Is wiskunde meer dan het gelijkteken? Een paar schoenen is anders dan een paar handschoenen, maar toch herkennen we er een overeenkomst in omdat beide voldoen aan onze definitie van een paar. Categorietheorie is een tak van de wiskunde die onderzoekt hoe dingen in wezen hetzelfde kunnen zijn zonder exact gelijk te zijn. Het is wat de wiskundige Eugenia Cheng gebruikt om verbanden te leggen tussen abstracte concepten en om patronen in vele onderwerpen en schalen te identificeren. Cheng is een wetenschapper in residentie aan de School of the Art Institute of Chicago en de auteur van De vreugde van abstractie: Een verkenning van wiskunde, categorietheorie en leven. In deze aflevering pakken zij en presentator Steve Strogatz categorietheorie uit en laten ze zien hoe deze van toepassing kan zijn op alledaagse zaken - inclusief het herkennen van die irritante persoon die steeds weer opduikt in je leven.

Luister verder Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, stikster, TuneIn of je favoriete podcasting-app, of je kunt stream het van Quanta.

Afschrift

Steven Strogatz (00:00): Hallo. Ik ben Steve Strogatz, en dit is De vreugde van waarom, een podcast van Quanta Magazine dat je meeneemt naar enkele van de grootste onbeantwoorde vragen in wiskunde en wetenschappen van vandaag. In deze aflevering gaan we vragen: is wiskunde meer dan het gelijkteken? Met andere woorden, kunnen we de logische kracht van wiskunde gebruiken om te praten over wat het betekent om in wezen hetzelfde te zijn, zonder precies en strikt gelijk?

(00:28) Dat brengt ons bij categorietheorie. Het wordt vaak beschreven als de wiskunde van de wiskunde - een soort vogelperspectief van het hele onderwerp. Maar wat betekent dat? Als wiskunde berust op abstracties, dan zeggen voorstanders van categorietheorie dat het een solide basis biedt voor die abstracties, een manier om verbanden te leggen en patronen en relaties te herkennen over een breed scala aan onderwerpen en schalen, zoals de verschillende vormen van ruimte, of verschillende soorten symmetrie.

(00:59) Maar sommige wiskundigen, vooral sommige knorrige oldtimers, vragen zich af wat de categorietheorie ons echt vertelt over wiskunde die nieuw is. Wat heeft het voor zin? Zelfs enkele van de meest fervente beoefenaars ervan hebben het liefkozend beschreven als 'abstracte onzin'.

(01:16) De laatste tijd is categorietheorie echter een rage. Het is niet alleen hot in de wereld van wiskunde. Het wordt nu gebruikt in informatica, natuurkunde, techniek, scheikunde, taalkunde en meer. Hoewel het begon als een abstracte tak van pure wiskunde, blijkt het een geheel nieuwe manier van denken te zijn over veel dingen, inclusief situaties in het dagelijks leven.

(01:37) Onze gast van vandaag, Dr. Eugenia Cheng, zal ons helpen de categorietheorie beter te begrijpen. Ze is een wetenschapper-in-residence aan de School of the Art Institute of Chicago, en de auteur van verschillende boeken, waaronder haar meest recente boek, De vreugde van abstractie: een verkenning van wiskunde, categorietheorie en leven. Welkom, dr. Eugenia Cheng,

Eugenia Cheng: Heel erg bedankt dat je me hebt.

Strogatz (02:01): Ik ben erg opgewonden om de kans te krijgen om met je te praten. Ik ben al jaren een grote fan van je. Categorietheorie is zo'n interessant onderwerp in onze wereld van wiskunde. En eerlijk gezegd, totdat ik naar je boek begon te kijken, waardeerde ik niet hoe het zich begon uit te strekken tot zoveel andere disciplines - en zelfs het dagelijks leven, zoals ik net zei. Dus wat dacht je ervan als je ons op weg helpt: stel je voor dat je een TikTok-video maakt om de categorietheorie te definiëren. Wat zou je zeggen? En spuug het gewoon heel snel uit.

Cheng (02:32): Zoals je zegt, zou ik zeggen dat de categorietheorie de wiskunde van de wiskunde is. Onthoud dat wiskunde niet alleen over getallen en vergelijkingen gaat. Het gaat over hoe we argumenten bouwen en hoe we patronen tussen dingen vinden. Het gaat dus om het vinden van patronen in patronen en argumenteren over argumenten.

Strogatz (02:50): Ik vind het leuk. Is het iets waar je al je hele carrière in geïnteresseerd bent? Wanneer begon je er interesse in te krijgen?

Cheng (02:56): Ik ga de straat op en zeg dat ik er al mijn hele leven in geïnteresseerd ben, zonder te beseffen dat ik daarin geïnteresseerd was. Want sinds ik klein was, was ik geïnteresseerd in patronen en argumenten - niet in de zin van mensen die tegen elkaar schreeuwen, maar in de zin van het bouwen van rechtvaardigingen voor hoe we dingen weten. En hoewel ik me niet realiseerde dat categorietheorie bestond, was ik altijd geïnteresseerd in diepgaande verklaringen. Het soort kind dat herhaaldelijk waarom vraagt, niet alleen om de volwassenen te ergeren, maar eigenlijk omdat ik het wilde weten. En wiskunde gaf me altijd de meest bevredigende antwoorden op waarom dingen waar zijn.

(03:35) En binnen wiskunde was het pure wiskunde die me de meest bevredigende antwoorden gaf. En toen, binnen pure wiskunde, was het algebra. En binnen de algebra was het categorietheorie. En toen ik eindelijk voor het eerst de categorietheorie ontmoette, was het alsof ik thuiskwam of het huis vond waar ik al die tijd min of meer van had gedroomd. Ik realiseerde me dat dat was waar ik echt naar op zoek was zonder het te beseffen. En zelfs nu, als ik terugga naar enkele dingen die me intrigeerden toen ik klein was - en dit zijn enkele voorbeelden die ik geef, wanneer ik lezingen geef over categorietheorie - besefte ik dat het ding dat me intrigeerde eigenlijk iets was te maken met categorietheorie, diep van binnen.

Strogatz (04:11): Ik hou van dit gevoel van thuiskomen. Het is alsof je dit lang verloren paradijs hebt of een plek waar je naar op zoek was, niet onbewust, maar...

Cheng (04:21): Zo voelde het echt.

Strogatz: Ik ben blij dat je herenigd kunt worden met of -

Cheng: Verenigd.

Strogatz (04:27): Ja. Wat eigenlijk heel toepasselijk kan zijn, aangezien het hele onderwerp lijkt te gaan over het samenbrengen van zoveel verschillende dingen. Klopt dat, klopt dat?

Cheng (04:35): Inderdaad. Ja, het gaat er echt om overeenkomsten tussen verschillende situaties op te sporen en vervolgens een uniforme manier te vinden om erover na te denken - in wezen zodat we onze hersenen beter kunnen gebruiken. Omdat onze arme, eindige hersenen echt heel klein zijn in vergelijking met de complexiteit van de wereld die we proberen te begrijpen. En een manier om met die complexiteit om te gaan, is door opzettelijk delen ervan te negeren. En helaas is dat een vrij gebruikelijke manier om het te doen.

(05:05) Maar ik geloof dat een betere manier om met de complexiteit van de wereld om te gaan, is om de dingen breder te bekijken en overeenkomsten te zoeken tussen verschillende situaties, zodat je op een bepaald moment veel dingen tegelijk kunt bestuderen niveau. En ik denk dat je dat bedoelt met eenwording. We proberen niet te verklaren dat dingen hetzelfde zijn als dat niet zo is. We proberen een diepe essentie over hen te vinden die ze gemeen hebben, zodat we dat deel tenminste als hetzelfde kunnen bestuderen voordat we terug inzoomen op de individuele situaties om naar de details te kijken.

Strogatz (05:40): Je hebt daar een prachtig manifest gegeven van wat het is om te denken als een wiskundige. Ik denk dat het iets is dat wij allemaal in het veld - nou ja, misschien is dat overdreven, om te zeggen van ons allemaal. Maar het is zeker - ik moet voorzichtig zijn met dergelijke uitspraken. Je zegt zelfs zoiets in je boek. Ik wil oppassen dat ik niet overdrijf. Maar toch denk ik dat het een goede benadering van de waarheid is om te zeggen dat het beroep op abstractie, het loslaten van details die in een bepaalde context irrelevant lijken, ons veel inzicht kan geven. Dus misschien, misschien is dit een plek voor u om ons iets te vertellen over uw mening over abstractie, de voor- en nadelen ervan.

Cheng (06:16): Ja, ik hou van abstractie omdat ik ervan geniet. En ik denk dat we daar niet genoeg over praten met wiskunde. Er is een grote druk om iedereen te vertellen hoe nuttig wiskunde is en hoe belangrijk het is, omdat het je gaat helpen bij het oplossen van problemen in het leven. En ik denk dat dat de wiskunde een beetje een slechte dienst bewijst. Ja, het is erg handig. En ja, het helpt me op verschillende manieren. Maar ik vind het ook gewoon leuk om te doen. En daarom gaf ik de titel van mijn boek, de titel die ik het gaf, en dat is De vreugde van abstractie. Het is niet het nut van abstractie - het is de vreugde van abstractie. Want voor mij is het echt een vreugdevol proces. Het is alsof je licht op dingen schijnt. Weet je, ik ging vandaag gewoon naar buiten, en de zon scheen zo fel, en dat gaf me gewoon vreugde, niet omdat ik naar iets op zoek was, en ik het beter kan zien. Weet je, als ik iets op straat liet vallen en ik zocht ernaar, dan zou het, ja, het zou helpen als de zon scheen. Maar het is gewoon fijn, nietwaar, om de dingen helder te kunnen zien. En dat is wat ik zo leuk vind aan abstractie. Ik heb het gevoel dat er overal een soort mist hangt. En als je dan een abstractie uitvoert, ruim je irrelevante details op, zoals je zegt, en dan kun je de dingen duidelijker zien. En dat is voor mij vreugdevol.

Strogatz (07:29): Dus dit deel kan een beetje lastig zijn om te bespreken, maar laten we het proberen. Dus weet je, ik ben opgegroeid in een beetje een andere subcultuur in wiskunde. Ik kom uit het zeer toegepaste einde van de wiskunde. Maar in het laatste jaar van mijn bacheloropleiding kwam ik wel in aanraking met categorietheorie. Ik volgde een cursus topologie. En ik denk dat waar ik hiermee heen wil, is dat mijn enige blootstelling eraan vóór je boek, denk ik, een soort ouderwets standpunt is dat categorietheorie berust op kennis van veel geavanceerde wiskunde. En dan is het grote nut ervan, zoals ons destijds tenminste werd beweerd, dat het ons helpt verbanden te zien tussen - zelfs als deze woorden voor sommige van onze luisteraars niet logisch zijn, denk ik dat ze het idee zullen begrijpen — dat we een aantal moeilijke topologieproblemen over vormen aan het oplossen waren, en dat we ze aan het omzetten waren in problemen over algebra, over dingen die groepen worden genoemd. En dat was de grote deugd, zo werd ons verteld: dat je met categorietheorie een soort vertaling van het ene deel van de wiskunde naar het andere zou kunnen maken, en misschien een probleem gemakkelijker zou kunnen maken. Maar wat vind je daarvan? Dat was lange tijd de ontvangen wijsheid over categorietheorie, toch? Dat het iets heel geavanceerds is.

Cheng (08:43): Ja. En dat is een van de redenen waarom ik het de wiskunde van de wiskunde noem. Want waar wiskunde rondgaat om naar de wereld te kijken en overeenkomsten te vinden tussen verschillende dingen in de wereld, zou je kunnen zeggen dat categorietheorie dat doet voor wiskunde. Dus het gaat rond, zoals het vinden van overeenkomsten tussen verschillende dingen in de wiskunde. Dus in de wiskunde zou je kunnen zeggen, oh - bijvoorbeeld in de topologie, zeg je een beetje ... Nou, bijvoorbeeld, er is iets dat lijkt op een koffiekopje, en er is iets dat lijkt op een bagel of een donut om een ​​beroemde te kiezen voorbeeld. En in zekere zin zijn ze hetzelfde, en dat is niet dat je ze allebei kunt eten (want dat kan niet), maar het heeft te maken met hoe je de een in de ander kunt transformeren. En dus bedenkt de topologie een manier om te zeggen dat die dingen hetzelfde zijn.

(09:23) En dan gaat de categorietheorie een niveau hoger en zegt, oh, er is een manier waarop we een verbinding kunnen maken, zoals je zegt, tussen het hele veld van de topologie en het hele veld van de algebra, zodat we dan kunnen maak een transformatie niet tussen een koffiekopje en een donut, maar tussen het hele idee van een vorm en het hele idee van algebra. En zo groeide het uit dat idee. En het groeide uit het willen van een raamwerk om die verbindingen op een rigoureuze manier te maken, want wiskunde gaat helemaal over dingen op een rigoureuze, logische manier doen - niet alleen zeggen: "Ik voel ergens in mijn onderbuik dat die dingen met elkaar verbonden zijn." We beginnen vaak met een gevoel in ons onderbuikgevoel, maar dan moeten we het een logisch kader geven, omdat we geloven in het bouwen van onze argumenten op logica, niet alleen op onderbuikgevoel. Het kan lijken alsof je die geavanceerde gebieden in de wiskunde moet kennen om te zien wat de categorietheorie doet.

(10:17) Maar eerlijk gezegd denk ik dat dat een omgekeerde fout is. Het is niet nodig. Het is een manier om erbij te komen. Maar een andere manier om er achter te komen, is gewoon na te denken over abstractie. En ik ben er vanuit dat oogpunt op gekomen, omdat ik, eerlijk gezegd, niet denk dat ik wiskunde goed onder de knie had toen ik mijn bachelordiploma afrondde. En een van de redenen waarom ik dat niet deed, denk ik graag, is omdat ik geen categorietheorie had gedaan. En toen ik categorietheorie deed, kwam ik er gewoon vanuit het oogpunt van genieten van de algebra op zich. Ik probeerde niet om verschillende gebieden van de wiskunde te verenigen, want ik was eerlijk gezegd behoorlijk in de war door alle verschillende gebieden van de wiskunde.

(10:58) En toen de categorietheorie opkwam, was de categorietheorie op zichzelf zo logisch voor mij. U hoeft geen andere wiskunde te kennen om de definitie van een categorie te begrijpen. Het hangt nergens van af. Er zijn geen woorden uit andere delen van wiskunde bij betrokken, het gaat er gewoon in.

(11:12) Maar wat er toen gebeurde, was dat het me hielp alle onderdelen van wiskunde te begrijpen die ik eerder in mijn bachelordiploma had gedaan. En dus herinner ik me een paar vrienden en ik ging zitten en zei: "Nou, echt, dit was een vereiste voor alle dingen die we eerder deden." En ik had persoonlijk het gevoel dat het me zou hebben geholpen om alle andere dingen te begrijpen als ik eerst de categorietheorie had gedaan, in plaats van de andere dingen te gebruiken als springplank om de categorietheorie te begrijpen. En het punt is dat - radicaal denken - iedereen anders is. En dus begrijpen sommige mensen dingen via de andere delen van de wiskunde. En sommige mensen begrijpen andere delen van de wiskunde via categorietheorie.

(11:52) En ik denk dat een van de grote problemen met de manier waarop wiskundeonderwijs op dit moment is, is dat er een geloof is dat er een bepaalde volgorde is waarin je wiskunde moet doen. En dus heb ik het in het begin in mijn boek beschreven als een reeks hindernissen. Als je denkt dat wiskunde een reeks hindernissen is, en dat ze steeds hoger worden naarmate je vordert, dan heeft het inderdaad weinig zin om over een hogere hindernis heen te komen als je de lagere hindernis niet kunt nemen.

(12:18) Maar het punt is, wiskunde is niet echt een reeks hindernissen. Het is een onderling verbonden netwerk van ideeën. En daar zijn dus veel verschillende paden omheen. Omdat alles met elkaar verbonden is. Je kunt op allerlei verschillende routes rond dat netwerk gaan. En hier is de radicale gedachte, nogmaals: verschillende routes passen op verschillende manieren bij verschillende mensen. En het is net hoe je wiskunde in de eerste plaats presenteert. Sommige mensen vinden het leuk om eerst specifieke voorbeelden te zien en vervolgens naar de algemene theorie te kijken, op basis van hun begrip van hun specifieke voorbeelden.

(12:50) Maar ik geef er de voorkeur aan de algemene theorie te zien en daarna de specifieke voorbeelden te gebruiken om me te helpen terwijl ik de algemene theorie gebruik om me te helpen de specifieke voorbeelden te begrijpen. En als ik naar onderzoeksseminars ga, als het seminar begint met de voorbeelden en daarna de theorie doet, heb ik altijd het gevoel dat ik het seminar achterstevoren wil bekijken. Dus dan moet ik, ik moet de voorbeelden in mijn hoofd houden en ze negeren, luisteren naar de algemene theorie, en dan snel proberen terug te spoelen en daarna de voorbeelden doornemen.

Strogatz (13:18): Het is geweldig, al die psychologie die je inbrengt over menselijke diversiteit, want ik kan horen dat dit niet alleen een onderzoekswiskundige is. Het kan zelfs geen toeval zijn dat je op een kunstinstituut zit, weet je. Je hebt een kijk op wiskunde en wiskundeonderwijs die zo verfrissend en zo egalitair en anders is. Weet je, zoals zelfs maar het afwijzen van deze hindernismetafoor, of de poortwachters waar we zo vaak over horen - dat, echt - kijk, we weten dat er iets niet werkt, toch? De manier waarop we het doen. Er zijn zoveel mensen met een sterke afkeer van wiskunde, in sommige gevallen grenzend aan wiskundefobie of wiskundeangst, en het is zo onnodig. Ik denk echt dat je misschien een ingang hebt gevonden voor tenminste enkele van deze mensen.

(14:03) Maar wat me echt verbaast, is dit idee van 'eerst abstractie' of 'eerst theorie', omdat ons zo vaak wordt geleerd — bijvoorbeeld in een ander domein: schrijven. En we zijn allebei geïnteresseerd in schrijven, dat weet ik. Als je bijvoorbeeld Strunk en White of veel van de oldtimers leest, zeggen ze 'eerst voorbeelden' of 'liever het concrete dan het algemene'. En toch is dat blijkbaar niet waar - het gold niet voor je hersenen. Het kan waar zijn voor de hersenen van sommige mensen.

Cheng (14:26): Precies. Voor sommige mensen is het waar. En ik laat al zeven of acht jaar categorietheorie zien aan mijn kunststudenten aan de School of the Art Institute. En wat ik heb ontdekt, is dat het kunststudenten zijn. En zij, velen van hen, zijn in het verleden echt afgeschrikt door wiskunde en het hele reguliere onderwijs. En de concrete vorm van wiskunde of de voorbeeldvorm van wiskunde resoneerde niet met hen. En het punt is dat abstractie - dus mijn klas heet "De elegantie van abstractie" - het lijkt misschien dat abstractie nog minder relevant is voor het leven dan andere vormen van wiskunde. En dat dacht ik zelf ook eigenlijk. Vroeger dacht ik dat de wiskunde die ik deed, categorietheorie, alleen nuttig was voor andere onderdelen van pure wiskunde. En dat pure wiskunde nuttig was voor delen van toegepaste wiskunde, en toegepaste wiskunde is nuttig voor techniek, wetenschap. En dat is handig voor de mensenwereld. En dus dacht ik, ik accepteerde gewoon dat mijn vorm van wiskunde nuttig zou zijn voor het normale leven in een heel, heel lange reeks domino-effecten.

(15:28) En toen realiseerde ik me dat, omdat abstractie gaat over hoe je beter kunt denken, het eigenlijk direct nuttig kan zijn voor het hele menselijke leven - en in feite meer dan toegepaste wiskunde en techniek. En dus als je zegt dat wiskunde nuttig is omdat, oh, het betekent dat we telefoons kunnen maken die GPS gebruiken, en dat we vliegtuigen kunnen besturen en bruggen kunnen bouwen. Ja, dat is allemaal geweldig. Maar het betekent dat iedereen die niet naar wetenschap en techniek gaat, het ook niet hoeft te doen. En het geeft die mensen een oprechte en, denk ik, geldige reden om te zeggen: "Ik ben erg blij dat sommige mensen wiskunde doen, maar ik zie niet in waarom ik het zelf zou moeten doen." Het soort dingen waar studenten naartoe gaan: "Oh, waarom moeten we trigonometrie leren? Ik zal nooit trigonometrie in het leven gebruiken.” En ik denk dat dat geldig is. En ik wil zeggen dat dat waar is. Ik gebruik zeer zelden trigonometrie in mijn dagelijks leven. De enige keren dat ik trigonometrie gebruik, is wanneer ik wiskundige diagrammen teken voor een wiskundewerkstuk en ik ergens coördinaten voor moet uitzoeken. En dat is geen erg mainstream onderdeel van het dagelijks leven.

Strogatz (16:27): Het spijt me, als u het niet erg vindt dat ik u onderbreek. Ik wil je hier een kleine opstelling geven, zoals in de stijl van volleybal. Ik denk dat dit voor jou gemakkelijk moet zijn om te spiken. Maar laten we eens kijken. Dit is wat ik in gedachten heb: dat het standaardargument dat mensen zullen maken - ik weet zeker dat er enkele luisteraars zijn die hun hoofd schudden: "Oh, nee." Ze denken dat trigonometrie heilig is. "Je kunt trigonometrie maar beter niet wegdoen!" Want ook al zijn we het er allemaal over eens, zeggen deze mensen, dat trigonometrie waardeloos is voor 90% van de mensen of 99% van de mensen, het leert je nadenken, wordt ons verteld. "Het is een goede oefening voor je geest." Dus ga je gang, spijker dat naar beneden.

Cheng (17:02): Dat is precies wat ik wilde zeggen. Dit is geweldig. We zijn het eens. Je kunt me onderbreken en het met me eens zijn, het is geweldig! Dat is het punt, dat wanneer we het nut van wiskunde voor de toepassingen pushen - geen belediging voor toegepaste wiskundigen. Maar als we dat pushen, is dat niet het enige waar het om gaat. Want zoals je zegt, het gaat erom te leren denken. En dus als we over trigonometrie leren, is dat niet omdat trigonometrie nuttig is. Het is omdat het een training is voor onze hersenen. En als je wiskunde eenmaal presenteert als een manier van denken, dan wordt het belangrijk voor iedereen die om denken geeft. En ik hoop dat iedereen - soms lijkt het alsof niet iedereen nadenkt. Maar iedereen die om denken geeft, en mijn kunststudenten geven echt om denken, raakt er op een andere manier in geïnteresseerd, als ze beseffen dat het niet om directe toepassingen gaat. En het gaat niet om het direct oplossen van problemen. Het gaat over het leren van nieuwe manieren om je hersenen te gebruiken, en leren hoe je je hersenen kunt gebruiken om veel verschillende standpunten over hetzelfde onderwerp te krijgen.

(18:02) En ik denk dat dat is waar abstractie voor mij over gaat. Het is dat wanneer je naar een hoger niveau gaat waar je - ik bedoel niet hoger in de zin van moeilijker, ik bedoel gewoon een soort vogelperspectief waarbij je enkele van de kleine details over dingen negeert. Je kunt je dan beter omdraaien, je kunt verschillende standpunten zien. En ik vind het jammer dat wiskunde zo vaak wordt gepresenteerd als iets dat vast en rigide is, omdat ik echt geloof dat het om flexibiliteit gaat, en om het binden van verschillende standpunten over hetzelfde. En zelfs trigonometrie gaat heel diep van binnen over het wisselen van gezichtspunten tussen cirkelvormige gezichtspunten en vierkante gezichtspunten. En ik denk niet dat dat genoeg wordt gepresenteerd als we het hebben over trigonometrie. Het gaat meestal om het onthouden van al die domme formules of goniometrische functies. Maar het gaat er eigenlijk om dat als we de wereld begrijpen via een cirkelvormig gezichtspunt, in tegenstelling tot een vierkant raster, hoe we ons tussen die twee gezichtspunten bewegen?

(18:59) En ik denk dat de hele wiskunde daar om draait, zelfs die gevreesde vergelijkingen en het gelijkheidsteken, waar we, zoals je zegt, van afstappen. Vergelijkingen gaan eigenlijk over bewegende gezichtspunten. Wat zegt een vergelijking? Het zegt dat iets gelijk is aan iets anders. Maar het zegt meer dan dat. Het zegt dat sommige dingen die in de ene zin niet duidelijk hetzelfde waren, in een andere zin eigenlijk hetzelfde zijn, wat ons in staat stelt om ons gezichtspunt van de ene naar de andere kant te veranderen. Zelfs iets eenvoudigs, zoals 5 + 1 = 1 + 5, vertelt ons dat één standpunt is dat we vijf dingen kunnen nemen en er dan nog een aan kunnen toevoegen. En een ander standpunt is dat we er één zouden kunnen nemen en er daarna vijf aan toe kunnen voegen. En dat lijkt misschien niet een radicaal ander standpunt. Maar als je een klein kind dat soort idee leert, kun je het onder andere doen door één ding en vijf dingen op een bord te leggen, en dan kun je het bord draaien of je kunt ze naar de andere kant laten lopen. van het bord, waarna het ene en het vijf dingen van plaats zijn verwisseld. Dus dan heb je letterlijk je standpunt veranderd. En dat is waar abstracte wiskunde over gaat.

Strogatz (20:01): Oké, dit druist misschien een beetje in tegen de geest van wat je ons hebt verteld over abstractie en theorievorming, in tegenstelling tot voorbeelden en details. Maar ik denk dat het misschien zou helpen als je ons een voorbeeld zou geven, als je zou kunnen, van wat een categorie is of hoe je een hoger denkniveau zou kunnen gebruiken om licht op iets te werpen door bepaalde details te negeren - een voorbeeld van iets in de categorische manier van denken. Kunnen we beginnen met een categorie? Of is dat te technisch om mee te beginnen?

Cheng (20:29): Nee, ik denk dat we daarmee kunnen beginnen, omdat het publiek misschien geïnteresseerd is om te horen. Dus een categorie is, het is een stukje algebra. Maar het idee is dat we aan de ene kant naar verzamelingen dingen kunnen kijken. En een verzameling dingen is gewoon een verzameling objecten. We hebben geen extra informatie, behalve dat er een heleboel objecten zijn. En dus wat een categorie doet, is dat het zegt, nou, als we ook nadenken over de relaties tussen die objecten, dan krijgen we enorm veel meer waar we aan kunnen denken. En dus bestaat een categorie uit een aantal objecten, en een aantal gekozen relaties daartussen die voldoen aan enkele milde axioma's. Maar het idee is dat als we objecten bestuderen via hun relaties in plaats van via hun intrinsieke kenmerken, we veel en veel meer te weten komen dat relevant is. Het is net als wanneer we mensen bestuderen - het is echt heel logisch om te kijken naar hoe ze omgaan met andere mensen. Als je een biografie van een persoon schrijft, zou het heel vreemd zijn om gewoon een heel boek te schrijven waarin hun intrinsieke kenmerken worden beschreven in plaats van te kijken naar hun relaties met andere mensen, hun relaties met hun familie, hun relaties met hun vrienden, hun partners. , hun kinderen, de mensen met wie ze werken. En van daaruit bouwen we een beeld op van hun karakter door hun interacties met anderen.

(21:45) En dat is wat categorietheorie is. Het zegt dat we alles in een context plaatsen. En de flexibiliteit zit in het zeggen dat we dezelfde objecten in verschillende contexten kunnen plaatsen door na te denken over verschillende relaties ertussen. We kunnen dus denken aan bijvoorbeeld leeftijdsrelaties tussen mensen, of we kunnen denken aan opleidingsrelaties tussen hen. Dus we kunnen nadenken over hoe oud mensen zijn, of we kunnen nadenken over hoeveel opleidingsniveaus ze hebben. En we kunnen nadenken over hoe ze op het werk met elkaar omgaan, of we kunnen nadenken over welke wiskundigen met anderen hebben samengewerkt - wat eigenlijk niet veel te maken heeft met hoe oud ze zijn. Ik veronderstel dat ze waarschijnlijk tegelijkertijd in leven moeten zijn. En dat plaatst mensen dus in verschillende contexten.

(22:26) En bij categorietheorie gaat het erom te zeggen dat we nergens aan moeten denken buiten een context, omdat dingen echt van karakter veranderen afhankelijk van de context waarin ze zich bevinden. En even getallen — ik bedoel niet 'even getallen' ” — getallen zelf, veranderen van context afhankelijk van het teken waarin ze staan. Bijvoorbeeld gewone getallen — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13... Ze gaan voor altijd, ze worden voor altijd groter en groter en groter en groter. Terwijl getallen op een klok steeds maar in cirkels ronddraaien. En dat is heel belangrijk, want als we niet in cirkels zouden ronddraaien, zouden we vastzitten met dingen zeggen als: "Oh, ik zie je om 1,000,233 uur." En dus doet de context er echt toe.

(23:06) Een van de dingen die ik de laatste tijd met mijn studenten heb gedaan, is nadenken over een bepaald soort categorie die een partiële ordening wordt genoemd. En dus is een totale ordening waar je alles in een rechte lijn kunt zetten, zoals het aantal. Je kunt ze allemaal op een rij zetten. Er is een volkomen verstandige manier om ze allemaal in een directe hiërarchie te plaatsen. En het punt is, er zijn niet veel dingen in het leven die in een directe hiërarchie passen. Helaas is onze menselijke neiging toch om te proberen alles in een directe hiërarchie te stoppen. En ik denk dat dat komt omdat we niet voldoende gewend zijn aan de complexiteit van iets dat meer dimensies bevat. En dus geloof ik dat we onze hersenen beter moeten leren omgaan met meer dimensies, zodat we genuanceerder kunnen zijn over de situatie.

Strogatz (23:50): Misschien moeten we verdergaan met uw vermelding van de gedeeltelijke bestelling, aangezien ik niet zo zeker weet wat u daarmee bedoelt.

Cheng (23:55): Juist. Dus een totale ordening is waar je duidelijk kunt zeggen dat alles in een rechte lijn staat. Dus 1 is minder dan 2; 2 is minder dan 3; 3 is minder dan 4. Er is geen onduidelijkheid over. Maar dan komen we in situaties terecht - en een van de situaties waar ik het vaak over heb, heeft te maken met verschillende soorten privileges. En dus als we accepteren dat de identiteit van sommige mensen hen meer privileges geeft in het leven, en dat betekent niet dat ze beter af zijn dan andere mensen, het betekent alleen dat dat specifieke aspect van hen hen geen problemen bezorgt. Witte mensen hebben bijvoorbeeld structurele privileges ten opzichte van niet-blanken. En mannelijke mensen hebben structureel privileges ten opzichte van niet-mannelijke mensen. Dus gewoon blanken boven niet-blanken is een totale ordening. We hebben ze op een rij gezet. En een mannelijk volk boven niet-mannelijk volk is ook een totale ordening omdat we ze in een orde hebben geplaatst.

(24:48) Maar als we die twee combineren, kunnen we ze niet meer in een volgorde plaatsen. Want zeker van die groepen mensen hebben blanke mannelijke mensen de meeste privileges en dan hebben niet-blanke niet-mannelijke mensen het minste, maar als we dan kijken naar niet-blanke mannelijke mensen, en blanke niet-mannelijke mensen, dan kunnen we dat wel' Zet die niet op volgorde, want ze hebben elk één type. En dus als we het proberen, kunnen we in potentiële situaties van antagonisme terechtkomen. En wat er zo vaak gebeurt, is dat blanke vrouwen zo gefocust zijn op de manieren waarop ze als vrouw onderdrukt worden, dat ze uiteindelijk nalatig zijn over de kwesties van racisme, omdat ze te veel focussen op hun eigen problemen als vrouw. . En als ze de hele wereld gewoon zien als mannen versus vrouwen, dan negeren ze de problemen van racisme. Tegelijkertijd kunnen mensen die niet blank zijn zo gefocust zijn op de problemen die ze hebben als niet-blanke mensen, dat ze de problemen die vrouwen hebben negeren.

(25:41) En dus wordt dit, misschien op andere terreinen van de sociologie, intersectionaliteit genoemd. Snijpunten in wiskunde betekenen natuurlijk iets anders. Maar ik zie het graag als een hoger-dimensionale situatie, want in plaats van iedereen op een eendimensionale rechte lijn te zetten, is dat nu een tweedimensionale situatie geworden, en daar is het geen totale orde, maar een gedeeltelijke ordening. volgorde. Omdat we niet iedereen volledig op één lijn kunnen krijgen, kunnen we het maar gedeeltelijk doen. En als je er een diagram van tekent, ziet het eruit als een vierkant, in plaats van als een rechte lijn. En als je dan een ander type privilege toevoegt, krijg je een kubus, en dan blijf je meer dimensies toevoegen voor elk type dat je toevoegt.

Strogatz (26:21): Dat is een rijk, interessant voorbeeld. Ik bedoel, het zal ook - met veel historische betekenis, als we beginnen te praten, laten we zeggen, over de geschiedenis van het feminisme. Ik neem aan dat iedereen die luistert zich realiseert dat dit heel reële dingen zijn die je zojuist ter sprake hebt gebracht. Dit zijn geen abstracties die niet relevant zijn voor het dagelijks leven; in feite zijn ze monumentaal relevant. We hebben het gehad over kwesties van - ik weet niet hoe we ze moeten noemen - sociale rechtvaardigheid, of zorgen over echte mensen in het echte leven. Dat is niet inherent aan categorietheorie, toch? Dat is een van de vele mogelijke manieren waarop we het kunnen gebruiken. Maar we kunnen het ook gebruiken in de scheikunde of natuurkunde.

Cheng (26:57): O ja. Categorietheorie is dus inherent slechts een stukje algebra. Dat is alles wat het is. Het is een definitie die precies lijkt op een stukje algebra. Je begint met wat objecten en wat pijlstructuur. (Dat zijn de gegevens: je brengt wat structuur aan, en je hebt wat axioma's, en dan manipuleer je het met behulp van logica). Dus de manier waarop ik het beschrijf klinkt enigszins filosofisch. Maar dat komt omdat ik geen college geef aan afstudeerders die alle details moeten weten. Ja, we moeten niet de indruk wekken dat het maar een vaag stukje filosofie is. Het is echt een heel, heel nauwkeurig stukje wiskunde. En het is een heel technisch stukje algebra. Ik heb ontdekt dat ik het kan toepassen op deze vragen, deze zeer moeilijke vragen, van sociale rechtvaardigheid.

(27:38) En er zijn twee dingen. Een daarvan is dat ik het toch gewoon deed. Ik realiseerde me net, zo denk ik en zo begrijp ik de wereld om me heen. En dat ik daarom voel dat ik mensen kan begrijpen, ook als ik het helemaal niet met ze eens ben. Weet je, ik zie vrij vaak mensen op internet met wie ik het helemaal niet eens ben, en dan zeggen andere mensen: "Oh mijn hemel, ik kan niet geloven dat iemand dat zou denken, of hoe kan iemand op zo en zo stemmen?" ?” En ik denk altijd dat ik absoluut kan begrijpen waarom iemand dat zou denken. En als ik het niet kan, ga ik heel goed zitten en probeer ik het beter te begrijpen. En het is niet zo dat andere mensen irrationeel zijn. Sommige mensen zeggen: "Ach, hoe kun je ermee omgaan als andere mensen gewoon irrationeel zijn?" Ik denk dat dat absoluut de verkeerde benadering is. Het is betuttelend en verkeerd van ons om te verklaren dat andere mensen irrationeel zijn, want ook zij zullen ons irrationeel verklaren. En dan doen we alleen maar een schreeuwwedstrijd. Wat veel belangrijker is, is om erachter te komen wat hun logica is en om hun logica vanuit hun standpunt te analyseren, in plaats van onze logica aan hen op te leggen.

(28:38) En dat is wat we doen in de wiskunde. We bestuderen niet een deel van de wiskunde met behulp van de axioma's van een ander deel van de wiskunde - dat zou nergens op slaan. Maar wat we wel proberen te doen, is, zoals je zegt, van het ene deel naar het andere in kaart brengen, met behulp van een soort transformatie of kaart. En dat is één ding dat de categorietheorie doet. Het geeft ons een manier om een ​​abstracte structuur in de ene wereld te vinden en deze vervolgens op een andere wereld in kaart te brengen op een zodanige manier dat de abstracte structuur nog steeds relevant is. En zo begrijp ik mensen met wie ik het helemaal niet eens ben, via een vorm van empathie die voortkomt uit abstractie. Zo praat ik dan met mijn kunststudenten over abstractie. Omdat ze er niet echt om geven hoe ze een vliegtuig moeten bouwen of een brug moeten bouwen. Ze geven echt om kwesties van sociale rechtvaardigheid en andere mensen en de mensen waarmee ze het niet eens zijn, en hoe ze de wereld een betere plek kunnen maken. En dus door hen abstractie te laten zien zoals toegepast op die vragen, helpt het hen niet alleen die vragen te begrijpen, maar wekt het ook hun interesse in abstractie en overtuigt het hen ervan dat abstracte wiskunde ook voor hen relevant kan zijn.

Strogatz (29:47): Dus met het risico te veel in de algebra te gaan, was er een passage in je boek die me echt opviel, waar je spreekt over een klasse van relaties die equivalentierelaties wordt genoemd. En het interessante dat je over ze zei - ik bedoel, ik heb zeker mijn hele leven over ze gehoord en in wiskunde - is dat ze misschien te braaf zijn om wat je noemt breed expressief te zijn. En ik heb het gevoel dat dit een goed onderwerp voor ons is, want we zeiden, weet je, in mijn intro zei ik dat, is er wiskunde voorbij het gelijkteken? En het voelt alsof dit ons brengt in wat er mis is - als ik het zo bot mag zeggen - wat een beetje inflexibel of op de een of andere manier te rigide is of zoiets aan het concept van gelijkwaardigheid. Maar ik hoor graag wat je erover te zeggen hebt. Ik bedoel, misschien als je ons eraan zou kunnen herinneren of ons zou kunnen leren wat equivalentierelaties zijn? En wat is er dan mis met hen vanuit dit oogpunt? Wat betekent het om te braaf te zijn, om algemeen expressief te zijn?

Cheng (30:43): Ja. Een equivalentierelatie is, is iets dat we eigenschappen van relaties abstract bestuderen. En dus denken we aan soorten relaties zoals 'heeft dezelfde verjaardag als', dat is iets dat je aan twee willekeurige mensen kunt vragen. Heeft persoon A dezelfde verjaardag als persoon B? Of we kunnen zeggen: 'is even oud als', dat is een ander type relatie, of 'is ouder dan'. Dat zijn allemaal voorbeelden van relaties, en dat we dan de eigenschappen van die relaties kunnen bestuderen, niet tussen individuele mensen, maar het type relatie zelf.

(31:15) Dus een equivalentierelatie is er een die aan bepaalde eigenschappen voldoet. Een daarvan is dat iedereen met zichzelf verwant is. Dus, is iedereen op dezelfde dag jarig als zijzelf? Ja dat doen ze. Maar is iedereen ouder dan zijzelf? Nee, dat zijn ze niet. In feite is niemand ouder dan zijzelf. Dus dat is de eerste eigenschap, die reflexiviteit wordt genoemd.

(31:33) De volgende eigenschap wordt symmetrie genoemd. Als A deze relatie heeft met B, is het dan noodzakelijkerwijs waar dat B die relatie heeft met A? Dus als persoon A dezelfde verjaardag heeft als persoon B, ja, dan is het noodzakelijkerwijs waar dat persoon B dezelfde verjaardag heeft als persoon A. Maar als persoon A ouder is dan persoon B, dan is persoon B niet ouder dan persoon A; het is eigenlijk geen symmetrische relatie, het is een anti-symmetrische relatie, want omgekeerd is precies het tegenovergestelde waar.

(32:00) En de derde is transitiviteit, dat wil zeggen: kun je een persoon in het midden overdragen? Dus als persoon A die relatie heeft met persoon B, en persoon B heeft het met persoon C, betekent dat dan dat persoon A het heeft met persoon C? Dus als hij dezelfde verjaardag heeft als B en B dezelfde verjaardag heeft als C, kun je afleiden dat A dezelfde verjaardag heeft als C. En als persoon A ouder is dan persoon B, en persoon B ouder is dan persoon C, dan ja, je kunt ook afleiden dat persoon A ouder is dan persoon C. Maar als bijvoorbeeld A de moeder is van B, en B is de moeder van C, dan gaat dat niet over: A is niet de moeder van C. Maar er is een zinnige relatie tussen hen, namelijk dat A de grootmoeder is van C. En dus zijn er veel interessante relaties die helemaal niet aan deze eigenschappen voldoen. En dat komt omdat die eigenschappen, zoals je zei, veel te beperkend zijn om een ​​grote expressiviteit mogelijk te maken.

(32:51) En zo blijkt dat het hebben van een equivalentierelatie hetzelfde is als mensen in hokjes stoppen. Het is hetzelfde als gewoon je hele wereld opdelen in volledig gescheiden dozen en mensen in die dozen duwen, en je staat geen grijze gebieden toe, je staat niet toe dat mensen grenzen overschrijden of van plaats wisselen. Het is dus heel, heel restrictief. En als je veel wetten hebt, bedoel ik, het is eigenlijk een beetje zoals in het leven - wetten zijn nodig om een ​​beetje orde te houden. Maar als je te veel wetten hebt, dan ben je zo restrictief, dat niemand zich kan uiten. En dat geldt ook in de samenleving. Maar als je er te weinig hebt, kun je in anarchie terechtkomen.

(33:31) En dit geldt dus ook voor wiskunde. En dat het soort relaties dat we in wiskunde willen bestuderen veel verder gaat dan equivalentierelaties en ook die in het leven. Ik besprak dit met mijn studenten, en we spraken over 'is verliefd op', en dus ga ik oké, is dat reflexief? Is iedereen verliefd op zichzelf? Of zelfs gewoon "is een vriend van" - is iedereen een vriend van zichzelf? Helaas zijn sommige mensen geen vrienden met zichzelf. En dan praten we over de vraag of vriendschap symmetrisch is. Weet je, als A een vriend is van B, betekent dat dan dat B een vriend is van A? "Verliefd op" is zeker niet omdat dat ons onbeantwoorde liefde geeft. Maar is het mogelijk om een ​​eenrichtingsvriendschap te hebben? Ben je echt zelfs vrienden met iemand als ze niet aardig tegen je zijn? Het is een soort interessante vraag.

(34:10) En dan is transitiviteit wat sociale media ons willen opleggen. Ze willen dat we vrienden zijn met alle vrienden van onze vrienden. Maar dat is niet noodzakelijk waar. En dus stelt de categorietheorie ons in staat uitgebreidere versies van relaties te bestuderen, waarbij de relaties niet letterlijk over mensen in het midden hoeven te worden overgedragen. Er is gewoon iets dat we kunnen zeggen dat verstandig is, dus als we een relatie hebben tussen A en B, en een tussen B en C, dan is er iets dat we kunnen zeggen over A en C, zoals 'grootmoeder' of 'oom'. zodat als je naar de broer van je vader gaat, we dat een oom noemen. En dus hebben we in het normale leven, in familierelaties, woorden om die relaties samen te vatten. En dat willen we ook doen in de categorietheorie.

(34:57) En die kleine verschuiving stelt ons in staat om veel meer situaties uit te drukken. Zoveel situaties dat degene die de oorspronkelijke grondleggers van de categorietheorie in gedachten hadden, slechts een klein deel zijn van waar het nu voor wordt gebruikt.

Strogatz (35:16): Er zijn mensen die me vertellen dat in een ander deel van de wiskunde, bekend als algebraïsche meetkunde — wat klinkt alsof het iets over algebra en vormen combineert, zoals het doet — dat algebraïsche meetkunde een revolutie teweegbracht door een toestroom van ideeën uit categorie theorie en de mensen zoals [Alexander] Grothendieck enzovoort. Zou je ons daar iets over kunnen vertellen? Ik bedoel, dat lijkt een van de grote succesverhalen van het vakgebied te zijn als onderdeel van de wiskunde.

Cheng (35:41): Ja, categorietheorie gaat, zoals je al eerder zei, vaak over het leggen van verbanden tussen verschillende dingen. En dat kunnen losse dingen zijn, of hele takken van de wiskunde. En ik denk dat een van de krachtige aspecten van abstractie waar ik van hou, is hoe het ons in staat stelt in en uit te zoomen. Het werkt op veel schalen, omdat het niet afhankelijk is van de schaal. Je kunt er dus individuele objecten mee bestuderen, maar je kunt er ook hele klassen objecten mee bestuderen.

(36:08) En een van de grote inzichten uit het begin van de categorietheorie was het idee dat totaliteiten van objecten — werelden van objecten, wiskundige objecten — op zichzelf al wiskundige objecten zijn. En dit werkt alleen voor abstracte dingen. Want als je denkt aan bijvoorbeeld vogels — OK, dus je kunt een vogel bestuderen. En als je dan naar een zwerm vogels kijkt, is dat geen vogel. Een zwerm vogels is iets anders. Terwijl als je naar een wiskundig object kijkt, zoals een topologische ruimte, en dan kijk je naar de totaliteit daarvan - de hele gemeenschap van topologische ruimtes. Dat is zelf een wiskundig object. Een enkele topologische ruimte kan dus worden uitgedrukt als een categorie, maar ook de totaliteit van topologische ruimten kan worden uitgedrukt als een categorie. En dan kan het geheel aan groepen ook uitgedrukt worden in een categorie. En dan geeft categorietheorie ons een manier om niet alleen te bewegen tussen topologische ruimten, maar ook om te bewegen tussen de hele wereld van topologie en de hele wereld van groepen.

(37:06) En wat de algebraïsche meetkunde betreft, denken we niet aan topologische ruimten, maar aan een soort geometrische ruimten. En het verschil tussen geometrie en topologie is eigenlijk wat we als hetzelfde beschouwen. En zo komen we terug op het idee van gelijkheid versus gelijkwaardigheid, want een donut is duidelijk niet gelijk aan een koffiekopje. Het is gewoon dat er een standpunt is waarin ze hetzelfde zijn. En dat is het topologische standpunt. Maar het is niet het geometrische standpunt. Het geometrische standpunt zegt dat de dingen hetzelfde zijn; we moeten wel rekening houden met kromming. Topologie houdt pas echt rekening met verbondenheid. (Dit is een, dit is een vereenvoudiging. Maar ik denk dat dat de essentie is.) Terwijl geometrie rekening houdt met kromming, en dat betekent dat we verschillende dingen als hetzelfde beschouwen.

(37:52) En het punt is dat we in het leven erg flexibel zijn over wat we in zekere zin als hetzelfde beschouwen. En mijn geweldige Ph.D. adviseur, Martin Hyland, zegt vaak dat er een betekenis is waarin — het is een soort slogan, maar het is niet alleen een slogan, het is ook een standpunt, het is een manier van denken — waarbij we onszelf er altijd aan herinneren dat er een betekenis is waarin één ding waar is, en er is ook een manier waarop iets anders waar is. Dus in zekere zin kunnen we een koffiekopje en een donut als hetzelfde tellen. Natuurlijk is er ook een andere betekenis waarin ze niet hetzelfde zijn. Maar we moeten die keuzes maken in wiskunde. En ik denk dat er in het reguliere wiskundeonderwijs absoluut niet genoeg nadruk wordt gelegd op ons vermogen om keuzes te maken. En het feit dat we dat mogen doen, en die impuls, die imperatief, wordt meestal niet gegeven aan wiskundestudenten. De keuzes zijn voor hen gemaakt. Ze krijgen te horen: “We gaan deze dingen doen. Doe het zo, anders heb je het mis en zak je voor deze test.' Terwijl we in abstracte wiskunde zeggen: “Laten we kiezen! Wat gaan we als hetzelfde tellen?”

(38:51) En dat is waar gelijkwaardigheid over gaat — het is een flexibeler begrip dan gelijkheid, omdat het zegt dat we in deze context een keuze gaan maken van welke dingen we voorlopig als hetzelfde willen beschouwen om ons te geven een standpunt, en we gaan bestuderen wat er in de wereld gebeurt als we die dingen als hetzelfde behandelen. En ik denk dat dat ons ook enorme lessen over de wereld kan leren, omdat we praten over gelijkheid en rechtvaardigheid in de wereld. En dan krijgen we zeer verdeeldheid zaaiende argumenten, omdat sommige mensen zeggen: "Nou, mannen en vrouwen zijn niet hetzelfde." Dat is waar. Mannen en vrouwen zijn niet hetzelfde. Want als ze hetzelfde waren, zouden we de woorden "mannen" en "vrouwen" helemaal niet nodig hebben. En misschien kunnen we op een bepaald moment in Utopia afstappen van praten over mannen en vrouwen, maar op dit moment kunnen we dat niet. En het punt is dat er verschillen zijn. De vraag is, wanneer moeten we ze als hetzelfde behandelen?

(39:37) En wij mogen die keuze maken. En het is echt belangrijk dat we een goede keuze maken, als we om die dingen geven. En ik denk dat het punt, zoals in de categorietheorie, meestal niet gaat om hun intrinsieke kenmerken, maar om de rollen die ze kunnen spelen in de samenleving, en de rollen die ze kunnen spelen in de context. En in bijna alle contexten kunnen ze precies dezelfde regels spelen, en dus moeten we ze als hetzelfde behandelen.

(40:02) En in de categorietheorie, als je equivalente objecten hebt, of in een basiscategorie, worden ze isomorfismen genoemd. En in hogere dimensionale categorieën worden ze equivalenties genoemd, wat inhoudt dat naarmate we meer dimensies toevoegen, we nog meer nuance krijgen. En het hele punt is dat de categorie die dingen niet als verschillend ziet. De categorie kan die objecten eigenlijk niet uit elkaar houden, omdat ze dezelfde rol kunnen spelen in die categorie.

(40:26) En ik denk dat we ook zo tegenover mensen zouden moeten zijn. Als mensen dezelfde rol kunnen spelen, hoeven we geen verschil tussen hen te maken. En in feite ben ik zo ver gegaan dat ik graag zeg dat dit de reden is waarom ik me niet kan herinneren hoe mensen eruit zien, omdat ik me alleen de rol herinner die ze in mijn leven spelen. En dus als we eenmaal met elkaar omgaan, kan ik me herinneren wie ze zijn door hun interactie, in plaats van door hoe ze eruit zien. En er is zelfs een situatie geweest waarin iemand nogal onaangenaam tegen me was. En ik herkende dat specifieke merk van onaangenaamheid. En het deed me denken aan iemand anders die echt onaangenaam tegen me was geweest. En toen ik een derde persoon ontmoette die op precies dezelfde manier onaangenaam voor me was, ging ik zitten en zei: "Wacht even." Ik sleepte door jarenlange e-mails en realiseerde me dat ze allemaal dezelfde persoon waren. En het was eigenlijk alleen hun vorm van interactie met mij die ik me had herinnerd, niet hun naam.

Strogatz (41:26): Dat is een geweldig verhaal. Dat is geweldig. Nou, het spijt me van het irritante gedeelte. Maar ik hou van het inzicht dat eruit voortkwam.

(41:35) Maar nu, je noemde theorie van een hogere categorie, terloops, en dat is een zin die ik de laatste tijd hoor. Dat vroeg ik me af. Heeft het te maken met de eerder genoemde categorietheorie, die zelf een wiskundig object is? En dus zou je categorietheorie kunnen gebruiken om categorietheorie te bestuderen? Is het daarmee verbonden?

Cheng (41:54): Ja, ja, bingo! Het is verbonden met veel van de dingen waar we het over hebben gehad. En ja, als je zelf een theorie van categorieën doet, dan heb je een andere dimensie nodig, want categorieën hadden al een andere dimensie. Er zijn dus veel impulsen die ons naar hogere dimensies duwen. En dat is er een van: als je de categorieën zelf wilt bestuderen, heb je een andere dimensie nodig om ermee om te gaan. En die extra dimensie komt door na te denken over relaties, want dat is echt iets hogers door alleen maar na te denken over objecten. Als je geïsoleerd over objecten nadenkt, kunnen we dat zien als een nul-dimensionaal. Het heeft geen dimensie, het zijn maar klodders. Terwijl als je dan nadenkt over relaties tussen hen, het is alsof je paden maakt tussen verschillende dingen. En dat is een eendimensionale relatie.

(42:38) Dus dan zou je tegen jezelf kunnen zeggen, nou, moeten we dan niet nadenken over de relaties tussen de relaties? Als ons standpunt over het leven is dat we alles in context moeten plaatsen, moeten we dan niet ook de relaties zelf in context plaatsen? En die drang is een drang die ons naar hogere dimensies duwt, waar we ook willen nadenken over relaties tussen relaties. En raad eens? We zeggen: "Nou, hoe zit het met de relaties daartussen?" en dan gaan we: "Oh, hoe zit het met de relaties hiertussen?" En als we dan nooit stoppen, komen we in het oneindige. En zo krijgen we oneindig dimensionale categorieën - waar we heen gaan: "We moeten nooit stoppen met nadenken over relaties tussen dingen!" En elk van die dimensies voegt nuance toe aan de situatie, net zoals - in argumenten zouden we dit ook kunnen doen. Als we bijvoorbeeld boeken vergelijken, zou je kunnen zeggen: "Oh, ik denk dat dit boek beter is dan dat boek." En ik zei: "Oh, ik denk dat dit boek beter is dan dat boek", en dan zouden we, als we niet erg genuanceerd waren, gewoon tegen elkaar schreeuwen en zeggen: "Oh, je bent zo dom, ik kan niet geloven dat je dat boek leuk vindt.

(43:31) Maar als we een beetje — als we eendimensionaal genuanceerd waren, zouden we kunnen praten over zintuigen waarin we zouden kunnen zeggen: "Wel, dit boek heeft een interessanter plot, maar dat boek heeft interessantere personages.” En dan zouden we kunnen erkennen dat een van ons meer geïnteresseerd is in karakterontwikkeling en de ander meer geïnteresseerd is in plot. En dan zouden we die kunnen vergelijken, en we zouden kunnen zeggen: "Oké, wat vinden we leuk aan plot in tegenstelling tot karakter?" En dan kunnen we zo vaak doorgaan als we kunnen, om steeds meer nuance in onze situatie te krijgen.

(43:59) Het probleem is dat het ook veel complexiteit toevoegt. Het is dus erg moeilijk om met oneindige dimensies om te gaan. En dus proberen we te stoppen. Dus we proberen lager-dimensionale benaderingen te maken van de hoger-dimensionale dingen, daarom zijn eendimensionale categorieën nog steeds nuttig en verhelderend. Maar er is meer druk geweest om naar hogere dimensies te gaan, ten eerste omdat we nu veel hoger-dimensionale dingen bestuderen in andere delen van de wiskunde. En ten tweede, omdat als de hele theorie van eendimensionale categorieën eenmaal is ontwikkeld, het gemakkelijker wordt om de hogere dimensies te doen, omdat we beter zijn in de lagere dimensies. De tweedimensionale categorietheorie is dus redelijk goed ontwikkeld om met eendimensionale categorieën om te gaan. En nu we meer vertrouwd zijn met twee categorieën, gaan we min of meer naar de hogere dimensies, omdat alles gemakkelijker wordt als je je er prettig bij voelt.

Strogatz (44:49): Heel interessant. Het klopt dat het zo werkt. Ik bedoel, toen je gewoon aan het roddelen was over het idee dat wanneer je je ergens prettig bij voelt, zelfs als ... Zoals je in het boek noemde, dat zelfs het concept van, zoals, het getal drie. Of misschien was uw voorbeeld twee, maar ik zou waarschijnlijk kunnen generaliseren. Ik denk dat je iets zou zeggen - je weet wel, twee bananen en twee appels, weet je, als je een klein kind bent en je mijn twee vingers telt, of deze twee geluiden. Op een gegeven moment begin je gewoon het concept inherent te begrijpen, het abstracte concept van twee - niet in verwijzing naar een bepaald ding, slechts twee. En we zijn geneigd te vergeten dat twee, het getal twee, een abstractie is.

Cheng (45:30): Juist. En mensen die zeggen dat ze niet van abstractie houden, of dat categorietheorie te abstract is - misschien heeft iedereen een soort limiet die ze tot nu toe hebben bereikt met betrekking tot welke abstractie ze prettig vinden, of wat ze willen doen . Maar we kunnen allemaal de abstractie uitbreiden waar we ons prettig bij voelen. En we kunnen ook uitbreiden welke abstractie we willen doen, als we ons realiseren dat het ons op meer manieren kan helpen. Net als mijn studenten - ze houden niet echt van cijfers. Ik bedoel, eerlijk gezegd ben ik ook niet zo dol op cijfers. Cijfers zijn echt saai; dat is het hele punt van cijfers is dat ze saai zijn. We brengen iets terug tot een heel saaie essentie. En ik ben geïnteresseerd in dingen die rijker zijn dan dat. En mijn studenten waren niet geïnteresseerd in die abstracte concepten.

(46:14) Maar ze zijn echt geïnteresseerd als we praten over sociale structuren, of dieper nadenken over interacties tussen mensen. En dat geeft hen dan de drang om na te denken over meer abstracties. Sommigen van ons houden gewoon van abstractie, omdat ik van abstractie hou. Maar sommige mensen moeten er meer in worden aangetrokken door wat het voor ons kan doen.

(46:36) En ik zou eraan willen toevoegen, omdat je het in het begin al zei, dat ik persoonlijk de categorietheorie niet graag "abstracte onzin" noem. Die uitdrukking is, denk ik, in het begin bedacht als een belediging, omdat sommige wiskundigen dachten dat het niets deed. En in zekere zin doet het niets. Maar dat is eigenlijk het hele punt: wat het doet is licht schijnen zodat andere mensen meer dingen kunnen doen. En dan denk ik dat er een beweging was om de term abstracte onzin terug te eisen. Zoals vaak het geval is wanneer mensen zich beledigd voelen, kun je de beledigende term voor jezelf terugvorderen. En dus hebben mensen het teruggevorderd, maar dat vind ik niet leuk omdat het geen onzin is. Het is abstracte wonderlijkheid. Het is abstracte heerlijkheid. Het is helemaal geen onzin, want het helpt ons met dingen.

Strogatz (47:16): Oh goed voor je, bravo. Ik weet het, ik realiseer me dat het een zeer provocerende zin is. En ik wilde je een beetje provoceren. En ik vind het geweldig hoe je voor de gelegenheid bent opgekomen. Maar je hebt gelijk, "abstracte wonderlijkheid." Laten we daarmee doorgaan.

Cheng (47:29): Ik denk dat als we vertrouwd raken met abstractie, we geen rare woorden hoeven te gebruiken om te beschrijven wat we doen. We doen wat abstracte berekeningen. En dan komen we met dit inzicht naar buiten. En ik denk dat het begrijpen dat getallen al een abstractie waren, heel nuttig kan zijn voor iedereen die sceptisch staat tegenover abstractie of denkt dat ze het niet kunnen, omdat iedereen het kan. Omdat we het allemaal de hele tijd om ons heen doen in het leven. Ik denk eigenlijk dat het een heel menselijke drang is, waarbij wiskunde kan lijken alsof het iets heel gekunstelds is, en dat is het eigenlijk ook wel. Maar het is ook, ik denk dat het gebaseerd is op een heel menselijke drang.

Strogatz (48:05): Dat is een prachtige plek om te eindigen. Bedankt dat je ons helpt om, zoals jij het noemt, de vreugde van abstractie te zien. Ik denk dat we het nu allemaal kunnen vieren. Dank u, dr. Eugenia Cheng.

Cheng (48:16): Bedankt voor een zeer interessant en diepgaand gesprek.

Omroeper (48:21): Als je wilt De vreugde van waarom, bekijk de Quanta Magazine Wetenschap Podcast, gehost door mij, Susan Valot, een van de producenten van deze show. Vertel ook je vrienden over deze podcast en geef ons een like of volg waar je luistert. Het helpt mensen vinden De vreugde van waarom podcast.

Strogatz (48: 40): De vreugde van waarom is een podcast van Quanta Magazine, een redactioneel onafhankelijke publicatie ondersteund door de Simons Foundation. Financieringsbeslissingen door Stichting Simons hebben geen invloed op de selectie van onderwerpen, gasten of andere redactionele beslissingen in deze podcast of in Quanta Magazine. De vreugde van waarom wordt geproduceerd door Susan Valot en Polly Stryker. Onze redacteuren zijn John Rennie en Thomas Lin, met ondersteuning van Matt Carlstrom, Annie Melchor en Zack Savitsky. Onze themamuziek is gecomponeerd door Richie Johnson. Julian Lin bedacht de naam van de podcast. De afleveringskunst is van Peter Greenwood en ons logo is van Jaki King. Speciale dank aan Burt Odom-Reed van de Cornell Broadcast Studios. Ik ben je gastheer, Steve Strogatz. Als u vragen of opmerkingen voor ons heeft, kunt u ons mailen op [e-mail beveiligd] Bedankt voor het luisteren.