Những chân lý toán học thường được sinh ra từ sự xung đột giữa trật tự và hỗn loạn. Các nhà toán học khám phá các mô hình và để hiểu rõ hơn về các lực bí ẩn đang diễn ra, họ tìm kiếm các xung lực đối kháng phá vỡ các mô hình đó.

Sự căng thẳng đó đã xuất hiện nhiều lần trong chương trình đưa tin của chúng tôi trong năm qua. Chúng tôi đã đề cập đến những đột phá trong lý thuyết đồ thị, tổ hợp, lý thuyết số và hình học - những lĩnh vực mà các mô hình phát sinh theo những cách không ngờ tới, đôi khi do mối liên hệ giữa các cấu trúc toán học dường như khác biệt và đôi khi do các cơ chế nội tại ẩn giấu được các nhà toán học khám phá trong các bằng chứng mới.

Trong một cuộc phỏng vấn hấp dẫn với nhà văn kỳ cựu Jordana Cepelewicz của chúng tôi, Andrew Granville đã thảo luận về cách tính toán và thử nghiệm, đôi khi bị lãng quên, có thể giúp các nhà toán học tìm kiếm các mẫu ẩn. Ông cũng nói về những thay đổi trong việc cần phải làm gì để thuyết phục các nhà toán học khác rằng một kết quả là đúng, và tại sao ông tin rằng việc xem xét bản chất xã hội của toán học là điều cần thiết để hiểu chứng minh là gì.

Đây là một trong nhiều cuộc trò chuyện mà chúng tôi đã công bố trong năm qua về bản chất của chân lý toán học. Eugenia Cheng đã nói chuyện với Niềm vui tại sao người dẫn chương trình podcast Steven Strogatz về lý thuyết phạm trù, một loại “toán học của toán học” có thể khiến các nhà toán học khác sợ hãi vì mức độ trừu tượng của nó. Và Justin Moore đã nói chuyện với Strogatz về giới hạn của các tiên đề — những sự thật cơ bản, hiển nhiên — của lý thuyết tập hợp và tại sao luôn có những câu hỏi toán học quan trọng không thể trả lời được.

Mặc dù phần lớn tin tức của chúng tôi hoàn toàn thuộc về lĩnh vực trừu tượng, minhyong kim đã nói chuyện với Kevin Hartnett về Toán học cho Nhân loại, một tổ chức do ông thành lập để hỗ trợ các nhà toán học muốn sử dụng toán học để giải quyết các thách thức xã hội. Và Mike Orcutt báo cáo về cách toán học được sử dụng để xác định tính công bằng của các bản đồ khu vực lập pháp và để vẽ ra những bản đồ công bằng hơn.

Nếu có một lĩnh vực toán học đặc biệt hiệu quả vào năm 2023 thì đó là lý thuyết đồ thị. Một trong những khám phá toán học lớn nhất trong năm qua là bằng chứng về một định lý mới, chặt chẽ hơn giới hạn trên của số Ramsey. Những con số này đo lường kích thước mà đồ thị phải đạt tới trước khi chắc chắn chứa các đối tượng được gọi là cụm. Phát hiện này, được công bố vào tháng 1935, là bước tiến đầu tiên thuộc loại này kể từ năm XNUMX. Nó liên quan đến cái gọi là số Ramsey đối xứng. Tiếp theo là vào tháng XNUMX bởi một kết quả mới trong trường hợp bất đối xứng tổng quát hơn.

Cả hai bài báo này đều quan tâm đến điều gì sẽ xảy ra khi đồ thị tăng lên vô cùng lớn. Nhưng Quanta cũng cân nhắc khoảng cách giữa, xem xét những gì các nhà toán học có thể chứng minh về các đồ thị quá lớn để phân tích bằng cách sử dụng lực lượng vũ phu, nhưng nhỏ hơn giới hạn tiệm cận vô hạn.

Chúng tôi đã ghi lại những kết quả mới về cách mạng lưới các bộ dao động được kết nối đi vào sự đồng bộ và lý thuyết đồ thị kết nối như thế nào với lý thuyết trường lượng tử. Chúng tôi đã báo cáo một khám phá mới về khả năng chia nhỏ các đối tượng toán học gọi là không gian vectơ theo một cách cụ thể thành tập hợp con được gọi là thiết kế. Và Patrick Honner, của chúng tôi Học viện lượng tử hóa người viết chuyên mục, đã viết về cách mà tính chất cục bộ của đồ thị chi phối cấu trúc toàn cầu của họ.

Quanta cũng đã xuất bản các bài viết về hai vấn đề tô màu tồn tại từ lâu. Người ta khám phá bằng chứng của sự nổi tiếng định lý bốn màu, cho thấy bốn màu đủ để tô màu bất kỳ bản đồ nào trên mặt phẳng sao cho không có hai vùng liền kề nào có cùng màu. Bài còn lại đề cập đến một kết quả mới về một câu hỏi ít nổi tiếng hơn nhưng cũng không kém phần hấp dẫn, đó là câu hỏi một chiếc máy bay bao nhiêu có thể được tô màu theo cách đảm bảo rằng không có hai điểm cách nhau đúng một đơn vị có cùng màu.

Lý thuyết đồ thị có thể được coi là một nhánh của tổ hợp - nghiên cứu toán học về phép đếm. Theo một nghĩa nào đó, việc đếm những gì có thể xảy ra với tập hợp các nút và cạnh là một trường hợp đặc biệt của việc đếm các kết hợp tổng quát hơn.

Năm kết thúc với một bằng chứng mốc bởi bốn nhà toán học nổi tiếng về một phỏng đoán lâu đời liên quan đến tổ hợp với cấu trúc đại số của các tập hợp.

Trở lại vào tháng 3, hai nhà khoa học máy tính, Zander Kelley và Raghu Meka, đã khiến các nhà toán học choáng váng với tin tức về một bước đột phá ngoài lĩnh vực đối với một câu hỏi tổ hợp cũ: Bạn có thể ném bao nhiêu số nguyên vào một thùng trong khi đảm bảo rằng không có ba trong số đó. chúng tạo thành một dãy số cách đều nhau (như 8, 13 và 101 hay 201, 301 và XNUMX)? Kelley và Meka đập vỡ một giới hạn trên lâu dài về số lượng số nguyên nhỏ hơn một số giới hạn N có thể cho vào thùng mà không cần tạo ra mẫu như vậy.

Tháng trước, Kevin Hartnett đã báo cáo về một bài báo từ tháng 2022 năm XNUMX của một người ngoài cuộc khác — một nhà nghiên cứu tại Google có tên Justin Gilmer người đã rời bỏ toán học nhiều năm trước nhưng chưa bao giờ ngừng suy nghĩ về một bài toán tổ hợp có tên là giả thuyết hội đóng. Giả thuyết này liên quan đến các họ tập hợp như {1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Họ này là “đóng liên minh” vì nếu bạn kết hợp hai bộ bất kỳ trong họ thì tổ hợp đó cũng nằm trong họ. Giả thuyết mà Gilmer đã chứng minh nói rằng nếu một tập hợp đóng thì nó phải có ít nhất một số xuất hiện trong ít nhất một nửa tập hợp. Gilmer đã sử dụng một lập luận rút ra từ lý thuyết thông tin dựa trên việc chọn ngẫu nhiên hai tập hợp từ một họ hợp đóng đáp ứng các đặc điểm nhất định. Lập luận của ông là một ví dụ khác về cách sử dụng tính ngẫu nhiên như một công cụ để suy ra sự tồn tại của cấu trúc.

Ngược lại, một Bài báo tháng 4 của Kevin Hartnett đã mô tả một trường hợp trong đó các cấu trúc phức tạp nhưng đơn giản lại có thể thực hiện được một cách đáng ngạc nhiên. Bernardo Subercaseaux và Marijn Heule đã chỉ ra rằng có thể lấp đầy một lưới vô hạn bằng các số sao cho khoảng cách giữa hai lần xuất hiện của cùng một số phải lớn hơn chính số đó — chỉ sử dụng các số từ 1 đến 15.

Và lâu năm Quanta cộng tác viên Erica Klarreich đã viết về sự phổ biến đáng ngạc nhiên của cái gọi là xúc xắc nội động. Ví dụ, đây là những bộ ba viên xúc xắc A, B và C trong đó A có khả năng đánh bại (lắc số cao hơn) B, B có khả năng đánh bại C và C có khả năng đánh bại A. Một bài báo mới cho thấy rằng nếu bạn chỉ biết rằng chết A đánh bại B và B đánh bại C, điều đó không cung cấp thông tin nào về việc A hay C có khả năng chiếm ưu thế trong trận đấu đối đầu hay không.

Có lẽ hơn bất kỳ lĩnh vực toán học nào khác, các nhà lý thuyết số có thể chứng minh các định lý nghe có vẻ đơn giản bằng cách sử dụng các cấu trúc kỹ thuật cực kỳ phức tạp. Năm nay, Quanta đã đưa độc giả đi tham quan một số công trình đó. Chúng tôi đã xuất bản một người giải thích trực quan chuyên sâu của các dạng mô-đun, được mô tả là “phép toán cơ bản thứ năm” của toán học, cùng với phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia. Và chúng tôi đã đưa độc giả vào một chuyến tham quan lịch sử về sự tương hỗ bậc hai, một trong những công cụ mạnh mẽ nhất của lý thuyết số. Trình giải thích dạng mô-đun được lấy cảm hứng từ một bài báo về cái gọi là các dạng mô-đun không tương thích — một loại hàm ít được nghiên cứu kỹ lưỡng nhưng lại có ý nghĩa quan trọng đối với vật lý.

Max Levy, người viết phần giải thích nguyên lý tương hỗ bậc hai, đã quan tâm đến chủ đề này khi báo cáo về một khám phá mùa hè đáng ngạc nhiên về những hình mẫu mà vòng tròn có thể tạo ra. Levy kể lại việc hai sinh viên làm việc trong một dự án nghiên cứu mùa hè đã giúp bác bỏ một phỏng đoán lâu đời về cách các vòng tròn có thể được lồng vào nhau một cách hài hòa, được gọi là phỏng đoán từ địa phương đến toàn cầu. Đó là một trong nhiều bước phát triển trong năm nay cho thấy tính tiện ích ngày càng tăng của các công cụ tính toán trong toán học. Các sinh viên và đồng tác giả của họ lần đầu tiên tìm thấy bằng chứng cho thấy phỏng đoán này là sai khi nghiên cứu các sơ đồ do máy tính tạo ra mà họ đã tạo ra với nỗ lực xem nó hoạt động như thế nào.

Các dạng mô đun có liên quan chặt chẽ với các đường cong elip - hàm trơn của hai biến trong đó một biến là bình phương và biến kia là lập phương. (Các hàm này cũng thỏa mãn một số ràng buộc toán học cụ thể.) Mối quan hệ giữa hai giá trị này là trọng tâm trong chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat năm 1994 của Andrew Wiles. Hartnett đã viết về tiến bộ trong sự hiểu biết của các nhà nghiên cứu về mối quan hệ đó đối với các đường cong elip được xác định bằng các biến được rút ra từ các trường bậc hai tưởng tượng - các số có dạng a + b $latex sqrt{-5}$ ở đâu a và b đều là số hữu tỉ hoặc phân số.

Ông cũng viết về một kiệt tác được chờ đợi từ lâu — một bản thảo dài 451 trang của Akshay Venkatesh, người đoạt huy chương Fields, cùng với Yiannis Sakellaridis và David Ben-Zvi, trình bày chi tiết các mối liên hệ sâu hơn giữa các đối tượng liên quan đến dạng mô-đun và L-hàm, một loại tổng vô hạn quan trọng có mối quan hệ sâu sắc với số nguyên tố.

Các nhà lý thuyết số đặc biệt chú ý đến các số nguyên tố cũng như cách phân bố tinh tế và đẹp đẽ của chúng giữa các số nguyên khác. Điều thú vị là, nếu bạn coi chúng tiến tới vô cùng, thì từ lâu người ta đã biết rằng các số nguyên tố để lại số dư bằng nhau khi chia cho một số nào đó - ví dụ: nếu bạn chia tất cả các số nguyên tố cho 5, bạn sẽ nhận được các số bằng nhau số dư 1, 2, 3 và 4. Nhưng các nhà toán học vẫn tiếp tục cố gắng chứng minh kết quả về việc các số nguyên tố chẵn nhanh như thế nào. Vào tháng XNUMX, chúng tôi đã báo cáo về một thế hệ các nhà toán học mới chứng minh các định lý về cách phân bố số nguyên tố.

Chúng tôi cũng đã giới thiệu — và giới thiệu lại — một trò chơi toán học thú vị có tên là siêu nhảy khám phá sự căng thẳng giữa cấu trúc và tính ngẫu nhiên bằng cách thách thức người chơi tạo ra các chuỗi số đơn giản bằng cách sử dụng số học cơ bản.

Đó cũng là một năm thú vị trong môn hình học. Kết quả được chú ý nhất trong năm là việc phát hiện ra một loại vật liệu mới loại ngói bao phủ mặt phẳng theo một mô hình không bao giờ lặp lại. Sự kết hợp hai ô làm được điều này đã được biết đến từ những năm 1970, nhưng ô đơn, được phát hiện bởi một người có sở thích tên là David Smith và công bố vào tháng XNUMX, đã gây chấn động. Người hâm mộ đã sử dụng thiết kế đơn giản này như một dụng cụ cắt bánh quy và khâu nó vào chăn bông. Chúng tôi theo dõi tin tức của mình bằng một cột giải thích một số phép toán cơ bản và một số phép toán khác một lịch sử ngắn gọn của ốp lát.

Nói về những chiếc kim, đó cũng là một năm tiến bộ trong giả thuyết Kakeya, trong đó hỏi một chiếc kim lý tưởng có thể chiếm một thể tích không gian nhỏ đến mức nào khi quay theo mọi hướng. Một bằng chứng mới một trường hợp đặc biệt của giả thuyết (được gọi là giả thuyết Kakeya “dính”) đưa ra bằng chứng mạnh mẽ rằng giả thuyết tổng quát hơn là đúng.

Giả thuyết này hóa ra không chỉ có ý nghĩa đối với hình học mà còn đối với việc phân tích điều hòa và nghiên cứu các phương trình vi phân từng phần. MỘT người giải thích tiếp theo xem xét những tác động đó. Và một Học viện lượng tử hóa cộtđưa người đọc đi qua logic cơ bản của phỏng đoán.

Trong các tin tức hình học khác, một ý tưởng lâu đời về bản đồ giữa các hình cầu có chiều khác nhau, được gọi là phỏng đoán kính thiên văn, đã được chứng minh là sai. Các loại cấu trúc tiếp xúc cụ thể (các mẫu mặt phẳng thỏa mãn các tính chất toán học nhất định) từ lâu được cho là không thể thực hiện được tồn tại.

Chúng tôi phỏng vấn Emmy Murphy, một nhà hình học nghiên cứu các cấu trúc tiếp xúc như vậy. Murphy mô tả hình học tiếp xúc (và anh chị em của nó, hình học đối xứng) tồn tại ở giữa một phổ độ cứng và tính linh hoạt. Cô nói, trong hình học cứng, phụ thuộc nhiều vào các phép đo chính xác, trong khi hình học linh hoạt có xu hướng giống với đại số. Nhưng ở giữa, cô ấy nói, là nơi “tư duy trực quan hữu ích hơn”.

Vào tháng 1, nhà toán học Assaf Naor và nhà khoa học máy tính Oded Regev đã chứng minh sự tồn tại của cái gọi là hình khối cầu. Đây là những vật thể có diện tích bề mặt tăng chậm - cũng như diện tích bề mặt của các quả cầu ở các chiều cao hơn - nhưng có thể lấp đầy không gian hoàn toàn theo cách các hình khối có thể làm.

Một trong những nhà hình học nổi bật nhất của thế kỷ 20, Eugenio Calabi, chết ở tuổi 100 vào ngày 25 tháng XNUMX. Jerry Kazdan, một trong những đồng nghiệp lâu năm của ông, nói rằng Calabi sẽ “đặt những câu hỏi thú vị mà không ai nghĩ tới”. Cáo phó của chúng tôi về Calabi khám phá những câu hỏi đó, đặc biệt tập trung vào khám phá nổi tiếng nhất của ông, đa tạp Calabi-Yau, khám phá này sau này trở thành trung tâm của lý thuyết dây trong vật lý.

Nói về vật lý, chúng tôi cũng đã công bố một số kết quả mới về toán học của lỗ đen, một chủ đề yêu thích của nhà văn đóng góp Steve Nadis. Anh ấy viết về một bài báo mới tìm thấy một số vô hạn về các hình dạng lỗ đen khác nhau ở các chiều cao hơn và một bài báo khác làm rõ cơ sở toán học của ranh giới của lỗ đen.

Vào tháng 4, chúng tôi đã mô tả cách các nhà toán học hợp tác với các nhà vật lý để hiểu các kiểu đối xứng mới trong lý thuyết trường lượng tử.

Kathryn Mann và Thomas Barthelmé, cùng với Steven Frankel, đã xuất bản một loạt giấy tờ mô tả các hệ thống động lực được gọi là dòng Anosov cân bằng sự hỗn loạn và ổn định. Tại bất kỳ điểm nào, các dòng chảy hội tụ theo một hướng và phân kỳ theo hướng khác.

Và trong bài báo toán học có thể là đáng lo ngại nhất trong năm, chúng tôi đã kể lại tin tức về một loạt ba bài báo của Marcel Guàrdia, Jacques Fejoz và Andrew Clarke cho thấy quỹ đạo của các hành tinh trong một hệ mặt trời kiểu mẫu sẽ luôn không ổn định. Tin tốt là mô hình của họ khá khác với hệ mặt trời của chúng ta, mặc dù Clarke cho rằng những bất ổn tương tự cũng có thể tồn tại ở đây.

Nhưng nếu họ làm vậy, họ sẽ không sớm gửi bất kỳ hành tinh nào ra khỏi quỹ đạo của mình, vì vậy bạn có thể mong đợi một năm bảo hiểm toán học nữa từ Quanta 2024.