Vào một buổi sáng tháng 10 gần đây, Rob Kirby đứng trước một căn phòng đầy các nhà toán học và bảo họ đừng cảm thấy bị ràng buộc bởi cách anh đã làm trong quá khứ.

Trong nửa thế kỷ qua Kirby, 85, là nhân vật trung tâm trong cấu trúc liên kết chiều thấp, nghiên cứu về các hình dạng có thể biến dạng. Ngoài những đóng góp nghiên cứu quan trọng, năm 1978 ông còn xuất bản cuốn sách phiên bản đầu tiên về cái được gọi là “danh sách của Kirby” - một tập hợp gồm 80 vấn đề mở giúp thiết lập chương trình nghiên cứu cho lĩnh vực này trong vài thập kỷ tới. Hai thập kỷ sau, vào năm 1997, ông xuất bản cuốn sách thứ hai, có ảnh hưởng không kém phiên bản của danh sách.

Vài chục nhà toán học mà Kirby đang nói chuyện đã triệu tập tại cuộc họp Viện Toán học Hoa Kỳ (AIM) ở Pasadena để tạo phiên bản thứ ba của danh sách. Không phải tất cả các vấn đề trong danh sách trước đó đều đã được giải quyết - hầu hết là không - nhưng nhiều vấn đề đã lỗi thời. Trong khi toán học là vĩnh cửu, lĩnh vực này được thực hành bởi những người chạy theo mốt nhất thời và nhiều câu hỏi cũ không còn được coi là thú vị nữa.

“Chúng tôi nghĩ rằng một số lĩnh vực phụ có uy tín và những lĩnh vực khác thì không ai quan tâm đến nó.” nói Maggie Miller của Đại học Texas, Austin, một trong 14 biên tập viên của danh sách.

Hội nghị được hình thành bởi Daniel Ruberman của Đại học Brandeis, người từng là sinh viên của Kirby vào đầu những năm 1980, và Inanç Baykur của Đại học Massachusetts, người từng là nghiên cứu sinh sau tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Ruberman. Họ muốn danh sách này bao gồm những vấn đề khó khăn và quan trọng.

Miller nói: “Đây phải là một vấn đề đủ thú vị để nếu một giải pháp được đưa ra, nó sẽ có khả năng thay đổi lĩnh vực này”. Baykur nói thêm: “Có lẽ một tỷ lệ nhỏ có thể được giải quyết trong vòng hai đến ba năm tới.”

Cách các nhà toán học quyết định điều gì là quan trọng đã thay đổi trong nửa thế kỷ kể từ khi Kirby công bố danh sách đầu tiên của mình. Ngay cả khi sự đúng hay sai của các phỏng đoán cá nhân là vấn đề của sự thật khách quan thì việc xếp hạng tầm quan trọng của chúng là một quá trình xã hội, chủ quan. Và quá trình đó trông rất khác trong thế giới kết nối toàn cầu ngày nay so với những năm 1970. Câu chuyện về danh sách mới chính là câu chuyện về những thay đổi đó.

Sự khởi đầu của danh sách

Sự nghiệp của Kirby bắt đầu bằng một danh sách vấn đề. Năm 1963, khi còn là nghiên cứu sinh tại Đại học Chicago, ông đã tham dự một hội nghị ở Seattle nơi nhà toán học John Milnor đã trình bày danh sách bảy vấn đề mở quan trọng nhất trong cấu trúc liên kết. Vấn đề cuối cùng là giả thuyết hình vành khuyên, phát biểu rằng khoảng không gian giữa hai quả cầu được xác định thích hợp luôn có dạng hình vành khuyên, là vùng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.

Điều này đúng với các hình tròn và các quả bóng ba chiều bình thường, nhưng ở các chiều cao hơn - liên quan đến các cặp hình cầu có năm hoặc sáu hoặc bất kỳ số chiều nào - những điều đáng ngạc nhiên sẽ xảy ra. Năm 1969, khi đang là trợ lý giáo sư tại Đại học California, Los Angeles, Kirby đã chứng minh điều đó đúng với các chiều thứ năm và cao hơn với một số hạn chế (các quả cầu phải nhẵn theo một nghĩa toán học cụ thể).

Dựa trên kết quả đó, UCLA đã thăng thẳng cho ông lên chức giáo sư chính thức và tăng gấp đôi lương cho ông. Hai năm sau, anh giành được giải thưởng danh giá Giải thưởng Oswald Veblen trong Hình học. Kirby cho rằng thành công ban đầu trong sự nghiệp này một phần là nhờ sự tồn tại của danh sách Milnor, danh sách này đã cung cấp cho anh nhiều dự án khác nhau để lựa chọn hơn những gì anh có thể nhận được từ những người xung quanh mình ở trường cao học.

Ông nói: “Đối với những người thích giải quyết các vấn đề và không nhất thiết muốn làm theo những gì cố vấn của họ bảo họ làm, thì một danh sách các vấn đề rất có giá trị.

Kirby bắt đầu tập hợp danh sách bài toán đầu tiên của mình vào tháng 1976 năm 1978 tại hội nghị của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ tại Đại học Stanford. Ông đã xây dựng danh sách này trong hai năm tiếp theo, thông qua các cuộc gọi điện thoại, thư từ và các cuộc trò chuyện thân mật với các nhà toán học tại các hội nghị mà ông tham dự, và ông đã xuất bản nó dưới dạng một bài báo mở rộng trên tạp chí vào năm XNUMX.

Như Miller đã nói, “Anh ấy vừa gọi điện cho tất cả những người anh ấy biết qua điện thoại.”

Danh sách này bao gồm khoảng 80 vấn đề được sắp xếp thành năm chương. Bốn chương đầu tiên nói về các nút một chiều, bề mặt hai chiều và đa tạp ba và bốn chiều (không gian giống như bề mặt của một quả cầu có vẻ phẳng cục bộ nhưng có thể có cấu trúc tổng thể phức tạp hơn). Chương thứ năm dành cho các vấn đề linh tinh. Mặc dù Kirby đã tham khảo ý kiến ​​rộng rãi để tổng hợp danh sách lại với nhau nhưng sản phẩm cuối cùng chắc chắn là của anh ấy.

“Tôi mang tính toàn diện hơn là độc quyền,” Kirby nói, nhưng nói thêm, “Tôi gần như là trọng tài cuối cùng.”

Danh sách thứ hai

Cuối những năm 1970 là thời điểm thuận lợi để tạo ra danh sách các vấn đề trong cấu trúc liên kết. Lĩnh vực này còn nhỏ vào đầu thập kỷ này và trong 10 năm tiếp theo, nó đã bùng nổ. Năm 1981 Michael Freedman đã giải được phiên bản bốn chiều của giả thuyết Poincaré theo cách bằng chứng hoành tráng điều đó sẽ mất nhiều năm để tiêu hóa. (Phỏng đoán hỏi liệu các đối tượng toán học giống hình cầu trên thực tế có phải là hình cầu hay không. Freedman đã chứng minh rằng câu trả lời là có.) Một năm sau, William Thurston công bố giả thuyết hình học hóa, phân loại một số cấu trúc tôpô thành các phạm trù hình học. Phỏng đoán đã đưa các công cụ từ phân tích (một dạng tính toán nâng cao) vào cấu trúc liên kết. Cùng năm đó Simon Donaldson đã đưa hình học vi phân (kết hợp phép tính và hình học) vào lĩnh vực này với công trình của ông về đa tạp bốn chiều.

“Thật khó để diễn tả sự tiến bộ nhanh như thế nào. Đó là một trong những thời kỳ vĩ đại của toán học, với hết cuộc cách mạng này đến cuộc cách mạng khác,” Ruberman nói.

Kết quả của tất cả hoạt động này là danh sách của Kirby gần như lỗi thời trong vòng vài năm. Nhưng việc xây dựng danh sách vấn đề không phải là công việc chính của Kirby. Mãi cho đến một hội nghị tại Đại học Georgia vào mùa hè năm 1993, ông mới quyết định xem lại danh sách.

Kirby bắt đầu thu thập các vấn đề tại hội nghị và tiếp tục công việc qua email, cách này không được sử dụng phổ biến khi anh lập danh sách đầu tiên. Kết quả là, danh sách ngổn ngang. Danh sách cuối cùng bao gồm 415 vấn đề và được xuất bản thành sách vào năm 1997. Khi danh sách thứ ba được tiến hành, nỗ lực thứ hai về trước được gọi là K2, như trong phiên bản thứ hai của danh sách Kirby, và cũng là sự đồng ý với danh sách thứ hai. -ngọn núi cao nhất thế giới Định dạng mở rộng đã giúp củng cố phiên bản thứ hai của danh sách dưới dạng tiêu chuẩn và thẻ điểm. Việc giải bài toán Kirby khiến các nhà toán học trẻ chú ý.

“Nếu bạn đang viết thư giới thiệu cho ai đó và họ đã giải quyết được vấn đề của Kirby, bạn hãy đề cập đến điều đó trong thư của mình,” nói John Baldwin, một nhà toán học tại Đại học Boston, người đã tham gia hội thảo và đang giúp chỉnh sửa danh sách.

cá đuối, trưởng nhóm tại Viện Toán học Max Planck ở Bonn, Đức, người tham dự hội thảo, cho biết một trong những điều đầu tiên mà cố vấn tiến sĩ của cô làm sau khi cô vượt qua kỳ thi tuyển vào năm 2011 là đưa cho cô một bản sao danh sách K2, “ để hiểu được những vấn đề lớn mà mọi người quan tâm.”

Tất nhiên, những quyết định về điều gì là quan trọng sẽ bị ảnh hưởng bởi những người có mặt trong phòng đưa ra những quyết định đó. Danh sách Kirby phản ánh triết lý sư phạm phát triển từ thế giới quan chính trị xã hội của Kirby. Ông tự mô tả mình là một người theo chủ nghĩa tự do cổ điển và cho rằng triết gia người Anh thế kỷ 19 John Stuart Mill là người có ảnh hưởng quan trọng đến suy nghĩ của ông.

Ông nói: “Những người theo chủ nghĩa tự do cổ điển thực sự tin vào tự do, tự do ngôn luận và sự nhẹ tay từ chính phủ, vì vậy đó là quan điểm của tôi”. “Theo một cách nào đó, điều đó đi kèm với việc không bảo học sinh của tôi phải làm gì. Đó là một chút cho họ quyền tự do.”

Kirby truyền tải những niềm tin này vào cách anh suy nghĩ và nói về cộng đồng toán học. Vào năm 2021, cùng với hơn 1,000 chuyên gia khoa học và toán học khác có trụ sở tại California, ông đã đồng ký một thỏa thuận mở thư chỉ trích đề xuất của tiểu bang về việc áp dụng một chương trình giảng dạy toán K-12 mới có thể khiến những cân nhắc về công bằng xã hội trở thành trọng tâm hơn trong cách tiểu bang dạy môn này. Đề xuất của California đã được thực hiện sự chỉ trích đáng kể trong cộng đồng toán học vì, trong số những điều khác, hạn chế sự sẵn có của các khóa học nâng cao và không nhấn mạnh đến các khóa học tính toán trước để chuyển sang “khoa học dữ liệu”.

Kirby trước đây từng là người hoài nghi về sự tồn tại của những thành kiến ​​mang tính cấu trúc trong toán học, bao gồm cả vấn đề mất cân bằng giới tính trong lĩnh vực này. Vào những năm 1970, khoảng 10% các nhà toán học là phụ nữ; ngày nay gần 30% là như vậy, theo một báo cáo 2020 bởi Hội đồng Khoa học Quốc tế.

In một bài báo ông viết vào những năm 1990, và đã được đệ trình để xuất bản trong tạp chí Thông báo của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ nhưng chưa bao giờ được công bố, Kirby đã chứng minh rằng những con số ảm đạm này không phải là kết quả của bất kỳ sự thiên vị nào trong lĩnh vực này. Kirby viết: “Theo quan điểm của tôi, số lượng phụ nữ học toán ít hơn không phải do sự phân biệt đối xử của nam giới cũng như sự mặc cảm cố hữu của phụ nữ, mà là do thực tế đơn giản là nhiều nam giới chọn theo học toán hơn phụ nữ”.

Đối với nhiều nhà toán học, việc có rất ít phụ nữ tham gia vào lĩnh vực này không phải là một sự thật đơn giản. “Bằng chứng cho thấy có một hiệu ứng phản hồi ở đây: vì có quá ít nữ giáo sư nên sinh viên nữ không thể nhìn thấy con đường sự nghiệp rõ ràng thông qua toán học, nên họ quyết định không theo đuổi bằng tiến sĩ.” đã viết bốn nhà toán học nữ nổi bật vào năm 2022 trong Phụ lục Giáo dục Đại học của Times. Như báo cáo của Hội đồng Khoa học Quốc tế đã nêu, sau khi phân tích tập dữ liệu gồm hàng trăm nghìn bài báo toán học đã xuất bản, “các yếu tố mang tính hệ thống và cấu trúc khác nhau hẳn đã ảnh hưởng đến sự nghiệp của các nhà toán học nữ theo những cách khác với nam giới”.

Quan điểm của Kirby nổi tiếng trong cộng đồng cấu trúc liên kết ít chiều. Tôi hỏi Kirby liệu anh ấy có nghĩ điều đó khiến phụ nữ khó tham gia vào các bối cảnh như hội nghị gần đây mà anh ấy có vai trò nổi bật không. Anh ấy nói anh ấy không biết vì ngoại trừ một nhà toán học, chưa có ai từng đề cập đến vấn đề đó với anh ấy.

Ray, người giữ vai trò là cán bộ bình đẳng giới tại Viện Max Planck, cho biết “Tôi không nghĩ nó đã định hình cảm giác của hội nghị. Tôi thực sự nghĩ nó định hình cách nhìn nhận anh ấy trong lĩnh vực toán học, nhưng tôi nghĩ nói chung chúng ta tách biệt toán học khỏi nhà toán học.”

Một nỗ lực chung

Giống như sau K1, cấu trúc liên kết chiều thấp đã phát triển nhanh chóng sau khi phát hành K2. Một bước phát triển quan trọng là việc xây dựng lý thuyết Seiberg-Witten, lý thuyết sử dụng các ý tưởng từ vật lý để phân biệt giữa các đa tạp bốn chiều. Đến cuối những năm 2000, danh sách Kirby đã sẵn sàng để cập nhật lại.

“Vấn đề là, lĩnh vực này đã trở nên lớn hơn nhiều kể từ những năm 1990, nó đã trở nên khổng lồ,” Baykur nói.

Lần này động lực tạo ra một danh sách mới đến từ Ruberman và Baykur. Họ bắt đầu thu thập các vấn đề vào khoảng năm 2013. Nhưng giữa các nghĩa vụ khác và đại dịch, phải đến tháng 2023 năm XNUMX, họ mới tập hợp được một nhóm các nhà tôpô để gặp mặt trực tiếp. Họ muốn phiên bản thứ ba của danh sách mang tính nỗ lực chung hơn.

Ray nói: “Danh sách ban đầu thật tuyệt vời, tôi rất vui vì nó có ở đó, nhưng định dạng mới này đáng khen ngợi vì đã làm cho nó cởi mở hơn một chút”.

Cuối năm 2022, Kirby tham gia cùng Baykur và Ruberman với tư cách là người đồng tổ chức hội nghị. Họ mời các chuyên gia từ các lĩnh vực chính của cấu trúc liên kết chiều thấp - tương ứng với cấu trúc năm chương mà Kirby đã sử dụng trong các phiên bản trước của danh sách - nhưng cố gắng tránh mời quá nhiều chuyên gia đến mức không ai có điểm chung với ai khác.

Baykur và Ruberman thực hiện phần lớn công việc tổ chức trong khi Kirby đảm nhận vai trò chính nhiều hơn.

“Nó giống như đứa con của Rob, bạn biết đấy, giống như anh ấy chịu trách nhiệm về mặt cảm xúc. Nhưng Danny và Inanç đã xử lý mọi công việc hậu cần,” Miller nói.

Vào thứ Hai, ngày 30 tháng 3, nhóm bắt đầu làm việc trên danh sách K3 (vì nó được gọi như vậy vì những lý do hiển nhiên và cũng liên quan đến các bề mặt KXNUMX, là những đối tượng quan trọng trong cấu trúc liên kết).

Danh sách phản ánh những cách mà cấu trúc liên kết chiều thấp đã phát triển kể từ K2. Vào đầu những năm 1990, công trình của Andreas Floer đã đưa đến những phương pháp mới để sắp xếp các đa tạp ba chiều. Vào cuối thập kỷ đó, những phương pháp đó đã phát triển thành một lĩnh vực nghiên cứu hoàn chỉnh, tương đồng Heegaard Floer, và trong lĩnh vực đó hiện nay có một số cách tiếp cận khác nhau để phân biệt các đa tạp. Tất cả các cách tiếp cận đó phải nhất quán với nhau, nhưng không biết chắc chắn là như vậy và K3 sẽ bao gồm các câu hỏi nhằm giải quyết vấn đề.

Kirby dựng trại ở giảng đường chính, nơi các nhà toán học tụ tập vào mỗi buổi sáng, hầu như tránh các buổi động não. Vào buổi sáng Thứ Ba Dave Gabai của Đại học Princeton đã thuyết trình cho cả nhóm về mối liên hệ giữa giả thuyết Schoenfly và giả thuyết Poincaré, được cho là hai vấn đề mở quan trọng nhất trong cấu trúc liên kết trơn bốn chiều.

Giả thuyết Schoenfly có hương vị tương tự như giả thuyết hình vành khuyên mà Kirby đã nghiên cứu vào những năm 1960. Nó dự đoán rằng nếu hai hình cầu khác nhau một chiều (như hình tròn so với bề mặt của một quả bóng) và bạn nhúng hình có chiều thấp hơn (hình tròn) vào hình có chiều cao hơn (bề mặt của quả bóng), hình cầu trước đó sẽ luôn cắt cái sau thành tương đương với hai quả bóng. Điều này rõ ràng đúng khi bạn khắc một vòng tròn lên một quả địa cầu (như thể để tạo thành đường xích đạo), nhưng cũng như với giả thuyết hình vành khuyên, nó ít đúng hơn ở các chiều cao hơn.

Kirby sau đó đã tìm thấy Gabai và cả hai đã nói chuyện hàng giờ về ý nghĩa của cuộc nói chuyện của Gabai. Vào những thời điểm khác trong tuần, Kirby dành thời gian gửi email cho mạng lưới rộng lớn của mình trong cộng đồng toán học để có những đóng góp cho danh sách.

Ruberman nói: “Về mặt nào đó, nó khá giống với những gì anh ấy đã làm trong các danh sách trước đó. “Anh ấy không có xu hướng vào phòng nhiều. [Anh ấy] sẽ gửi email cho mọi người và nói: 'Ai đó ở hội thảo đã nói điều này, bạn nghĩ sao về điều đó?'”

Phòng chiến tranh

Vào hai ngày cuối cùng của hội nghị, Baykur và Ruberman yêu cầu những người tham dự viết ra những vấn đề họ đã biên soạn. Nó giống như một phòng chiến tranh, khi các nhà toán học vội vã viết tóm tắt các vấn đề họ đã giải quyết trước khi lên chuyến bay về nhà.

Miller nói: “Cảm giác thực sự giống như khi bạn đang học đại học và bạn phải làm bài tập về nhà vào ngày hôm sau, mọi người trong lớp đều ở trong phòng và lúc đó là 2 giờ sáng.

Một tài liệu được chia sẻ trong đó các nhà toán học đang biên soạn danh sách gần như trống rỗng vào sáng thứ Năm, nhưng đã phát triển nhanh chóng với hàng chục nhà toán học chỉnh sửa cùng một lúc. Đến thứ Sáu, danh sách các vấn đề đã dài hơn 250 trang. Trải nghiệm lốc xoáy gần như không thể nhận ra so với hai nỗ lực trước đó của Kirby.

“Tôi cảm thấy mình già đi vì hồi còn học K2, tôi đã làm điều đó trong khoảng thời gian từ hai đến ba năm. Tôi sẽ ngồi xuống với một người và chúng tôi cùng nhau giải quyết vấn đề,” Kirby nói. “Với K3, tôi chỉ gặp một số vấn đề khiêm tốn.”

Baykur và Ruberman hy vọng sẽ công bố danh sách khoảng 400 vấn đề vào cuối năm nay, sau khi sửa đổi và bổ sung từ các nhà tôpô không có mặt tại cuộc họp ở Pasadena. Baykur, Ruberman và các biên tập viên khác vẫn đang tranh luận về tần suất cập nhật danh sách. Họ có thể kéo dài thời hạn sử dụng của K3 bằng cách cập nhật phiên bản trực tuyến, nhưng họ nhận thấy những hạn chế khi làm như vậy. Baykur cho biết, hai danh sách đầu tiên “là những tài liệu lịch sử và cực kỳ giàu thông tin để xem cách họ nhìn nhận mọi thứ trong những năm 1970 và 1990 cũng như cách họ nghĩ về toán học. Tôi muốn có một tài liệu đương đại tương tự.”