giá thấp. “Nếu họ đã chứng minh điều đó vào năm 1936, mọi người sẽ nói, OK, vậy vấn đề lớn là gì?” Béla Bollobás, cố vấn tiến sĩ của Morris và Sahasrabudhe tại Đại học Memphis, cho biết. “Kể từ đó, nó đã được chứng minh rằng đó là một vấn đề rất lớn, bởi vì trong nhiều năm, hàng ngàn bài báo đã được viết về các biến thể khác nhau của vấn đề Ramsey.” BẰNG Liana Yepremyan, một nhà toán học tại Đại học Emory, cho biết, “Các số Ramsey tạo ra cầu nối giữa tổ hợp, xác suất và hình học.”

Lý thuyết trò chơi

 Vào tháng 2018 năm XNUMX, Sahasrabudhe là nghiên cứu sinh sau tiến sĩ của Morris tại IMPA. Cả hai đang hy vọng bắt đầu một dự án mới với Griffiths, người đang giảng dạy tại Đại học Công giáo Giáo hoàng gần đó, thì một bài báo của Conlon thu hút sự chú ý của họ. Bài báo vạch ra một chiến lược khả thi để cải thiện số Ramsey theo cấp số nhân. Griffiths, Morris và Sahasrabudhe bắt đầu thử nghiệm ý tưởng này.

Sahasrabudhe nhớ lại: “Lúc đầu nó thực sự thú vị. Ông nói, họ chỉ mất khoảng một tháng để phác thảo lập luận của mình.

Kế hoạch của họ là xây dựng dựa trên ý tưởng được sử dụng trong bằng chứng ban đầu của Erdős và Szekeres rằng $latex R(k) < 4^k$. Để chứng minh rằng số Ramsey nhiều nhất là $latex 4^k$, hãy tưởng tượng chơi một trò chơi trên một biểu đồ hoàn chỉnh với các nút $latex 4^k$. Trò chơi có hai người chơi. Đầu tiên, đối thủ của bạn tô màu mỗi cạnh bằng màu đỏ hoặc xanh lam, hy vọng tô màu các cạnh theo cách tránh tạo ra một nhóm đơn sắc gồm k điểm giao.

Sau khi đối thủ của bạn tô màu xong, công việc của bạn là tìm kiếm một nhóm đơn sắc. Nếu bạn tìm thấy một, bạn giành chiến thắng.

Để giành chiến thắng trong trò chơi này, bạn có thể làm theo một chiến lược đơn giản. Nó giúp suy nghĩ (một cách ẩn dụ) về việc sắp xếp các nút của bạn thành hai nhóm. Các nút trong một nhóm sẽ tạo thành một nhóm màu xanh lam và các nút trong nhóm kia sẽ tạo thành một nhóm màu đỏ. Một số nút sẽ bị xóa, không bao giờ được nghe lại. Lúc đầu, cả hai nhóm đều trống và mọi nút đều là ứng cử viên để đi vào một trong hai nhóm.

Bắt đầu với bất kỳ nút nào phù hợp với sở thích của bạn. Sau đó nhìn vào các cạnh kết nối. Nếu một nửa hoặc nhiều cạnh có màu đỏ, thì hãy xóa tất cả các cạnh màu xanh lam và các nút mà chúng được kết nối. Sau đó đặt lựa chọn ban đầu của bạn vào thùng “đỏ”. Tất cả các cạnh màu đỏ của nút này vẫn còn sống và hoạt động tốt, bám vào phần còn lại của biểu đồ từ bên trong thùng. Nếu hơn một nửa số cạnh có màu xanh lam, bạn cũng xóa tương tự các cạnh và nút màu đỏ, rồi đặt nó vào nhóm màu xanh lam.

Lặp lại cho đến khi bạn không còn nút nào. (Vì biểu đồ đã hoàn thành, mọi nút còn lại tại bất kỳ điểm nào được kết nối với cả hai nhóm cho đến khi nó được đặt vào một trong số chúng.)

Khi bạn đã hoàn tất, hãy nhìn vào bên trong các thùng. Bởi vì một nút đi vào nhóm màu đỏ chỉ sau khi các nút lân cận màu xanh lam của nó bị loại bỏ, nên tất cả các nút trong nhóm màu đỏ được kết nối với nhau bằng các cạnh màu đỏ - chúng tạo thành một cụm màu đỏ. Tương tự như vậy, thùng màu xanh lam tạo thành một nhóm màu xanh lam. Nếu biểu đồ ban đầu của bạn có ít nhất $latex 4^k$ nút, thì có thể chứng minh rằng một trong các nhóm này phải chứa ít nhất k các nút, đảm bảo một cụm đơn sắc trong biểu đồ gốc.

Lập luận này rất thông minh và tao nhã, nhưng nó buộc bạn phải xây dựng hai nhóm — một màu xanh và một màu đỏ — mặc dù bạn chỉ thực sự cần một nhóm. Conlon giải thích rằng sẽ hiệu quả hơn nếu luôn chuyển sang màu đỏ. Theo chiến lược này, bạn sẽ chọn một nút ở mỗi bước, xóa các cạnh màu xanh lam của nó và ném nó vào thùng màu đỏ. Sau đó, thùng màu đỏ sẽ nhanh chóng đầy và bạn sẽ tích lũy được một nhóm màu đỏ. k các nút trong một nửa thời gian.

Nhưng chiến lược của bạn phải hoạt động với bất kỳ màu xanh đỏ nào và thật khó để biết liệu bạn có thể luôn tìm thấy một nút có nhiều cạnh màu đỏ hay không. Vì vậy, làm theo đề xuất của Conlon có nguy cơ chạy vào một nút hầu như không có cạnh màu đỏ nào được gắn vào nó. Điều đó sẽ buộc bạn phải xóa một phần lớn biểu đồ cùng một lúc, khiến bạn phải tranh giành để xây dựng nhóm của mình trước khi hết nút. Để thực hiện đề xuất của Conlon, Griffiths, Morris và Sahasrabudhe cần chứng minh rằng rủi ro này có thể tránh được.

Một Open-Book thi

Khi cập nhật lối chơi của họ, Griffiths, Morris và Sahasrabudhe đã đi theo một lộ trình vòng vèo hơn một chút. Thay vì xây dựng một nhóm đơn sắc trực tiếp bằng cách ném các nút vào các thùng màu đỏ và màu xanh của họ, trước tiên họ tập trung vào việc xây dựng một cấu trúc gọi là sổ đỏ.

Một cuốn sách, trong lý thuyết đồ thị, được tạo thành từ hai phần: Có một nhóm đơn sắc, được gọi là “cột sống” và một cụm nút thứ hai, riêng biệt được gọi là “các trang”. Trong một cuốn sách màu đỏ, tất cả các cạnh nối các nút trong gáy đều có màu đỏ, cũng như các cạnh nối giữa gáy với các trang. Tuy nhiên, các cạnh kết nối các nút trong các trang có thể là bất kỳ sự kết hợp màu nào. Conlon đã lưu ý trong bài báo năm 2018 của mình rằng nếu bạn có thể tìm thấy một cụm màu đỏ bên trong các trang sách, thì bạn có thể kết hợp nó với gáy sách để có được một cụm màu đỏ lớn hơn. Điều này cho phép bạn phân tách tìm kiếm một nhóm lớn màu đỏ thành hai tìm kiếm dễ dàng hơn. Đầu tiên, hãy tìm một cuốn sổ đỏ. Sau đó tìm kiếm một nhóm trong các trang của cuốn sách.

Griffiths, Morris và Sahasrabudhe muốn điều chỉnh thuật toán giành chiến thắng trong trò chơi để xây dựng sổ đỏ thay vì bè lũ đỏ. Mặc dù họ đã quyết định kế hoạch này chỉ vài tuần sau khi bắt đầu dự án, nhưng sẽ mất nhiều năm để nó hoạt động. Họ vẫn cần phải ngăn chặn mối đe dọa mất tất cả các cạnh màu đỏ của mình.

Campos, người đã tham gia dự án vào năm 2021, cho biết: “Chúng tôi đã mắc kẹt trong một thời gian rất dài.

Tháng Giêng này, bốn nhà toán học đồng ý chuyển sang một phiên bản khác của bài toán. Phiên bản đó nghe có vẻ phức tạp hơn, nhưng hóa ra lại dễ dàng hơn.

Từ đầu đến cuối, toàn đội đã tập trung vào Ramsey số R(k), còn được gọi là số Ramsey “đường chéo”. Một đồ thị kích thước R(k) phải chứa k các nút, tất cả được nối với nhau bằng các cạnh cùng màu, nhưng không quan trọng màu đó là đỏ hay xanh. Mặt khác, số Ramsey “ngoài đường chéo” R(k, l) đo độ lớn của một biểu đồ trước khi nó chứa một cụm màu đỏ với k các nút hoặc một nhóm màu xanh lam với l điểm giao. Thay vì tiếp tục giải quyết vấn đề về đường chéo, nhóm quyết định thử phiên bản không có đường chéo. Điều này đã được chứng minh là mặc khải.

Griffiths nói: “Trong một thời gian dài, có cảm giác như mọi cánh cửa bạn bước vào đều bị đóng chặt hoặc ít nhất là khá khó để vượt qua. “Và sau sự thay đổi đó, bạn cảm thấy như mọi cánh cửa đều rộng mở. Bằng cách nào đó, mọi thứ dường như hoạt động. Trong phiên bản không có đường chéo, họ đã tìm ra cách xóa một loạt các cạnh màu xanh lam cùng một lúc theo một giao thức cụ thể, làm tăng mật độ của các cạnh màu đỏ và dẫn đến một giới hạn được cải thiện trên số Ramsey ngoài đường chéo. Phương pháp này, được gọi là đối số "tăng mật độ", trước đây đã được sử dụng để giải quyết các vấn đề quan trọng khác trong tổ hợp, nhưng nó không được sử dụng trong bài toán số Ramsey.

Sau đó, bốn nhà toán học đã sử dụng giới hạn mới trên số Ramsey ngoài đường chéo để dọn đường cho kết quả đường chéo. Đến đầu tháng 1935, cuối cùng họ đã hạ thấp giới hạn số Ramsey theo cấp số nhân, một thành tựu mà các nhà toán học đã tìm kiếm trong gần một thế kỷ. Và họ đã làm được điều đó bằng cách hiện đại hóa cùng một lập luận mà Erdős và Szekeres đã đưa ra vào năm XNUMX.

Epsilon, Epsilon

Sau cuộc nói chuyện vào ngày 16 tháng XNUMX, những người tham dự bắt đầu xác nhận tin đồn. Hình ảnh từ buổi nói chuyện của Sahasrabudhe được lan truyền qua các cuộc gọi điện thoại và tin nhắn riêng tư — ngay cả trong một bài viết mơ hồ nhưng gợi mở trên blog của nhà toán học Gil Kalai. Campos, Griffiths, Sahasrabudhe và Morris tuyên bố đã chỉ ra rằng $latex R(k) < 3.993^k$. Đêm đó, bốn tác giả đăng bài báo của họ trực tuyến, cho phép các nhà toán học tự mình xem chứng minh mới.

“Về cơ bản, tôi nghĩ nhiều người trong chúng ta không mong đợi được chứng kiến ​​sự cải thiện như vậy trong đời mình,” ông nói Matija Bucić, một nhà toán học tại Đại học Princeton và Viện Nghiên cứu Cao cấp. “Tôi nghĩ đó là một kết quả hoàn toàn tuyệt vời.”

Nhiều chuyên gia hy vọng rằng, với việc rào cản theo cấp số nhân bị phá bỏ, nhiều tiến bộ sẽ nhanh chóng theo sau. Các tác giả của bài báo mới đã cố ý không đẩy phương pháp của họ đến giới hạn của nó, để tránh làm lu mờ lập luận của họ bằng những chi tiết không cần thiết. “Tôi rất quan tâm đến việc phương pháp này thực sự có thể đi được bao xa, bởi vì tôi không biết,” Campos nói.

“Đó là một bằng chứng hoàn toàn tài tình, hoàn toàn tuyệt vời và là một bước đột phá thực sự. Vì vậy, bây giờ tôi mong đợi các cửa xả lũ sẽ được mở,” Bollobás nói. “Tôi tin rằng trong thời gian ba năm tới, cuộc tranh luận sẽ xoay quanh những cải tiến khả thi. Chúng tôi có thể cải thiện 3.993 thành 3.9 không? Có lẽ để 3.4? Còn 3 thì sao?”

Chứng minh mới dài 56 trang và sẽ mất hàng tuần để cộng đồng tổ hợp xác minh đầy đủ mọi chi tiết. Nhưng các đồng nghiệp rất lạc quan. “Nhóm tác giả này, họ là những người rất nghiêm túc. Và họ là những người thực sự rất giỏi trong những lĩnh vực kỹ thuật,” Wigderson nói.

Khi nói đến các cộng tác viên của mình, Griffiths đồng ý. “Thật là một đặc ân khi được làm việc với những người tài giỏi, phải không? Và tôi nghĩ đó là điều tôi cảm thấy rất biết ơn,” anh nói. “Nếu họ để tôi lo liệu, có lẽ tôi phải mất thêm XNUMX năm nữa để hiểu đúng các chi tiết.”