Phải mất một thời gian dài Claire Voisin mới yêu thích toán học.

Điều đó không có nghĩa là cô ấy từng không thích chủ đề này. Lớn lên ở Pháp - là con thứ 10 trong số 12 người con - cô thích dành hàng giờ để giải các bài toán với cha mình, một kỹ sư. Khi lên 12 tuổi, cô đã bắt đầu tự mình đọc một cuốn sách giáo khoa đại số ở trường trung học, bị cuốn hút bởi các định nghĩa và cách chứng minh được nêu trong các trang sách. “Có tất cả cấu trúc này,” cô nói. “Đại số thực sự là một lý thuyết về cấu trúc.”

Nhưng cô không coi toán học là niềm đam mê cả đời. Mãi đến những năm đại học, cô mới nhận ra nó có thể sâu sắc và đẹp đẽ đến mức nào - và cô mới có khả năng thực hiện những khám phá mới. Cho đến lúc đó, cô nghiêm túc theo đuổi một số sở thích ngoài toán học: triết học, hội họa và thơ ca. (“Khi tôi 20 tuổi, tôi nghĩ mình chỉ học toán và hội họa. Điều đó có lẽ hơi quá đáng,” cô cười.) Đến đầu những năm 20 tuổi, toán học đã lấn át mọi thứ khác. Nhưng hội họa và thơ ca vẫn tiếp tục ảnh hưởng đến cô. Cô coi toán học là một môn nghệ thuật - và là một cách để vượt qua những giới hạn của ngôn ngữ.

Nhiều thập kỷ sau, sau khi trở thành người dẫn đầu trong lĩnh vực hình học đại số, Voisin lại có thời gian để vẽ và tạo ra các tác phẩm điêu khắc bằng đất sét. Tuy nhiên, toán học vẫn tiếp tục chiếm phần lớn sự chú ý của cô; cô ấy thích dành thời gian khám phá “thế giới khác” này, nơi “giống như bạn đang mơ”.

Voisin là nhà nghiên cứu cấp cao tại Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp ở Paris. Ở đó, cô nghiên cứu các đa tạp đại số, có thể được coi là các hình dạng được xác định bởi các tập phương trình đa thức, giống như cách một đường tròn được xác định bởi đa thức. x² + y² = 1. Cô ấy là một trong những chuyên gia hàng đầu thế giới về lý thuyết Hodge, một bộ công cụ mà các nhà toán học sử dụng để nghiên cứu các tính chất chính của đa tạp đại số.

Voisin đã giành được nhiều giải thưởng cho công việc của mình, bao gồm Giải thưởng Nghiên cứu Clay năm 2008, Giải Heinz Hopf năm 2015 và Giải Shaw về toán học năm 2017. Vào tháng XNUMX, bà trở thành người phụ nữ đầu tiên được trao Giải Crafoord vào năm XNUMX. Toán học.

Quanta đã nói chuyện với Voisin về bản chất sáng tạo của toán học. Cuộc phỏng vấn đã được cô đọng và chỉnh sửa cho rõ ràng.

Bạn thích môn toán khi còn nhỏ nhưng lại không thấy mình theo đuổi nó. Tại sao không?

Có sự kỳ diệu của một bằng chứng - cảm xúc mà bạn cảm thấy khi hiểu nó, khi bạn nhận ra nó mạnh mẽ như thế nào và nó tạo nên sức mạnh cho bạn như thế nào. Khi còn nhỏ, tôi đã có thể nhìn thấy điều này. Và tôi rất thích sự tập trung mà môn toán đòi hỏi. Đó là điều mà khi càng lớn lên, tôi càng thấy việc thực hành toán học ngày càng trở nên quan trọng hơn. Phần còn lại của thế giới biến mất. Toàn bộ bộ não của bạn tồn tại để nghiên cứu một vấn đề. Đó là một trải nghiệm phi thường, một trải nghiệm rất quan trọng đối với tôi - khiến bản thân rời khỏi thế giới của những điều thực tế, để sống trong một thế giới khác. Có lẽ đây là lý do tại sao con trai tôi thích chơi trò chơi điện tử đến vậy.

Nhưng theo một nghĩa nào đó, điều khiến tôi trở thành người đến sau với toán học là tôi hoàn toàn không hứng thú với trò chơi. Nó không dành cho tôi. Và ở trường trung học, toán học giống như một trò chơi. Thật khó để tôi thực hiện nó một cách nghiêm túc. Lúc đầu tôi không nhìn thấy chiều sâu của toán học. Ngay cả khi tôi bắt đầu khám phá những bằng chứng và định lý rất thú vị sau khi tốt nghiệp trung học, tôi chưa bao giờ nghĩ rằng mình có thể tự mình phát minh ra thứ gì đó, rằng tôi có thể biến nó thành của mình.

Tôi cần một thứ gì đó sâu sắc hơn, nghiêm túc hơn, thứ gì đó mà tôi có thể biến thành của mình.

Trước khi bạn tìm thấy điều đó trong toán học, bạn đã tìm nó ở đâu?

Tôi thích triết học và sự nhấn mạnh của nó vào khái niệm khái niệm. Ngoài ra, cho đến năm 22 tuổi, tôi đã dành rất nhiều thời gian để vẽ tranh, đặc biệt là những tác phẩm tượng hình lấy cảm hứng từ hình học. Và tôi rất thích thơ - tác phẩm của Mallarmé, Baudelaire, René Char. Tôi đã sống trong một thế giới khác rồi. Nhưng tôi nghĩ đó là điều bình thường khi bạn còn trẻ.

Nhưng toán học ngày càng trở nên quan trọng hơn. Nó thực sự chiếm hết bộ não của bạn. Khi bạn không ngồi ở bàn làm việc để giải quyết một vấn đề cụ thể, tâm trí bạn vẫn bận rộn. Vì vậy, tôi càng làm toán nhiều, tôi càng vẽ ít hơn. Gần đây tôi mới bắt đầu vẽ lại, bây giờ các con tôi đã rời khỏi nhà và tôi có nhiều thời gian hơn.

Điều gì đã khiến bạn quyết định dành phần lớn năng lượng sáng tạo của mình cho toán học?

Toán học ngày càng trở nên thú vị hơn đối với tôi. Là thạc sĩ và tiến sĩ. sinh viên, tôi phát hiện ra rằng toán học của thế kỷ 20 là một thứ gì đó rất sâu sắc và phi thường. Đó là một thế giới của những ý tưởng và khái niệm. Trong hình học đại số có cuộc cách mạng nổi tiếng do Alexander Grothendieck lãnh đạo. Ngay cả trước Grothendieck, đã có những kết quả đáng kinh ngạc. Vì vậy, đây là một lĩnh vực mới, với những ý tưởng hay nhưng cũng vô cùng mạnh mẽ. Lý thuyết Hodge mà tôi nghiên cứu là một phần trong đó.

Ngày càng rõ ràng rằng cuộc sống của tôi đã ở đó. Tất nhiên, tôi có cuộc sống gia đình - một người chồng và năm đứa con - cùng những nhiệm vụ và hoạt động khác. Nhưng tôi nhận ra rằng với toán học, tôi có thể tạo ra thứ gì đó. Tôi có thể cống hiến cả đời mình cho nó, vì nó quá đẹp, quá ngoạn mục, quá thú vị.

Trước đây bạn đã từng viết về việc toán học là một nỗ lực sáng tạo như thế nào.

Tôi là một nhà toán học chuyên nghiệp nên ngày làm việc của tôi chính thức được tổ chức xoay quanh toán học. Tôi ngồi ở bàn làm việc; Tôi làm việc trên máy tính. Nhưng hầu hết hoạt động toán học của tôi không diễn ra trong thời gian đó. Bạn cần một ý tưởng mới, một định nghĩa hay, một tuyên bố mà bạn nghĩ mình có thể khai thác được. Chỉ khi đó công việc của bạn mới có thể bắt đầu. Và điều đó không xảy ra khi tôi ngồi ở bàn làm việc. Tôi cần phải làm theo tâm trí của mình, để giữ cho mình suy nghĩ.

Có vẻ như toán học mang tính cá nhân sâu sắc đối với bạn. Bạn có khám phá được điều gì về bản thân trong quá trình này không?

Khi làm toán, hầu hết thời gian tôi phải đấu tranh với chính mình, bởi vì tôi rất rối loạn, tôi không kỷ luật lắm và tôi cũng có xu hướng trầm cảm. Tôi không thấy nó dễ dàng. Nhưng điều tôi phát hiện ra là vào một số thời điểm - chẳng hạn như vào buổi sáng trong bữa sáng, hoặc khi tôi đang đi bộ trên đường phố Paris hoặc làm điều gì đó thiếu suy nghĩ như dọn dẹp - não của tôi bắt đầu tự hoạt động. Tôi nhận ra rằng tôi đang nghĩ về toán học mà không hề có chủ ý. Giống như bạn đang mơ vậy. Tôi đã 62 tuổi và tôi không có phương pháp thực sự nào để học giỏi toán: Tôi ít nhiều vẫn chờ đợi thời điểm tôi có được cảm hứng.

Bạn làm việc với các đối tượng rất trừu tượng — với không gian nhiều chiều, với các cấu trúc thỏa mãn các phương trình phức tạp. Bạn nghĩ thế nào về một thế giới trừu tượng như vậy?

Thực ra nó không khó lắm đâu. Định nghĩa trừu tượng nhất, một khi bạn đã quen với nó, sẽ không còn trừu tượng nữa. Nó giống như một ngọn núi đẹp mà bạn nhìn rất rõ, vì không khí rất trong lành và có ánh sáng giúp bạn nhìn rõ mọi chi tiết. Đối với chúng tôi, các đối tượng toán học mà chúng tôi nghiên cứu có vẻ cụ thể, bởi vì chúng tôi biết chúng rõ hơn bất kỳ thứ gì khác.

Tất nhiên, có rất nhiều điều cần chứng minh, và khi bạn bắt đầu học một thứ gì đó, bạn có thể đau khổ vì sự trừu tượng. Nhưng khi bạn sử dụng một lý thuyết - bởi vì bạn hiểu các định lý - trên thực tế, bạn cảm thấy rất gần gũi với các đối tượng được đề cập, ngay cả khi chúng trừu tượng. Bằng cách tìm hiểu về các đối tượng, bằng cách thao tác với chúng và sử dụng chúng trong các lập luận toán học, cuối cùng chúng sẽ trở thành bạn của bạn.

Và điều này cũng đòi hỏi phải nhìn chúng từ những góc độ khác nhau?

Ban đầu tôi không học hình học đại số. Tôi đã làm việc trong lĩnh vực hình học giải tích và vi phân phức tạp. Trong hình học giải tích, bạn nghiên cứu một lớp hàm lớn hơn nhiều và các hình dạng được xác định cục bộ bởi các hàm đó. Chúng thường không có phương trình tổng thể, không giống như trong hình học đại số.

Lúc đầu tôi không chú ý nhiều đến quan điểm đại số. Nhưng càng lớn tuổi và càng làm việc trong lĩnh vực này, tôi càng thấy sự cần thiết của việc có hai ngôn ngữ khác nhau này.

Có một định lý đáng kinh ngạc, được gọi là GAGA, một định lý hơi buồn cười; nó có nghĩa là "già" trong tiếng Pháp, nhưng nó cũng là viết tắt của hình học đại số và hình học phân tích. Nó nói rằng bạn có thể chuyển từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác. Bạn có thể thực hiện một phép tính trong hình học giải tích phức tạp nếu nó dễ dàng hơn, sau đó quay lại hình học đại số.

Đôi khi, hình học đại số cho bạn khả năng nghiên cứu một dạng khác của một bài toán có thể mang lại những kết quả đặc biệt. Tôi đã nỗ lực tìm hiểu hình học đại số một cách tổng thể, thay vì chỉ tập trung vào khía cạnh hình học phức tạp của nó.

Thật thú vị khi bạn coi đây là những ngôn ngữ toán học khác nhau.

Ngôn ngữ là điều cần thiết. Trước toán học có ngôn ngữ. Rất nhiều logic đã có sẵn trong ngôn ngữ. Chúng ta có tất cả các quy tắc logic trong toán học: định lượng, phủ định, dấu ngoặc đơn để biểu thị thứ tự đúng của các phép tính. Nhưng điều quan trọng là phải nhận ra rằng tất cả những quy tắc quan trọng đối với các nhà toán học này đều đã có trong ngôn ngữ hàng ngày của chúng ta.

Bạn có thể so sánh một định lý toán học với một bài thơ. Nó được viết bằng lời. Đó là sản phẩm của ngôn ngữ. Chúng ta chỉ có các đối tượng toán học vì chúng ta sử dụng ngôn ngữ, vì chúng ta sử dụng các từ ngữ hàng ngày và gán cho chúng một ý nghĩa cụ thể. Vì vậy, bạn có thể so sánh thơ ca và toán học, ở chỗ cả hai đều hoàn toàn dựa vào ngôn ngữ nhưng vẫn tạo ra điều gì đó mới mẻ.

Bạn bị cuốn hút vào môn toán vì cuộc cách mạng của Grothendieck trong hình học đại số. Về cơ bản, ông đã tạo ra một ngôn ngữ mới để thực hiện loại toán học này.

Đúng.

Có cách nào mà ngôn ngữ toán học bạn đang sử dụng hiện nay vẫn cần phải thay đổi không?

Các nhà toán học liên tục làm lại ngôn ngữ của họ. Thật đáng tiếc vì nó làm cho những bài báo cũ trở nên khó đọc hơn. Nhưng chúng ta làm lại toán học trong quá khứ vì chúng ta hiểu nó rõ hơn. Nó cho chúng ta cách viết và chứng minh các định lý tốt hơn. Đây là trường hợp của Grothendieck, với việc áp dụng đối đồng điều bó vào hình học. Nó thực sự ngoạn mục.

Điều quan trọng là phải làm quen với đối tượng bạn học, đến mức đối với bạn nó giống như ngôn ngữ mẹ đẻ. Khi một lý thuyết bắt đầu hình thành, cần có thời gian để tìm ra các định nghĩa phù hợp và đơn giản hóa mọi thứ. Hoặc có thể nó vẫn còn rất phức tạp nhưng chúng ta đã quen thuộc hơn nhiều với các định nghĩa và đối tượng; việc sử dụng chúng trở nên tự nhiên hơn.

Đó là một sự tiến hóa liên tục. Chúng ta liên tục phải viết lại và đơn giản hóa, đưa ra giả thuyết về điều gì là quan trọng, về những công cụ nào cần cung cấp.

Bạn có phải đưa ra những định nghĩa mới trong tác phẩm của mình không?

Thỉnh thoảng. TRONG công việc tôi đã làm với János Kollar, có một bước ngoặt mà cuối cùng chúng tôi đã có thể tìm ra cách nhìn đúng đắn về vấn đề - thông qua một định nghĩa nhất định. Đây là một bài toán rất cổ điển, và chúng tôi đã làm việc với các công cụ cổ điển, nhưng chứng minh của chúng tôi thực sự dựa trên định nghĩa mà chúng tôi đã thiết lập.

Trong trường hợp khác, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macri và tôi đã chứng minh được điều tốt đẹp kết quả phân loại về các đối tượng được gọi là đa tạp hyper-Kähler. Và điểm khởi đầu cho chứng minh đó là sự đưa ra một bất biến, mà ban đầu chúng tôi gọi là “a.Mùi [Cười.]

Bạn có thể đánh giá thấp tầm quan trọng của các định nghĩa trong toán học, nhưng bạn không nên làm vậy.

Các định nghĩa và ngôn ngữ không phải là động lực hướng dẫn duy nhất trong toán học. Những phỏng đoán cũng vậy, có thể đúng hoặc có thể không đúng. Ví dụ: bạn đã thực hiện rất nhiều công việc về giả thuyết Hodge, một bài toán thiên niên kỷ của Clay mà lời giải đi kèm với một Phần thưởng 1 triệu đô la.

Giả sử bạn có một dạng đại số mà bạn muốn hiểu. Vì vậy, bạn chuyển sang khía cạnh hình học giải tích phức và thay vào đó coi nó như cái được gọi là đa tạp phức. Bạn có thể nghĩ về một đa tạp phức tạp dưới dạng hình dạng tổng thể hoặc cấu trúc liên kết của nó. Có một đối tượng, được gọi là tương đồng, nó cung cấp cho bạn rất nhiều thông tin tôpô về đa tạp. Nhưng nó không phải là quá dễ dàng để xác định.

Bây giờ hãy xem xét các biến thể đại số bên trong biến thể ban đầu của bạn. Mỗi cái sẽ có một bất biến tôpô, một số thông tin tôpô nhất định liên quan đến nó. Phần nào của sự tương đồng của đa tạp phức tạp có thể thu được bằng cách xem xét các bất biến tôpô này?

Giả thuyết Hodge đưa ra câu trả lời cụ thể. Và câu trả lời rất tế nhị.

Vì vậy, các nhà toán học không chắc liệu giả thuyết Hodge cuối cùng sẽ đúng hay sai?

Bạn muốn tin vào giả thuyết Hodge vì nó là kim chỉ nam cho các lý thuyết chính trong hình học đại số.

Bạn thực sự muốn hiểu các tính chất chính của đa tạp đại số. Và nếu phỏng đoán Hodge là đúng, điều đó sẽ mang lại cho bạn khả năng kiểm soát đáng kinh ngạc về hình dạng của đa dạng. Bạn sẽ nhận được thông tin rất quan trọng về cấu trúc của giống.

Có một số lý do mạnh mẽ để tin vào nó. Các trường hợp cụ thể của giả thuyết Hodge đã được biết đến. Và có rất nhiều phát biểu sâu sắc về đa tạp đại số gợi ý rằng giả thuyết Hodge là đúng.

Nhưng hầu như không có tiến bộ nào trong việc chứng minh điều đó. Tôi cũng đã chứng minh rằng không có cách nào để mở rộng giả thuyết Hodge sang một bối cảnh khác mà nó có vẻ tự nhiên. Vì vậy đó là một chút sốc.

Sau nhiều thập kỷ làm việc với tư cách là một nhà toán học, bạn có cảm thấy mình đang làm toán sâu hơn nữa không?

Bây giờ tôi đã lớn hơn, tôi có nhiều thời gian hơn để dành sức lực cho toán học, để thực sự hiện diện trong đó. Tôi cũng có khả năng đi đây đi đó tốt hơn. Trước đây, có lẽ vì có ít thời gian nên ít di chuyển – dù di chuyển quá nhiều, chỉ chạm vào vấn đề mà không dính vào cũng không tốt. Bây giờ tôi đã có nhiều kinh nghiệm hơn và có thể xây dựng được bức tranh của riêng mình.

Bạn có một bức tranh rõ ràng hơn về những gì bạn chưa biết, về những vấn đề còn đang mở. Bạn có cái nhìn chi tiết về lĩnh vực của bạn và đường viền của nó. Phải có một số khía cạnh tốt của việc già đi. Và vẫn còn rất nhiều việc phải làm.