In oktober zal een Falcon Heavy-raket worden gelanceerd vanaf Cape Canaveral in Florida, met de Europa Clipper-missie van NASA aan boord. De missie van $ 5 miljard is bedoeld om erachter te komen of Europa, de vierde grootste maan van Jupiter, leven kan ondersteunen. Maar omdat Europa voortdurend wordt gebombardeerd door intense straling die wordt veroorzaakt door het magnetische veld van Jupiter, kan het Clipper-ruimtevaartuig niet in een baan om de maan zelf draaien. In plaats daarvan zal het in een excentrische baan rond Jupiter glijden en gegevens verzamelen door herhaaldelijk langs Europa te slingeren – 53 keer in totaal – voordat het zich terugtrekt uit de ergste straling. Elke keer dat het ruimtevaartuig Jupiter rondt, zal zijn pad iets anders zijn, waardoor het foto's kan maken en gegevens kan verzamelen van de polen van Europa tot aan de evenaar.

Om ingewikkelde tochten zoals deze te plannen, gebruiken trajectplanners computermodellen die het traject stap voor stap nauwkeurig berekenen. Bij de planning wordt rekening gehouden met honderden missievereisten, en deze wordt ondersteund door decennia van wiskundig onderzoek naar banen en hoe je deze kunt samenvoegen in ingewikkelde tours. Wiskundigen ontwikkelen nu hulpmiddelen waarvan ze hopen dat ze kunnen worden gebruikt om een ​​meer systematisch begrip te creëren van hoe banen zich tot elkaar verhouden.

“Wat we hebben zijn de eerdere berekeningen die we hebben gedaan, die ons begeleiden bij het uitvoeren van de huidige berekeningen. Maar het is geen compleet beeld van alle opties die we hebben”, zegt hij Daniël Scheeres, een ruimtevaartingenieur aan de Universiteit van Colorado, Boulder.

"Ik denk dat dat mijn grootste frustratie was toen ik student was", zegt Dayung Koh, een ingenieur bij het Jet Propulsion Laboratory van NASA. “Ik weet dat deze banen er zijn, maar ik weet niet waarom.” Gezien de kosten en complexiteit van missies naar de manen van Jupiter en Saturnus, is het een probleem om niet te weten waarom banen zich bevinden waar ze zijn. Wat als er een compleet andere baan is die de klus met minder middelen zou kunnen klaren? Zoals Koh zei: “Heb ik ze allemaal gevonden? Zijn er meer? Dat kan ik niet vertellen.”

Nadat ze in 2016 haar doctoraat behaalde aan de University of Southern California, raakte Koh geïnteresseerd in hoe banen in families kunnen worden gecatalogiseerd. Jupiterbanen die ver van Europa verwijderd zijn, vormen zo'n familie; dat geldt ook voor banen dichtbij Europa. Maar andere families zijn minder voor de hand liggend. Voor twee willekeurige lichamen, zoals Jupiter en Europa, is er bijvoorbeeld een tussenpunt waar de zwaartekrachteffecten van de twee lichamen in evenwicht zijn om stabiele punten te creëren. Ruimtevaartuigen kunnen rond dit punt cirkelen, ook al bevindt zich niets in het midden van de baan. Deze banen vormen een familie genaamd Lyapunov-banen. Voeg een beetje energie toe aan zo'n baan door een ruimtevaartuigmotor af te vuren, en in eerste instantie blijf je in dezelfde familie. Maar voeg er genoeg aan toe, en je stapt over naar een andere familie, bijvoorbeeld een familie die Jupiter in zijn banen omvat. Sommige baanfamilies hebben mogelijk minder brandstof nodig dan andere, blijven te allen tijde in het zonlicht of hebben andere nuttige functies.

In 2021 kwam Koh een artikel tegen waarin werd besproken hoe je met chaotische banen kunt omgaan vanuit het perspectief van symplectische meetkunde, een abstract wiskundegebied dat over het algemeen ver verwijderd is van rommelige details uit de echte wereld. Ze begon te vermoeden dat de symplectische meetkunde misschien over de hulpmiddelen beschikte die ze nodig had om banen beter te begrijpen, en ze nam contact op Augustinus Moreno, de auteur van het artikel. Moreno, destijds postdoctoraal onderzoeker aan de universiteit van Uppsala in Zweden, was verrast en blij toen hij hoorde dat iemand bij NASA geïnteresseerd was in zijn werk. “Het was onverwacht, maar tegelijkertijd ook behoorlijk interessant en motiverend”, zei hij.

De twee begonnen samen te werken en probeerden Moreno's abstracte technieken toe te passen op het Jupiter-Europa-systeem en op Saturnus en zijn maan Enceladus, die, net als Europa, leven zou kunnen hebben in zijn ondergrondse oceaan. Het afgelopen jaar hebben ze samen met andere medewerkers een reeks artikelen geschreven over dit onderwerp creëer een kader For catalogiseren van banen. In januari voltooide Moreno, nu hoogleraar aan de Universiteit van Heidelberg, een eerste concept waarmee zijn onderzoekspaper werd omgezet in een boek over het onderwerp. Met het boek wil hij het abstracte vakgebied van de symplectische meetkunde bruikbaar maken voor ingenieurs die ruimtemissies proberen te plannen. Als hij hierin slaagt, zal hij de onderzoeksgebieden die door de eeuwen heen uit elkaar zijn gegroeid, herenigen.

Geen koninklijke weg naar geometrie

Symplectische meetkunde heeft zijn wortels in de natuurkunde. Om een ​​eenvoudig voorbeeld te nemen: stel je een slinger voor. De beweging kan worden beschreven door twee parameters: hoek en snelheid. Als de snelheid laag genoeg is, zal de slinger heen en weer oscilleren. Als de snelheid hoger is, draait hij rond in een cirkel. In een geïdealiseerde slinger zonder wrijving wordt, zodra je een starthoek en snelheid hebt gekozen, het gedrag van het systeem voor altijd bepaald.

U kunt een grafiek maken met de hoek als x-as en de snelheid als de y-as. Maar omdat 360 graden reizen je terugbrengt naar het begin, kun je de verticale lijnen waar aan elkaar naaien x nul graden is en waar x is 360 graden. Dit maakt een cilinder. De cilinder weerspiegelt niet direct de fysieke realiteit - hij toont geen paden die de slinger volgt - maar elk punt erop vertegenwoordigt een bepaalde toestand van de slinger. De cilinder vormt, samen met de wetten die bepalen welke paden de slinger kan volgen, een symplectische ruimte.

Sinds het begin van de 17e eeuw, toen Johannes Kepler zijn wetten formuleerde, hebben natuurkundigen en wiskundigen een goed begrip van hoe ze de beweging van twee lichamen die onderhevig zijn aan de zwaartekracht moeten beschrijven. Afhankelijk van hoe snel ze bewegen, vormen hun paden een ellips, parabool of hyperbool. De overeenkomstige symplectische ruimtes zijn ingewikkelder dan die voor een slinger, maar nog steeds handelbaar. Maar het introduceren van een derde object maakt het onmogelijk om exacte, analytische oplossingen te berekenen. En het wordt alleen maar ingewikkelder als je meer lichamen aan het model toevoegt. "Zonder dat analytische inzicht schiet je bijna altijd, op een bepaald niveau, in het donker", zei Scheeres.

Een ruimtevaartuig dat vrij in elke richting kan bewegen – van rechts naar links, van boven naar beneden en van voren naar achteren – heeft drie coördinaten nodig om zijn positie te beschrijven, en nog drie om zijn snelheid te beschrijven. Dat levert een zesdimensionale symplectische ruimte op. Om de beweging van drie lichamen, zoals Jupiter, Europa en een ruimtevaartuig, te beschrijven, heb je 18 dimensies nodig: zes per lichaam. De geometrie van de ruimte wordt niet alleen bepaald door het aantal dimensies die deze heeft, maar ook door de curven die laten zien hoe het beschreven fysieke systeem in de loop van de tijd evolueert.

Moreno en Koh werkten aan een ‘beperkte’ versie van het drielichamenprobleem, waarbij een van de lichamen (het ruimtevaartuig) zo klein is dat het geen impact heeft op de andere twee (Jupiter en Europa). Om de zaken nog eenvoudiger te maken, gingen de onderzoekers ervan uit dat de baan van de maan perfect cirkelvormig was. Je kunt de cirkelvormige baan ervan als stabiele achtergrond nemen waartegen je het pad van de ruimtesonde kunt beschouwen. De symplectische ruimte hoeft alleen rekening te houden met de positie en snelheid van het ruimtevaartuig, aangezien de beweging van Jupiter en Europa gemakkelijk kan worden beschreven. Dus in plaats van 18-dimensionaal te zijn, is de overeenkomstige symplectische ruimte zesdimensionaal. Wanneer een pad in deze zesdimensionale ruimte een lus vormt, vertegenwoordigt dit een periodieke baan van het ruimtevaartuig door het planeet-maansysteem.

Toen Koh contact opnam met Moreno, was ze nieuwsgierig naar gevallen waarin het toevoegen van slechts een klein beetje energie ervoor zorgt dat de baan van een ruimtevaartuig van de ene familie naar de andere verspringt. Deze ontmoetingspunten tussen families van banen worden bifurcatiepunten genoemd. Vaak ontmoeten veel gezinnen elkaar op één punt. Dit maakt ze bijzonder nuttig voor trajectplanners. "Het begrijpen van de bifurcatiestructuur geeft je een routekaart over waar interessante trajecten zijn waar je naar moet kijken", zei Scheeres. Koh wilde weten hoe hij splitsingspunten kon identificeren en voorspellen.

Nadat hij van Koh had gehoord, schakelde Moreno een paar andere meetkundigen in: Urs Frauenfelder van de Universiteit van Augsburg, Cengiz Aydin van de Universiteit van Heidelberg, en Otto van Koert van de Nationale Universiteit van Seoul. Frauenfelder en van Koert hadden het drielichamenprobleem lange tijd bestudeerd met behulp van symplectische meetkunde, zelfs blootleggen een potentiële nieuwe familie van banen. Maar hoewel ingenieurs die ruimtevaartuigmissies plannen een groot aantal wiskundige hulpmiddelen hebben gebruikt, zijn ze de afgelopen decennia afgeschrikt door de toenemende abstractie van de symplectische meetkunde.

Gedurende de daaropvolgende maanden leerden de ingenieur en de vier wiskundigen langzaam elkaars vakgebied kennen. “Als je interdisciplinair werk doet, duurt het even voordat je, laten we zeggen, de taalbarrières overwint”, zegt Moreno. "Maar nadat je het geduldige werk hebt gedaan, begint het zijn vruchten af ​​te werpen."

De toolkit

Het team heeft een aantal hulpmiddelen samengesteld waarvan ze hopen dat ze nuttig zullen zijn voor missieplanners. Een van de hulpmiddelen is een getal dat de Conley-Zehnder-index wordt genoemd en dat kan helpen bepalen wanneer twee banen tot dezelfde familie behoren. Om dit te berekenen, onderzoeken onderzoekers punten die dicht bij – maar niet op – de baan liggen die ze willen bestuderen. Stel je bijvoorbeeld voor dat een ruimtevaartuig een elliptische baan rond Jupiter volgt, onder invloed van de zwaartekracht uit Europa. Als je hem van zijn pad af duwt, zal zijn nieuwe baan de oorspronkelijke baan imiteren, maar alleen grof. Het nieuwe pad zal rond de oorspronkelijke baan draaien en terugkeren naar een iets ander punt nadat het om Jupiter heen cirkelt. De Conley-Zehnder-index is een maatstaf voor hoeveel spiraalvorming er plaatsvindt.

Verrassend genoeg is de Conley-Zehnder-index niet afhankelijk van de specifieke kenmerken van hoe je het ruimtevaartuig duwt; het is een getal dat verband houdt met de hele baan. Bovendien is het hetzelfde voor alle banen in dezelfde familie. Als je de Conley-Zehnder-index voor twee banen berekent en je krijgt twee verschillende getallen, kun je er zeker van zijn dat de banen uit verschillende families komen.

Een ander hulpmiddel, het Floer-nummer genoemd, kan verwijzen naar onontdekte families van banen. Stel dat meerdere families met elkaar botsen op een splitsingspunt wanneer de energie een bepaald getal bereikt, en dat nog een aantal families zich vanaf dat splitsingspunt vertakken wanneer de energie hoger is. Dit vormt een web van families waarvan de centrale hub de splitsing is.

U kunt het Floer-nummer dat bij dit splitsingspunt hoort, berekenen als een eenvoudige functie van de Conley-Zehnder-indexen die bij elke relevante familie horen. Je kunt deze functie berekenen voor zowel alle gezinnen die een energie hebben die net iets kleiner is dan het splitsingspunt, als voor gezinnen waarvan de energie groter is. Als de twee Floer-nummers verschillen, is dat een aanwijzing dat er verborgen families zijn gekoppeld aan uw splitsingspunt.

"Wat we doen is het bieden van tools waarmee ingenieurs hun algoritmen kunnen testen", zegt Moreno. De nieuwe hulpmiddelen zijn in de eerste plaats bedoeld om ingenieurs te helpen begrijpen hoe families van banen in elkaar passen en om hen aan te sporen naar nieuwe families te zoeken waar dat gerechtvaardigd is; het is niet bedoeld als vervanging voor de trajectzoektechnieken die in de afgelopen tientallen jaren zijn aangescherpt.

In 2023 presenteerde Moreno het werk op een conferentie georganiseerd door de “Comité voor ruimtevaartmechanica”, en hij heeft contact gehad met ingenieurs die onderzoek doen naar ruimtetrajecten, waaronder enkele in het laboratorium van JPL en Scheeres in Boulder. Scheeres verwelkomde de vermenging van velden: hij was al lang op de hoogte van de symplectische benadering van planetaire beweging, maar voelde zich wiskundig gezien buiten zijn diepte. “Het was heel spannend om te zien hoe de wiskundigen probeerden hun expertise naar de technische kant te brengen,” zei hij. De groep van Scheeres werkt nu aan een complexer systeem waarbij vier lichamen betrokken zijn.

Ed Belbruno, een trajectplanningsadviseur (en voormalig JPL-orbitaalanalist) die met Frauenfelder heeft gewerkt, waarschuwt dat de toepassingen niet direct zijn. “Hoewel een wiskundige techniek als de symplectische meetkunde trajecten kan bedenken die echt gaaf zijn, en je er een hele reeks van kunt krijgen, kan het zijn dat heel, heel weinig of zelfs helemaal niet voldoen aan de beperkingen” die een echte missie nodig zou kunnen hebben , hij zei.

Hoewel de Clipper-trajecten al grotendeels vastliggen, kijkt Moreno naar de volgende planeet: Saturnus. Hij heeft zijn onderzoek al gepresenteerd aan missieplanners van JPL die hopen een ruimtevaartuig naar Saturnusmaan Enceladus te sturen. Moreno hoopt dat symplectische geometrie “onderdeel zal worden van de standaard gereedschapskist voor ruimtemissies.”