Hãy tưởng tượng rằng một mạng lưới các hình lục giác giống như tổ ong trải dài trước mắt bạn. Một số hình lục giác trống; những cái khác được lấp đầy bởi một cột bê tông rắn cao 6 feet. Kết quả là một loại mê cung. Trong hơn nửa thế kỷ, các nhà toán học đã đặt ra những câu hỏi về những mê cung được tạo ra ngẫu nhiên như vậy. Trang web lớn nhất của các đường dẫn đã được dọn sạch lớn đến mức nào? Xác suất để có một đường đi từ một cạnh đến giữa lưới và quay trở lại là bao nhiêu? Những cơ hội đó thay đổi như thế nào khi lưới tăng kích thước, ngày càng thêm nhiều hình lục giác vào các cạnh của nó?

Những câu hỏi này rất dễ trả lời nếu có nhiều không gian trống hoặc nhiều bê tông. Giả sử mọi hình lục giác được gán trạng thái ngẫu nhiên, độc lập với tất cả các hình lục giác khác, với xác suất không đổi trên toàn bộ lưới. Chẳng hạn, có thể có 1% khả năng mỗi hình lục giác trống. Bê tông làm tắc nghẽn mạng lưới, chỉ để lại những túi không khí nhỏ ở giữa, khiến cơ hội tìm được đường đến rìa thực sự bằng không. Mặt khác, nếu có 99% khả năng mỗi hình lục giác trống rỗng, thì chỉ có một vài bức tường bê tông mỏng, những khoảng không gian mở rải rác - không có nhiều mê cung. Việc tìm đường đi từ tâm tới cạnh trong trường hợp này là gần như chắc chắn.

Đối với các lưới lớn, có sự thay đổi đột ngột đáng kể khi xác suất đạt 1/2. Giống như băng tan thành nước lỏng ở nhiệt độ chính xác bằng XNUMX độ C, đặc tính của mê cung thay đổi mạnh mẽ tại điểm chuyển tiếp này, được gọi là xác suất tới hạn. Dưới mức xác suất tới hạn, hầu hết lưới điện sẽ nằm bên dưới bê tông, trong khi những con đường trống luôn đi vào ngõ cụt. Trên mức xác suất tới hạn, những khu vực rộng lớn bị bỏ trống và những bức tường bê tông chắc chắn sẽ bị tàn lụi. Nếu bạn dừng lại chính xác ở xác suất tới hạn, cụ thể và trống rỗng sẽ cân bằng lẫn nhau, không bên nào có thể thống trị được mê cung.

“Tại điểm tới hạn, cái xuất hiện là mức độ đối xứng cao hơn,” nói Michael Aizenman, một nhà vật lý toán học tại Đại học Princeton. “Điều đó mở ra cánh cửa cho một khối lượng toán học khổng lồ.” Nó cũng có những ứng dụng thực tế cho mọi thứ, từ thiết kế mặt nạ phòng độc đến phân tích cách thức lây lan của các bệnh truyền nhiễm hay cách dầu thấm qua đá.

Trong một giấy được đăng vào mùa thu năm ngoái, bốn nhà nghiên cứu cuối cùng đã tính toán được cơ hội tìm ra đường đi cho mê cung với xác suất tới hạn là 1/2.

Một cuộc chạy đua vũ trang

Là một nghiên cứu sinh tiến sĩ ở Pháp vào giữa những năm 2000, Pierre Nolin đã nghiên cứu kịch bản xác suất tới hạn một cách chi tiết. Ông cho rằng mê cung ngẫu nhiên là “một mô hình thực sự đẹp, có thể là một trong những mô hình đơn giản nhất mà bạn có thể phát minh ra”. Gần cuối nghiên cứu tiến sĩ của mình, hoàn thành vào năm 2008, Nolin bị thu hút bởi một câu hỏi đặc biệt thách thức về cách thức hoạt động của một lưới lục giác ở xác suất tới hạn. Giả sử bạn xây dựng một lưới xung quanh một điểm trung tâm sao cho nó gần giống một vòng tròn và bạn ngẫu nhiên xây dựng mê cung của mình từ đó. Nolin muốn khám phá khả năng bạn có thể tìm thấy một con đường rộng mở đi từ rìa vào trung tâm và quay trở lại mà không cần phải lùi lại. Các nhà toán học gọi đây là đường dẫn hai nhánh đơn sắc, bởi vì cả “cánh tay” hướng vào trong và hướng ra ngoài đều nằm trên những đường dẫn mở. (Đôi khi, những lưới như vậy được coi là được tạo thành từ hai màu khác nhau, chẳng hạn như xanh nhạt và xanh đậm, thay vì các ô mở và đóng.) Nếu bạn tăng kích thước của mê cung, độ dài của đường đi cần thiết cũng sẽ tăng lên. , và cơ hội tìm được đường đi như vậy sẽ ngày càng nhỏ đi. Nhưng tỷ lệ cược giảm đi nhanh như thế nào khi mê cung phát triển lớn tùy ý?

Các câu hỏi liên quan đơn giản hơn đã được trả lời từ nhiều thập kỷ trước. Tính toán từ năm 1979 bởi Marcel den Nijs ước tính khả năng bạn có thể tìm thấy một đường đi hoặc nhánh từ mép tới tâm. (Điều này trái ngược với yêu cầu của Nolin là có một nhánh vào và một nhánh riêng biệt.) Công trình của Den Nijs dự đoán rằng cơ hội tìm thấy một nhánh trong lưới lục giác tỷ lệ thuận với $latex 1/n^{5/48}$ , Ở đâu n là số ô tính từ tâm đến cạnh hoặc bán kính của lưới. Trong năm 2002, Luật sư Gregory, Oded Schramm và Wendelin Werner cuối cùng chứng minh rằng dự đoán một tay là chính xác. Để định lượng ngắn gọn xác suất giảm dần khi kích thước của lưới tăng lên, các nhà nghiên cứu sử dụng số mũ từ mẫu số, 5/48, được gọi là số mũ một nhánh.

Nolin muốn tính số mũ hai nhánh đơn sắc khó nắm bắt hơn. Mô phỏng số năm 1999 cho thấy nó rất gần với 0.3568, nhưng các nhà toán học đã không xác định được giá trị chính xác của nó.

Việc tính toán cái được gọi là số mũ hai nhánh đa sắc sẽ dễ dàng hơn nhiều, đặc trưng cho khả năng, bắt đầu từ trung tâm, bạn có thể tìm thấy không chỉ một đường dẫn “mở” đến chu vi mà còn cả một đường dẫn “đóng” riêng biệt. (Hãy coi con đường khép kín là con đường đi qua đỉnh các bức tường bê tông của mê cung.) Năm 2001, Stanislav Smirnov và Werner chứng minh số mũ này là 1/4. (Vì 1/4 lớn hơn đáng kể so với 5/48 nên $latex 1/n^{1/4}$ co lại nhanh hơn $latex 1/n^{5/48}$ vì n mọc. Khi đó, cơ hội của cấu trúc hai cánh tay đa sắc thấp hơn rất nhiều so với cơ hội của một cánh tay, như người ta có thể mong đợi.)

Tính toán đó chủ yếu dựa vào kiến ​​thức về hình dạng của các cụm trong biểu đồ. Hãy tưởng tượng rằng một mê cung ở xác suất tới hạn là cực kỳ lớn - được tạo thành từ hàng triệu triệu hình lục giác. Bây giờ, hãy tìm một cụm hình lục giác trống và dùng bút Sharpie dày màu đen vẽ theo cạnh của cụm đó. Điều này có thể sẽ không tạo ra một đốm màu tròn, đơn giản. Từ hàng dặm trên không, bạn sẽ thấy một đường cong ngoằn ngoèo liên tục gấp đôi về phía sau, thường có vẻ như nó sắp vượt qua chính nó nhưng không bao giờ hoàn toàn cam kết.

Đây là một loại đường cong được gọi là đường cong SLE, được Schramm giới thiệu trong giấy 2000 đã xác định lại trường này. Một nhà toán học nghiên cứu cơ hội tìm ra một đường dẫn mở và một đường dẫn kín biết rằng những đường dẫn đó phải nằm bên trong các cụm lớn hơn gồm các vị trí mở và đóng, cuối cùng gặp nhau dọc theo đường cong SLE. Sau đó, các đặc tính toán học của đường cong SLE sẽ chuyển thành thông tin vô giá về các đường đi trong mê cung. Nhưng nếu các nhà toán học đang tìm kiếm nhiều đường đi cùng loại thì đường cong SLE sẽ mất đi nhiều tính hiệu quả.

Đến năm 2007, Nolin và cộng tác viên Vincent Beffara đã tạo ra các mô phỏng số cho thấy số mũ hai nhánh đơn sắc là khoảng 0.35. Con số này gần đến mức đáng ngờ là 17/48 - tổng của số mũ một nhánh, 5/48 và số mũ hai nhánh đa sắc, 1/4 (hoặc 12/48). “17/48 thực sự ấn tượng,” Nolin nói. Anh bắt đầu nghi ngờ rằng 17/48 mới là đáp án đúng – nghĩa là có một mối liên hệ đơn giản giữa các loại số mũ khác nhau. Bạn chỉ có thể thêm chúng lại với nhau. “Chúng tôi đã nói, được rồi, thật quá tốt để có thể nói dối; nó phải là sự thật.”

Trong một thời gian, phỏng đoán của Nolin và Beffara không có kết quả gì, mặc dù Nolin đã đăng nó lên trang web của mình để những người khác tham khảo. Ông chuyển đến Hồng Kông vào năm 2017 để đảm nhận chức giáo sư tại Đại học Thành phố Hồng Kông và tiếp tục nghiên cứu vấn đề này. Vào năm 2018, anh ấy đã đề cập đến số mũ trong cuộc trò chuyện với Ngụy Khiêm, lúc đó đang là nghiên cứu sinh sau tiến sĩ tại Đại học Cambridge ở Anh. Qian đang nghiên cứu hình học ngẫu nhiên trong bối cảnh liên tục thay vì rời rạc, đặc biệt tập trung vào các đường cong SLE. Cô ấy đang thực hiện một dự án sử dụng SLE để tính số mũ theo một loại mô hình ngẫu nhiên khác và Nolin bắt đầu nghi ngờ rằng chuyên môn của cô ấy cũng có liên quan đến số mũ hai nhánh đơn sắc. Cặp đôi này nhanh chóng tìm ra một phương trình có vẻ đơn giản mà nghiệm của nó sẽ cho số mũ, nhưng phương trình đó dựa vào một đại lượng trung gian liên quan đến không gian được bao bọc bởi đường cong SLE ở rìa lưới. Nolin và Qian không thể xác định được con số đó.

Qian nói: “Tôi đã thực hiện rất nhiều phép tính nhưng vẫn không thể tính được tính chất này. “Tôi đã không thành công nên tôi chỉ dừng lại một thời gian.”

Nolin nói thêm: “Chúng tôi chưa bao giờ đề cập đến nó với bất kỳ ai vì chúng tôi không chắc liệu nó có hữu ích hay không”.

Số mũ xương sống

Số mũ hai nhánh đơn sắc đặc biệt thú vị vì nó cũng mô tả “xương sống” của một lưới: tập hợp các hình lục giác được kết nối với hai nhánh riêng biệt kéo dài đến hai nhánh không chồng lên nhau: một đến rìa mê cung và một đến trung tâm của nó. Khi các trang web này được tô màu, chúng tạo thành một mạng lưới trải dài trên toàn bộ lưới và được gọi là xương sống. Khi các nhà nghiên cứu mô hình hóa sự lây lan của bệnh tật hoặc sự hình thành đá xốp, xương sống là con đường mà vi khuẩn hoặc dầu có thể chảy qua. Số mũ mà Nolin và Qian tìm kiếm cho thấy kích thước của xương sống và được gọi là số mũ xương sống.

Nolin và Qian không phải là những người duy nhất theo sau xương sống. Xin Tôn, khi đó tại Đại học Pennsylvania, cũng đã cố gắng tính số mũ xương sống. Trong những năm trước đó, Sun và các cộng tác viên, trong đó có Nina Holden của Đại học New York, đã tìm ra cách nghiên cứu các đường cong SLE bằng cách sử dụng các bề mặt fractal ngẫu nhiên. Những bề mặt cong, trải dài này có các cạnh hình vỏ sò kéo dài thành những đường gân dài. Một số điểm cách hàng xóm của họ một quãng đường ngắn, trong khi những điểm khác lại là một hành trình kéo dài hàng tháng. Ở một số nơi, những hiệu ứng này quá lớn để có thể hình dung được. “Thực sự không thể vẽ nó” một cách hoàn toàn chính xác, Holden nói. “Bạn sẽ phải kéo giãn bề mặt rất nhiều.”

Vào mùa hè năm 2022, Sun mời Zijie Zhuang, một sinh viên tốt nghiệp năm thứ hai, tham gia nghiên cứu mê cung ngẫu nhiên ở xác suất tới hạn. Họ xem xét các mê cung ngẫu nhiên trong đó các hình lục giác nằm trên một bề mặt phân dạng ngẫu nhiên, thay vì trên một mặt phẳng. Bởi vì sự ngẫu nhiên xác định vị trí và mức độ căng và nén của bề mặt nên bề mặt đó có những đặc tính độc đáo. (Những đặc tính này cũng làm cho những bề mặt như vậy trở nên hữu ích đối với các nhà vật lý nghiên cứu các mô hình hấp dẫn lượng tử trong vũ trụ hai chiều, đặt tên cho chúng là: bề mặt hấp dẫn lượng tử Liouville.) Ví dụ, nếu bạn lấy chiếc kéo đến một bề mặt như vậy, hình dạng của hai nửa không phụ thuộc vào nhau. “Sự độc lập đó thực sự đơn giản hóa mọi việc rất nhiều,” nói Scott Sheffield của Viện Công nghệ Massachusetts. Khi mọi thứ diễn ra ngẫu nhiên, bạn biết ít hơn về chúng, nhưng điều đó có thể có nghĩa là có ít thông tin hơn để giải thích một cách tẻ nhạt.

Sun và Zhuang lần đầu tiên cố gắng xác định xác suất có một đường dẫn mở nối một vòng tròn nhỏ quanh tâm lưới với một vòng tròn lớn hơn ở xung quanh. Sau khi họ trả lời câu hỏi đó, Sun đề xuất một bước tiến mới trong tham vọng: tính toán khả năng có hai đường dẫn nối các vòng tròn lồng nhau, điều này sẽ cho họ một cách để tính số mũ xương sống. Tuy nhiên, chẳng bao lâu sau, họ gặp phải khó khăn. Zhuang viết trong một email: “Chúng tôi đã thử cách tiếp cận này trong vài tháng, nhưng việc tính toán có vẻ không dễ thực hiện lắm”.

Trong khi đó, mặc dù Nolin và Qian không thành công trong việc tìm ra giá trị của số mũ nhưng họ đã đạt được tiến bộ theo những cách khác. Qian đã nghỉ việc tại Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp và gia nhập Nolin với tư cách là giáo sư tại Đại học Thành phố Hồng Kông. (Họ cũng kết hôn.) Vào mùa hè năm 2021, cô xem được một số bài báo của Sun và các cộng tác viên của anh ấy khiến cô tò mò, vì vậy khi các hạn chế đi lại do đại dịch dỡ bỏ, cô đã lên kế hoạch cho chuyến thăm vào tháng 2022 năm XNUMX tới Viện Nghiên cứu Cao cấp ở Princeton , New Jersey, nơi Sun đã ở trong năm.

Nó đã chứng tỏ một chuyến thăm có lợi nhuận. Khi Qian mô tả phương trình mà cô và Nolin đã tìm ra, Sun bắt đầu nghĩ rằng nó có thể phù hợp với kỹ thuật phủ các mê cung lên bề mặt hấp dẫn lượng tử của Liouville của anh và Zhuang. “Đó là một sự trùng hợp ngẫu nhiên,” Sun nói. “Một người có ổ khóa, một người có chìa khóa.”

Zhuang có chút nghi ngờ. Ông nói: “Chúng tôi không có dự đoán nào và thậm chí chúng tôi không biết liệu công thức này có giải pháp tốt hay không”, mô tả tình hình vào thời điểm đó. Sun và Zhuang đã dành vài tháng tiếp theo để sử dụng kỹ thuật hấp dẫn lượng tử Liouville của họ – chiếc chìa khóa – để mở khóa đại lượng khó nắm bắt trong phương trình của Nolin và Qian từ nhiều năm trước – chiếc khóa.

Sau bốn tháng làm việc, Sun và Zhuang đã mở được chiếc ổ khóa ẩn dụ. Sun đã gửi một email cho Zhuang, Qian và Nolin, tuyên bố: “Tin tuyệt vời: Công thức chính xác cho số mũ xương sống”. Ông tìm thấy câu trả lời là một biểu thức phức tạp vừa phải của căn bậc hai và hàm sin lượng giác. Nó phù hợp với những ước tính trước đó, một dòng vô tận các chữ số bắt đầu bằng 0.3566668.

Bốn người đã biến công việc của họ thành một bài viết, trau chuốt lập luận cho đến khi các ý tưởng của một bên là Nolin và Qian, bên kia là Sun và Zhuang, kết hợp lại để tạo ra bằng chứng cho thấy Sheffield, cố vấn tiến sĩ của Sun, gọi là “một người đẹp”. viên ngọc.” “Chiến lược chứng minh chắc chắn là đáng ngạc nhiên và rất độc đáo, nhưng khi bạn nhìn thấy nó, đó cũng là một điều gì đó có vẻ tự nhiên,” Holden nói.

Nolin than thở về nghi ngờ năm 2011 của mình rằng số mũ chính xác là 17/48. “Chúng tôi đã đánh lạc hướng sân đấu trong một thời gian. Tôi không tự hào lắm về điều đó.” Số mũ xương sống rất khác biệt so với những người anh em đa sắc của nó. Nó không chỉ phi lý mà còn siêu việt, nghĩa là giống như $latex pi$ và e, nó không thể được viết dưới dạng nghiệm của một phương trình đa thức đơn giản.

Ông nói: “Bằng chứng không thực sự giải thích được công thức này đến từ đâu”. “Chúng tôi đã đưa nó cho các nhà vật lý xem và chúng tôi thực sự mong chờ sự hiểu biết sâu sắc của họ.”

Bản chất siêu việt của số mũ xương sống đã thu hút sự chú ý của những người khác trong lĩnh vực này. Gregory Huber của Chan Zuckerberg Biohub, đồng tác giả của một bài viết tiếp theo về số mũ xương sống, ông cho rằng kết quả này là “cái nhìn đầu tiên về một lục địa mới” trong cơ học thống kê. Mặc dù việc kết hợp các đường cong SLE và lực hấp dẫn lượng tử Liouville là cực kỳ kỹ thuật, nhưng câu trả lời bằng số rõ ràng và đơn giản được đưa ra, ông viết, “đơn giản và tao nhã đến kinh ngạc”.