Các quá trình ngẫu nhiên diễn ra xung quanh chúng ta. Hôm nay trời mưa nhưng ngày sau thì không; cổ phiếu, trái phiếu tăng giảm giá trị; ùn tắc giao thông kết hợp lại và biến mất. Bởi vì chúng bị chi phối bởi nhiều yếu tố tương tác với nhau theo những cách phức tạp nên không thể dự đoán chính xác hành vi của những hệ thống như vậy. Thay vào đó, chúng ta nghĩ về chúng dưới góc độ xác suất, mô tả các kết quả có thể xảy ra hoặc hiếm gặp.

Ngày nay, nhà lý thuyết xác suất người Pháp Michel Talagrand đã được trao giải Abel, một trong những giải thưởng cao quý nhất trong toán học, vì đã phát triển sự hiểu biết sâu sắc và tinh tế về các quá trình như vậy. Giải thưởng do vua Na Uy trao tặng, được mô phỏng theo giải Nobel và đi kèm với 7.5 triệu kroner Na Uy (khoảng 700,000 USD). Khi được thông báo mình đã thắng, “tâm trí tôi trống rỗng”, Talagrand nói. “Loại toán tôi làm không hề hợp thời khi tôi bắt đầu. Nó được coi là toán học kém hơn. Việc tôi được trao giải thưởng này là bằng chứng tuyệt đối cho thấy điều này không hề xảy ra.”

Các nhà toán học khác đồng ý. Tác phẩm của Talagrand “đã thay đổi cách tôi nhìn thế giới,” nói Assaf Naor của Đại học Princeton. Hôm nay đã thêm Helge Holden, chủ tịch ủy ban giải thưởng Abel, “việc mô tả và mô hình hóa các sự kiện trong thế giới thực bằng các quy trình ngẫu nhiên đang trở nên rất phổ biến. Hộp công cụ của Talagrand xuất hiện ngay lập tức.”

Talagrand coi cuộc đời mình là một chuỗi những sự kiện khó xảy ra. Anh ấy hầu như không học hết cấp 5 ở Lyon: Mặc dù rất quan tâm đến khoa học nhưng anh ấy không thích học. Khi lên 15 tuổi, anh bị mất thị lực ở mắt phải sau khi võng mạc bị bong ra; Năm XNUMX tuổi, anh bị bong XNUMX võng mạc ở mắt còn lại, buộc anh phải nằm viện một tháng, bị băng bó mắt vì sợ sẽ bị mù. Cha anh, một giáo sư toán học, đến thăm anh hàng ngày, khiến đầu óc anh bận rộn bằng việc dạy toán cho anh. “Đây là cách tôi học được sức mạnh của sự trừu tượng,” Talagrand đã viết trong 2019 sau khi giành được Giải thưởng Shaw, một giải thưởng toán học lớn khác đi kèm với số tiền thưởng 1.2 triệu USD. (Talagrand đang sử dụng một phần số tiền này, cùng với số tiền thắng giải Abel, để thành lập một giải thưởng của riêng mình, “công nhận thành tựu của các nhà nghiên cứu trẻ trong các lĩnh vực mà tôi đã cống hiến cả đời.”)

Anh ấy đã nghỉ học nửa năm trong thời gian hồi phục, nhưng anh ấy đã có cảm hứng để bắt đầu tập trung vào việc học của mình. Ông rất xuất sắc trong môn toán, và sau khi tốt nghiệp đại học năm 1974, ông được Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp, viện nghiên cứu lớn nhất Châu Âu, thuê, nơi ông làm việc cho đến khi nghỉ hưu vào năm 2017. Trong thời gian đó, ông lấy bằng tiến sĩ; yêu người vợ tương lai của mình, một nhà thống kê, ngay từ cái nhìn đầu tiên (anh cầu hôn cô ba ngày sau khi gặp cô); và dần dần quan tâm đến xác suất, xuất bản hàng trăm bài báo về chủ đề này.

Điều đó không được định trước. Talagrand bắt đầu sự nghiệp nghiên cứu các không gian hình học nhiều chiều. “Trong 10 năm, tôi đã không phát hiện ra mình giỏi ở lĩnh vực nào,” anh nói. Nhưng anh không hối tiếc về con đường vòng này. Cuối cùng nó đưa anh đến với lý thuyết xác suất, nơi “tôi có quan điểm khác… nó cho tôi một cách nhìn mọi thứ một cách khác biệt,” anh nói. Nó cho phép anh ta kiểm tra các quá trình ngẫu nhiên thông qua lăng kính hình học nhiều chiều.

Naor nói: “Anh ấy vận dụng trực giác hình học của mình để giải quyết các câu hỏi thuần túy mang tính xác suất.

Quá trình ngẫu nhiên là một tập hợp các sự kiện có kết quả thay đổi tùy theo cơ hội theo cách có thể được mô hình hóa - chẳng hạn như chuỗi lần tung đồng xu hoặc quỹ đạo của các nguyên tử trong chất khí hoặc tổng lượng mưa hàng ngày. Các nhà toán học muốn hiểu mối quan hệ giữa kết quả cá nhân và hành vi tổng thể. Bạn phải tung đồng xu bao nhiêu lần để biết nó có công bằng không? Liệu một dòng sông có tràn bờ không?

Talagrand tập trung vào các quy trình mà kết quả của nó được phân bổ theo đường cong hình chuông gọi là Gaussian. Những phân bố như vậy có tính chất phổ biến và có một số tính chất toán học mong muốn. Ông muốn biết có thể nói gì một cách chắc chắn về những kết quả cực đoan trong những tình huống này. Vì vậy, ông đã chứng minh một tập hợp các bất đẳng thức đặt giới hạn trên và dưới chặt chẽ cho các kết quả có thể xảy ra. “Để có được một sự bất bình đẳng tốt là một tác phẩm nghệ thuật,” Holden nói. Nghệ thuật đó rất hữu ích: các phương pháp của Talagrand có thể đưa ra ước tính tối ưu về mực nước cao nhất mà một con sông có thể đạt được trong 10 năm tới hoặc cường độ của trận động đất mạnh nhất có thể xảy ra.

Khi chúng ta xử lý dữ liệu phức tạp, nhiều chiều, việc tìm kiếm các giá trị tối đa như vậy có thể khó khăn.

Giả sử bạn muốn đánh giá nguy cơ lũ lụt trên sông - điều này sẽ phụ thuộc vào các yếu tố như lượng mưa, gió và nhiệt độ. Bạn có thể mô hình hóa chiều cao của dòng sông như một quá trình ngẫu nhiên. Talagrand đã dành 15 năm để phát triển một kỹ thuật gọi là chuỗi chung cho phép ông tạo ra một không gian hình học nhiều chiều liên quan đến một quá trình ngẫu nhiên như vậy. Phương pháp của anh ấy “cung cấp cho bạn cách đọc giá trị tối đa từ hình học,” Naor nói.

Kỹ thuật này rất chung chung và do đó có thể áp dụng rộng rãi. Giả sử bạn muốn phân tích một tập dữ liệu lớn, có chiều cao phụ thuộc vào hàng nghìn tham số. Để rút ra một kết luận có ý nghĩa, bạn muốn duy trì các tính năng quan trọng nhất của tập dữ liệu trong khi mô tả đặc điểm của nó chỉ bằng một vài tham số. (Ví dụ: đây là một cách để phân tích và so sánh các cấu trúc phức tạp của các protein khác nhau.) Nhiều phương pháp tiên tiến đạt được sự đơn giản hóa này bằng cách áp dụng một thao tác ngẫu nhiên để ánh xạ dữ liệu có chiều cao tới không gian có chiều thấp hơn . Các nhà toán học có thể sử dụng phương pháp xâu chuỗi chung của Talagrand để xác định số lượng lỗi tối đa mà quy trình này gây ra - cho phép họ xác định khả năng một số tính năng quan trọng không được lưu giữ trong tập dữ liệu đơn giản hóa.

Công việc của Talagrand không chỉ giới hạn ở việc phân tích những kết quả tốt nhất và tồi tệ nhất có thể xảy ra của một quá trình ngẫu nhiên. Ông cũng nghiên cứu những gì xảy ra trong trường hợp bình thường.

Trong nhiều quy trình, các sự kiện riêng lẻ ngẫu nhiên có thể tổng hợp lại dẫn đến các kết quả mang tính quyết định cao. Nếu các phép đo là độc lập thì tổng số sẽ rất dễ dự đoán, ngay cả khi không thể dự đoán từng sự kiện riêng lẻ. Ví dụ, tung một đồng xu công bằng. Bạn không thể nói trước điều gì sẽ xảy ra. Lật nó 10 lần và bạn sẽ nhận được bốn, năm hoặc sáu mặt ngửa - gần với giá trị mong đợi là năm mặt ngửa - khoảng 66% thời gian. Nhưng lật đồng xu 1,000 lần và bạn sẽ nhận được từ 450 đến 550 mặt ngửa trong 99.7% thời gian, kết quả thậm chí còn tập trung hơn vào giá trị kỳ vọng là 500. “Nó đặc biệt sắc nét ở mức trung bình,” Holden nói.

Naor nói: “Mặc dù thứ gì đó có quá nhiều tính ngẫu nhiên, nhưng tính ngẫu nhiên đó sẽ tự triệt tiêu nó”. “Những gì ban đầu có vẻ như là một mớ hỗn độn khủng khiếp thực ra đã được tổ chức.”

Hiện tượng này, được gọi là sự tập trung đo lường, cũng xảy ra trong các quá trình ngẫu nhiên phức tạp hơn nhiều. Talagrand đã đưa ra một tập hợp các bất đẳng thức giúp định lượng sự tập trung đó và chứng minh rằng nó phát sinh trong nhiều bối cảnh khác nhau. Kỹ thuật của ông đánh dấu sự khác biệt so với công việc trước đây trong khu vực. Ông viết trong bài luận năm 2019 của mình rằng việc chứng minh sự bất bình đẳng đầu tiên như vậy là “một trải nghiệm kỳ diệu”. Anh ấy “ở trong trạng thái phấn chấn liên tục.”

Anh ấy đặc biệt tự hào về một trong những bất bình đẳng về nồng độ sau này của mình. Ông nói: “Không dễ để có được một kết quả cố gắng suy nghĩ về vũ trụ và đồng thời có một bằng chứng dài một trang dễ giải thích”. (Anh ấy vui mừng nhớ lại rằng anh ấy đã từng sử dụng một dịch vụ taxi mà người chủ đã nhận ra tên anh ấy, sau khi học được sự bất đẳng thức trong một lớp xác suất ở trường kinh doanh. “Điều đó thật phi thường,” anh ấy nói.)

Giống như phương pháp xâu chuỗi tổng quát của ông, các bất đẳng thức tập trung của Talagrand xuất hiện khắp nơi trong toán học. “Thật ngạc nhiên là nó có thể tiến xa đến thế,” Naor nói. “Bất bình đẳng Talagrand là những chiếc ốc vít giữ mọi thứ lại với nhau.”

Hãy xem xét một vấn đề tối ưu hóa trong đó bạn phải sắp xếp các mục có kích thước khác nhau vào các thùng - một mô hình phân bổ nguồn lực. Khi bạn có nhiều vật phẩm, rất khó để tìm ra số lượng thùng nhỏ nhất mà bạn cần. Nhưng bất đẳng thức Talagrand có thể cho bạn biết bạn có thể cần bao nhiêu thùng nếu kích thước của các vật phẩm là ngẫu nhiên.

Các phương pháp tương tự đã được sử dụng để chứng minh hiện tượng tập trung trong tổ hợp, vật lý, khoa học máy tính, thống kê và các bối cảnh khác.

Gần đây hơn, Talagrand đã áp dụng sự hiểu biết của mình về các quá trình ngẫu nhiên để chứng minh một phỏng đoán quan trọng về kính quay, các vật liệu từ tính hỗn loạn được tạo ra bởi các tương tác ngẫu nhiên, thường mâu thuẫn nhau. Talagrand thất vọng vì mặc dù kính quay được xác định rõ ràng về mặt toán học nhưng các nhà vật lý lại hiểu chúng rõ hơn các nhà toán học. “Đó là một cái gai trong chân chúng tôi,” anh nói. Ông đã chứng minh được một kết quả – về cái gọi là năng lượng tự do của kính quay – mang lại nền tảng cho một lý thuyết toán học hơn.

Trong suốt sự nghiệp của mình, nghiên cứu của Talagrand đã được đánh dấu bằng “khả năng lùi lại và tìm ra những nguyên tắc chung có thể tái sử dụng ở mọi nơi,” Naor nói. “Anh ấy xem đi xem lại và nghĩ về điều gì đó từ mọi góc độ. Và cuối cùng anh ấy đưa ra một cái nhìn sâu sắc và trở thành công cụ hữu ích mà mọi người đang sử dụng.”

“Tôi thích hiểu rất rõ những điều đơn giản, vì não tôi rất chậm,” Talagrand nói. “Vì vậy, tôi nghĩ về họ trong một thời gian rất, rất dài.” Anh ấy nói, anh ấy bị thúc đẩy bởi mong muốn “hiểu điều gì đó một cách sâu sắc, một cách thuần túy, điều này làm cho lý thuyết trở nên dễ dàng hơn nhiều. Sau đó, thế hệ tiếp theo có thể bắt đầu từ đó và đạt được tiến bộ theo cách riêng của họ.”

Trong thập kỷ qua, ông đã đạt được điều này bằng cách viết sách giáo khoa - không chỉ về các quá trình ngẫu nhiên và kính quay, mà còn về một lĩnh vực mà ông không hề nghiên cứu, đó là lý thuyết trường lượng tử. Anh đã muốn tìm hiểu về nó nhưng nhận ra rằng tất cả sách giáo khoa anh có thể tìm được đều được viết bởi và dành cho các nhà vật lý chứ không phải các nhà toán học. Vì thế anh ấy đã tự mình viết một bản. Ông nói: “Sau khi bạn không còn có thể phát minh ra mọi thứ nữa, bạn có thể giải thích chúng.