ランダムなプロセスは私たちの周りで起こっています。ある日雨が降っても、次の日は降らない。株や債券の価値が上がったり下がったり。交通渋滞は合体して解消されます。これらのシステムは、複雑に相互作用する多数の要因によって制御されるため、そのようなシステムの正確な動作を予測することは不可能です。代わりに、私たちはそれらを確率の観点から考え、結果を可能性が高いか、またはまれであるかを特徴づけます。

今日、フランスの確率論者は、 ミシェル・タラグラン このようなプロセスの深く洗練された理解を発展させた功績により、数学界で最高の栄誉の一つであるアーベル賞を受賞しました。ノルウェー国王から授与されたこの賞はノーベル賞をモデルにしており、賞金は7.5万ノルウェークローネ（約700,000万ドル）だ。勝利を知らされたとき、「頭が真っ白になった」とタラグランドさんは語った。 「私がやっている数学の種類は、私が始めたときはまったく流行っていませんでした。それは数学が劣っていると考えられていました。私がこの賞を受賞したという事実は、そうではないという絶対的な証拠です。」

他の数学者も同意する。タラグランドの作品は「私の世界の見方を変えた」と述べた アサフ・ノール プリンストン大学の。本日、追加しました ヘルゲ・ホールデンアーベル賞委員会の委員長は、「現実世界の出来事をランダムなプロセスで記述し、モデル化することが非常に一般的になってきています。タラグランドのツールボックスはすぐに表示されます。」

タラグランドさんは、自分自身の人生をありそうもない出来事の連続だと考えています。彼はかろうじてリヨンの小学校に合格しました。科学には興味がありましたが、勉強するのは好きではありませんでした。彼は5歳のとき、網膜剥離により右目を失明しました。 15歳のとき、もう一方の目にXNUMXつの網膜剥離を患い、失明するのではないかとの恐怖から、目に包帯を巻いてXNUMXか月間入院することを余儀なくされた。数学教授である父親が毎日彼を訪ね、数学を教えることで彼の心を忙しくさせていました。 「こうして私は抽象化の力を学びました」とタラグランド 2019で書きました 1.2万ドルの賞金が与えられるもう一つの主要な数学賞であるショー賞を受賞した後。 （タラグランド氏は、この資金の一部とアーベル賞の賞金を使って、「私が人生を捧げてきた分野における若い研究者の功績を称える」独自の賞を創設している。）

彼は回復するまで半年学校を休んだが、学業に集中し始める気になった。彼は数学に優れ、1974年に大学を卒業すると、ヨーロッパ最大の研究機関であるフランス国立科学研究センターに採用され、2017年に退職するまで勤務しました。その間に博士号を取得しました。将来の妻となる統計学者に一目惚れした（出会ってからXNUMX日後にプロポーズした）。そして徐々に確率への関心を深め、このテーマに関する何百もの論文を出版しました。

それは事前に予定されていたものではありませんでした。タラグランド氏は、高次元の幾何学的空間を研究することからキャリアをスタートしました。 「10年間、自分の得意なことを見つけられなかった」と彼は言う。しかし、彼はこの回り道を後悔していません。それは最終的に彼を確率理論に導き、「私には別の視点があり、それが物事を違った見方で見る方法を与えてくれました」と彼は言いました。これにより、彼は高次元幾何学のレンズを通してランダムなプロセスを調べることができました。

「彼は幾何学的な直観を持ち込んで、純粋に確率的な問題を解決します」とナオール氏は語った。

ランダム プロセスとは、一連のコイン投げ、ガス中の原子の軌道、毎日の降雨量の合計など、モデル化できる方法で結果が偶然に応じて変化するイベントの集合です。数学者は、個々の結果と集合的な動作の関係を理解し​​たいと考えています。それが公平かどうかを判断するには、何回コインを投げる必要がありますか?川が堤防から氾濫するでしょうか?

タラグランドは、ガウス分布と呼ばれる釣鐘型曲線に従って結果が分布するプロセスに焦点を当てました。このような分布は本質的に一般的であり、多くの望ましい数学的特性を持っています。彼は、このような状況における極端な結果について確実に言えることを知りたいと考えていました。そこで彼は、起こり得る結果に厳しい上限と下限を設ける一連の不等式を証明しました。 「適切な不平等を実現することは芸術作品です」とホールデン氏は言う。この技術は役に立ちます。タラグランド氏の手法は、たとえば、今後 10 年間に川が上昇する可能性のある最高水位や、潜在的に最も強い地震の規模について最適な推定値を与えることができます。

複雑な高次元データを扱う場合、そのような最大値を見つけるのは困難になることがあります。

川の氾濫のリスクを評価したいとします。リスクは降雨量、風、気温などの要因によって決まります。川の高さをランダムなプロセスとしてモデル化できます。タラグランドは、そのようなランダムなプロセスに関連した高次元の幾何学的空間を作成できるようにするジェネリック チェーンと呼ばれる技術の開発に 15 年を費やしました。彼の方法は「形状から最大値を読み取る方法を提供します」と Naor 氏は言います。

この技術は非常に一般的であるため、広く適用できます。数千のパラメータに依存する大規模な高次元データ セットを分析したいとします。有意義な結論を引き出すには、データ セットの最も重要な特徴を保持しながら、ほんの少数のパラメーターの観点からデータ セットの特徴を明らかにする必要があります。 (たとえば、これは、さまざまなタンパク質の複雑な構造を分析して比較するための 1 つの方法です。) 多くの最先端の方法では、高次元のデータを低次元の空間にマッピングするランダム操作を適用することで、この単純化を実現しています。 。数学者は、Talagrand の汎用連鎖手法を使用して、このプロセスによって生じる誤差の最大量を判断できます。これにより、一部の重要な特徴が単純化されたデータ セットに保存されない可能性を判断できます。

タラグランド氏の仕事は、ランダムなプロセスの考えられる最良の結果と最悪の結果を分析することだけに限定されませんでした。彼はまた、平均的な場合に何が起こるかを研究しました。

多くのプロセスでは、ランダムな個別のイベントが集合的に、高度に決定的な結果をもたらす可能性があります。測定値が独立している場合、個々のイベントを予測することが不可能であっても、合計は非常に予測可能になります。たとえば、公正なコインを投げます。何が起こるかについては、事前に何も言うことはできません。 10 回ひっくり返すと、約 66% の確率で 1,000、450、または 550 つの表が得られます (期待値の 99.7 つの表に近い)。しかし、コインを 500 回投げると、XNUMX% の確率で XNUMX ～ XNUMX の表が得られ、その結果は期待値 XNUMX 付近にさらに集中しています。「平均付近では非常にシャープです」とホールデン氏は言います。

「たとえ何かに非常にランダム性があったとしても、そのランダム性は自動的に打ち消されてしまいます」とナオール氏は言う。 「最初はひどい混乱のように見えましたが、実際には組織化されています。」

メジャーの集中として知られるこの現象は、より複雑なランダム プロセスでも発生します。タラグランドは、その濃度の定量化を可能にする一連の不等式を考案し、それがさまざまな状況で発生することを証明しました。彼のテクニックは、この分野におけるこれまでの研究からの脱却を示しました。このような不平等を初めて証明したことは、「魔法のような経験」だったと、彼は2019年のエッセイで書いた。彼は「常に高揚感に満ちていた」のです。

彼は、その後の集中力の不平等の 1 つを特に誇りに思っています。 「宇宙について考えようとし、同時に説明しやすい1ページの証明を伴う結果を得るのは簡単ではありません」と彼は言う。 （ビジネススクールの確率の授業で不等式を学んだとき、オーナーが自分の名前を認識していたタクシーサービスを利用したことがあるということを、彼はうれしそうに思い出しました。「それは異常でした」と彼は言いました。

彼の一般的な連鎖法と同様に、タラグランドの濃度の不平等は数学のいたるところに現れます。 「これほどまでに達成できるのは驚くべきことだ」とナオール氏は語った。 「タラグランドの不平等は、物事を結びつけるネジです。」

さまざまなサイズのアイテムをビンに分類する必要がある最適化問題 (リソース割り当てのモデル) を考えてみましょう。アイテムがたくさんある場合、必要なゴミ箱の最小数を把握するのは非常に困難です。しかし、タラグランドの不等式から、アイテムのサイズがランダムな場合に必要となる可能性のあるビンの数がわかります。

同様の方法は、組み合わせ論、物理学、コンピューターサイエンス、統計学、その他の環境で集中現象を証明するために使用されています。

最近では、タラグランドはランダム プロセスに関する理解を応用して、ランダムでしばしば矛盾する相互作用によって生成される無秩序な磁性材料であるスピン グラスに関する重要な予想を証明しました。タラグランド氏は、スピン グラスが数学的に明確に定義されているにもかかわらず、物理学者が数学者よりもよく理解していることに不満を感じていました。 「それは私たちの足のとげでした」と彼は言いました。彼は、スピングラスのいわゆる自由エネルギーに関する結果を証明し、より数学的な理論の基礎を提供しました。

タラグランド氏の研究は、そのキャリアを通して、「一歩下がって、どこでも再利用可能な一般原則を見つける能力」によって特徴付けられてきたとナオール氏は語った。 「彼は物事を再考し、あらゆる種類の視点から考えます。そして最終的には、彼は誰もが利用している主力となる洞察を導き出します。」

「私の頭は非常に遅いので、単純なことをよく理解するのが好きです」とタラグランドさんは言いました。 「だから、とても長い間、彼らのことを考えています。」彼は、「何かを純粋な方法で深く理解したいという欲求によって動かされており、それによって理論がはるかに簡単になります」と彼は言いました。そうすれば、次世代はそこからスタートして、自分たちのやり方で進歩することができます。」

過去 10 年にわたり、彼は教科書を書くことでこれを達成してきました。ランダム プロセスやスピン グラスだけでなく、彼が全く取り組んでいない領域である量子場の理論についても書いています。彼はそれについて学びたいと思っていましたが、見つけられる教科書はすべて数学者ではなく物理学者によって書かれ、数学者のために書かれていることに気づきました。それで彼は自分でそれを書きました。 「物事を発明できなくなったら、それを説明できるようになります」と彼は言いました。