Trong hai năm qua, các nhà toán học đã xác định được những phiên bản hình dạng đẹp nhất trong phòng chơi của trẻ em. Những kết quả này chiếm một góc kỳ lạ của toán học và, một cách thích hợp, được tạo ra bởi sự hợp tác không ngờ tới, liên quan đến một nhà toán học thực hành origami với vợ và một giáo sư dạy sinh viên đại học của cô ấy chơi với giấy.

Công việc diễn ra trong quá trình nghiên cứu các hình dạng “tối ưu”, bao gồm việc hiểu phiên bản nào của hình dạng đạt được mục tiêu tốt nhất với một số hạn chế. Những con ong hiểu ngầm điều này: Chúng xây tổ ong bằng các ô hình lục giác vì hình lục giác cung cấp nhiều khả năng lưu trữ nhất bằng cách sử dụng ít tài nguyên nhất.

Ít nhất trong truyền thuyết, người đầu tiên tìm kiếm hình dạng như vậy là Dido, nữ hoàng sáng lập của Carthage. Sau khi đặt chân lên vùng đất ngày nay là bờ biển Tunisia, cô đã đạt được thỏa thuận với vua Berber, Iarbas. Anh ta đồng ý cho cô bất cứ mảnh đất nào cô có thể gói gọn trong một tấm da bò. Thay vì trải phẳng tấm da ít ỏi như Iarbas dự đoán, Dido cắt nó thành những dải mỏng mà cô dùng để bao quanh và chiếm lấy cả một ngọn đồi. Cái nhìn sâu sắc của nữ hoàng lên ngôi là với một lượng vật liệu cố định, hình dạng bao quanh khu vực tối ưu, xác định giới hạn thành phố Carthage, là hình tròn.

“Họ thường có hương vị này. Có một nhóm đối tượng và bạn muốn biết đối tượng nào tối đa hóa cái này hoặc tối thiểu hóa cái kia,” nói Richard Schwartz của Đại học Brown, người đã đăng liên tiếp ba kết quả về hình dạng tối ưu bắt đầu từ tháng 8 vừa qua, trong đó có một kết quả với vợ ông, Brienne Elisabeth Brown.

Tất cả các kết quả gần đây đều nhằm giảm thiểu lượng giấy, dây thừng hoặc dây thừng được sử dụng để tạo ra một hình dạng cụ thể. Hoạt động gần đây của Schwartz bắt đầu với dải Möbius, được hình thành bằng cách lấy một dải giấy, xoắn nó và nối các đầu lại với nhau. Nó có đặc điểm kỳ lạ là bề mặt chỉ có một mặt, nghĩa là bạn có thể vẽ toàn bộ bề mặt của nó mà không cần nhấc ngón tay lên.

Ngay từ những năm 1930, các nhà toán học đã cố gắng tìm ra hình chữ nhật cứng nhất có thể xoắn thành dải Mobius. Bằng trực giác, có vẻ rõ ràng rằng thật dễ dàng để xoắn một hình chữ nhật dài và mảnh thành một dải một cạnh, nhưng làm như vậy với hình vuông là không thể. Nhưng chính xác đâu là ranh giới?

Hình dạng tối ưu xuất hiện khi chúng ta cố gắng giảm thiểu hoặc tối đa hóa một số giá trị, chẳng hạn như trong trường hợp này là tỷ lệ giữa chiều rộng của dải và chiều dài của nó. Theo những cách toán học quan trọng, chúng là phiên bản cực đoan nhất của một hình dạng. Nghiên cứu về các hình dạng tối ưu là cầu nối giữa hình học, trong đó chiều dài là vấn đề quan trọng và cấu trúc liên kết, một nhánh của toán học liên quan đến các vật thể lý tưởng hóa có khả năng co giãn và nén vô tận. Trong cấu trúc liên kết, các dải Mobius có kích thước khác nhau có thể thay thế cho nhau, vì một dải nhỏ có thể được kéo dài thành một dải lớn, một dải rộng có thể được ép thành một dải nhỏ, v.v. Tương tự, các dải hình chữ nhật có kích thước bất kỳ đều giống nhau về mặt cấu trúc liên kết.

Tuy nhiên, thao tác xoắn một dải và nối các đầu sẽ thay đổi mọi thứ. Tính toán các hình dạng tối ưu là tính toán các giới hạn của cấu trúc liên kết. Có, bạn có thể ép dải Mobius này vào dải khác. Nhưng bạn có thể siết chặt được bao nhiêu trước khi không thể tiến xa hơn nữa?

“Một câu hỏi đặt ra là độ dài nhỏ nhất là bao nhiêu và câu hỏi còn lại là có cách nào để đạt được độ dài nhỏ nhất đó không và nó trông như thế nào,” nói Elizabeth Denne của Đại học Washington và Lee.

Nhìn chung, trong những năm gần đây đã có ít nhất năm kết quả xác định các giá trị mới tốt nhất cho các hình dạng khác nhau, bao gồm dải Möbius (với một vòng xoắn), dải Möbius ba vòng xoắn và nút thắt đơn giản. Một số kết quả này xác định giá trị được biết đến nhiều nhất của một hình dạng; những người khác tiến thêm một bước và chứng minh rằng không thể có giá trị nào tốt hơn.

Dải Mobius tối ưu

Để chính thức hóa mức độ gần với hình vuông của một hình chữ nhật, các nhà toán học sử dụng một số gọi là tỷ lệ khung hình. Nó chỉ đơn giản là chiều dài chia cho chiều rộng. Hình vuông có tỷ lệ khung hình là 1, trong khi hình chữ nhật dài, mảnh, giống dải ruy băng có tỷ lệ khung hình lớn hơn nhiều. Dải ruy băng đó có nhiều độ chùng, cho phép các đầu của hình chữ nhật có thể xoắn và gắn vào nhau. Nhưng khi dải này ngắn hơn và tỷ lệ khung hình tiến gần đến 1 — hình vuông  — việc đó càng khó hơn. Tại một thời điểm nhất định, điều đó không thể thực hiện được nữa.

Năm 1977, hai nhà toán học phỏng đoán rằng để xoắn trong một dải Mobius, một hình chữ nhật có chiều rộng 1 phải dài hơn $latex sqrt{3}$, như trong dải ở phía dưới bên phải. Vào tháng 2023 năm XNUMX, Schwartz đã chứng minh rằng họ đúng: Bất kỳ gần hình vuông nào hơn thế, và không có cách nào để xoắn hình chữ nhật thành một dải Mobius.

Bạn có thể bị cám dỗ để tìm một cách giải quyết thông minh. Nếu bạn gấp một hình vuông lên giống như đàn xếp, tạo thành một dải giấy mỏng, thì bạn có thể xoắn nó thành dải Mobius. Nhưng điều đó không được tính, vì các nếp gấp sắc nét chứ không mịn màng. (Độ mịn có một ý nghĩa toán học cụ thể phù hợp với nghĩa tiếng Anh đơn giản.)

Một công cụ trung tâm để tìm ra hình dạng tối ưu trông như thế nào được gọi là “hình dạng giới hạn”. Các hình dạng giới hạn khác nhau ở những khía cạnh quan trọng so với các hình dạng được tối ưu hóa nhưng cũng có chung một số đặc tính của chúng. Bằng cách tương tự thô, hãy nghĩ về việc nếu bạn kéo dài một hình chữ nhật ra để làm cho nó dài hơn và mảnh hơn thì nó bắt đầu trông giống như một đường thẳng, hoặc làm thế nào mà các đa giác có nhiều cạnh hơn bắt đầu trông giống một hình tròn.

Trong trường hợp này, Schwartz tạo ra một hình dạng giới hạn cho dải Möbius. Bắt đầu với một mảnh giấy phẳng rộng một đơn vị và dài $latex sqrt{3}$ đơn vị. Bắt đầu bằng cách gấp nó theo hướng dẫn bên dưới. Điều này sẽ tạo ra những nếp gấp sắc nét giống như những nếp nhăn của đàn accordion, nhưng lát nữa chúng ta sẽ làm cho những nếp nhăn đó trở nên mịn màng bằng cách thả lỏng tờ giấy một chút.

Gấp xuống từ góc trên bên trái và lên từ góc dưới bên phải, tạo thành một viên kim cương. Sau đó gấp ngang qua đường giữa của viên kim cương và dán hai cạnh lại với nhau, được thể hiện bằng các đường chấm màu xanh lam và màu vàng, giao nhau ở bên trong viên kim cương. Bây giờ chỉ thêm một chút chùng xuống bằng cách làm cho dải dài hơn một chút hoặc hẹp hơn một chút để bạn có thể kéo các hình tam giác ra xa nhau. Đây là dải Mobius của bạn. Một con kiến ​​cực nhỏ di chuyển trên bề mặt của hình tam giác, đi theo các nếp gấp, sẽ đi vòng quanh - nó chỉ có một cạnh.

Các nhà toán học từ lâu đã biết rằng một hình tam giác như vậy là hình dạng giới hạn của dải Mobius. Schwartz đã chỉ ra rằng không tồn tại những hình dạng giới hạn khác cho phép dải cứng hơn. Để làm điều này, anh ấy sử dụng chữ “T” được tạo bởi các nếp gấp của hình tam giác, như trong hình tam giác ngoài cùng bên phải ở trên.

Schwartz lập luận kết hợp từ cấu trúc liên kết và hình học. Ông đã sử dụng cấu trúc liên kết để chỉ ra rằng trên mỗi dải giấy Mobius, có thể vẽ các đường giao nhau tạo thành chữ T theo một cách cụ thể. Sau đó, bằng cách sử dụng một số hình học cơ bản — định lý Pythagore và bất đẳng thức tam giác — ông đã chỉ ra rằng nếu một chữ T như vậy tồn tại (mà nó phải tồn tại), tỷ lệ khung hình của dải phải lớn hơn $latex sqrt {3}$.

Xi lanh giấy xoắn tối ưu

Sau khi Schwartz xác định được dải Mobius tối ưu, mọi người hỏi ông: Điều gì sẽ xảy ra với nhiều vòng xoắn hơn? Bất kỳ số vòng xoắn lẻ nào cũng tạo ra dải Mobius, vì hình dạng thu được vẫn chỉ có một cạnh. Mặt khác, số vòng xoắn chẵn sẽ tạo ra cấu trúc hai mặt được gọi là hình trụ xoắn (hình bên trái). Không giống như một hình trụ thông thường, nó không có bên trong và bên ngoài được xác định rõ ràng.

Sau bài báo của ông về dải Mobius, Schwartz chứng minh vào cuối tháng 1, hình dạng giới hạn của hình trụ xoắn có thể được tạo ra bằng cách gấp một hình chữ nhật 2 x 2 được tạo thành từ bốn hình tam giác cân bên phải xếp chồng lên nhau (như hình trên bên phải). Để bắt đầu, hãy gấp tam giác B vào phía sau tam giác A và tam giác D phía trên tam giác C. (Mũi tên đường chấm biểu thị các nếp gấp đi về phía sau và các mũi tên liền biểu thị các nếp gấp theo hướng về phía trước.) Sau đó, gấp đôi tam giác thu được bằng cách đặt nửa dưới phía sau nửa trên. Sau đó dán các đường chấm chấm màu xanh lam và màu vàng lại với nhau (ban đầu là phần trên và phần dưới của hình chữ nhật). Cuối cùng, làm cho hình chữ nhật ban đầu dài hơn một chút để bạn có đủ độ chùng để kéo hình phẳng lên thành hình trụ xoắn. Schwartz viết: “Ý tưởng cơ bản là xây dựng hình dạng giới hạn trước tiên, sau đó nới lỏng hình dạng một chút và làm tròn các nếp gấp”. “Tôi nghĩ việc này giống như làm một món đồ rồi ngâm nó qua đêm trong nước.” Như bạn có thể thấy trong hình (phía trên bên phải), hình tam giác xếp chồng lên nhau có chiều dài gấp đôi chiều rộng, do đó tỷ lệ khung hình tối ưu của hình trụ xoắn là XNUMX.

Dải Möbius ba vòng xoắn tối ưu

Schwartz sau đó chuyển sự chú ý của mình sang dải Möbius ba vòng xoắn. Giống như dải một vòng xoắn, đây là hình một phía, nhưng do có thêm hai vòng xoắn nên ranh giới của nó phức tạp hơn. Schwartz nghĩ rằng hình dạng giới hạn của nó sẽ là hình lục giác, một hình dạng gây bối rối được Martin Gardner phổ biến trong 1956 cột in Khoa học Mỹ. Hexaflexagons được tạo ra bằng cách gấp một dải hình tam giác đều và dán các đầu lại với nhau. Một hình lục giác dẹt trông giống như một hình lục giác được chia thành sáu hình tam giác. Nhưng nó có thể được “uốn cong” bằng cách kẹp các cạnh liền kề lại với nhau, như trong trò chơi trẻ em MASH. Khi nó mở ra lần nữa, một tập hợp các hình tam giác khác sẽ hướng ra ngoài. Schwartz nói: “Điều này giống như việc một thầy bói và ban nhạc Möbius có một đứa con.

Nhưng vợ của Schwartz, Brienne Elisabeth Brown, đã bắt đầu tự mình chơi đùa với giấy và tiết lộ hình lục giác giống như “một chút cá trích đỏ”, Schwartz nói. Brown đã tìm ra một công trình mà cô gọi là “chéo” (hình bên dưới) là hình dạng giới hạn của dải Möbius ba vòng xoắn và có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Đầu tiên bạn gấp theo đường chéo ở giữa dải vải, lấy phần dưới lên trước phần trên. Sau đó, bạn gấp hình tam giác trên cùng bên phải vào phía trước hình tam giác bên dưới và sang trái. Bây giờ bạn có hình dạng như ở bước 2: một hình bình hành nghiêng có hình vuông nhô ra bên phải. Đặt hình vuông phía sau hình bình hành và hình tam giác ở trên cùng phía trước hình vuông hiện ở bên dưới nó. Điều này tạo ra một hình vuông mới, được hiển thị ở bước 3.

Những gì ban đầu là cạnh trên và dưới (được hiển thị bằng các đường chấm màu xanh lam và vàng) giờ đây đều nằm ở cạnh trái của hình vuông; dán chúng lại với nhau và bạn đã tạo ra một hình dạng giới hạn cho dải Möbius ba vòng xoắn. Như trong trường hợp dải một vòng xoắn, bản thân hình dạng phẳng này không phải là dải Mobius, nhưng nếu nó được tăng thêm một chút chiều dài để nó có thể giãn thành ba chiều mà không bị uốn cong đột ngột, thì nó sẽ tạo thành một dải ba vòng xoắn.

Brown và Schwartz còn tìm ra một hình dạng giới hạn hoàn toàn khác cho hình trụ ba vòng xoắn mà họ gọi là cái cốc. Không giống như đường chéo, chiếc cốc không thể nằm phẳng. Tuy nhiên, giống như cây thánh giá, nó dài gấp ba lần chiều rộng. Trong một bài báo đăng vào ngày 16 tháng 3, Brown và Schwartz giải thích lý do tại sao họ cho rằng dải ba vòng xoắn tối ưu có tỷ lệ khung hình là XNUMX. Nhưng họ vẫn chưa chứng minh được điều đó, một phần vì sự tồn tại của chiếc cốc, không thể chứng minh được điều đó. bị làm phẳng, có nghĩa là các kiểu lập luận mà Schwartz đưa ra trong trường hợp một và hai vòng xoắn không thể mở rộng cho trường hợp ba vòng xoắn.

Nút thắt hình ba lá tối ưu

Không phải tất cả các hình dạng tối ưu đều là biến thể trên dải Mobius. Các nhà toán học cũng cân nhắc xem bạn cần bao nhiêu vật liệu để tạo ra các loại nút thắt khác nhau. Vào năm 2020, Điều này và hai sinh viên đại học của cô – John Carr Haden và Troy Larsen – đang nghiên cứu các nút thắt có thể vẽ trên bề mặt của hình xuyến hoặc bánh rán.

Nút thắt hình xuyến đơn giản nhất - thực ra là nút thắt đơn giản nhất, không tầm thường - được gọi là nút hình ba lá. Nó giống như cách mà nhiều người sử dụng trong bước đầu tiên buộc dây giày bằng cách tạo một vòng trên một đoạn dây và kéo một đầu qua, nếu thay vì thắt nơ, họ chỉ dán các đầu dây giày lại với nhau để tạo thành một nút thắt quá tay với hai đầu lỏng được nối với nhau.

Cách buộc hình ba lá thông thường tương đương với việc quấn một đoạn dây quanh hình xuyến như minh họa ở đây: