Vào tháng 5, một tên lửa Falcon Heavy dự kiến ​​​​được phóng từ Cape Canaveral ở Florida, mang theo sứ mệnh Europa Clipper của NASA. Sứ mệnh trị giá 53 tỷ USD được thiết kế để tìm hiểu xem Europa, mặt trăng lớn thứ tư của Sao Mộc, có thể hỗ trợ sự sống hay không. Nhưng vì Europa liên tục bị bắn phá bởi bức xạ cực mạnh do từ trường của Sao Mộc tạo ra nên tàu vũ trụ Clipper không thể quay quanh mặt trăng. Thay vào đó, nó sẽ trượt vào một quỹ đạo lệch tâm quanh Sao Mộc và thu thập dữ liệu bằng cách liên tục quay quanh Europa – tổng cộng XNUMX lần – trước khi rút lui khỏi vùng bức xạ tồi tệ nhất. Mỗi khi tàu vũ trụ bay vòng quanh Sao Mộc, đường đi của nó sẽ hơi khác một chút, đảm bảo có thể chụp ảnh và thu thập dữ liệu từ các cực của Europa đến xích đạo của nó.

Để lên kế hoạch cho những chuyến tham quan phức tạp như thế này, những người lập kế hoạch quỹ đạo sử dụng mô hình máy tính để tính toán quỹ đạo một cách tỉ mỉ từng bước một. Việc lập kế hoạch tính đến hàng trăm yêu cầu của nhiệm vụ và được củng cố bởi hàng thập kỷ nghiên cứu toán học về quỹ đạo và cách kết hợp chúng vào các chuyến đi phức tạp. Các nhà toán học hiện đang phát triển các công cụ mà họ hy vọng có thể được sử dụng để tạo ra sự hiểu biết có hệ thống hơn về cách các quỹ đạo liên hệ với nhau.

“Những gì chúng tôi có là những tính toán trước đây mà chúng tôi đã thực hiện, hướng dẫn chúng tôi khi thực hiện các tính toán hiện tại. Nhưng đó không phải là bức tranh hoàn chỉnh về tất cả các lựa chọn mà chúng tôi có,” ông nói. Daniel Scheeres, một kỹ sư hàng không vũ trụ tại Đại học Colorado, Boulder.

Dayung Koh, kỹ sư tại Phòng thí nghiệm Sức đẩy Phản lực của NASA, cho biết: “Tôi nghĩ đó là nỗi thất vọng lớn nhất của tôi khi còn là sinh viên. “Tôi biết những quỹ đạo này ở đó, nhưng tôi không biết tại sao.” Với chi phí và sự phức tạp của các sứ mệnh tới các mặt trăng của Sao Mộc và Sao Thổ, việc không biết tại sao quỹ đạo lại ở vị trí của chúng là một vấn đề. Điều gì sẽ xảy ra nếu có một quỹ đạo hoàn toàn khác có thể hoàn thành công việc với ít nguồn lực hơn? Như Koh đã nói: “Tôi đã tìm thấy tất cả chưa? Có nhiều hơn nữa không? Tôi không thể nói điều đó.”

Sau khi lấy bằng tiến sĩ tại Đại học Nam California vào năm 2016, Koh ngày càng quan tâm đến cách phân loại các quỹ đạo thành các họ. Các quỹ đạo của Sao Mộc ở xa Europa tạo thành một nhóm như vậy; quỹ đạo gần Europa cũng vậy. Nhưng những gia đình khác thì ít rõ ràng hơn. Ví dụ, đối với hai thiên thể bất kỳ, chẳng hạn như Sao Mộc và Europa, đều có một điểm trung gian nơi tác động hấp dẫn của hai thiên thể cân bằng để tạo ra các điểm ổn định. Tàu vũ trụ có thể quay quanh điểm này, mặc dù không có gì ở trung tâm quỹ đạo. Những quỹ đạo này tạo thành một họ gọi là quỹ đạo Lyapunov. Thêm một chút năng lượng vào quỹ đạo như vậy bằng cách bắn động cơ tàu vũ trụ, và lúc đầu bạn sẽ ở cùng một gia đình. Nhưng thêm đủ, bạn sẽ chuyển sang một họ khác - chẳng hạn, một nhóm bao gồm Sao Mộc nằm trong quỹ đạo của nó. Một số họ quỹ đạo có thể cần ít nhiên liệu hơn những nhóm khác, luôn ở dưới ánh sáng mặt trời hoặc có các tính năng hữu ích khác.

Vào năm 2021, Koh tình cờ đọc được một bài báo thảo luận cách xử lý các quỹ đạo hỗn loạn từ góc độ hình học đối xứng, một lĩnh vực toán học trừu tượng thường khác xa với các chi tiết lộn xộn trong thế giới thực. Cô bắt đầu nghi ngờ rằng hình học đối xứng có thể có những công cụ cô cần để hiểu rõ hơn về quỹ đạo, và cô đã liên hệ với Agustin Moreno, tác giả của bài báo. Moreno, khi đó là nghiên cứu sinh sau tiến sĩ tại Đại học Uppsala ở Thụy Điển, đã rất ngạc nhiên và vui mừng khi biết rằng có người ở NASA quan tâm đến công việc của ông. “Thật bất ngờ, nhưng nó cũng khá thú vị và đồng thời có động lực,” anh nói.

Cả hai bắt đầu làm việc cùng nhau, tìm cách áp dụng các kỹ thuật trừu tượng của Moreno cho hệ Sao Mộc-Europa cũng như Sao Thổ và mặt trăng Enceladus của nó, giống như Europa, có thể có sự sống trong đại dương dưới lòng đất của nó. Trong năm qua, cùng với các cộng tác viên khác, họ đã viết một loạt bài báo tạo ra một khuôn khổ cho lập danh mục quỹ đạo. Vào tháng 1, Moreno, hiện là giáo sư tại Đại học Heidelberg, đã hoàn thành bản thảo ban đầu để biến bài khảo sát của mình thành một tài liệu tham khảo. sách về chủ đề này. Với cuốn sách này, ông muốn làm cho lĩnh vực trừu tượng của hình học đối xứng trở nên hữu ích đối với các kỹ sư đang cố gắng lập kế hoạch cho các sứ mệnh không gian. Nếu thành công, anh ấy sẽ tái hợp các lĩnh vực nghiên cứu đã phát triển xa cách qua nhiều thế kỷ.

Không có con đường hoàng gia tới hình học

Hình học đơn giản có nguồn gốc từ vật lý. Lấy một ví dụ đơn giản, hãy tưởng tượng một con lắc. Chuyển động của nó có thể được mô tả bằng hai thông số: góc và tốc độ. Nếu tốc độ đủ thấp, con lắc sẽ dao động tới lui. Nếu tốc độ cao hơn, nó sẽ quay tròn. Trong một con lắc lý tưởng hóa không có ma sát, khi bạn đã chọn góc và tốc độ ban đầu, hoạt động của hệ luôn luôn được xác định.

Bạn có thể tạo một biểu đồ với góc như x-trục và tốc độ như y-trục. Nhưng vì di chuyển 360 độ sẽ đưa bạn trở lại điểm xuất phát nên bạn có thể khâu các đường thẳng đứng ở đó lại với nhau. x là 0 độ và ở đâu x là 360 độ. Điều này tạo thành một hình trụ. Hình trụ không phản ánh trực tiếp thực tế vật lý - nó không hiển thị đường đi mà con lắc vạch ra - đúng hơn, mỗi điểm trên nó biểu thị một trạng thái cụ thể của con lắc. Hình trụ, cùng với các định luật xác định đường đi mà con lắc có thể đi theo, tạo thành một không gian đối xứng.

Kể từ đầu thế kỷ 17, khi Johannes Kepler xây dựng các định luật của mình, các nhà vật lý và toán học đã nắm chắc cách mô tả chuyển động của hai vật chịu tác dụng của trọng lực. Tùy thuộc vào tốc độ chúng di chuyển, đường đi của chúng tạo thành hình elip, parabol hoặc hyperbol. Các không gian đối xứng tương ứng phức tạp hơn không gian đối với con lắc, nhưng vẫn có thể xử lý được. Nhưng việc đưa ra đối tượng thứ ba làm cho các giải pháp phân tích, chính xác không thể tính toán được. Và nó chỉ trở nên phức tạp hơn nếu bạn thêm nhiều phần thân vào mô hình. Scheeres nói: “Nếu không có cái nhìn sâu sắc về phân tích đó, ở một mức độ nào đó, bạn gần như luôn rơi vào bóng tối.

Một tàu vũ trụ có thể di chuyển tự do theo bất kỳ hướng nào - từ phải sang trái, lên và xuống và từ trước ra sau - cần ba tọa độ để mô tả vị trí của nó và ba tọa độ nữa để mô tả vận tốc của nó. Điều đó tạo nên một không gian đối xứng sáu chiều. Để mô tả chuyển động của ba vật thể, như Sao Mộc, Europa và tàu vũ trụ, bạn cần 18 chiều: sáu chiều cho mỗi vật thể. Hình dạng của không gian được xác định không chỉ bởi số chiều mà nó có, mà còn bởi những đường cong cho thấy hệ vật lý được mô tả tiến triển như thế nào theo thời gian.

Moreno và Koh đã nghiên cứu một phiên bản “hạn chế” của bài toán ba vật thể trong đó một trong các vật thể (tàu vũ trụ) nhỏ đến mức không tác động lên hai vật thể còn lại (Sao Mộc và Europa). Để đơn giản hóa mọi thứ hơn nữa, các nhà nghiên cứu cho rằng quỹ đạo của mặt trăng là hình tròn hoàn hảo. Bạn có thể lấy quỹ đạo tròn của nó làm nền tảng vững chắc để xem xét đường đi của tàu thăm dò không gian. Không gian đối xứng chỉ tính đến vị trí và vận tốc của tàu vũ trụ, vì chuyển động của Sao Mộc và Europa có thể được mô tả dễ dàng. Vì vậy, thay vì có 18 chiều, không gian đối xứng tương ứng là sáu chiều. Khi một đường đi trong không gian sáu chiều này tạo thành một vòng lặp, nó thể hiện một quỹ đạo tuần hoàn của tàu vũ trụ xuyên qua hệ hành tinh-mặt trăng.

Khi Koh liên hệ với Moreno, cô tò mò về những trường hợp chỉ cần thêm một chút năng lượng cũng có thể khiến quỹ đạo của tàu vũ trụ chuyển từ nhóm này sang nhóm khác. Những điểm gặp nhau giữa các nhóm quỹ đạo này được gọi là điểm phân nhánh. Thường thì nhiều gia đình sẽ gặp nhau tại một điểm duy nhất. Điều này làm cho chúng đặc biệt hữu ích cho những người lập kế hoạch quỹ đạo. Scheeres nói: “Hiểu được cấu trúc phân nhánh sẽ cung cấp cho bạn một lộ trình về những quỹ đạo thú vị mà bạn nên xem xét ở đâu”. Koh muốn biết cách xác định và dự đoán các điểm phân nhánh.

Sau khi nghe Koh nói, Moreno đã tranh thủ một số nhà hình học khác: Urs Frauenfelder của Đại học Augsburg, Cengiz Aydin của Đại học Heidelberg và Otto van Koert của Đại học Quốc gia Seoul. Frauenfelder và van Koert từ lâu đã nghiên cứu bài toán ba vật bằng cách sử dụng hình học đối xứng, thậm chí phát hiện ra một họ quỹ đạo mới đầy tiềm năng. Nhưng mặc dù các kỹ sư lập kế hoạch cho các sứ mệnh tàu vũ trụ đã sử dụng vô số công cụ toán học, nhưng trong những thập kỷ gần đây, họ vẫn cảm thấy nản lòng trước sự trừu tượng ngày càng tăng của hình học đối xứng.

Trong suốt những tháng tiếp theo, người kỹ sư và bốn nhà toán học dần dần tìm hiểu về lĩnh vực của nhau. Moreno nói: “Phải mất một thời gian khi bạn làm công việc liên ngành để vượt qua rào cản ngôn ngữ”. “Nhưng sau khi bạn hoàn thành công việc kiên nhẫn, nó sẽ bắt đầu được đền đáp.”

Bộ công cụ

Nhóm đã tập hợp một số công cụ mà họ hy vọng sẽ hữu ích cho những người lập kế hoạch sứ mệnh. Một trong những công cụ đó là con số được gọi là chỉ số Conley-Zehnder, có thể giúp xác định khi nào hai quỹ đạo thuộc cùng một họ. Để tính toán nó, các nhà nghiên cứu kiểm tra các điểm gần – nhưng không nằm trên – quỹ đạo mà họ muốn nghiên cứu. Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng một tàu vũ trụ đang đi theo quỹ đạo hình elip quanh Sao Mộc, chịu ảnh hưởng của lực hấp dẫn từ Europa. Nếu bạn đẩy nó ra khỏi đường đi, quỹ đạo mới của nó sẽ bắt chước quỹ đạo ban đầu, nhưng chỉ một cách thô sơ. Con đường mới sẽ xoắn ốc quanh quỹ đạo ban đầu, quay trở lại một điểm hơi khác sau khi nó quay quanh Sao Mộc. Chỉ số Conley-Zehnder là thước đo mức độ xoắn ốc diễn ra.

Đáng ngạc nhiên là chỉ số Conley-Zehnder không phụ thuộc vào chi tiết cụ thể về cách bạn di chuyển tàu vũ trụ - đó là một con số liên quan đến toàn bộ quỹ đạo. Hơn nữa, nó giống nhau đối với tất cả các quỹ đạo trong cùng một họ. Nếu bạn tính chỉ số Conley-Zehnder cho hai quỹ đạo và bạn nhận được hai số khác nhau, bạn có thể chắc chắn rằng các quỹ đạo đó thuộc các họ khác nhau.

Một công cụ khác, được gọi là số Floer, có thể gợi ý về các nhóm quỹ đạo chưa được khám phá. Giả sử một số họ va chạm nhau tại một điểm phân nhánh khi năng lượng đạt đến một con số cụ thể và một số họ khác sẽ tách ra từ điểm phân nhánh đó khi năng lượng cao hơn. Điều này tạo thành một mạng lưới các gia đình có trung tâm là nơi phân nhánh.

Bạn có thể tính số Floer được liên kết với điểm phân nhánh này dưới dạng một hàm đơn giản của các chỉ mục Conley-Zehnder được liên kết với từng họ liên quan. Bạn có thể tính hàm này cho cả các họ có năng lượng nhỏ hơn điểm phân nhánh một chút và cho cả các họ có năng lượng lớn hơn. Nếu hai số Floer khác nhau, đó là manh mối cho thấy có những họ ẩn được liên kết với điểm phân nhánh của bạn.

“Những gì chúng tôi đang làm là cung cấp các công cụ để các kỹ sư kiểm tra thuật toán của họ,” Moreno nói. Các công cụ mới được thiết kế chủ yếu để giúp các kỹ sư hiểu cách các nhóm quỹ đạo khớp với nhau và thúc đẩy họ tìm kiếm các nhóm quỹ đạo mới khi cần thiết; nó không nhằm mục đích thay thế cho các kỹ thuật tìm kiếm quỹ đạo đã được mài giũa qua nhiều thập kỷ.

Vào năm 2023, Moreno đã trình bày công trình này tại một hội nghị do “Ủy ban Cơ học Chuyến bay Không gian,” và anh ấy đã liên hệ với các kỹ sư nghiên cứu quỹ đạo không gian, bao gồm một số người tại phòng thí nghiệm của JPL và Scheeres tại Boulder. Scheeres hoan nghênh sự đan xen của các trường: Ông đã biết từ lâu về cách tiếp cận đối xứng đối với chuyển động của hành tinh, nhưng cảm thấy mình chưa hiểu sâu về mặt toán học. Ông nói: “Thật là thú vị khi thấy các nhà toán học cố gắng áp dụng kiến ​​thức chuyên môn của họ vào lĩnh vực kỹ thuật. Nhóm của Scheeres hiện đang nghiên cứu một hệ thống phức tạp hơn bao gồm bốn vật thể.

Ed Belbruno, một nhà tư vấn lập kế hoạch quỹ đạo (và cựu nhà phân tích quỹ đạo của JPL), người đã từng làm việc với Frauenfelder, cảnh báo rằng các ứng dụng này không trực tiếp. “Mặc dù một kỹ thuật toán học như hình học đối xứng có thể tạo ra những quỹ đạo thực sự tuyệt vời và bạn có được rất nhiều quỹ đạo, nhưng có thể rất, rất ít, nếu có, thỏa mãn ràng buộc” mà một sứ mệnh thực sự có thể cần , anh ấy nói.

Mặc dù quỹ đạo của Clipper phần lớn đã được xác định, Moreno đang hướng tới hành tinh tiếp theo: Sao Thổ. Anh ấy đã trình bày nghiên cứu của mình cho các nhà hoạch định sứ mệnh tại JPL, những người hy vọng sẽ gửi một tàu vũ trụ tới mặt trăng Enceladus của Sao Thổ. Moreno hy vọng rằng hình học đối xứng sẽ “trở thành một phần của bộ công cụ sứ mệnh không gian tiêu chuẩn”.