Đường cong elip là một trong những đối tượng hấp dẫn hơn trong toán học hiện đại. Chúng có vẻ không phức tạp, nhưng chúng tạo thành một con đường cao tốc giữa môn toán mà nhiều người học ở trường trung học và môn toán nghiên cứu ở mức độ trừu tượng nhất. Chúng là trung tâm của chứng minh nổi tiếng của Andrew Wiles về Định lý cuối cùng của Fermat vào những năm 1990. Chúng là những công cụ quan trọng trong mật mã hiện đại. Và vào năm 2000, Viện Toán Clay đã đặt tên cho một giả định về số liệu thống kê của đường cong elip là một trong bảy “Bài toán giải thưởng thiên niên kỷ”, mỗi bài có giải thưởng trị giá 1 triệu đô la cho lời giải của nó. Phỏng đoán đó, lần đầu tiên được đưa ra bởi Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer vào những năm 1960, vẫn chưa được chứng minh.

Hiểu các đường cong elip là một nỗ lực mang tính quyết định cao và là trọng tâm của toán học. Vì vậy, vào năm 2022, khi một nhóm hợp tác xuyên Đại Tây Dương sử dụng các kỹ thuật thống kê và trí tuệ nhân tạo để khám phá các mô hình hoàn toàn bất ngờ trong các đường cong elip, thì đó là một đóng góp đáng hoan nghênh, nếu có thể là bất ngờ. “Chỉ là vấn đề thời gian trước khi máy học mang đến điều gì đó thú vị trước cửa nhà chúng tôi,” ông nói. Peter Sarnak, một nhà toán học tại Viện Nghiên cứu Cao cấp và Đại học Princeton. Ban đầu, không ai có thể giải thích tại sao những mẫu hình mới được phát hiện lại tồn tại. Kể từ đó, trong một loạt bài báo gần đây, các nhà toán học đã bắt đầu khám phá những lý do đằng sau những hình mẫu, được mệnh danh là “những lời thì thầm” vì chúng giống với hình dạng linh hoạt của đàn sáo bay thành đàn, và bắt đầu chứng minh rằng chúng phải xảy ra không chỉ trong một số trường hợp cụ thể. các ví dụ được xem xét vào năm 2022, nhưng ở dạng đường cong elip tổng quát hơn.

Tầm quan trọng của hình elip

Để hiểu những hình mẫu đó là gì, chúng ta phải đặt nền tảng một chút về đường cong elip là gì và cách các nhà toán học phân loại chúng.

Đường cong elip liên quan đến bình phương của một biến, thường được viết là y, lũy thừa thứ ba của một số khác, thường được viết là x: y² = x³ + Ax + B, đối với một số cặp số A và B, miễn là A và B đáp ứng một số điều kiện đơn giản. Phương trình này xác định một đường cong có thể được vẽ đồ thị trên mặt phẳng, như được hiển thị bên dưới. (Mặc dù có sự giống nhau về tên, hình elip không phải là đường cong elip.)

Mặc dù trông đơn giản nhưng các đường cong elip hóa ra lại là công cụ cực kỳ mạnh mẽ cho các nhà lý thuyết số - các nhà toán học tìm kiếm các quy luật trong các số nguyên. Thay vì để các biến x và y trên tất cả các số, các nhà toán học muốn giới hạn chúng trong các hệ thống số khác nhau mà họ gọi là xác định đường cong “trên” một hệ thống số cho trước. Các đường cong elip giới hạn ở các số hữu tỷ - các số có thể viết dưới dạng phân số - đặc biệt hữu ích. Sarnak nói: “Các đường cong elip trên số thực hoặc số phức khá nhàm chán. “Chỉ có những con số hữu tỉ mới sâu sắc.”

Đây là một cách đúng. Nếu bạn vẽ một đường thẳng nối hai điểm hữu tỉ trên một đường cong elip thì vị trí mà đường thẳng đó lại cắt đường cong cũng sẽ là điểm hữu tỉ. Bạn có thể sử dụng thực tế đó để định nghĩa “phép cộng” trong đường cong elip, như minh họa bên dưới.

Vẽ một đường giữa P và Q. Đường thẳng đó sẽ cắt đường cong tại điểm thứ ba, R. (Các nhà toán học có một thủ thuật đặc biệt để giải quyết trường hợp đường thẳng không cắt đường cong bằng cách thêm một “điểm ở vô cực”). R trên x-axis là tổng của bạn P + Q. Cùng với phép cộng này, tất cả nghiệm của đường cong tạo thành một đối tượng toán học gọi là nhóm.

Các nhà toán học sử dụng điều này để xác định “thứ hạng” của một đường cong. Các thứ hạng của đường cong liên quan đến số lượng các giải pháp hợp lý mà nó có. Đường cong hạng 0 có số nghiệm hữu hạn. Các đường cong có thứ hạng cao hơn có vô số nghiệm có mối quan hệ với nhau bằng phép cộng được mô tả theo thứ hạng.

Thứ hạng không được hiểu rõ; các nhà toán học không phải lúc nào cũng có cách tính toán chúng và không biết chúng có thể lớn đến mức nào. (Thứ hạng chính xác lớn nhất được biết cho một đường cong cụ thể là 20.) Các đường cong trông giống nhau có thể có thứ hạng hoàn toàn khác nhau.

Đường cong elip cũng liên quan nhiều đến số nguyên tố, số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính chúng. Đặc biệt, các nhà toán học xem xét các đường cong trên các trường hữu hạn - hệ thống số học tuần hoàn được xác định cho mỗi số nguyên tố. Trường hữu hạn giống như một chiếc đồng hồ có số giờ bằng số nguyên tố: Nếu bạn tiếp tục đếm ngược lên, các con số sẽ bắt đầu lại từ đầu. Ví dụ, trong trường hữu hạn của 7, 5 cộng 2 bằng 5 và 3 cộng 1 bằng XNUMX.

Một đường cong elip có một dãy số liên quan, được gọi là a_p, liên quan đến số nghiệm có của đường cong trong trường hữu hạn được xác định bởi số nguyên tố p. Một nhỏ hơn a_p có nghĩa là nhiều giải pháp hơn; Lớn hơn a_p có nghĩa là ít giải pháp hơn. Mặc dù thứ hạng khó tính toán nhưng trình tự a_p dễ dàng hơn rất nhiều.

Trên cơ sở nhiều phép tính được thực hiện trên một trong những chiếc máy tính đầu tiên, Birch và Swinnerton-Dyer đã phỏng đoán mối quan hệ giữa thứ hạng của đường cong elip và dãy số. a_p. Bất cứ ai có thể chứng minh mình đúng sẽ giành được một triệu đô la và sự bất tử về mặt toán học.

Một mô hình bất ngờ xuất hiện

Sau khi đại dịch bắt đầu, Yang-Hui He, một nhà nghiên cứu tại Viện Khoa học Toán học Luân Đôn, đã quyết định thực hiện một số thử thách mới. Ông học chuyên ngành vật lý ở trường đại học và lấy bằng tiến sĩ tại Viện Công nghệ Massachusetts về vật lý toán học. Nhưng anh ấy ngày càng quan tâm đến lý thuyết số và với khả năng ngày càng tăng của trí tuệ nhân tạo, anh ấy nghĩ rằng mình sẽ thử sử dụng AI như một công cụ để tìm ra các mẫu số bất ngờ. (Anh ấy đã từng sử dụng máy học để phân loại Đa tạp Calabi-Yau, các cấu trúc toán học được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết dây.)

Vào tháng 2020 năm XNUMX, khi đại dịch ngày càng trầm trọng, Đại học Nottingham đã tổ chức cho anh một khóa học nói chuyện trực tuyến. Anh ấy bi quan về sự tiến bộ của mình và về khả năng sử dụng máy học để khám phá môn toán mới. “Lời kể của anh ấy là lý thuyết số rất khó vì bạn không thể học máy những thứ trong lý thuyết số,” nói Thomas Oliver, một nhà toán học tại Đại học Westminster cũng có mặt trong số khán giả. Như Ngài nhớ lại: “Tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì vì tôi không phải là chuyên gia. Tôi thậm chí còn không sử dụng đúng thứ để xem xét điều này.”

Oliver và Lee Kyu Hwan, một nhà toán học tại Đại học Connecticut, bắt đầu làm việc với He. Oliver nói: “Chúng tôi quyết định làm điều này chỉ để tìm hiểu học máy là gì, thay vì nghiên cứu toán học một cách nghiêm túc”. “Nhưng chúng tôi nhanh chóng nhận ra rằng bạn có thể học bằng máy rất nhiều thứ.”

Oliver và Lee đề nghị Ngài áp dụng các kỹ thuật của mình để kiểm tra L-hàm số, chuỗi vô hạn liên quan chặt chẽ với đường cong elip qua dãy a_p. Họ có thể sử dụng cơ sở dữ liệu trực tuyến về các đường cong elip và các đường cong liên quan của chúng. L-chức năng được gọi là LMFDB để đào tạo các bộ phân loại học máy của họ. Vào thời điểm đó cơ sở dữ liệu có hơn 3 triệu đường cong elip trên số hữu tỉ. Đến tháng 2020 năm XNUMX, họ đã có một tờ giấy đã sử dụng thông tin thu thập được từ L-có chức năng dự đoán một tính chất cụ thể của đường cong elip. Vào tháng 11 họ đã chia sẻ một tờ giấy khác đã sử dụng học máy để phân loại các đối tượng khác trong lý thuyết số. Đến tháng 12, họ đã có thể dự đoán thứ hạng của đường cong elip với độ chính xác cao.

Nhưng họ không chắc tại sao thuật toán học máy của họ lại hoạt động tốt như vậy. Lee hỏi sinh viên đại học Alexey Pozdnykov của mình để xem liệu anh ta có thể hiểu được chuyện gì đang xảy ra không. Khi điều đó xảy ra, LMFDB sắp xếp các đường cong elip theo một đại lượng gọi là dây dẫn, đại lượng này tóm tắt thông tin về các số nguyên tố mà đường cong không hoạt động tốt. Vì vậy, Pozdnykov đã cố gắng xem xét đồng thời một số lượng lớn các đường cong có dây dẫn tương tự - chẳng hạn, tất cả các đường cong có dây dẫn nằm trong khoảng từ 7,500 đến 10,000.

Tổng cộng có khoảng 10,000 đường cong. Khoảng một nửa trong số này có hạng 0 và một nửa có hạng 1. (Các hạng cao hơn cực kỳ hiếm.) Sau đó, ông tính trung bình các giá trị của a_p cho tất cả các đường cong xếp hạng 0, tính trung bình riêng biệt a_p cho tất cả các đường cong hạng 1 và vẽ kết quả. Hai tập hợp dấu chấm tạo thành hai làn sóng riêng biệt, dễ dàng nhận thấy. Đó là lý do tại sao các bộ phân loại học máy có thể xác định chính xác thứ hạng của các đường cong cụ thể.

“Lúc đầu, tôi chỉ cảm thấy vui vì đã hoàn thành nhiệm vụ,” Pozdnykov nói. “Nhưng Kyu-Hwan ngay lập tức nhận ra rằng mô hình này thật đáng ngạc nhiên và đó là lúc nó trở nên thực sự thú vị.”

Lee và Oliver đều say mê. Oliver nói: “Alexey cho chúng tôi xem bức ảnh và tôi nói nó trông giống như những gì loài chim làm. “Sau đó Kyu-Hwan tra cứu và nói nó được gọi là lời thì thầm, và sau đó Yang nói chúng ta nên gọi tờ báo là 'Những lời thì thầm của đường cong Elliptic. '"

Họ tải bài báo của mình lên vào tháng 2022 năm XNUMX và chuyển tiếp nó cho một số nhà toán học khác, hồi hộp chờ đợi được thông báo rằng cái gọi là “khám phá” của họ đã được nhiều người biết đến. Oliver nói rằng mối quan hệ này đã rõ ràng đến mức lẽ ra nó phải được chú ý từ lâu.

Gần như ngay lập tức, bản in trước đã thu hút được sự quan tâm, đặc biệt từ Andrew Sutherland, một nhà khoa học nghiên cứu tại MIT, một trong những biên tập viên quản lý của LMFDB. Sutherland nhận ra rằng 3 triệu đường cong elip là không đủ cho mục đích của ông. Anh ấy muốn xem xét phạm vi dây dẫn lớn hơn nhiều để xem tiếng rì rầm mạnh đến mức nào. Anh ấy lấy dữ liệu từ một kho lưu trữ khổng lồ khác gồm khoảng 150 triệu đường cong elip. Vẫn chưa hài lòng, anh ta sau đó lấy dữ liệu từ một kho lưu trữ khác với 300 triệu đường cong.

Sutherland nói: “Nhưng ngay cả những điều đó vẫn chưa đủ, vì vậy tôi thực sự đã tính toán một bộ dữ liệu mới gồm hơn một tỷ đường cong elip và đó là những gì tôi đã sử dụng để tính toán những bức ảnh có độ phân giải thực sự cao”. Những lời thì thầm xuất hiện cho dù anh ta thực hiện trung bình hơn 15,000 đường cong elip cùng một lúc hay một triệu lần. Hình dạng vẫn giữ nguyên ngay cả khi anh nhìn vào các đường cong trên các số nguyên tố ngày càng lớn hơn, một hiện tượng được gọi là bất biến tỷ lệ. Sutherland cũng nhận ra rằng những tiếng rì rầm không phải chỉ có ở các đường cong elip mà còn xuất hiện ở những dạng tổng quát hơn. L-chức năng. Anh đã viết một lá thư tóm tắt những phát hiện của anh ấy và gửi nó đến Sarnak và Michael Rubinstein tại Đại học Waterloo.

Sutherland viết: “Nếu có một lời giải thích rõ ràng cho điều đó, tôi hy vọng bạn sẽ biết điều đó”.

Họ đã không.

Giải thích mẫu

Lee, He và Oliver đã tổ chức một hội thảo về tiếng thì thầm vào tháng 2023 năm XNUMX tại Viện Nghiên cứu Thực nghiệm và Tính toán trong Toán học (ICERM) của Đại học Brown. Sarnak và Rubinstein cũng đến, học trò của Sarnak cũng vậy. Nina Zubrilina.

Zubrilina trình bày nghiên cứu của mình về các kiểu tiếng thì thầm trong hình thức mô-đun, các hàm phức đặc biệt, giống như các đường cong elip, có liên quan L-chức năng. Ở dạng mô-đun với dây dẫn lớn, các tiếng rì rầm hội tụ thành một đường cong được xác định rõ ràng, thay vì tạo thành một mô hình phân tán rõ ràng. TRONG một tờ giấy đăng vào ngày 11 tháng 2023 năm XNUMX, Zubrilina đã chứng minh rằng kiểu lẩm bẩm này tuân theo một công thức rõ ràng mà cô đã khám phá ra.

“Thành tựu lớn nhất của Nina là cô ấy đã đưa ra được công thức cho việc này; Tôi gọi nó là công thức mật độ tiếng thì thầm Zubrilina,” Sarnak nói. “Sử dụng phép toán rất phức tạp, cô ấy đã chứng minh được một công thức chính xác phù hợp hoàn hảo với dữ liệu.”

Công thức của cô rất phức tạp, nhưng Sarnak ca ngợi nó là một loại hàm mới quan trọng, có thể so sánh với các hàm Airy xác định nghiệm của các phương trình vi phân được sử dụng trong nhiều bối cảnh khác nhau trong vật lý, từ quang học đến cơ học lượng tử.

Mặc dù công thức của Zubrilina là công thức đầu tiên nhưng những công thức khác cũng đã làm theo. Sarnak nói: “Hàng tuần đều có một bài báo mới ra mắt, chủ yếu sử dụng các công cụ của Zubrilina, giải thích các khía cạnh khác của những lời xì xào”.

Jonathan Bober, Andrew Booker và Tiểu Lee của Đại học Bristol, cùng với David Lowry-Duda của ICERM, đã chứng minh sự tồn tại của một loại tiếng thì thầm khác ở dạng mô-đun trong một tờ báo tháng mười khác. Và Kyu-Hwan Lee, Oliver và Pozdnykov đã chứng minh sự tồn tại về những tiếng thì thầm trong các đồ vật được gọi là ký tự Dirichlet có liên quan mật thiết đến L-chức năng.

Sutherland rất ấn tượng trước sự may mắn đáng kể đã dẫn đến việc phát hiện ra những lời thì thầm. Nếu dữ liệu đường cong elip không được người soát vé sắp xếp thì những tiếng rì rầm sẽ biến mất. Ông nói: “Họ thật may mắn khi lấy được dữ liệu từ LMFDB, dữ liệu đã được sắp xếp trước theo người chỉ đạo”. “Đó là mối liên hệ giữa đường cong elip với dạng mô-đun tương ứng, nhưng điều đó không rõ ràng chút nào. … Hai đường cong có phương trình trông rất giống nhau nhưng có thể có dây dẫn rất khác nhau.” Ví dụ, Sutherland lưu ý rằng y² = x³ - 11x +6 có dây dẫn 17 nhưng đổi dấu trừ thành dấu cộng, y² = x³ + 11x + 6 có dây dẫn 100,736.

Thậm chí khi đó, những lời xì xào chỉ được phát hiện do Pozdnykov còn non kinh nghiệm. “Tôi không nghĩ chúng tôi sẽ tìm ra nó nếu không có anh ấy,” Oliver nói, “bởi vì các chuyên gia thường bình thường hóa a_p có giá trị tuyệt đối là 1. Nhưng anh ấy đã không chuẩn hóa chúng… nên các dao động rất lớn và có thể nhìn thấy được.”

Oliver lưu ý rằng các mẫu thống kê mà thuật toán AI sử dụng để sắp xếp các đường cong elip theo thứ hạng tồn tại trong một không gian tham số với hàng trăm chiều – quá nhiều để mọi người có thể sắp xếp trong đầu chứ đừng nói đến việc hình dung. Nhưng mặc dù học máy đã tìm thấy những dao động ẩn giấu, “chỉ sau này chúng tôi mới hiểu chúng là những tiếng thì thầm”.

Lưu ý của biên tập viên: Andrew Sutherland, Kyu-Hwan Lee và cơ sở dữ liệu dạng mô-đun và hàm L (LMFDB) đều đã nhận được tài trợ từ Quỹ Simons, tổ chức cũng tài trợ cho ấn phẩm độc lập về mặt biên tập này. Các quyết định tài trợ của Quỹ Simons không ảnh hưởng đến phạm vi bảo hiểm của chúng tôi. Thêm thông tin có sẵn tại đây.