Phân tán ba điểm trong một mặt phẳng, sau đó đo khoảng cách giữa mỗi cặp điểm đó. Rất có thể, bạn sẽ tìm thấy ba khoảng cách khác nhau. Nhưng nếu bạn sắp xếp các điểm thành một tam giác đều thì mọi khoảng cách đều như nhau. Trong một mặt phẳng, điều này không thể thực hiện được với bốn điểm. Số khoảng cách nhỏ nhất bạn có thể thiết kế là 2 - các cạnh và đường chéo của hình vuông.

Nhưng nếu bạn nhấc một trong các điểm lên khỏi mặt phẳng để tạo thành một hình chóp, mỗi cạnh là một tam giác đều, bạn sẽ có một tập hợp gồm bốn điểm cách nhau một khoảng cách duy nhất - độ dài một cạnh của hình tam giác.

Nếu bạn có nhiều điểm, những mẫu này càng phát triển rõ rệt hơn. Một trăm điểm nằm rải rác ngẫu nhiên trong một mặt phẳng có khả năng xác định được 4,950 khoảng cách theo cặp riêng biệt. Nhưng nếu bạn sắp xếp 100 điểm trong một lưới vuông, phẳng thì bất kỳ cặp điểm nào cũng sẽ cách nhau một trong 50 khoảng cách có thể. Nâng các điểm thành một lưới ba chiều và bạn có thể giảm con số đó hơn nữa.

Trả lời các câu hỏi về số lượng khoảng cách giữa các điểm nghe có vẻ giống như một bài tập bí truyền. Nhưng trong nỗ lực kéo dài hàng thập kỷ để giải những bài toán như vậy, các nhà toán học đã phát triển các công cụ có nhiều ứng dụng khác, từ lý thuyết số đến vật lý.

“Khi mọi người cố gắng giải quyết vấn đề,” nói Pablo Shmerkin của Đại học British Columbia, “họ bắt đầu khám phá những mối liên hệ đáng ngạc nhiên và bất ngờ.”

Sự phát triển mới nhất diễn ra vào cuối năm ngoái, khi sự hợp tác của bốn nhà toán học chứng minh một mối quan hệ mới giữa hình học của các tập hợp điểm và khoảng cách giữa chúng.

Danh sách các khoảng cách khác nhau được xác định bởi một tập hợp các điểm được gọi là tập khoảng cách của nó; đếm xem có bao nhiêu số trong danh sách đó và bạn sẽ có được kích thước của khoảng cách. Năm 1946, nhà toán học nổi tiếng Paul Erdős đã phỏng đoán rằng đối với số lượng lớn các điểm, khoảng cách được đặt không thể nhỏ hơn giá trị bạn nhận được khi sắp xếp các điểm thành một lưới. Vấn đề tuy bề ngoài đơn giản nhưng hóa ra lại vô cùng sâu sắc và khó khăn. Ngay cả trong không gian hai chiều, nó vẫn chưa được chứng minh đầy đủ, mặc dù vào năm 2010, hai nhà toán học đã đến rất gần rằng bây giờ nó được coi là đã được giải quyết một cách hiệu quả; nó vẫn mở ở các chiều cao hơn.

Trong khi đó, các nhà toán học cũng đưa ra những phiên bản mới của giả thuyết này. Một trong những điều quan trọng nhất trong số này phát sinh trong một giấy 1985 by Kenneth Falconer, một nhà toán học tại Đại học St. Andrews ở Scotland. Falconer tự hỏi có thể nói gì về những khoảng cách khác nhau giữa vô số điểm.

Nếu bạn có vô số điểm, việc đếm đơn giản không còn hữu ích nữa. Nhưng các nhà toán học có những cách khác để xác định kích thước. Giả thuyết của Falconer thừa nhận mối quan hệ giữa hình học của tập hợp các điểm - được đặc trưng bởi một con số gọi là chiều fractal - và kích thước của tập hợp khoảng cách, được đặc trưng bởi một con số gọi là thước đo.

Chiều fractal phù hợp với trực giác thông thường về các chiều. Cũng giống như khái niệm chiều quen thuộc hơn, đoạn đường có chiều fractal là 1, trong khi một hình vuông (với phần bên trong được điền) có chiều fractal là 2. Nhưng nếu một tập hợp các điểm tạo thành một mô hình fractal phức tạp hơn - giống như một đường cong trong đó các khúc cua cực nhỏ tiếp tục xuất hiện cho dù bạn có phóng to bao xa - kích thước fractal của nó có thể không phải là một số nguyên. Ví dụ, đường cong bông tuyết Koch được hiển thị bên dưới, có vô số các điểm va chạm hình tam giác ngày càng nhỏ hơn, có kích thước khoảng 1.26.

Nói chung, một tập hợp vô hạn các điểm có kích thước fractal gần như phụ thuộc vào mức độ phân tán của nó. Nếu nó trải rộng khắp mặt phẳng, chiều fractal của nó sẽ gần bằng 2. Nếu nó trông giống một đường thẳng hơn, thì chiều fractal của nó sẽ gần bằng 1. Các loại cấu trúc tương tự có thể được xác định cho các tập hợp điểm trong không gian ba chiều , hoặc thậm chí ở những chiều cao hơn.

Mặt khác của phỏng đoán Falconer là thước đo khoảng cách được đặt ra. Số đo là một dạng khái quát hóa toán học của khái niệm độ dài. Một số duy nhất, có thể được biểu diễn dưới dạng một điểm trên trục số, có số đo bằng 3. Nhưng ngay cả những tập hợp vô hạn cũng có thể có số đo bằng 4. Ví dụ, các số nguyên nằm rải rác rất mỏng trong số thực đến mức chúng không có “độ dài” tập thể và do đó tạo thành một tập hợp số đo bằng 1. Mặt khác, các số thực nằm giữa 1/4 và XNUMX có số đo là XNUMX/XNUMX, vì đó là khoảng cách dài bao nhiêu.

Biện pháp này đưa ra một cách để mô tả kích thước của tập hợp các khoảng cách khác biệt giữa vô số điểm. Nếu số lượng khoảng cách là “nhỏ”, điều đó có nghĩa là khoảng cách được đặt sẽ có số đo bằng 0: Có rất nhiều khoảng cách trùng lặp. Mặt khác, nếu khoảng cách được đặt có số đo lớn hơn 0, điều đó có nghĩa là có nhiều khoảng cách khác nhau.

Trong không gian hai chiều, Falconer đã chứng minh rằng bất kỳ tập hợp điểm nào có số chiều fractal lớn hơn 1.5 đều có khoảng cách được đặt với số đo khác 1. Nhưng các nhà toán học nhanh chóng tin rằng điều này đúng với mọi tập hợp có số chiều fractal lớn hơn 1. “Chúng tôi đang cố gắng giải quyết khoảng cách 2/XNUMX này,” cho biết Ngọc Mộng Âu của Đại học Pennsylvania, một trong những đồng tác giả của bài báo mới. Hơn nữa, giả thuyết của Falconer mở rộng sang ba chiều hoặc nhiều hơn: Đối với các điểm nằm rải rác trong một dkhông gian chiều, nó nói rằng nếu chiều fractal của điểm lớn hơn d / 2, thì số đo của khoảng cách được đặt phải lớn hơn 0.

Năm 2018, Ou cùng với các đồng nghiệp, đã chỉ ra rằng giả thuyết giữ hai chiều cho tất cả các tập hợp có kích thước fractal lớn hơn 5/4. Bây giờ Ou - cùng với Xiumin Du của Đại học Tây Bắc, Ruixiang Zhang của Đại học California, Berkeley và Kevin Ren của Đại học Princeton - đã chứng minh rằng ở các chiều cao hơn, ngưỡng đảm bảo khoảng cách được đặt với số đo khác 0 nhỏ hơn một chút so với d/2 + 1/4. Shmerkin cho biết: “Giới hạn ở các chiều cao hơn, trong bài báo này, lần đầu tiên, tốt hơn ở chiều 2”. (Trong hai chiều, ngưỡng chính xác là d/2 + 1/4.)

Kết quả mới nhất này chỉ là một trong một làn sóng những tiến bộ gần đây on Giả thuyết của Falconer. Bằng chứng đã cải tiến các kỹ thuật trong phân tích điều hòa - một lĩnh vực toán học dường như xa vời liên quan đến việc biểu diễn các hàm phức tạp tùy ý dưới dạng sóng đơn giản - để củng cố giới hạn. Nhưng một số kỹ thuật đó lần đầu tiên được phát triển để giải quyết vấn đề tương tự.

Câu hỏi về khoảng cách giữa các điểm “đã đóng vai trò là sân chơi cho một số ý tưởng lớn nhất trong phân tích điều hòa,” cho biết. Alex Iosevich của Đại học Rochester.

Mặc dù họ chỉ thu hẹp được một nửa khoảng cách mà Falconer để lại trong bài báo năm 1985 của ông, nhưng các nhà toán học coi khối lượng công việc gần đây là bằng chứng cho thấy phỏng đoán đầy đủ cuối cùng có thể nằm trong tầm tay. Trong khi chờ đợi, họ sẽ tiếp tục sử dụng vấn đề này làm nơi thử nghiệm các công cụ phức tạp nhất của mình.