1ICFO – Viện Khoa học Quang tử, 08860 Castelldefels (Barcelona), Tây Ban Nha
2Institut für Theoretische Physik, Đại học zu Köln, 50937 Köln, Đức
3Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät, Đại học Siegen, 57068 Siegen, Đức
4Trung tâm Lý thuyết Công nghệ Lượng tử Quốc tế, Đại học Gdansk, 80-308 Gdańsk, Ba Lan
5Viện Khoa học Ánh sáng Max Planck, 91058 Erlangen, Đức
Tìm bài báo này thú vị hay muốn thảo luận? Scite hoặc để lại nhận xét về SciRate.
Tóm tắt
Chúng tôi trình bày các giới hạn mới về sự tồn tại của các mã phân tách khoảng cách tối đa lượng tử chung (QMDS): độ dài $n$ của tất cả các mã QMDS có thứ nguyên cục bộ $D$ và khoảng cách $d geq 3$ được giới hạn bởi $n leq D^2 + d – 2$. Chúng tôi thu được sự phân bố trọng số của chúng và đưa ra các giới hạn bổ sung phát sinh từ các bất đẳng thức bóng của Rains. Kết quả chính của chúng tôi có thể được coi là sự tổng quát hóa các giới hạn đã biết cho hai trường hợp đặc biệt của mã QMDS ổn định và trạng thái vướng víu cực đại, đồng thời xác nhận phỏng đoán MDS lượng tử trong trường hợp đặc biệt của mã khoảng cách ba. Vì sự tồn tại của mã QMDS được liên kết với mã của các không gian con có độ vướng víu cao (trong đó mọi vectơ đều có biên độ $r$-body đồng nhất) có kích thước tối đa, nên các phương pháp của chúng tôi trực tiếp chuyển sang giải quyết các câu hỏi trong tình trạng vướng víu nhiều bên.
Tóm tắt phổ biến
Chúng tôi điều tra các giới hạn trên các tham số của mã liên quan đến sự vướng víu trong mã, được biểu hiện bằng các biên hỗn hợp tối đa của các trạng thái logic. Giới hạn đầu tiên là giới hạn Singleton lượng tử, đã được biết đến từ rất sớm trong lý thuyết sửa lỗi lượng tử. Nó độc lập với kích thước cục bộ và luôn có thể đạt được khi kích thước cục bộ đủ lớn. Các mã tương ứng được gọi là mã có thể phân tách khoảng cách tối đa lượng tử (QMDS).
Trong bài viết này, chúng tôi rút ra các giới hạn bổ sung về sự tồn tại của mã QMDS. Điều quan trọng là chúng có giá trị đối với tất cả các mã QMDS, bao gồm cả các mã nằm ngoài chủ nghĩa hình thức ổn định. Chúng tôi chỉ ra rằng một thuộc tính đặc trưng khác, bộ đếm trọng số, cũng độc lập với việc mã QMDS có thuộc loại ổn định hay không.
Trong nhiều trường hợp, cấu trúc bộ ổn định đã biết phù hợp với giới hạn trên của chúng tôi. Điều đáng ngạc nhiên là các cấu trúc tổ hợp cổ điển này cũng mang lại mã tối ưu trong trường hợp lượng tử, xử lý các không gian con tùy ý của các không gian vectơ phức tạp. Chúng tôi kết thúc bằng câu hỏi mở liệu có mã QMDS không phát sinh từ mã MDS cổ điển hay không.
► Dữ liệu BibTeX
► Tài liệu tham khảo
[1] PW Shor, “Kế hoạch giảm sự mất kết hợp trong bộ nhớ máy tính lượng tử,” Phys. Mục sư A 52, 2493(R) (1995).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.52.R2493
[2] AM Steane, “Mã sửa lỗi trong lý thuyết lượng tử,” Phys. Linh mục Lett. 77, 793–797 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.77.793
[3] E. Knill và R. Laflamme, “Lý thuyết về mã sửa lỗi lượng tử,” Phys. Mục sư A 55, 900–911 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.55.900
[4] CH Bennett, DP DiVincenzo, JA Smolin và WK Wootters, “Sự vướng víu trạng thái hỗn hợp và hiệu chỉnh lỗi lượng tử,” Phys. Linh mục A 54, 3824 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.54.3824
[5] B. Schumacher và MA Nielsen, “Xử lý dữ liệu lượng tử và sửa lỗi,” Phys. Linh mục A 54, 2629–2635 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.54.2629
[6] AR Calderbank, EM Rains, PM Shor và NJA Sloane, “Sửa lỗi lượng tử thông qua mã trên GF(4),” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 44, 1369 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.681315
[7] Dennis, A. Kitaev, A. Landahl và J. Preskill, “Bộ nhớ lượng tử tôpô,” J. Math. Vật lý. 43, 4452–4505 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1499754
[8] H. Bombin và MA Martin-Delgado, “Chưng cất lượng tử tôpô,” Phys. Linh mục Lett. 97, 180501 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.97.180501
[9] J. Tillich và G. Zémor, “Mã LDPC lượng tử có tốc độ dương và khoảng cách tối thiểu tỷ lệ với căn bậc hai của chiều dài khối,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 60, 1193–1202 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2013.2292061
[10] MB Hastings và S. Bravyi, “Mã sản phẩm tương đồng,” trong Proc. của Hội nghị chuyên đề ACM lần thứ 46 về Lý thuyết máy tính (2014) trang 273–282.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2591796.2591870
[11] BM Terhal, “Sửa lỗi lượng tử cho bộ nhớ lượng tử,” Rev. Mod. Vật lý. 87, 307–346 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.87.307
[12] ET Campbell, BM Terhal và V. Christophe, “Những con đường hướng tới tính toán lượng tử phổ quát có khả năng chịu lỗi,” Nature 549, 172 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / thiên nhiên23460
[13] A. Ashikhmin và S. Litsyu, “Giới hạn trên về kích thước của mã lượng tử,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 45, 1206–1215 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.761270
[14] D. Chandra, Z. Babar, HV Nguyen, D. Alanis, P. Botsinis, SX Ng và L. Hanzo, “Giới hạn mã hóa lượng tử và xấp xỉ dạng đóng của khoảng cách tối thiểu so với tốc độ mã hóa lượng tử,” IEEE Access 5 , 11557–11581 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / ACCESS.2017.2716367
[15] NJ Cerf và R. Cleve, “Giải thích lý thuyết thông tin về mã sửa lỗi lượng tử,” Phys. Linh mục A 56, 1721–1732 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.56.1721
[16] D. Gottesman, “Lecture Notes CO639,” có sẵn trực tuyến tại www.perimeterinst acad.ca/personal/dgottesman/CO639-2004/ (2004).
http:///www.perimeterinst acad.ca/personal/dgottesman/CO639-2004/
[17] EM Rains, “Mã lượng tử phi nhị phân,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 45, 1827 (1999a).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.782103
[18] W. Dür, G. Vidal và JI Cirac, “Ba qubit có thể bị vướng víu theo hai cách không giống nhau,” Phys. Linh mục A 62, 062314 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.62.062314
[19] M. Walter, D. Gross và J. Eisert, “Sự vướng víu giữa nhiều bên,” (2017), arXiv:1612.02437.
arXiv: 1612.02437
[20] I. Bengtsson và K. Życzkowski, Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement, tái bản lần 2. (Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2017).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511535048
[21] T. Cubitt, A. Montanaro và A. Winter, “Về chiều của không gian con có hạng Schmidt bị chặn,” J. Math. Vật lý. 49, 022107 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.2862998
[22] N. Johnston, “Không gian con chuyển vị một phần không dương có thể lớn bằng bất kỳ không gian con vướng víu nào,” Phys. Linh mục A 87, 064302 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.87.064302
[23] J. Walgate và AJ Scott, “Khả năng phân biệt cục bộ chung và các không gian con vướng víu hoàn toàn,” J. Phys. Đáp: Toán. Lý thuyết. 41, 375305 (2008).
https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/37/375305
[24] R. Sengupta, Arvind và AI Singh, “Tính chất vướng víu của các toán tử dương với các phạm vi trong không gian con vướng víu hoàn toàn,” Phys. Linh mục A 90, 062323 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.90.062323
[25] M. Demianowicz và R. Augusiak, “Từ cơ sở sản phẩm không thể mở rộng đến các không gian con thực sự vướng víu,” Phys. Mục sư A 98, 012313 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.012313
[26] M. Demianowicz và R. Augusiak, “Sự vướng víu của các không gian con và trạng thái vướng víu thực sự: Kết quả chính xác, gần đúng và bằng số,” Phys. Mục sư A 100, 062318 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.100.062318
[27] M. Demianowicz và R. Augusiak, “Một cách tiếp cận để xây dựng các không gian con vướng víu thực sự có chiều cực đại,” Quantum Inf. Quá trình. 19, 199 (2020).
https://doi.org/10.1007/s11128-020-02688-4
[28] G. Gour và NR Wallach, “Sự vướng víu của không gian con và mã sửa lỗi,” Phys. Linh mục A 76, 042309 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.76.042309
[29] M. Grassl, T. Beth và M. Rötteler, “Về mã lượng tử tối ưu,” Int. J. Quant. Thông tin 2, 55 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749904000079
[30] M. Grassl và M. Rötteler, “Mã MDS lượng tử trên các trường nhỏ,” trong IEEE Int. Triệu chứng. Thông tin Lý thuyết (ISIT 2015) (2015) trang 1104–1108.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2015.7282626
[31] GGL Guardia, “Mã MDS lượng tử mới,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 57, 5551–5554 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2011.2159039
[32] W. Helwig, Sự vướng víu nhiều bên: Biến đổi, Chia sẻ bí mật lượng tử, Sửa lỗi lượng tử, Ph.D. luận văn, Đại học Toronto (2014).
http: / / hdl.handle.net/ 1807/44114
[33] D. Joyner và J.-L. Kim, Các vấn đề chưa được giải quyết được chọn lọc trong lý thuyết mã hóa (Phân tích sóng hài ứng dụng và số), tái bản lần thứ nhất. (Birkhäuser Basel, 1).
https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8256-9
[34] S. Ball, “Trên các tập vectơ của không gian vectơ hữu hạn trong đó mọi tập con có kích thước cơ sở đều là một cơ sở,” J. Eur. Toán học. Sóc. 14, 733–748 (2012).
https:///doi.org/10.4171/JEMS/316
[35] C. Eltschka, F. Huber, O. Gühne và J. Siewert, “Có nhiều hạn chế về sự vướng víu và tương quan theo cấp số nhân đối với các trạng thái lượng tử nhiều bên,” Phys. Mục sư A 98, 052317 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.052317
[36] E. Knill, R. Laflamme và L. Viola, “Lý thuyết sửa lỗi lượng tử cho tiếng ồn chung,” Phys. Linh mục Lett. 84, 2525–2528 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.84.2525
[37] D. Gottesman, “Giới thiệu về sửa lỗi lượng tử,” trong Tính toán lượng tử: Một thách thức toán học lớn cho thế kỷ XXI và thiên niên kỷ, ed. SJ Lomonaco, Jr., trang 221–235, (Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ, 2002) arXiv:quant-ph/0004072.
arXiv: quant-ph / 0004072
[38] R. Cleve, D. Gottesman và H.-K. Lo, “Cách chia sẻ bí mật lượng tử,” Phys. Linh mục Lett. 83, 648–651 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.83.648
[39] P. Shor và R. Laflamme, “Tương tự lượng tử của Danh tính MacWilliams cho Lý thuyết mã hóa cổ điển,” Phys. Linh mục Lett. 78, 1600–1602 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.78.1600
[40] EM Rains, “Bộ đếm trọng lượng lượng tử,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 44, 1388–1394 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.681316
[41] F. Huber, C. Eltschka, J. Siewert và O. Gühne, “Giới hạn trên các trạng thái vướng víu tối đa từ bất đẳng thức bóng và danh tính MacWilliams lượng tử,” J. Phys. Đáp: Toán. Lý thuyết. 51, 175301 (2018).
https:///doi.org/10.1088/1751-8121/aaade5
[42] A. Ashikhmin và A. Barg, “Những khoảnh khắc nhị thức của phân bố khoảng cách: giới hạn và ứng dụng,” Giao dịch của IEEE về Lý thuyết Thông tin 45, 438–452 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.748994
[43] D. Gottesman, Mã ổn định và sửa lỗi lượng tử, Ph.D. luận án, Caltech (1997), arXiv:quant-ph/9705052.
arXiv: quant-ph / 9705052
[44] D. Alsina và M. Razavi, “Các trạng thái vướng víu tuyệt đối tối đa, mã phân tách khoảng cách tối đa lượng tử và bộ lặp lượng tử,” (2019), arXiv:1907.11253.
arXiv: 1907.11253
[45] TA Brun và DE Lidar, Sửa lỗi lượng tử (Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2013).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9781139034807
[46] A. Mùa đông, giao tiếp riêng (2019).
[47] WC Huffman và V. Pless, Nguyên tắc cơ bản của mã sửa lỗi (Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2003).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511807077
[48] FJ MacWilliams và NJA Sloane, Lý thuyết về mã sửa lỗi (North Holland, 1981).
[49] RP Stanley, Tổ hợp liệt kê: Tập 1, tái bản lần thứ 2. (Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511609589
[50] AJ Scott, “Sự vướng víu nhiều bên, mã sửa lỗi lượng tử và sức mạnh vướng víu của sự tiến hóa lượng tử,” Phys. Linh mục A 69, 052330 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.69.052330
[51] A. Ketkar, A. Klappenecker, S. Kumar và PK Sarvepalli, “Mã ổn định phi nhị phân trên các trường hữu hạn,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 52, 4892–4914 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2006.883612
[52] W. Helwig, W. Cui, JI Latorre, A. Riera và H.-K. Lo, “Sự vướng víu tối đa tuyệt đối và chia sẻ bí mật lượng tử,” Phys. Linh mục A 86, 052335 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.86.052335
[53] F. Huber, O. Gühne và J. Siewert, “Các trạng thái vướng víu tuyệt đối tối đa của bảy Qubit không tồn tại,” Phys. Linh mục Lett. 118, 200502 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.118.200502
[54] F. Huber và N. Wyderka, “Bảng các trạng thái AME,” có sẵn trực tuyến tại http:///www.tp.nt.uni-siegen.de/+fhuber/ame.html (2020).
http:///www.tp.nt.uni-siegen.de/+fhuber/ame.html
[55] EM Rains, “Bất biến đa thức của mã lượng tử,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 46, 54–59 (2000).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.817508
[56] EM Rains, “Bộ đếm bóng lượng tử,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 45, 2361–2366 (1999b).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.796376
[57] G. Nebe, EM Rains, và NJA Sloane, Mật mã tự đối ngẫu và Lý thuyết bất biến (Springer Berlin-Heidelberg, 2006).
https://doi.org/10.1007/3-540-30731-1
[58] EM Rains, “Mã lượng tử khoảng cách tối thiểu hai,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 45, 266–271 (1999c).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.746807
[59] P. Horodecki, L. Rudnicki và K. Życzkowski, “Năm vấn đề mở trong thông tin lượng tử,” (2020), arXiv:2002.03233.
arXiv: 2002.03233
[60] A. Ashikhmin, “Nhận xét về giới hạn của mã lượng tử,” (1997), arXiv:quant-ph/9705037.
arXiv: quant-ph / 9705037
[61] A. Ashikhmin và S. Litsyu, “Giới hạn trên về kích thước của mã lượng tử,” Giao dịch của IEEE về Lý thuyết Thông tin 45, 1206–1215 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1109 / 18.761270
[62] MA Nielsen và IL Chuang, Tính toán lượng tử và Thông tin lượng tử: Phiên bản kỷ niệm 10 năm (Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511976667
[63] A. Müller-Hermes, D. Stilck França và MM Wolf, “Sự hội tụ entropy tương đối cho các kênh khử cực,” J. Math. Vật lý. 57, 022202 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.4939560
[64] A. Klappenecker và M. Rötteler, “Ngoài các mã ổn định. I. Cơ sở lỗi tốt,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 48, 2392–2395 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2002.800471
[65] M. Rötteler, M. Grassl và T. Beth, “Về mã MDS lượng tử,” trong Kỷ yếu, Int. Triệu chứng. Thông tin Lý thuyết (ISIT 2004) (2004) tr. 356.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2004.1365393
[66] PK Sarvepalli và A. Klappenecker, “Mã Reed-Muller lượng tử phi nhị phân,” trong Kỷ yếu. Int. Triệu chứng. Thông tin Lý thuyết, (ISIT 2005) (2005) trang 1023–1027.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2005.1523494
[67] L. Jin, S. Ling, J. Luo và C. Xing, “Ứng dụng mã MDS tự trực giao cổ điển Hermiti cho mã MDS lượng tử,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 56, 4735–4740 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2010.2054174
[68] R. Li và Z. Xu, “Xây dựng mã lượng tử $[[n,n{-}4,3]]{__{q}$ cho số nguyên tố lẻ $q$,” Phys. Mục sư A 82, 052316 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.82.052316
[69] S. Ball, “Một số cấu trúc của mã MDS lượng tử,” (2019), arXiv:1907.04391.
arXiv: 1907.04391
[70] DG Glynn, “Vòng cung $10$ phi cổ điển của $PG(4, 9)$,” Toán rời rạc. 59, 43–51 (1986).
https://doi.org/10.1016/0012-365X(86)90067-1
[71] TA Gulliver, J. Kim và Y. Lee, “Mã tự kép MDS mới hoặc gần MDS,” IEEE Trans. Thông tin Lý thuyết 54, 4354–4360 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2008.928297
[72] J.-L. Kim và Y. Lee, “Mã MDS tự đối ngẫu của Euclid và Hermiti trên các trường hữu hạn lớn,” J. Comb. Lý thuyết A 105, 79–95 (2004).
https:///doi.org/10.1016/j.jcta.2003.10.003
Trích dẫn
[1] Daniel Alsina và Mohsen Razavi, “Các trạng thái vướng víu tuyệt đối tối đa, mã phân tách khoảng cách tối đa lượng tử và bộ lặp lượng tử”, arXiv: 1907.11253.
[2] Paweł Mazurek, Máté Farkas, Andrzej Grudka, Michał Horodecki và Michał Studziński, “Mã sửa lỗi lượng tử và các trạng thái vướng víu cực đại”, Đánh giá vật lý A 101 4, 042305 (2020).
[3] Maciej Demianowicz và Remigiusz Augusiak, “Sự vướng víu của các không gian con và trạng thái vướng víu thực sự: Kết quả chính xác, gần đúng và bằng số”, Đánh giá vật lý A 100 6, 062318 (2019).
[4] Felix Huber, “Bản đồ dương và sự co rút ma trận từ Nhóm đối xứng”, arXiv: 2002.12887.
[5] Zahra Raissi, “Sửa đổi-rút gọn: Sửa đổi phương pháp xây dựng mã lượng tử từ các trạng thái vướng víu cao”, arXiv: 2005.01426.
[6] Maciej Demianowicz và Remigiusz Augusiak, “Một cách tiếp cận để xây dựng các không gian con vướng víu thực sự có chiều cực đại”, arXiv: 1912.07536.
[7] Sathwik Chadaga, Mridul Agarwal và Vaneet Aggarwal, “Bộ mã hóa và giải mã cho mã mở rộng lượng tử sử dụng máy học”, arXiv: 1909.02945.
Các trích dẫn trên là từ SAO / NASA ADS (cập nhật lần cuối thành công 2020 / 06-19 12:26:57). Danh sách có thể không đầy đủ vì không phải tất cả các nhà xuất bản đều cung cấp dữ liệu trích dẫn phù hợp và đầy đủ.
On Dịch vụ trích dẫn của Crossref không có dữ liệu về các công việc trích dẫn được tìm thấy (lần thử cuối cùng 2020 / 06-19 12:26:55).
Bài viết này được xuất bản trong Lượng tử dưới Creative Commons Ghi công 4.0 Quốc tế (CC BY 4.0) giấy phép. Bản quyền vẫn thuộc về chủ sở hữu bản quyền gốc như các tác giả hoặc tổ chức của họ.
Nguồn: https://quantum-journal.org/ con / q-2020 / 06-18-284 /
