5月には、NASAのヨーロッパクリッパーミッションを運ぶファルコンヘビーロケットがフロリダ州ケープカナベラルから打ち上げられる予定だ。 53億ドルを投じたこのミッションは、木星のXNUMX番目に大きい衛星エウロパが生命を維持できるかどうかを調べることを目的としている。しかし、エウロパは木星の磁場によって生成される強力な放射線に常にさらされているため、クリッパー宇宙船は月自体を周回することができません。代わりに、木星の周りの偏心軌道に滑り込み、最悪の放射線から撤退する前に、合計XNUMX回、エウロパの近くを繰り返しスイングしてデータを収集します。探査機が木星の周りを回るたびに、その経路はわずかに異なり、エウロパの極から赤道まで写真を撮ったりデータを収集したりできるようになります。

このような複雑なツアーを計画するために、軌道プランナーは軌道を 1 ステップずつ綿密に計算するコンピューター モデルを使用します。計画には何百ものミッション要件が考慮されており、軌道とそれらを複雑なツアーに結合する方法に関する数十年にわたる数学的研究によって強化されています。数学者は現在、軌道が相互にどのように関係しているかをより体系的に理解するために使用できることを期待してツールを開発しています。

「私たちが持っているのは、これまでに行った計算であり、現在の計算を行う際のガイドとなります。しかし、これは私たちが持つすべての選択肢の完全な全体像ではありません」と述べた。 ダニエル・シーレス、コロラド大学ボルダー校の航空宇宙工学者。

「学生時代、それが最大のフラストレーションだったと思います」と NASA ジェット推進研究所のエンジニア、ダユン・コーは語った。 「こうした軌道があることは知っていますが、なぜそうなのかはわかりません。」木星と土星の衛星へのミッションの費用と複雑さを考えると、なぜその軌道がその位置にあるのかを知ることができないのは問題です。より少ないリソースで仕事を完了できるまったく異なる軌道がある場合はどうなるでしょうか?コー氏はこう言いました。他にもありますか？それは言えません。」

2016 年に南カリフォルニア大学で博士号を取得した後、コーさんは軌道をどのように系列に分類できるかに興味を持ち始めました。エウロパから遠く離れた木星の軌道はそのような系を形成します。エウロパに近い軌道も同様です。しかし、他の家族はそれほど明らかではありません。たとえば、木星とエウロパのような XNUMX つの天体には、XNUMX つの天体の重力効果のバランスが取れて安定点が形成される中間点が存在します。軌道の中心には何もなくても、宇宙船はこの点を周回できます。これらの軌道はリアプノフ軌道と呼ばれるファミリーを形成します。宇宙船のエンジンを点火して、そのような軌道に少しエネルギーを加えれば、最初は同じ家族にとどまることになります。しかし、十分に追加すると、別のファミリー、たとえば、軌道内に木星が含まれるファミリーに渡ることになります。一部の軌道ファミリーは、他の軌道ファミリーよりも必要な燃料が少なく、常に太陽光の下に留まり、またはその他の便利な機能を備えている場合があります。

2021 年、コー氏はシンプレクティック幾何学の観点からカオスな軌道に取り組む方法を論じた論文を見つけました。シンプレクティック幾何学は、一般に乱雑な現実世界の詳細から遠く離れた数学の抽象分野です。彼女は、シンプレクティック幾何学には軌道をよりよく理解するために必要なツールがあるのではないかと疑い始め、次の人物に連絡を取りました。 アグスティン・モレノ、論文の著者。当時スウェーデンのウプサラ大学の博士研究員だったモレノは、NASA の誰かが彼の研究に興味を持っていると聞いて驚き、喜んだ。 「それは予想外でしたが、同時に非常に興味深く、ある種のモチベーションを与えてくれました」と彼は言いました。

二人は共同作業を開始し、モレノの抽象技術を木星・エウロパ系と、エウロパと同様に地下海に生命が存在する可能性がある土星とその衛星エンケラドゥスに適用しようと試みた。昨年、他の共同研究者とともに、彼らは次のような一連の論文を執筆しました。 フレームワークを作成する for 軌道のカタログ化。 1月、現在ハイデルベルク大学教授であるモレノ氏は、調査報告書を調査報告書に変える初期の草稿を完成させた。 その主題に関する本。彼はこの本によって、シンプレクティック幾何学の抽象分野を宇宙ミッションを計画しようとしている技術者に役立つものにしたいと考えています。もし彼が成功すれば、何世紀にもわたって離れ離れになっていた研究分野を再び結びつけることになるだろう。

幾何学に王道はない

シンプレクティック幾何学のルーツは物理学にあります。簡単な例として、振り子を想像してください。その動きは、角度と速度という 2 つのパラメータで説明できます。速度が十分に低い場合、振り子は前後に振動します。速度が速いと円を描いて回転します。摩擦のない理想的な振り子では、開始角度と速度を選択すると、システムの動作が常に決定されます。

角度を指定してグラフを作成できます。 x-軸と速度は y-軸。しかし、360 度移動すると最初に戻ることができるため、縦の線を縫い合わせることができます。 x は 0 度で、どこで x 360度です。これでシリンダーが出来上がります。円柱は物理的現実を直接反映するものではなく、振り子がたどる経路を示すものではなく、円柱上の各点が振り子の特定の状態を表します。円柱は、振り子がたどることのできる経路を決定する法則とともに、シンプレクティックな空間を形成します。

ヨハネス ケプラーが法則を定式化した 17 世紀初頭以来、物理学者と数学者は、重力を受ける XNUMX つの物体の運動を記述する方法をしっかりと把握していました。移動速度に応じて、経路は楕円、放物線、または双曲線を形成します。対応するシンプレクティック空間は振り子の空間よりも複雑ですが、それでも扱いやすいです。しかし、XNUMX 番目のオブジェクトを導入すると、正確な分析ソリューションを計算することができなくなります。さらにモデルにボディを追加すると、作業はさらに複雑になります。 「その分析的な洞察がなければ、ほとんどの場合、ある程度のレベルで暗闇に向かって射撃することになります」とシーレス氏は言う。

右から左、上下、前後に自由に移動できる宇宙船は、位置を記述するために 18 つの座標が必要で、速度を記述するにはさらに XNUMX つの座標が必要です。それはXNUMX次元のシンプレクティック空間を作ります。木星、エウロパ、宇宙船など XNUMX つの天体の動きを記述するには、XNUMX つの天体につき XNUMX つ、合計 XNUMX つの次元が必要です。空間の幾何学形状は、空間の次元数だけでなく、記述されている物理システムが時間の経過とともにどのように進化するかを示す曲線によっても定義されます。

モレノとコーは、天体の 18 つ (宇宙船) が非常に小さいため、他の XNUMX つ (木星とエウロパ) に影響を与えないという、三体問題の「制限付き」バージョンに取り組みました。物事をさらに単純化するために、研究者らは月の軌道が完全な円形であると仮定した。その円軌道を、宇宙探査機の経路を考慮するための安定した背景として捉えることができます。木星とエウロパの運動は簡単に記述できるため、シンプレクティック空間では宇宙船の位置と速度のみを考慮する必要があります。したがって、対応するシンプレクティック空間は XNUMX 次元ではなく XNUMX 次元になります。この XNUMX 次元空間内の経路がループを形成すると、それは惑星と月の系を通る宇宙船の周期的な軌道を表します。

コー氏がモレノ氏に連絡を取ったとき、彼女はほんの少しのエネルギーを追加するだけで宇宙船の軌道があるファミリーから別のファミリーに飛び移るケースに興味を持ちました。軌道ファミリー間のこれらの合流点は分岐点と呼ばれます。多くの場合、多くの家族が一度に集まります。これは、軌道計画者にとって特に役立ちます。 「分岐構造を理解すると、注目すべき興味深い軌道がどこにあるかについてのロードマップが得られます」とシーレス氏は言います。コー氏は、分岐点を特定して予測する方法を知りたいと考えていました。

コーから話を聞いた後、モレノは他の幾何学者数名に協力を求めました。 ウルス・フラウエンフェルダー アウグスブルク大学の、 ジェンギズ・アイディン ハイデルベルク大学の オットー・ファン・ケルト ソウル大学の教授。フラウエンフェルダーとファン クルトは、シンプレクティック幾何学を使用して三体問題を長い間研究していました。 明らかにすることさえ 潜在的な新しい軌道ファミリー。しかし、宇宙船ミッションを計画する技術者は無数の数学的ツールを使用してきましたが、ここ数十年は、シンプレクティック幾何学の抽象化が進むことに困難を感じてきました。

その後数か月間、エンジニアと 4 人の数学者はゆっくりとお互いの分野について学びました。 「学際的な仕事をしていると、たとえば言語の壁を乗り越えるのに時間がかかります」とモレノ氏は言う。 「しかし、根気よく仕事をした後は、成果が表れ始めます。」

ツールキット

チームは、ミッション計画者にとって役立つことを期待して、いくつかのツールをまとめました。ツールの 1 つは、2 つの軌道が同じファミリーに属するかどうかを判断するのに役立つ Conley-Zehnder 指数と呼ばれる数値です。それを計算するために、研究者は、研究したい軌道に近いが、軌道上ではない点を調べます。たとえば、宇宙船がエウロパからの重力の影響を受けて木星の周りの楕円軌道をたどっていると想像してください。軌道からずらすと、新しい軌道は元の軌道を模倣しますが、大まかなものにすぎません。新しい経路は元の軌道を螺旋状に回り、木星を周回した後、わずかに異なる点に戻ります。コンリー・ゼンダー指数は、スパイラルがどの程度進行しているかを測定するものです。

驚くべきことに、コンリー・ツェンダー指数は宇宙船を微調整する方法の詳細には依存しません。それは軌道全体に関連付けられた数値です。さらに、それは同じファミリー内のすべての軌道で同じです。 2 つの軌道の Conley-Zehnder 指数を計算し、2 つの異なる数値が得られた場合、その軌道が異なる族のものであると確信できます。

フラワー数と呼ばれる別のツールは、未発見の軌道群を示唆することができます。エネルギーが特定の数値に達すると、いくつかのファミリーが分岐点で衝突し、エネルギーが高くなると、さらにいくつかのファミリーがその分岐点から分岐すると仮定します。これにより、分岐点が中心ハブとなる家族の網が形成されます。

この分岐点に関連付けられたフロア数は、関連する各ファミリに関連付けられた Conley-Zehnder 指数の単純な関数として計算できます。この関数は、分岐点よりわずかに小さいエネルギーを持つすべての族と、それより大きいエネルギーを持つ族の両方に対して計算できます。 2 つの Floer 番号が異なる場合、分岐点に関連する隠れた家族が存在するという手がかりになります。

「私たちがやっているのは、エンジニアがアルゴリズムをテストするためのツールを提供することです」とモレノ氏は語った。新しいツールは主に、エンジニアが軌道ファミリーがどのように適合するかを理解し、必要に応じて新しいファミリーを探すよう促すことを目的として設計されています。それは、何十年にもわたって磨かれてきた軌道探索技術に代わるものではありません。

2023 年、モレノはこの作品を「」主催の会議で発表しました。宇宙飛行力学委員会」と彼は、JPL やボルダーのシェーレス研究室のエンジニアを含む、宇宙軌道を研究するエンジニアと連絡を取り合っています。シェーレスは、分野の混合を歓迎しました。彼は、惑星の運動に対するシンプレクティックなアプローチについては長い間知っていましたが、数学的には理解が及ばないと感じていました。 「数学者たちが自分たちの専門知識をエンジニアリング面に落とし込もうとしているのを見るのは本当に刺激的でした」と彼は語った。シェーレス氏のグループは現在、4 つの天体を含むより複雑なシステムに取り組んでいます。

エド・ベルブルーノフラウエンフェルダー氏と協力した軌道計画コンサルタント（元JPL軌道分析者）は、これらの応用は直接的なものではないと警告する。 「シンプレクティック幾何学のような数学的手法は非常に素晴らしい軌道を思いつき、大量の軌道を得ることができますが、実際のミッションに必要な制約を満たすものは、たとえあったとしても非常に少数である可能性があります。」 、 彼は言った。

クリッパーの軌道はすでにほぼ決まっているが、モレノは次の惑星、土星に目を向けている。彼はすでに、土星の衛星エンケラドゥスに探査機を送りたいと考えているJPLのミッションプランナーに自分の研究を発表している。モレノ氏は、シンプレクティック幾何学が「標準的な宇宙ミッション ツールキットの一部になる」ことを期待しています。