Slumpmässiga processer äger rum runt omkring oss. Det regnar ena dagen men inte nästa; aktier och obligationer vinner och tappar i värde; trafikstockningar smälter samman och försvinner. Eftersom de styrs av många faktorer som interagerar med varandra på komplicerade sätt, är det omöjligt att förutsäga det exakta beteendet hos sådana system. Istället tänker vi på dem i termer av sannolikheter, och karakteriserar utfall som troliga eller sällsynta.

Idag, den franska sannolikhetsteoretikern Michel Talagrand belönades med Abelpriset, en av de högsta utmärkelserna inom matematik, för att ha utvecklat en djup och sofistikerad förståelse för sådana processer. Priset, som delas ut av kungen av Norge, är utformat efter Nobelpriset och kommer med 7.5 miljoner norska kronor (cirka 700,000 XNUMX dollar). När han fick höra att han hade vunnit, "minst mitt sinne", sa Talagrand. ”Den typ av matematik jag gör var inte alls på modet när jag började. Det ansågs vara sämre matematik. Det faktum att jag fick den här utmärkelsen är ett absolut bevis på att så inte är fallet.”

Andra matematiker håller med. Talagrands arbete "förändrade mitt sätt att se på världen", sa Assaf Naor från Princeton University. Idag tillade Helge Holden, ordförande för Abelpriskommittén, ”det börjar bli mycket populärt att beskriva och modellera verkliga händelser genom slumpmässiga processer. Talagrands verktygslåda kommer upp direkt.”

Talagrand ser sitt eget liv som en kedja av osannolika händelser. Han klarade knappt grundskolan i Lyon: Även om han var intresserad av naturvetenskap gillade han inte att studera. När han var 5 år gammal tappade han synen på höger öga efter att näthinnan lossnat; vid 15 års ålder drabbades han av tre näthinneavlossningar i det andra ögat, vilket tvingade honom att tillbringa en månad på sjukhuset med bandage för ögonen, av rädsla att han skulle bli blind. Hans far, en matematikprofessor, besökte honom varje dag och höll sitt sinne sysselsatt genom att lära honom matematik. "Det här är hur jag lärde mig kraften i abstraktion," Talagrand skrev i 2019 efter att ha vunnit Shaw-priset, ett annat stort matematiskt pris som kommer med en belöning på $1.2 miljoner. (Talagrand använder en del av dessa pengar, tillsammans med sina Abel-vinster, för att grunda ett eget pris, "som ett erkännande av unga forskares prestationer inom de områden som jag har ägnat mitt liv åt.")

Han missade ett halvår i skolan medan han återhämtade sig, men han blev inspirerad att börja fokusera på studierna. Han utmärkte sig i matematik och efter examen från college 1974 anställdes han av det franska nationella centret för vetenskaplig forskning, Europas största forskningsinstitut, där han arbetade fram till sin pensionering 2017. Under den tiden tog han sin doktorsexamen; blev kär i sin framtida fru, en statistiker, vid första ögonkastet (han friade till henne tre dagar efter att ha träffat henne); och utvecklade gradvis ett intresse för sannolikhet och publicerade hundratals artiklar om ämnet.

Det var inte förutbestämt. Talagrand började sin karriär med att studera högdimensionella geometriska utrymmen. "I 10 år hade jag inte upptäckt vad jag var bra på", sa han. Men han ångrar inte denna omväg. Det ledde honom så småningom till sannolikhetsteori, där "jag hade den här andra synen ... som gav mig ett sätt att se på saker annorlunda", sa han. Det gjorde det möjligt för honom att undersöka slumpmässiga processer genom linsen av högdimensionell geometri.

"Han tar in sin geometriska intuition för att lösa rent probabilistiska frågor," sa Naor.

En slumpmässig process är en samling händelser vars utfall varierar beroende på slumpen på ett sätt som kan modelleras - som en sekvens av myntsvängningar, eller banorna för atomer i en gas, eller totala nederbördsmängder. Matematiker vill förstå sambandet mellan individuella resultat och aggregerat beteende. Hur många gånger måste du vända ett mynt för att ta reda på om det är rättvist? Kommer en flod att svämma över sina stränder?

Talagrand fokuserade på processer vars resultat fördelas enligt en klockformad kurva som kallas Gauss. Sådana fördelningar är vanliga till sin natur och har ett antal önskvärda matematiska egenskaper. Han ville veta vad man med säkerhet kan säga om extrema utfall i dessa situationer. Så han bevisade en uppsättning ojämlikheter som satte snäva övre och nedre gränser för möjliga resultat. "Att uppnå en bra ojämlikhet är ett konstverk," sa Holden. Den konsten är användbar: Talagrands metoder kan ge en optimal uppskattning av, säg, den högsta nivån en flod kan stiga till under de kommande 10 åren, eller storleken på den kraftigaste potentiella jordbävningen.

När vi har att göra med komplexa, högdimensionella data kan det vara svårt att hitta sådana maximala värden.

Säg att du vill bedöma risken för en flodöversvämning - vilket beror på faktorer som nederbörd, vind och temperatur. Du kan modellera flodens höjd som en slumpmässig process. Talagrand tillbringade 15 år med att utveckla en teknik som kallas generisk kedja som gjorde det möjligt för honom att skapa ett högdimensionellt geometriskt utrymme relaterat till en sådan slumpmässig process. Hans metod "ger dig ett sätt att läsa maximalt från geometrin," sa Naor.

Tekniken är mycket allmän och därför allmänt användbar. Säg att du vill analysera en massiv, högdimensionell datamängd som beror på tusentals parametrar. För att dra en meningsfull slutsats vill man bevara datamängden viktigaste egenskaper samtidigt som man karakteriserar den med bara några få parametrar. (Detta är till exempel ett sätt att analysera och jämföra de komplicerade strukturerna hos olika proteiner.) Många toppmoderna metoder uppnår denna förenkling genom att tillämpa en slumpmässig operation som kartlägger högdimensionella data till ett lägre dimensionellt utrymme . Matematiker kan använda Talagrands generiska kedjemetod för att bestämma den maximala mängden fel som denna process introducerar - vilket gör det möjligt för dem att bestämma chanserna att någon viktig egenskap inte bevaras i den förenklade datamängden.

Talagrands arbete var inte bara begränsat till att analysera de bästa och sämsta möjliga resultaten av en slumpmässig process. Han studerade också vad som händer i genomsnittsfallet.

I många processer kan slumpmässiga enskilda händelser sammantaget leda till mycket deterministiska utfall. Om mätningarna är oberoende blir summan mycket förutsägbar, även om varje enskild händelse är omöjlig att förutsäga. Till exempel, vänd ett rättvist mynt. Man kan inte säga något i förväg om vad som kommer att hända. Vänd den 10 gånger så får du fyra, fem eller sex huvuden — nära det förväntade värdet på fem huvuden — cirka 66 % av gångerna. Men vänd myntet 1,000 450 gånger så får du mellan 550 och 99.7 huvuden 500 % av gångerna, ett resultat som är ännu mer koncentrerat kring det förväntade värdet på XNUMX. "Det är exceptionellt skarpt runt medelvärdet," sa Holden.

"Även om något har så mycket slumpmässighet, tar slumpen ut sig själv," sa Naor. "Det som från början verkade som en hemsk röra är faktiskt organiserat."

Detta fenomen, känt som mätkoncentration, förekommer också i mycket mer komplicerade slumpmässiga processer. Talagrand kom med en samling ojämlikheter som gör det möjligt att kvantifiera den koncentrationen, och bevisade att den uppstår i många olika sammanhang. Hans tekniker markerade ett avsteg från tidigare arbete i området. Att bevisa den första sådan ojämlikheten, skrev han i sin essä 2019, var "en magisk upplevelse." Han var "i ett tillstånd av konstant upprymdhet."

Han är särskilt stolt över en av hans efterföljande koncentrationsskillnader. "Det är inte lätt att få ett resultat som försöker tänka på universum och som samtidigt har ett bevis på en sida som är lätt att förklara," sa han. (Han minns med förtjusning att han en gång använde en taxiservice vars ägare kände igen hans namn, efter att ha lärt sig ojämlikheten under en sannolikhetsklass på handelshögskolan. "Det var extraordinärt", sa han.)

Liksom hans generiska kedjemetod uppträder Talagrands koncentrationsskillnader över hela matematiken. "Det är otroligt hur långt det går," sa Naor. "Ojämlikheter i Talagrand är skruvarna som håller ihop saker."

Överväg ett optimeringsproblem där du måste sortera föremål av olika storlekar i papperskorgar - en modell för resursallokering. När du har många föremål är det mycket svårt att räkna ut det minsta antalet papperskorgar du behöver. Men Talagrands ojämlikheter kan berätta hur många papperskorgar du sannolikt kommer att behöva om föremålens storlekar är slumpmässiga.

Liknande metoder har använts för att bevisa koncentrationsfenomen inom kombinatorik, fysik, datavetenskap, statistik och andra sammanhang.

Mer nyligen tillämpade Talagrand sin förståelse av slumpmässiga processer för att bevisa en viktig gissning om spinnglasögon, oordnade magnetiska material skapade av slumpmässiga, ofta motstridiga interaktioner. Talagrand var frustrerad över att, även om spinglasögon är matematiskt väldefinierade, förstod fysiker dem bättre än matematiker. "Det var en tagg i foten på oss", sa han. Han bevisade ett resultat - om den så kallade fria energin hos spinglasögon - som gav en grund för en mer matematisk teori.

Under hela sin karriär har Talagrands forskning präglats av "denna förmåga att bara ta ett steg tillbaka och hitta de allmänna principerna som är återanvändbara överallt", sa Naor. ”Han återbesöker och återbesöker och tänker på något ur alla möjliga perspektiv. Och så småningom ger han ut en insikt som blir en arbetshäst, som alla använder.”

"Jag gillar att förstå enkla saker mycket väl, eftersom min hjärna är väldigt långsam," sa Talagrand. "Så jag tänker på dem väldigt, väldigt länge." Han drivs, sade han, av viljan att "förstå något djupt, på ett rent sätt, vilket gör teorin mycket lättare. Sedan kan nästa generation börja därifrån och göra framsteg på sina egna villkor.”

Under det senaste decenniet har han uppnått detta genom att skriva läroböcker — inte bara om slumpmässiga processer och spinnglasögon, utan också om ett område han inte alls arbetar inom, kvantfältteori. Han hade velat lära sig om det, men insåg att alla läroböcker han kunde hitta var skrivna av och för fysiker, inte matematiker. Så han skrev en själv. "När du inte längre kan uppfinna saker kan du förklara dem," sa han.