Năm 2012, nhà toán học Shinichi Mochizuki tuyên bố ông đã giải được bài toán abc phỏng đoán, một câu hỏi mở lớn trong lý thuyết số về mối quan hệ giữa phép cộng và phép nhân. Chỉ có một vấn đề: Chứng minh dài hơn 500 trang của ông hoàn toàn không thể xuyên thủng được. Nó dựa trên một loạt các định nghĩa, ký hiệu và lý thuyết mới mà gần như tất cả các nhà toán học đều thấy không thể hiểu được. Nhiều năm sau, khi hai nhà toán học dịch phần lớn chứng minh sang những thuật ngữ quen thuộc hơn, họ chỉ ra cái mà người ta gọi là “khoảng cách nghiêm trọng, không thể khắc phục” theo logic của nó - chỉ để Mochizuki bác bỏ lập luận của họ trên cơ sở rằng họ đơn giản là không hiểu công việc của anh ấy.

Vụ việc đặt ra một câu hỏi cơ bản: Chứng minh toán học là gì? Chúng ta có xu hướng nghĩ về nó như một sự mặc khải về một chân lý vĩnh cửu nào đó, nhưng có lẽ nó nên được hiểu rõ hơn như một thứ gì đó thuộc về một cấu trúc xã hội.

Andrew Granville, một nhà toán học tại Đại học Montreal, gần đây đã suy nghĩ rất nhiều về điều đó. Sau khi được một triết gia liên hệ về một số bài viết của ông, “Tôi phải suy nghĩ về cách chúng ta đi đến sự thật của mình,” ông nói. “Và một khi bạn bắt đầu đẩy cánh cửa đó, bạn sẽ thấy đó là một chủ đề rộng lớn.”

Granville yêu thích số học từ khi còn nhỏ, nhưng ông chưa bao giờ cân nhắc sự nghiệp nghiên cứu toán học vì ông không biết một thứ như vậy tồn tại. “Cha tôi bỏ học lúc 14 tuổi, mẹ tôi lúc 15 hoặc 16 tuổi,” anh nói. “Họ sinh ra ở khu vực mà lúc đó là khu vực tầng lớp lao động ở London, và trường đại học nằm ngoài những gì họ thấy có thể. Vì thế chúng tôi không có manh mối nào cả.”

Sau khi tốt nghiệp Đại học Cambridge, nơi anh học toán, anh bắt đầu thích nghi Giấy tờ Rachel, tiểu thuyết của Martin Amis, thành kịch bản. Trong khi thực hiện và tìm kiếm nguồn tài trợ cho dự án, anh ấy muốn tránh làm công việc bàn giấy - anh ấy đã làm việc tại một công ty bảo hiểm trong khoảng thời gian một năm giữa cấp ba và đại học và không muốn quay lại công việc đó - “vì vậy tôi đã đi để học cao học,” anh nói. Bộ phim chưa bao giờ thành công (cuốn tiểu thuyết sau đó được dựng thành phim độc lập), nhưng Granville đã lấy bằng thạc sĩ toán học và sau đó chuyển đến Canada để hoàn thành bằng tiến sĩ. Anh ấy không bao giờ nhìn lại.

“Đó thực sự là một cuộc phiêu lưu,” anh nói. “Tôi thực sự không mong đợi nhiều. Tôi thực sự không biết tiến sĩ là gì. đã từng là."

Trong nhiều thập kỷ kể từ đó, ông là tác giả của hơn 175 bài báo, chủ yếu về lý thuyết số. Anh ấy cũng trở nên nổi tiếng với việc viết về toán học cho độc giả đại chúng: Năm 2019, anh ấy là đồng tác giả của một cuốn sách. cuốn tiểu thuyết đồ họa về số nguyên tố và các khái niệm liên quan với chị gái của anh, Jennifer, một nhà biên kịch. Tháng trước, một trong những bài viết của ông về “cách chúng ta đạt đến sự thật của mình” đã được công bố trong Biên niên sử Toán học và Triết học. Và cùng với các nhà toán học, nhà khoa học máy tính và triết gia khác, anh ấy dự định xuất bản một tuyển tập các bài báo trong tạp chí năm tới. Bản tin của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ về việc máy móc có thể thay đổi toán học như thế nào.

Quanta đã nói chuyện với Granville về bản chất của chứng minh toán học - từ cách chứng minh hoạt động trong thực tế đến những quan niệm sai lầm phổ biến về chúng, cho đến việc chứng minh có thể phát triển như thế nào trong thời đại trí tuệ nhân tạo. Cuộc phỏng vấn đã được chỉnh sửa và cô đọng cho rõ ràng.

Gần đây bạn đã xuất bản một bài báo về bản chất của chứng minh toán học. Tại sao bạn quyết định rằng điều này là quan trọng để viết về?

Cách các nhà toán học tiến hành nghiên cứu thường không được miêu tả rõ ràng trên các phương tiện truyền thông đại chúng. Mọi người có xu hướng coi toán học là một cuộc tìm kiếm thuần túy, nơi chúng ta đạt đến những chân lý vĩ đại chỉ bằng suy nghĩ thuần túy. Nhưng toán học là về những phỏng đoán - thường là những phỏng đoán sai. Đó là một quá trình thử nghiệm. Chúng tôi học theo từng giai đoạn.

Ví dụ, khi giả thuyết Riemann lần đầu tiên xuất hiện trên một bài báo vào năm 1859, nó giống như một phép thuật: Đây là một phỏng đoán đáng kinh ngạc, không biết từ đâu xuất hiện. Trong 70 năm, người ta đã nói về những gì một nhà tư tưởng vĩ đại có thể làm chỉ bằng tư duy thuần túy. Sau đó, nhà toán học Carl Siegel tìm thấy những ghi chú của Riemann trong kho lưu trữ của Göttingen. Riemann thực sự đã thực hiện các trang tính toán số XNUMX của hàm Riemann zeta. Câu nói nổi tiếng của Siegel là: “Chỉ riêng suy nghĩ thuần túy thôi đã có quá nhiều thứ”.

Vì vậy, có sự căng thẳng trong cách mọi người viết về toán học - đặc biệt là một số triết gia và nhà sử học. Họ dường như nghĩ rằng chúng ta là một sinh vật thuần túy có phép thuật, một con kỳ lân của khoa học. Nhưng thông thường chúng tôi không như vậy. Đó hiếm khi chỉ là suy nghĩ thuần túy.

Bạn mô tả công việc của các nhà toán học như thế nào?

Văn hóa toán học tất cả là về bằng chứng. Chúng ta ngồi lại và suy nghĩ, và 95% những gì chúng ta làm đều là bằng chứng. Phần lớn sự hiểu biết mà chúng ta đạt được là từ việc đấu tranh với các bằng chứng và diễn giải các vấn đề nảy sinh khi chúng ta đấu tranh với chúng.

Chúng ta thường nghĩ về một bằng chứng như một lập luận toán học. Thông qua một loạt các bước hợp lý, nó chứng minh rằng một tuyên bố đã cho là đúng. Nhưng bạn viết rằng điều này không nên nhầm lẫn với sự thật khách quan, thuần túy. Ý bạn là như thế nào?

Mục đích chính của chứng minh là thuyết phục người đọc về tính đúng đắn của một khẳng định. Điều đó có nghĩa là xác minh là chìa khóa. Hệ thống xác minh tốt nhất mà chúng ta có trong toán học là nhiều người xem xét một bằng chứng từ những góc độ khác nhau và nó rất phù hợp với bối cảnh mà họ biết và tin tưởng. Ở một khía cạnh nào đó, chúng tôi không nói rằng chúng tôi biết điều đó là đúng. Chúng tôi nói rằng chúng tôi hy vọng nó đúng vì rất nhiều người đã thử nó từ những góc độ khác nhau. Bằng chứng được chấp nhận bởi các tiêu chuẩn cộng đồng này.

Sau đó, có khái niệm về tính khách quan - về việc chắc chắn rằng những gì được tuyên bố là đúng, về cảm giác như bạn có một sự thật tối thượng. Nhưng làm thế nào chúng ta có thể biết chúng ta đang khách quan? Thật khó để đưa bản thân ra khỏi bối cảnh mà bạn đã đưa ra tuyên bố - để có một góc nhìn bên ngoài mô hình đã được xã hội đặt ra. Điều này đúng với các ý tưởng khoa học cũng như với bất cứ điều gì khác.

Người ta cũng có thể hỏi điều gì là thú vị hoặc quan trọng một cách khách quan trong toán học. Nhưng điều này cũng rõ ràng là chủ quan. Tại sao chúng ta coi Shakespeare là một nhà văn giỏi? Shakespeare ở thời của ông không nổi tiếng như ngày nay. Rõ ràng có những quy ước xã hội xung quanh điều gì thú vị, điều gì quan trọng. Và điều đó phụ thuộc vào mô hình hiện tại.

Trong toán học, nó trông như thế nào?

Một trong những ví dụ nổi tiếng nhất về sự thay đổi trong mô hình là phép tính. Khi phép tính được phát minh, nó liên quan đến việc chia một thứ đang tiến tới XNUMX cho một thứ khác đang tiến tới XNUMX - dẫn đến XNUMX chia cho XNUMX, điều này chẳng có ý nghĩa gì cả. Ban đầu, Newton và Leibniz nghĩ ra những vật thể gọi là vi phân. Nó làm cho các phương trình của họ hoạt động được, nhưng theo tiêu chuẩn ngày nay thì nó không hợp lý hay chặt chẽ.

Bây giờ chúng ta có công thức epsilon-delta, được giới thiệu vào cuối thế kỷ 19. Công thức hiện đại này rất tuyệt vời, rõ ràng là tốt cho việc hiểu đúng những khái niệm này khi bạn nhìn vào các công thức cũ, bạn sẽ nghĩ, họ đang nghĩ gì? Nhưng vào thời điểm đó, đó được coi là cách duy nhất bạn có thể làm được. Công bằng mà nói đối với Leibniz và Newton, có lẽ họ sẽ yêu thích phong cách hiện đại. Họ không nghĩ đến việc làm điều đó vì những mô hình của thời đại họ. Vì vậy, phải mất một thời gian rất dài để đến đó.

Vấn đề là chúng ta không biết khi nào chúng ta hành xử như vậy. Chúng ta bị mắc kẹt trong xã hội mà chúng ta đang sống. Chúng ta không có góc nhìn bên ngoài để nói lên những giả định mà chúng ta đang đưa ra. Một trong những mối nguy hiểm trong toán học là bạn có thể cho rằng điều gì đó không quan trọng vì nó không dễ dàng được diễn đạt hoặc thảo luận bằng ngôn ngữ bạn đã chọn sử dụng. Điều đó không có nghĩa là bạn đúng.

Tôi thực sự thích câu nói này của Descartes, về cơ bản ông nói: “Tôi nghĩ tôi biết mọi thứ cần biết về một tam giác, nhưng ai có thể nói tôi biết? Ý tôi là, ai đó trong tương lai có thể nghĩ ra một quan điểm hoàn toàn khác, dẫn đến cách suy nghĩ tốt hơn nhiều về tam giác.” Và tôi nghĩ anh ấy đúng. Bạn thấy điều đó trong toán học.

Như bạn đã viết trong bài báo của mình, bạn có thể coi một bằng chứng như một khế ước xã hội - một dạng thỏa thuận chung giữa tác giả và cộng đồng toán học của họ. Chúng ta đã thấy một ví dụ điển hình về việc điều này không hiệu quả, với bằng chứng được Mochizuki khẳng định về abc phỏng đoán.

Điều đó thật cực đoan, bởi vì Mochizuki không muốn chơi trò chơi theo cách nó được chơi. Anh ấy đã đưa ra lựa chọn này một cách mù mờ. Khi mọi người tạo ra những đột phá lớn, với những ý tưởng thực sự mới và khó, tôi cảm thấy họ có trách nhiệm phải cố gắng lôi kéo những người khác bằng cách giải thích ý tưởng của họ theo cách dễ tiếp cận nhất có thể. Và anh ấy nói đúng hơn, nếu bạn không muốn đọc nó theo cách tôi viết thì đó không phải là vấn đề của tôi. Anh ấy có quyền chơi trò chơi mà anh ấy muốn chơi. Nhưng nó không liên quan gì đến cộng đồng. Nó không liên quan gì đến cách chúng ta tiến bộ.

Nếu bằng chứng tồn tại trong bối cảnh xã hội, chúng đã thay đổi như thế nào theo thời gian?

Tất cả bắt đầu với Aristotle. Anh ấy nói rằng cần phải có một loại hệ thống suy diễn nào đó - rằng bạn chỉ có thể chứng minh những điều mới bằng cách dựa trên những điều bạn đã biết và chắc chắn, quay lại những “tuyên bố nguyên thủy” hoặc tiên đề nhất định.

Vậy thì câu hỏi là: Những điều cơ bản mà bạn biết là đúng là gì? Từ rất lâu rồi, người ta chỉ nói, ừ, đường thẳng là đường thẳng, đường tròn là đường tròn; có một số điều đơn giản và hiển nhiên, và đó phải là những giả định mà chúng ta bắt đầu từ đó.

Viễn cảnh đó đã tồn tại mãi mãi. Nó vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay ở một mức độ lớn. Nhưng hệ tiên đề Euclide đã phát triển - “đường thẳng là đường thẳng” - cũng có vấn đề. Có những nghịch lý này được Bertrand Russell phát hiện dựa trên khái niệm về một tập hợp. Hơn nữa, người ta có thể chơi trò chơi chữ bằng ngôn ngữ toán học, tạo ra các câu có vấn đề như “tuyên bố này sai” (nếu nó đúng thì nó sai; nếu nó sai thì nó đúng) cho thấy có vấn đề với hệ tiên đề.

Vì vậy, Russell và Alfred Whitehead đã cố gắng tạo ra một hệ thống làm toán mới có thể tránh được tất cả những vấn đề này. Nhưng nó phức tạp một cách lố bịch, và thật khó để tin rằng đây lại là những nguyên thủy phù hợp để bắt đầu. Không ai cảm thấy thoải mái với nó. Những việc như việc chứng minh 2 + 2 = 4 chiếm một khoảng không gian rất lớn tính từ điểm bắt đầu. Điểm của một hệ thống như vậy là gì?

Sau đó David Hilbert xuất hiện và nảy ra một ý tưởng tuyệt vời: có lẽ chúng ta không nên nói cho ai biết điều gì là đúng để bắt đầu. Thay vào đó, bất cứ điều gì hiệu quả - xuất phát điểm đơn giản, mạch lạc và nhất quán - đều đáng để khám phá. Bạn không thể suy ra hai điều từ các tiên đề mâu thuẫn với nhau và bạn sẽ có thể mô tả hầu hết toán học theo các tiên đề đã chọn. Nhưng bạn không nên tiên nghiệm nói chúng là gì.

Điều này dường như cũng phù hợp với cuộc thảo luận trước đây của chúng ta về chân lý khách quan trong toán học. Vì vậy, vào đầu thế kỷ 20, các nhà toán học đã nhận ra rằng có thể có nhiều hệ thống tiên đề - rằng một tập hợp tiên đề nhất định không nên được coi là một chân lý phổ quát hoặc hiển nhiên?

Phải. Và tôi phải nói rằng, Hilbert bắt đầu làm việc này không phải vì những lý do trừu tượng. Ông rất quan tâm đến các khái niệm khác nhau của hình học: hình học phi Euclide. Nó đã gây tranh cãi rất nhiều. Mọi người vào thời điểm đó nghĩ rằng, nếu bạn cho tôi định nghĩa về đường bao quanh các góc của một chiếc hộp, thì tại sao tôi phải nghe theo bạn? Và Hilbert nói rằng nếu ông ấy có thể làm cho nó mạch lạc và nhất quán, bạn nên lắng nghe, vì đây có thể là một hình học khác mà chúng ta cần hiểu. Và sự thay đổi quan điểm này - rằng bạn có thể cho phép bất kỳ hệ tiên đề nào - không chỉ áp dụng cho hình học; nó áp dụng cho tất cả toán học.

Nhưng tất nhiên, một số thứ hữu ích hơn những thứ khác. Vì vậy, hầu hết chúng ta đều làm việc với 10 tiên đề giống nhau, một hệ thống có tên là ZFC.

Điều này dẫn đến câu hỏi điều gì có thể và không thể suy ra từ nó. Có những phát biểu, như giả thuyết liên tục, không thể được chứng minh bằng ZFC. Phải có tiên đề thứ 11. Và bạn có thể giải quyết nó theo một trong hai cách, bởi vì bạn có thể chọn hệ thống tiên đề của mình. Nó khá tuyệt. Chúng ta tiếp tục với loại số nhiều này. Không rõ đâu là đúng, đâu là sai. Theo Kurt Gödel, chúng ta vẫn cần đưa ra lựa chọn dựa trên khẩu vị và hy vọng chúng ta có khẩu vị tốt. Chúng ta nên làm những điều có ý nghĩa. Và chúng tôi làm vậy.

Nói về Gödel, anh ấy cũng đóng một vai trò khá lớn ở đây.

Để thảo luận về toán học, bạn cần một ngôn ngữ và một bộ quy tắc để tuân theo ngôn ngữ đó. Vào những năm 1930, Gödel đã chứng minh rằng cho dù bạn chọn ngôn ngữ như thế nào thì luôn có những phát biểu trong ngôn ngữ đó là đúng nhưng điều đó không thể được chứng minh từ những tiên đề ban đầu của bạn. Nó thực sự phức tạp hơn thế, nhưng bạn vẫn gặp phải vấn đề nan giải mang tính triết học ngay lập tức: Một tuyên bố đúng là gì nếu bạn không thể biện minh cho nó? Thật là điên rồ.

Vậy là có một mớ hỗn độn lớn. Chúng tôi bị giới hạn trong những gì chúng tôi có thể làm.

Các nhà toán học chuyên nghiệp phần lớn bỏ qua điều này. Chúng tôi tập trung vào những gì có thể làm được. Như Peter Sarnak thường nói: “Chúng tôi là những người đang làm việc”. Chúng tôi tiếp tục và cố gắng chứng minh những gì chúng tôi có thể.

Giờ đây, với việc sử dụng không chỉ máy tính mà còn cả AI, khái niệm bằng chứng sẽ thay đổi như thế nào?

Chúng tôi đã chuyển đến một nơi khác, nơi máy tính có thể làm được một số việc điên rồ. Bây giờ mọi người nói, ồ, chúng tôi có chiếc máy tính này, nó có thể làm được những việc mà con người không thể. Nhưng có thể được không? Nó thực sự có thể làm được những điều mà con người không thể? Trở lại những năm 1950, Alan Turing đã nói rằng máy tính được thiết kế để làm những gì con người có thể làm, chỉ là nhanh hơn. Không có nhiều thay đổi.

Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học đã sử dụng máy tính - chẳng hạn như để thực hiện các phép tính có thể giúp hướng dẫn sự hiểu biết của họ. Điều mới mẻ mà AI có thể làm là xác minh những gì chúng ta tin là đúng. Một số phát triển tuyệt vời đã xảy ra với việc xác minh bằng chứng. Giống như [trợ lý chứng minh] Lean, đã cho phép các nhà toán học xác minh nhiều bằng chứng, đồng thời giúp các tác giả hiểu rõ hơn về công việc của chính họ, vì họ phải chia nhỏ một số ý tưởng của mình thành các bước đơn giản hơn để đưa vào Lean để xác minh.

Nhưng điều này có dễ hiểu không? Bằng chứng có phải là bằng chứng chỉ vì Lean đồng ý rằng đó là một bằng chứng? Ở một khía cạnh nào đó, việc chuyển đổi bằng chứng thành đầu vào cho Lean cũng tốt như vậy. Nghe có vẻ rất giống cách chúng ta làm toán truyền thống. Vì vậy, tôi không nói rằng tôi tin rằng những thứ như Lean sẽ mắc nhiều lỗi. Tôi chỉ không chắc nó có an toàn hơn hầu hết những gì con người làm hay không.

Tôi e rằng tôi có nhiều hoài nghi về vai trò của máy tính. Chúng có thể là một công cụ rất có giá trị để thực hiện đúng mọi việc - đặc biệt là để xác minh toán học dựa chủ yếu vào các định nghĩa mới mà thoạt nhìn không dễ phân tích. Không có gì phải bàn cãi rằng việc có những quan điểm mới, công cụ mới và công nghệ mới trong kho vũ khí của chúng ta là điều hữu ích. Nhưng điều tôi né tránh là khái niệm cho rằng bây giờ chúng ta sẽ có những cỗ máy logic hoàn hảo có thể tạo ra các định lý đúng.

Bạn phải thừa nhận rằng chúng ta không thể chắc chắn mọi thứ đều đúng với máy tính. Tương lai của chúng ta phải dựa vào ý thức cộng đồng mà chúng ta đã dựa vào trong suốt lịch sử khoa học: rằng chúng ta trao đổi mọi thứ với nhau. Rằng chúng tôi nói chuyện với những người nhìn cùng một thứ từ một góc nhìn hoàn toàn khác. Và như thế.

Tuy nhiên, bạn thấy điều này sẽ đi đến đâu trong tương lai khi những công nghệ này ngày càng tinh vi hơn?

Có lẽ nó có thể hỗ trợ trong việc tạo ra một bằng chứng. Có lẽ trong XNUMX năm nữa, tôi sẽ nói với một mô hình AI như ChatGPT rằng: “Tôi khá chắc chắn rằng mình đã thấy điều này ở đâu đó. Bạn có thể kiểm tra nó được không?” Và nó sẽ quay lại với một tuyên bố tương tự và đúng.

Và khi nó đã trở nên rất rất tốt ở khoản đó, có lẽ bạn có thể tiến thêm một bước nữa và nói, "Tôi không biết cách làm điều này, nhưng có ai đã làm điều gì đó như thế này không?" Có lẽ cuối cùng, một mô hình AI có thể tìm ra những cách khéo léo để tìm kiếm tài liệu nhằm sử dụng các công cụ đã được sử dụng ở nơi khác - theo cách mà một nhà toán học có thể không lường trước được.

Tuy nhiên, tôi không hiểu làm thế nào ChatGPT có thể vượt quá một mức nhất định để đưa ra bằng chứng theo cách vượt xa chúng tôi. ChatGPT và các chương trình học máy khác không hề suy nghĩ. Họ đang sử dụng các liên kết từ dựa trên nhiều ví dụ. Vì vậy, có vẻ như họ sẽ không vượt qua được dữ liệu huấn luyện của mình. Nhưng nếu điều đó xảy ra, các nhà toán học sẽ làm gì? Phần lớn những gì chúng tôi làm đều là bằng chứng. Nếu bạn lấy đi bằng chứng khỏi chúng tôi, tôi không chắc chúng tôi sẽ trở thành ai.

Bất chấp điều đó, khi nghĩ về việc chúng ta sẽ sử dụng sự hỗ trợ của máy tính ở đâu, chúng ta cần tính đến tất cả các bài học chúng ta đã học được từ nỗ lực của con người: tầm quan trọng của việc sử dụng các ngôn ngữ khác nhau, làm việc cùng nhau, có những quan điểm khác nhau. Có một sự mạnh mẽ, một sức khỏe trong cách các cộng đồng khác nhau cùng nhau làm việc và hiểu một bằng chứng. Nếu chúng ta muốn có sự hỗ trợ của máy tính trong toán học, chúng ta cần làm phong phú nó theo cách tương tự.