Nos últimos dois anos, os matemáticos identificaram as melhores versões das formas de uma sala de jogos infantil. Estes resultados ocupam um canto peculiar da matemática e, apropriadamente, foram produzidos por colaborações improváveis, envolvendo um matemático praticando origami com a sua esposa e uma professora ensinando os seus alunos a brincar com papel.

O trabalho ocorre dentro do estudo de formas “ótimas”, que envolve a compreensão de qual versão de uma forma atinge melhor um objetivo dadas algumas restrições. As abelhas entendem isso implicitamente: elas constroem favos de mel com células hexagonais porque os hexágonos fornecem a maior capacidade de armazenamento usando menos recursos.

Pelo menos na tradição, a primeira pessoa a procurar tal forma foi Dido, a rainha fundadora de Cartago. Depois de desembarcar no que hoje é a costa da Tunísia, ela fechou um acordo com o rei berbere, Iarbas. Ele concordou em dar a ela qualquer terra que ela pudesse incluir em uma única pele de boi. Em vez de deixar a escassa pele plana, como Iarbas havia previsto, Dido cortou-a em tiras finas, que usou para cercar e reivindicar uma colina inteira. A percepção da rainha ascendente foi que, dada uma quantidade fixa de material, a forma ideal para delimitar a área, que definia os limites da cidade de Cartago, é o círculo.

“Eles geralmente têm esse sabor. Há uma família de objetos e você quer saber qual deles maximiza isso ou minimiza aquilo”, disse Richard Schwartz da Brown University, que postou três resultados sobre formas ideais em rápida sucessão a partir de agosto passado, incluindo um com sua esposa, Brienne Elisabeth Brown.

Todos os resultados recentes tratam de minimizar a quantidade de papel, corda ou barbante usada para fazer uma determinada forma. A recente corrida de Schwartz começou com a tira de Möbius, que é formada pegando uma tira de papel, torcendo-a e juntando as pontas. Tem a bizarra característica de ser uma superfície que só tem um lado, o que significa que você pode traçar toda a sua superfície sem nunca levantar o dedo.

Já na década de 1930, os matemáticos tentaram encontrar o retângulo mais grosso possível que pudesse ser torcido em uma tira de Möbius. Parece intuitivamente claro que é fácil torcer um retângulo longo e fino em uma tira unilateral, mas fazer isso com um quadrado é impossível. Mas onde exatamente está o limite?

As formas ótimas surgem quando tentamos minimizar ou maximizar algum valor, como, neste caso, a relação entre a largura de uma tira e seu comprimento. Em termos matemáticos cruciais, eles são a versão mais extrema de uma forma. O estudo das formas ótimas é uma ponte entre a geometria, na qual o comprimento é importante, e a topologia, um ramo da matemática que lida com objetos idealizados que são infinitamente extensíveis e compressíveis. Na topologia, tiras de Möbius de tamanhos diferentes são intercambiáveis, uma vez que uma tira pequena pode ser esticada em uma grande, uma larga comprimida em uma fina e assim por diante. Da mesma forma, tiras retangulares de qualquer tamanho são todas, topologicamente, iguais.

Porém, a operação de torcer uma tira e unir as pontas muda as coisas. Considerar formas ideais é considerar os limites da topologia. Sim, você pode espremer uma tira de Möbius em outra. Mas quanto você pode espremer antes que se torne impossível ir mais longe?

“Uma questão é: qual é o menor comprimento e a outra é: existe uma maneira de atingir esse menor comprimento e como é”, disse Elizabeth Denne da Universidade de Washington e Lee.

Ao todo, houve pelo menos cinco resultados nos últimos anos que identificaram novos melhores valores para diferentes formatos, incluindo a tira de Möbius (com uma torção), a tira de Möbius de três torções e o nó simples. Alguns destes resultados identificam o valor mais conhecido para uma forma; outros vão um passo além e provam que não é possível obter valor melhor.

A Faixa de Möbius Ideal

Para formalizar o quão próximo um retângulo está de um quadrado, os matemáticos usam um número chamado proporção. É simplesmente o comprimento dividido pela largura. Um quadrado tem uma proporção de 1, enquanto um retângulo longo e fino em forma de fita tem uma proporção muito maior. Essa fita tem bastante folga, permitindo que as pontas do retângulo sejam torcidas e presas umas às outras. Mas à medida que a faixa fica mais curta e a proporção se aproxima de 1 — um quadrado  — fica mais difícil. A certa altura já não é possível.

Em 1977, dois matemáticos conjecturaram que para ser torcido em uma tira de Möbius, um retângulo de largura 1 deveria ser maior que $latex sqrt{3}$, como na tira no canto inferior direito. Em agosto de 2023, Schwartz provou que eles estavam corretos: se estiver mais próximo de um quadrado do que isso, não há como torcer o retângulo em uma tira de Möbius.

Você pode ficar tentado a encontrar uma solução alternativa inteligente. Se você dobrar um quadrado como um acordeão, criando uma tira fina de papel, poderá torcê-lo em uma tira de Möbius. Mas isso não conta, porque as dobras são nítidas e não suaves. (Suavidade tem um significado matemático particular que se alinha com o significado simples do inglês.)

Uma ferramenta central para descobrir como são as formas ideais é chamada de “forma limitante”. As formas limitantes são diferentes em aspectos cruciais das formas que estão sendo otimizadas, mas também compartilham algumas de suas propriedades. Por analogia aproximada, pense em como, se você esticar um retângulo para torná-lo mais longo e mais fino, ele começará a parecer uma linha, ou como polígonos com cada vez mais lados começarão a se assemelhar a um círculo.

Neste caso, Schwartz cria uma forma limite para a tira de Möbius. Comece com um pedaço de papel plano com uma unidade de largura e $latex sqrt{3}$ unidades de comprimento. Comece dobrando-o seguindo as instruções abaixo. Isso criará vincos nítidos, muito parecidos com os do acordeão, mas daqui a pouco vamos suavizar esses vincos relaxando um pouco o papel.

Dobre para baixo a partir do canto superior esquerdo e para cima a partir do canto inferior direito, criando um diamante. Em seguida, dobre a linha média do diamante e prenda as duas bordas, mostradas pelas linhas pontilhadas azuis e amarelas, que se encontram no interior do diamante. Agora adicione apenas um pouquinho de folga, tornando a tira um pouco mais longa ou um pouco mais estreita, para que você possa separar os triângulos. Esta é a sua tira de Möbius. Uma formiga infinitamente pequena que viajasse na superfície do triângulo, seguindo as dobras, daria toda a volta - tem apenas um lado.

Os matemáticos sabem há muito tempo que tal triângulo é uma forma limitante para as tiras de Möbius. Schwartz mostrou que não existem outras formas limitantes que permitiriam uma tira mais grossa. Para isso, ele utilizou o “T” formado pelas dobras do triângulo, como pode ser visto no triângulo mais à direita acima.

Schwartz argumentos combinados da topologia e da geometria. Ele usou a topologia para mostrar que em cada tira de papel de Möbius é possível desenhar linhas que se cruzam e formam um T de uma maneira particular. Então, usando um pouco de geometria básica – o teorema de Pitágoras e a desigualdade triangular – ele mostrou que se tal T existe (o que deve acontecer), a proporção da tira tem que ser maior que $latex sqrt {3}$.

O cilindro de papel torcido ideal

Depois que Schwartz identificou a tira de Möbius ideal, as pessoas lhe perguntaram: O que aconteceria com mais reviravoltas? Qualquer número ímpar de voltas produz uma tira de Möbius, porque a forma resultante ainda tem apenas um lado. Por outro lado, um número par de torções produz uma estrutura de dois lados chamada cilindro torcido (mostrado abaixo à esquerda). Ao contrário de um cilindro comum, ele não possui interior e exterior bem definidos.

Após seu artigo sobre a tira de Möbius, Schwartz provou no final de setembro que a forma limite do cilindro torcido pode ser feita dobrando um retângulo 1 por 2 formado por quatro triângulos isósceles retângulos empilhados (como mostrado acima, à direita). Para começar, dobre o triângulo B atrás do triângulo A e o triângulo D acima do triângulo C. (As setas pontilhadas indicam dobras para trás e as setas sólidas indicam dobras na direção para frente.) Em seguida, dobre o triângulo resultante em dois, colocando a metade inferior atrás da metade superior. Em seguida, cole as linhas pontilhadas azuis e amarelas (que originalmente eram a parte superior e inferior do retângulo). Por fim, faça o retângulo inicial um pouco mais longo, para que você tenha folga suficiente para puxar a forma plana para cima, formando um cilindro torcido e comprimido. “A ideia básica é construir primeiro a forma limite e depois relaxar um pouco a forma e arredondar as dobras”, escreveu Schwartz. “Penso nisso como fazer a coisa e depois mergulhá-la em água durante a noite.” Como você pode ver na figura (acima, à direita), a forma do triângulo empilhado tem o dobro do comprimento e da largura, portanto a proporção ideal do cilindro torcido é 2.

A tira de Möbius de três torções ideal

Schwartz então voltou sua atenção para a tira de Möbius de três voltas. Como a tira de uma torção, esta é uma figura unilateral, mas por causa das duas torções extras, seu limite é mais complicado. Schwartz pensou que sua forma limitante seria o hexaflexágono, uma forma desconcertante popularizada por Martin Gardner em um Coluna 1956 in Scientific American. Os hexaflexágonos são feitos dobrando uma tira de triângulos equiláteros e colando as pontas. Um hexaflexágono achatado parece um hexágono dividido em seis triângulos. Mas pode ser “flexionado” apertando os lados adjacentes, como no jogo infantil MASH. Quando é aberto novamente, um conjunto diferente de triângulos está voltado para fora. “É como se uma cartomante e um bando de Möbius tivessem um filho”, disse Schwartz.

Mas a esposa de Schwartz, Brienne Elisabeth Brown, começou a brincar com o papel e revelou que o hexaflexágono era “uma espécie de pista falsa”, disse Schwartz. Brown encontrou uma construção que ela chama de “cruzada” (mostrada abaixo), que é uma forma limite de uma tira de Möbius de três torções e é três vezes mais longa do que larga. Primeiro você dobra ao longo da linha diagonal no meio da tira, colocando a parte de baixo na frente da parte de cima. Então você dobra o triângulo superior direito na frente do triângulo abaixo e à sua esquerda. Agora você tem a forma mostrada na etapa 2: um paralelogramo inclinado com um quadrado projetando-se para a direita. Traga o quadrado atrás do paralelogramo e o triângulo no topo na frente do quadrado que agora está abaixo dele. Isso cria um novo quadrado, mostrado na etapa 3.

O que eram originalmente as bordas superior e inferior (mostradas pelas linhas pontilhadas azuis e amarelas) agora estão ambas na borda esquerda do quadrado; prenda-os com fita adesiva e você terá criado uma forma limitante para uma tira de Möbius de três torções. Tal como no caso da tira de uma torção, esta forma plana não é em si uma tira de Möbius, mas se lhe for dado um pouco mais de comprimento para que possa relaxar em três dimensões sem curvas acentuadas, formará uma tira de três torções.

Brown e Schwartz também encontraram um formato limite completamente diferente para o cilindro de três torções, que eles chamam de copo. Ao contrário do cruzado, o copo não pode ficar plano. No entanto, como o cruzado, é três vezes mais longo do que largo. Em um papel publicado em 16 de outubro, Brown e Schwartz explicam por que acham que a faixa ideal de três torções tem uma proporção de 3. Mas ainda não foram capazes de provar isso, em parte porque a existência do copo, que não pode ser nivelado, significa que os tipos de argumentos que Schwartz apresentou nos casos de uma e duas reviravoltas não podem ser estendidos ao caso de três reviravoltas.

Nós de trevo ideais

Nem todas as formas ideais são variantes da faixa de Möbius. Os matemáticos também ponderam quanto material é necessário para fazer diferentes tipos de nós. Em 2020, Denne e dois de seus alunos de graduação – John Carr Haden e Troy Larsen – estavam estudando nós que podem ser desenhados na superfície de um toro, ou donut.

O nó toróide mais simples - na verdade, o nó não trivial mais simples, ponto final - é chamado de trevo. É como aquele que muitas pessoas usam na primeira etapa de amarrar os cadarços, fazendo um laço em um pedaço de corda e puxando uma das pontas, se em vez de amarrar um laço, apenas colassem as pontas dos cadarços para formar um nó overhand com as duas pontas soltas conectadas.

A maneira usual de amarrar o trevo é equivalente a enrolar um pedaço de barbante em volta do toro, conforme mostrado aqui: