욕실 바닥을 타일로 만들고 싶다면 정사각형 타일이 가장 간단한 옵션입니다. 무한정 계속될 수 있는 격자 패턴으로 간격 없이 서로 잘 맞습니다. 그 정사각형 격자는 다른 많은 타일링과 공유되는 속성을 가지고 있습니다. 전체 격자를 고정된 양만큼 이동하면 결과 패턴이 원본과 구별되지 않습니다. 그러나 많은 수학자에게는 이러한 "주기적인" 타일링이 지루합니다. 작은 패치 하나를 본다면 모든 것을 본 것입니다.

1960년대에 수학자들은 연구를 시작했습니다. "비주기적" 타일 세트 훨씬 더 풍부한 행동으로. 아마도 가장 유명한 것은 다수학 물리학자이자 미래의 노벨상 수상자인 그가 1970년대에 발견한 한 쌍의 다이아몬드 모양 타일일 것입니다. 로저 펜로즈. 이 두 타일의 복사본은 펜로즈 타일링이라고 불리는 영원히 지속되는 무한히 다양한 패턴을 형성할 수 있습니다. 그러나 타일을 어떻게 배열하더라도 주기적으로 반복되는 패턴을 얻을 수는 없습니다.

"이것은 실제로 존재해서는 안 되는 타일링입니다."라고 말했습니다. 니콜라스 브루크만, 브리스톨 대학의 물리학자.

반세기가 넘는 기간 동안 비주기 타일링은 다른 많은 분야의 수학자, 애호가 및 연구자를 매료시켰습니다. 이제 두 명의 물리학자가 비주기 타일링과 언뜻 관련이 없어 보이는 컴퓨터 과학 분야 사이의 연관성을 발견했습니다. 오류로부터 보호. 에 종이 지난 11월 사전 인쇄 서버 arxiv.org에 게시된 연구원들은 펜로즈 타일링을 완전히 새로운 유형의 양자 오류 수정 코드로 변환하는 방법을 보여주었습니다. 그들은 또한 두 가지 다른 종류의 비주기 타일링을 기반으로 유사한 코드를 구성했습니다.

서신의 핵심은 간단한 관찰입니다. 비주기 타일링과 양자 오류 수정 코드 모두에서 대규모 시스템의 작은 부분에 대해 학습하면 시스템 전체에 대해 아무것도 드러나지 않습니다.

"돌이켜보면 분명해 보이는 아름다운 것 중 하나입니다."라고 말했습니다. 토비 큐빗, University College London의 양자 정보 연구원. “당신은 '내가 왜 그런 생각을 못했지?'라고 말하더군요.”

금지된 지식

일반 컴퓨터는 0과 1로 표시된 두 가지 서로 다른 상태의 비트를 사용하여 정보를 나타냅니다. 양자 비트 또는 큐비트도 마찬가지로 두 가지 상태를 갖지만 0과 1 상태가 공존하는 소위 중첩으로 유도될 수도 있습니다. 많은 큐비트를 포함하는 보다 정교한 중첩을 활용함으로써, 양자 컴퓨터 기존 기계보다 훨씬 빠르게 특정 계산을 수행할 수 있습니다.

그러나 양자 중첩은 변덕스러운 생물입니다. 중첩 상태에서 큐비트를 측정하면 0 또는 1로 축소되어 진행 중인 모든 계산이 지워집니다. 설상가상으로 큐비트와 해당 환경 간의 미약한 상호 작용으로 인해 발생하는 오류는 측정의 파괴적인 효과를 모방할 수 있습니다. 참견하는 연구자이든 길을 잃은 광자이든 큐비트를 잘못된 방향으로 문지르는 모든 것은 계산을 망칠 수 있습니다.

이러한 극도의 취약성으로 인해 양자 컴퓨팅이 절망적으로 들릴 수도 있습니다. 그러나 1995년에 응용 수학자 피터 쇼어(Peter Shor)는 발견 양자 정보를 저장하는 영리한 방법입니다. 그의 인코딩에는 두 가지 주요 속성이 있었습니다. 첫째, 개별 큐비트에만 영향을 미치는 오류를 허용할 수 있습니다. 둘째, 오류가 발생하면 수정하는 절차를 통해 오류가 쌓이고 계산이 빗나가는 것을 방지했습니다. Shor의 발견은 양자 오류 수정 코드의 첫 번째 예였으며, 두 가지 핵심 속성은 이러한 모든 코드의 특징을 정의합니다.

첫 번째 속성은 간단한 원칙에서 비롯됩니다. 즉, 비밀 정보는 분할될 때 덜 취약합니다. 스파이 네트워크는 유사한 전략을 사용합니다. 각 스파이는 네트워크 전체에 대해 거의 알지 못하므로 개인이 체포되더라도 조직은 안전하게 유지됩니다. 그러나 양자 오류 정정 코드는 이 논리를 극단적으로 활용합니다. 양자 스파이 네트워크에서는 스파이 한 명도 아무것도 알지 못하지만 함께 모이면 많은 것을 알게 됩니다.

각 양자 오류 수정 코드는 집단 중첩 상태에서 여러 큐비트에 양자 정보를 배포하기 위한 특정 레시피입니다. 이 절차는 물리적 큐비트 클러스터를 단일 가상 큐비트로 효과적으로 변환합니다. 대규모 큐비트 배열로 프로세스를 여러 번 반복하면 계산을 수행하는 데 사용할 수 있는 많은 가상 큐비트를 얻게 됩니다.

각 가상 큐비트를 구성하는 물리적 큐비트는 눈에 띄지 않는 양자 스파이와 같습니다. 그 중 하나를 측정하면 그것이 포함된 가상 큐비트의 상태(로컬 구별 불가능성이라는 속성)에 대해 아무것도 배우지 못할 것입니다. 각 물리적 큐비트는 정보를 인코딩하지 않으므로 단일 큐비트의 오류로 인해 계산이 중단되지 않습니다. 중요한 정보는 어디에나 있지만 특별히 어디에도 없습니다.

Cubitt는 "개별 큐비트에 고정할 수는 없습니다."라고 말했습니다.

모든 양자 오류 정정 코드는 인코딩된 정보에 아무런 영향을 주지 않고 적어도 하나의 오류를 흡수할 수 있지만 오류가 누적되면 결국 모두 소멸됩니다. 이것이 바로 양자 오류 수정 코드의 두 번째 속성인 실제 오류 수정이 시작되는 곳입니다. 이는 로컬 구별 불가능성과 밀접한 관련이 있습니다. 개별 큐비트의 오류는 정보를 파괴하지 않기 때문에 항상 가능합니다. 모든 오류를 되돌리세요 각 코드에 특정한 확립된 절차를 사용합니다.

타고 갔다

리 지캐나다 워털루에 있는 Perimeter Institute for Theoretical Physics의 박사후 연구원인 그는 양자 오류 수정 이론에 정통했습니다. 하지만 그가 동료와 대화를 시작했을 때 그 주제는 그의 마음과는 거리가 멀었습니다. 래섬 보일. 때는 2022년 가을이었고, 두 물리학자는 워털루에서 토론토까지 저녁 셔틀을 타고 있었습니다. 당시 토론토에 살았고 현재 에든버러 대학교에 재직 중인 비주기 타일링 전문가 보일은 교통 체증으로 자주 갇히는 셔틀을 타는 익숙한 얼굴이었습니다.

“보통 그들은 매우 비참할 수 있습니다.” 보일이 말했습니다. "이것은 역대 최고의 것 같았습니다."

그 운명적인 저녁 이전에 Li와 Boyle은 서로의 연구를 알고 있었지만 그들의 연구 분야가 직접적으로 겹치지는 않았으며 일대일 대화를 나눈 적이 없었습니다. 그러나 관련 없는 분야의 수많은 연구자처럼 Li도 비주기 타일링에 대해 호기심이 많았습니다. “관심이 없다는 게 정말 힘든 일이에요.”라고 그는 말했습니다.

Boyle이 비주기 타일링의 특별한 특성인 국부적 구별 불가능성을 언급했을 때 관심은 매혹으로 바뀌었습니다. 그런 맥락에서 이 용어는 다른 것을 의미합니다. 동일한 타일 세트가 전체적으로 완전히 다르게 보이는 무한히 많은 타일을 형성할 수 있지만 특정 지역을 검사하여 두 타일을 구분하는 것은 불가능합니다. 그 이유는 타일링의 모든 유한 패치가 아무리 크더라도 다른 모든 타일링의 어딘가에 나타날 것이기 때문입니다.

“만약 내가 당신을 한 타일 또는 다른 타일에 눕히고 남은 생애 동안 탐구할 수 있도록 해준다면, 내가 당신을 당신의 타일에 놓았는지 아니면 내 타일에 놓았는지 당신은 결코 알 수 없을 것입니다.”라고 Boyle은 말했습니다.

Li에게 이것은 양자 오류 정정의 국지적 구별 불가능성의 정의와 감질나게 유사해 보였습니다. 그는 즉시 꼼짝 못하게 된 보일과의 연관성을 언급했습니다. 두 경우의 기본 수학은 상당히 달랐지만 그 유사점을 무시하기에는 너무 흥미로웠습니다.

Li와 Boyle은 비주기 타일링 클래스를 기반으로 양자 오류 수정 코드를 구축함으로써 국지적 구별 불가능성에 대한 두 가지 정의 사이에 더 정확한 연결을 이끌어낼 수 있는지 궁금해했습니다. 그들은 2시간 동안 셔틀을 타는 동안 계속해서 이야기를 나눴고, 토론토에 도착했을 때 그들은 그러한 코드가 가능하다는 것을 확신했습니다. 그것은 단지 공식적인 증거를 만드는 문제일 뿐이었습니다.

양자 타일

Li와 Boyle은 간단하고 친숙한 펜로즈 타일링부터 시작하기로 결정했습니다. 이를 양자 오류 수정 코드로 변환하려면 먼저 이 특이한 시스템에서 양자 상태와 오류가 어떻게 보이는지 정의해야 합니다. 그 부분은 쉬웠어요. 큐비트 그리드처럼 펜로즈 타일로 덮인 무한한 0차원 평면은 양자 물리학의 수학적 틀을 사용하여 설명할 수 있습니다. 양자 상태는 1과 XNUMX이 아닌 특정 타일링입니다. 오류는 단순히 타일링 패턴의 단일 패치를 삭제합니다. 큐비트 배열의 특정 오류가 작은 클러스터의 모든 큐비트 상태를 없애는 방식입니다.

다음 단계는 일반 양자 오류 수정 코드의 가상 큐비트 상태와 같이 국부적인 오류의 영향을 받지 않는 타일링 구성을 식별하는 것이었습니다. 해결책은 일반 코드와 마찬가지로 중첩을 사용하는 것이었습니다. 신중하게 선택한 펜로즈 타일링의 중첩은 세계에서 가장 우유부단한 실내 장식가가 제안한 욕실 타일 배열과 유사합니다. 뒤죽박죽된 청사진의 한 조각이 없어져도 전체 평면도에 대한 정보는 전혀 배반되지 않습니다.

이러한 접근 방식이 작동하기 위해 Li와 Boyle은 먼저 별개의 펜로즈 타일링 사이에서 질적으로 다른 두 가지 관계를 구별해야 했습니다. 타일링이 주어지면 타일링을 임의의 방향으로 이동하거나 회전하여 무한한 수의 새로운 타일링을 생성할 수 있습니다. 이런 방식으로 생성된 모든 타일링 세트를 동등 클래스라고 합니다.

그러나 모든 펜로즈 타일링이 동일한 등가 클래스에 속하는 것은 아닙니다. 한 등가 클래스의 타일링은 회전과 변환의 조합을 통해 다른 클래스의 타일링으로 변환될 수 없습니다. 두 무한 패턴은 질적으로 다르지만 여전히 지역적으로 구별할 수 없습니다.

이러한 구별을 통해 Li와 Boyle은 마침내 오류 수정 코드를 구성할 수 있었습니다. 일반적인 양자 오류 수정 코드에서 가상 큐비트는 물리적 큐비트의 중첩으로 인코딩된다는 점을 상기하세요. 타일링 기반 코드에서 유사한 상태는 단일 등가 클래스 내의 모든 타일링이 중첩된 것입니다. 이런 종류의 중첩으로 평면을 타일링하면 전체 양자 상태에 대한 정보를 전혀 공개하지 않고 틈을 채우는 절차가 있습니다.

보일은 “펜로즈 타일링은 양자 컴퓨터가 발명되기 전에 양자 오류 수정에 대해 어떻게든 알고 있었습니다.”라고 말했습니다.

버스를 타는 동안 Li와 Boyle의 직관은 옳았습니다. 깊은 수준에서 보면 지역적 구별 불가능성에 대한 두 가지 정의는 그 자체로 구별할 수 없습니다.

패턴 찾기

수학적으로는 잘 정의되었지만 Li와 Boyle의 새로운 코드는 거의 실용적이지 않았습니다. 펜로즈 타일링의 타일 가장자리는 일정한 간격으로 떨어지지 않으므로 분포를 지정하려면 이산 정수가 아닌 연속 실수가 필요합니다. 반면에 양자 컴퓨터는 일반적으로 큐비트 그리드와 같은 개별 시스템을 사용합니다. 더 나쁜 것은 펜로즈 타일링은 무한한 평면에서만 국부적으로 구별할 수 없기 때문에 유한한 현실 세계로 잘 변환되지 않는다는 것입니다.

“매우 흥미로운 연결이다”라고 말했다. 바바라 테할, 델프트 공과 대학의 양자 컴퓨팅 연구원. "그러나 그것을 땅에 내려놓는 것도 좋습니다."

Li와 Boyle은 기본 양자 시스템이 한 경우에는 유한하고 다른 경우에는 이산적인 두 개의 다른 타일링 기반 코드를 구성함으로써 이미 그 방향으로 한 걸음 나아갔습니다. 개별 코드를 유한하게 만들 수도 있지만 다른 과제가 남아 있습니다. 두 유한 코드 모두 함께 클러스터된 오류만 수정할 수 있는 반면, 가장 널리 사용되는 양자 오류 수정 코드는 무작위로 분산된 오류를 처리할 수 있습니다. 이것이 타일링 기반 코드의 본질적인 한계인지 아니면 더 영리한 디자인으로 피할 수 있는지는 아직 명확하지 않습니다.

이어 "앞으로 할 수 있는 일이 많다"고 말했다. 펠릭스 플리커, 브리스톨 대학의 물리학자. “모든 좋은 논문은 그렇게 해야 합니다.”

더 잘 이해해야 하는 것은 기술적인 세부 사항뿐만 아니라, 새로운 발견은 더 근본적인 질문도 제기합니다. 한 가지 확실한 다음 단계는 코드로도 작동하는 다른 타일링을 결정하는 것입니다. 작년에 수학자들이 발견했습니다. 비주기 타일링 계열 각각은 하나의 타일만 사용합니다. 펜로즈는 이메일에서 “이러한 최근 개발이 양자 오류 수정 문제와 어떻게 연결될 수 있는지 보는 것은 흥미로울 것”이라고 썼습니다.

또 다른 방향은 양자 오류 정정 코드와 특정 사이의 연결을 탐색하는 것입니다. 양자 중력 모델. 에 2020 용지, Boyle, Flicker 및 후기 Madeline Dickens는 비주기 타일링이 해당 모델의 시공간 기하학에 나타나는 것을 보여주었습니다. 그러나 그 연결은 Li와 Boyle의 작업에서 아무런 역할도 하지 않는 타일링의 속성에서 비롯되었습니다. 양자 중력, 양자 오류 수정 및 비주기 타일링은 윤곽 연구자들이 이제 막 이해하기 시작한 퍼즐의 다른 조각인 것 같습니다. 비주기적인 타일링 자체와 마찬가지로 이러한 조각들이 어떻게 서로 맞춰지는지 알아내는 것은 매우 미묘할 수 있습니다.

Flicker는 “이러한 다양한 것들을 연결하는 깊은 뿌리가 있습니다.”라고 말했습니다. "이 감미로운 연결 세트가 해결되기를 간청하고 있습니다."