We 最後のインサイトパズルを解決しました 複雑な問題の単純なバージョンに対して何らかの算術を実行して、そのパターンを発見します。 多くの場合、このアプローチにより隠れた洞察が明らかになります。 単純な算術を使用して、導出した複雑な式が実際に機能することを確認することもできます。

おそらくもっと驚くべきことに、算術で遊ぶことは、より深い数学、さらにはより深い科学を指し示す予期せぬ深い発見につながる可能性があります。 たとえば、数年前のパズルで「遺伝子は利己的か協調的か？「私は簡単な算数の問題を提起しましたが、それが一部の読者を導きました」 基本的な法則を再発見する 遺伝学の。 確かに、それはすでに知られていましたが、小さな数字をいじるだけで重要な科学原理を再現することは、非常に頭がくらむような楽しい経験です。 それはあなたを数学に夢中にさせる類のものです。 あえて言えば、このような「誘導された発見」の例が低学年や中学年の数学教育の一部として定期的に行われていれば、おそらく数学を嫌いな人はこれほど多くはないだろう。

その精神で、私はあなたに発見の感覚を与えてほしいと願って、いくつかの簡単な算術問題を提示します。 これらのパズルは、ペンと紙を使って行うことも、スプレッドシートを使用することもできます。 コーディングに熟練している場合は、すぐにコンピューター プログラムの作成に飛びつく必要はありません。 まずは少しプレイしてみることをお勧めします。 (そして、例がどこにつながるかを認識している場合は、最初の XNUMX 週間ほどはネタバレを投稿しないでください。)

パズル1

1. シーケンス内の次の 5634 つの数字を見つけます: 6543 (3456, 3087)、8730 (0378, 8352)、XNUMX …

   時間をかけてパターンを見つけてください。ただし、ヒントが必要な場合は、 ここをクリック：

   暗示: 括弧内の数字がその左側の数字とどのように関係しているかを考えてください。 次に、算術を使用してシーケンス内の次の数値を計算します。
2. 同様の手順で、次の番号から始まるシーケンスを生成します。 何か興味深いことが起こるまで数値を生成し続けます。

   私。 6372
   ii。 8956
   iii。 5058
   iv. 7191
   v. 5355

3. もうすでに発見があるはずです。 次に、独自の XNUMX 桁の数字をいくつか使用して手順を試してください。 さらに詳しく調べてください: なぜこのようなことが起こるのでしょうか? 例外を見つけることができますか? この例よりも多くの手順を必要とする数値を見つけられますか? (プログラマーがプログラムを起動する時が来ました!)
4. これは役立つかもしれない暗号 (数字の置換) パズルです (ちなみに、これらの単語はすべて Scrabble で使用できます)。 解決策はいくつあると思いますか?
5. 寝ている間にパート d を実行できる場合は、Z と E をいくつか挿入した長いバージョンを次に示します。 d の部分にある文字は同じ数字を表します。

   より多くの（またはより少ない）Z（および対応するE）をEAST番号に追加できますか？ これは、最初の発見の文脈で何を意味しますか？ より難しい問題：これは、XNUMX桁の数字が私たちの手順の下でXNUMX桁の数字と同様の特性を持っていることを意味しますか？

   人々は何千年もの間、計算を行ってきましたが、1955 桁の数字のこの単純な動作が、ペンと紙を使って数字をいじるのが大好きな数学者によって発見されたのは XNUMX 年のことでした。桁数を増やすとどうなるでしょうか? まあ、何か違いますが、それでも興味深いものです。

6. このパズルのパート a とパート b で行ったのと同じ手順を次の数字に適用してみてください。 何か興味深いことが起こるまで続けてください:

   私。 53955
   ii。 62964
   iii。 420876

上の 1 階で見られる循環現象は、別の文脈で、基本的な科学的発見につながりました。これについては、XNUMX 番目のパズルで調査します。 この計算では、XNUMX 進数を使用して反復計算を行うため、最後の答えを呼び出す「Ans」キーを備えた電卓を使用することをお勧めします (お持ちの場合)。 それ以外の場合は、スプレッドシートを使用します。 取得した数値の最初の数桁だけを見てください (スプレッドシートを使用して小数点以下 XNUMX 桁だけを表示してください)。

パズル2

1. このパズルでは、シード番号 (x) これは最初は 0.5 です。 まずそれを 1 から引きます。これにより、再び 0.5 が得られます。 この新しい数値に x を乗算し、その積に定数を乗算します (k）式を評価するための2.4など kx（1 − x).これにより 0.6 が得られます。 これが私たちの新しい種です。 ここで再度手順を実行します。 0.6 から 1 を引くと 0.4 になります。 0.6 に 0.4 を乗算し、その積に再度 2.4 を乗算して新しいシードを取得します。以下の定数について、シード 0.5 から始めて上記の操作を実行します。 繰り返しますが、何か興味深いことが起こるまで続けてください。

   私。 2.4
   ii。 3.3
   iii。 3.5
   iv。 3.55

2. ご覧のとおり、上記の各ステップで動作に変化があります。 k 2.4から3.55に増加します。 また、行動の変化は次のようにますます急速に起こることに注意してください k が増加します。 実際、これらは、ケース i ～ iv で動作が上記の観察結果に変化したときの定数の実際の値です。

   私。 1
   ii。 3
   iii。 3.44949
   iv。 3.54409

   そして、変化は次のように続きます k 十字架：

   V. 3.5644043
   vi. 3.5687594
   vii. 3.5696916
   viii。 3.56989125

の値のシーケンスが k 限界に向かって収束しつつあるようだ。 また、(3 − 1)/(3.44949 − 3) などの連続する差の間の比率も限界に収束します。 シーケンスの制限は、使用した式に固有であることがわかります。 一方、連続差分の比率の極限は、数学の基本的な定数であり、基本的なものです。 π & e. それを∂（デルタ）と呼びましょう。 驚くべきことに、これは 1975 年に、このような単純な方程式の数値的手順を通じて初めて発見されました。私たちが行ったことを見ると、二次式を採用しただけです。 kx（1 − x), シード値 0.5 から開始し、それぞれを置き換えます x 次のサイクルで取得した値を使用します。 ∂ は、次の範囲全体にわたって単一の最大値を持つ二次式に対して発生することがわかります。 x、式のような k - x²。 この種の式は物理世界のモデルにたくさんあるため、この定数は数学のさまざまな分野や科学のさまざまな分野で応用できます。

これは私の「ガイド付き発見」の試みですが、やる気があれば、自分でさらに自由に探索することもできます。 この時点では、私たちが発見した定数が何であるかについては明らかにしません。なぜなら、これらの発見について読みたいという誘惑を与えたくないからです。 発見と探索の感覚をぜひご自身で体験していただきたいです。 最初の XNUMX 週間ほどは、これらの数字について何も知らなかった真の探検家からのコメントや洞察だけが届くことを望みます。その後、これらの主題に詳しい人々からのコメントを投稿する予定です。さらに詳しく説明するビデオを共有します。

楽しく探検してください！

編集者のメモ：コメントセクションで（コラムニストが判断した）最も興味深い、創造的または洞察に満ちた解決策を提出した読者は、 クォンタマガジン Tシャツ またはXNUMXつのうちのXNUMXつ クアンタ 本、 アリスとボブが火の壁に出会う or 素数の陰謀 （勝者の選択）。 また、将来のインサイトのコラムでお気に入りのパズルを提案したい場合は、「新しいパズルの提案」と明確にマークされたコメントとして以下に送信してください。 （オンラインでは表示されないため、上記のパズルの解決策は別途提出する必要があります。）