解析のための有限要素法は、マルチダイ システムでの機械的応力解析、冷却および応力解析 (例: 反り) の両方に対応する熱解析、および電磁コンプライアンス解析など、電子システム設計の多くの領域で使用されます。 (数値流体力学 (CFD) は、別のブログで取り上げるかもしれませんが、別の野獣です。) 私は別のクライアントとこの分野のトピックを取り上げてきましたが、この分野が私の物理学の背景と内なる数学オタクに共鳴するため、引き続き魅力的であると感じています。 (微分方程式を解く)。ここで私は、 最近の論文 シーメンスAGからミュンヘン工科大学とブラウンシュヴァイク工科大学と共同で受賞しました。
問題文
有限要素法は、多くの物理解析で生じる 2D/3D 偏微分方程式 (PDE) 系を数値的に解く技術です。これらは、複雑な SoC 内での熱の拡散方法から、自動車レーダーの EM 解析、応力下で機械構造がどのように曲がるか、衝突時に車の前部がどのように崩れるかにまで及びます。
FEM の場合、メッシュは解析用の個別のフレームワークとして物理空間全体に構築され、境界および特に急速に変化する境界条件の周囲ではより細かく、その他の部分ではより粗くなります。詳しい説明は省略しますが、この方法では、重ね合わせの係数を変えることによって、メッシュ全体にわたる単純な関数の線形重ね合わせを最適化します。最適化の目的は、線形代数やその他の方法を通じて、初期条件および境界条件とともに偏微分方程式の離散プロキシと一致する、許容可能な許容誤差内で最適な適合を見つけることです。
一般に、許容可能な精度を満たすには非常に大きなメッシュが必要になるため、現実的な問題に対する FEM ソリューションの実行時間が非常に長くなり、最適化の可能性を探るために複数の解析を実行する場合にはさらに面倒になります。各実行は基本的にゼロから開始され、実行間の学習は利用されません。これは、分析を高速化するために ML メソッドを使用する機会を示唆しています。
FEM で ML を使用する方法
FEM 解析 (FEA) を高速化するために広く使用されているアプローチは、サロゲート モデルを構築することです。これらは、他のドメインの抽象モデルに似ており、元のモデルの完全な複雑性を簡略化したものです。 FEA の専門家は、ソース モデルの (離散化された) 物理的動作の適切な近似を示し続けながら、FEA よりもはるかに高速に実行されるにもかかわらず、少なくとも設計最適化フェーズでは FEA を実行する必要性を回避する削減次数モデル (ROM) について語ります。 。
サロゲートを構築する 1 つの方法は、多数の FEA から開始し、その情報をトレーニング データベースとして使用してサロゲートを構築することです。ただし、入力と出力のトレーニング セットを生成するには、依然として時間のかかる分析が必要です。著者らは、このようなアプローチの別の弱点も指摘しています。 ML は、そのようなアプリケーションすべてで重要な物理的制約をネイティブに理解していないため、トレーニング セット以外のシナリオが提示されると幻覚を起こしやすくなります。
逆に、FEM を 物理的に情報を与えられたニューラルネットワーク (PINN) は物理偏微分方程式を損失関数計算に組み込み、本質的には勾配ベースの最適化に物理的制約を導入します。これは賢いアイデアですが、その後の研究では、この方法は単純な問題には機能しますが、高周波およびマルチスケールの特徴が存在すると機能しなくなることが示されています。また、このようなメソッドのトレーニング時間が FEA の実行時間よりも長くなる可能性があることも残念です。
この論文では、FEA と ML トレーニングをより緊密に組み合わせて、ML 損失関数がメッシュ全体で試行解をフィッティングする際の FEA 誤差計算に基づいてトレーニングするという、興味深い代替案を提案しています。 PINN アプローチには類似点もありますが、重要な違いがあります。このニューラル ネットワークは FEA と連携して実行され、トレーニングでのソリューションへの収束を加速します。これにより明らかにトレーニングが高速化されます。推論では、ニューラル ネット モデルは FEA を必要とせずに実行されます。構築上、この方法でトレーニングされたモデルは、物理的に認識されたソルバーに対して非常に厳密にトレーニングされているため、実際の問題の物理的制約に厳密に準拠する必要があります。
ここでの私の解釈はかなり正確だと思います。専門家からの修正を歓迎します。
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- 情報源： https://semiwiki.com/artificial-intelligence/341034-blending-finite-element-methods-and-ml/
