In de afgelopen eeuw is de kwantumveldentheorie de meest ingrijpende en succesvolle natuurkundige theorie gebleken die ooit is uitgevonden. Het is een overkoepelende term die veel specifieke kwantumveldentheorieën omvat - de manier waarop 'vorm' specifieke voorbeelden dekt, zoals het vierkant en de cirkel. De meest prominente van deze theorieën staat bekend als het standaardmodel, en het is dit natuurkundige raamwerk dat zo succesvol is geweest.

"Het kan op een fundamenteel niveau letterlijk elk experiment verklaren dat we ooit hebben gedaan," zei David Tong, een natuurkundige aan de Universiteit van Cambridge.

Maar de kwantumveldentheorie, of QFT, is onbetwistbaar onvolledig. Natuurkundigen noch wiskundigen weten precies wat een kwantumveldentheorie tot een kwantumveldentheorie maakt. Ze hebben een glimp van het volledige plaatje, maar kunnen het nog niet onderscheiden.

"Er zijn verschillende aanwijzingen dat er een betere manier van denken over QFT zou kunnen zijn," zei Nathan Seiberg, een natuurkundige aan het Institute for Advanced Study. "Het voelt alsof het een dier is dat je op veel plaatsen kunt aanraken, maar je ziet niet het hele dier."

Wiskunde, die interne consistentie en aandacht voor elk detail vereist, is de taal die QFT heel zou kunnen maken. Als wiskunde kan leren hoe QFT te beschrijven met dezelfde nauwkeurigheid waarmee het gevestigde wiskundige objecten kenmerkt, zal er waarschijnlijk een completer beeld van de fysieke wereld komen.

"Als je de kwantumveldentheorie echt op een goede wiskundige manier zou begrijpen, zou dit ons antwoorden geven op veel open natuurkundige problemen, misschien zelfs met inbegrip van de kwantisering van de zwaartekracht," zei Robbert Dijkgraaf, directeur van het Institute for Advanced Study (en een vaste columnist For Quanta).

Dit is ook geen eenrichtingsverkeer. Millennia lang is de fysieke wereld de grootste muze van de wiskunde geweest. De oude Grieken vonden trigonometrie uit om de beweging van de sterren te bestuderen. Wiskunde veranderde het in een discipline met definities en regels die studenten nu leren zonder enige verwijzing naar de hemelse oorsprong van het onderwerp. Bijna 2,000 jaar later wilde Isaac Newton de wetten van de planetaire beweging van Kepler begrijpen en probeerde hij een rigoureuze manier van denken over oneindig kleine verandering te vinden. Deze impuls (samen met onthullingen van Gottfried Leibniz) bracht het gebied van de calculus voort, dat de wiskunde zich toe-eigende en verbeterde - en dat vandaag de dag nauwelijks zou kunnen bestaan ​​zonder.

Nu willen wiskundigen hetzelfde doen voor QFT, door de ideeën, objecten en technieken te nemen die natuurkundigen hebben ontwikkeld om fundamentele deeltjes te bestuderen en ze op te nemen in het hoofdgedeelte van de wiskunde. Dit betekent het definiëren van de basiskenmerken van QFT, zodat toekomstige wiskundigen niet hoeven na te denken over de fysieke context waarin de theorie voor het eerst ontstond.

De beloningen zijn waarschijnlijk groot: wiskunde groeit wanneer het nieuwe objecten vindt om te verkennen en nieuwe structuren die enkele van de belangrijkste relaties vastleggen - tussen getallen, vergelijkingen en vormen. QFT biedt beide.

"Natuurkunde zelf, als een structuur, is extreem diep en vaak een betere manier om na te denken over wiskundige dingen waarin we al geïnteresseerd zijn. Het is gewoon een betere manier om ze te organiseren," zei David Ben Zvi, een wiskundige aan de Universiteit van Texas, Austin.

Al minstens 40 jaar verleidt QFT wiskundigen met ideeën om na te streven. In de afgelopen jaren zijn ze eindelijk begonnen enkele van de basisobjecten in QFT zelf te begrijpen - ze abstraheren ze uit de wereld van de deeltjesfysica en veranderen ze in zelfstandige wiskundige objecten.

Maar het is nog vroeg in de inspanning.

"We zullen het pas weten als we er zijn, maar het is zeker mijn verwachting dat we slechts het topje van de ijsberg zien," zei Greg Moore, een natuurkundige aan de Rutgers University. "Als wiskundigen [QFT] echt zouden begrijpen, zou dat leiden tot diepgaande vooruitgang in de wiskunde."

Velden voor altijd

Het is gebruikelijk om te denken dat het universum is opgebouwd uit fundamentele deeltjes: elektronen, quarks, fotonen en dergelijke. Maar de natuurkunde is lang geleden verder gegaan dan deze visie. In plaats van deeltjes praten natuurkundigen nu over dingen die 'kwantumvelden' worden genoemd als de echte schering en inslag van de werkelijkheid.

Deze velden strekken zich uit over de ruimte-tijd van het heelal. Ze zijn er in vele soorten en fluctueren als een rollende oceaan. Terwijl de velden rimpelen en op elkaar inwerken, komen er deeltjes uit en verdwijnen ze weer erin, als de vluchtige toppen van een golf.

"Deeltjes zijn geen objecten die er voor altijd zijn", zei Tong. "Het is een dans van velden."

Om kwantumvelden te begrijpen, is het het gemakkelijkst om te beginnen met een gewoon of klassiek veld. Stel je bijvoorbeeld voor dat je de temperatuur meet op elk punt op het aardoppervlak. Door de oneindig veel punten te combineren waarop je deze metingen kunt doen, ontstaat een geometrisch object, een veld genaamd, dat al deze temperatuurinformatie verpakt.

Over het algemeen verschijnen velden wanneer u een hoeveelheid hebt die uniek kan worden gemeten met een oneindig fijne resolutie in een ruimte. "Je bent in staat om onafhankelijke vragen te stellen over elk punt in de ruimte-tijd, zoals, wat is het elektrische veld hier versus daar," zei David Gaiotto, een natuurkundige aan het Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Canada.

Kwantumvelden ontstaan ​​wanneer je kwantumverschijnselen waarneemt, zoals de energie van een elektron, op elk punt in ruimte en tijd. Maar kwantumvelden zijn fundamenteel anders dan klassieke.

Hoewel de temperatuur op een punt op aarde is wat het is, ongeacht of je het meet, hebben elektronen geen definitieve positie tot het moment dat je ze waarneemt. Daarvoor kunnen hun posities alleen probabilistisch worden beschreven, door waarden toe te kennen aan elk punt in een kwantumveld dat de waarschijnlijkheid vastlegt dat je daar een elektron zult vinden versus ergens anders. Voorafgaand aan de waarneming bestaan ​​elektronen in wezen nergens - en overal.

“De meeste dingen in de natuurkunde zijn niet zomaar objecten; ze zijn iets dat op elk punt in ruimte en tijd leeft', zegt Dijkgraaf.

Een kwantumveldentheorie wordt geleverd met een reeks regels die correlatiefuncties worden genoemd en die uitleggen hoe metingen op een bepaald punt in een veld zich verhouden tot - of correleren met - metingen die op een ander punt zijn uitgevoerd.

Elke kwantumveldentheorie beschrijft de natuurkunde in een bepaald aantal dimensies. Tweedimensionale kwantumveldentheorieën zijn vaak nuttig voor het beschrijven van het gedrag van materialen, zoals isolatoren; zesdimensionale kwantumveldentheorieën zijn vooral relevant voor de snaartheorie; en vierdimensionale kwantumveldentheorieën beschrijven de natuurkunde in ons werkelijke vierdimensionale universum. Het standaardmodel is er een van; het is de allerbelangrijkste kwantumveldentheorie omdat het de theorie is die het universum het beste beschrijft.

Er zijn 12 bekende fundamentele deeltjes waaruit het universum bestaat. Elk heeft zijn eigen unieke kwantumveld. Aan deze 12 deeltjesvelden de Standaard Model voegt vier krachtvelden toe, die de vier fundamentele krachten vertegenwoordigen: zwaartekracht, elektromagnetisme, de sterke kernkracht en de zwakke kernkracht. Het combineert deze 16 velden in een enkele vergelijking die beschrijft hoe ze met elkaar omgaan. Door deze interacties worden fundamentele deeltjes begrepen als fluctuaties van hun respectieve kwantumvelden, en verschijnt de fysieke wereld voor onze ogen.

Het klinkt misschien vreemd, maar in de jaren dertig realiseerden natuurkundigen zich dat natuurkunde op basis van velden, in plaats van deeltjes, enkele van hun meest dringende inconsistenties oploste, variërend van problemen met betrekking tot causaliteit tot het feit dat deeltjes niet eeuwig leven. Het verklaarde ook wat anders een onwaarschijnlijke consistentie in de fysieke wereld leek te zijn.

"Alle deeltjes van hetzelfde type overal in het universum zijn hetzelfde", zei Tong. "Als we naar de Large Hadron Collider gaan en een vers geslagen proton maken, is het precies hetzelfde als een proton dat al 10 miljard jaar reist. Dat verdient enige uitleg.” QFT biedt het: alle protonen zijn slechts fluctuaties in hetzelfde onderliggende protonenveld (of, als je beter zou kunnen kijken, de onderliggende quarkvelden).

Maar de verklarende kracht van QFT gaat gepaard met hoge wiskundige kosten.

"Kwantumveldentheorieën zijn verreweg de meest gecompliceerde objecten in de wiskunde, tot het punt waarop wiskundigen geen idee hebben hoe ze ze moeten begrijpen", zei Tong. "Kwantumveldentheorie is wiskunde die nog niet is uitgevonden door wiskundigen."

Te veel oneindigheid

Wat maakt het zo ingewikkeld voor wiskundigen? Kortom oneindig.

Wanneer je een kwantumveld op een punt meet, is het resultaat niet een paar getallen zoals coördinaten en temperatuur. In plaats daarvan is het een matrix, een reeks getallen. En niet zomaar een matrix - een grote, een operator genaamd, met oneindig veel kolommen en rijen. Dit weerspiegelt hoe een kwantumveld alle mogelijkheden van een deeltje dat uit het veld tevoorschijn komt omhult.

"Er zijn oneindig veel posities die een deeltje kan hebben, en dit leidt ertoe dat de matrix die de meting van positie, van momentum beschrijft, ook oneindig-dimensionaal moet zijn," zei Kasia Rejzner van de Universiteit van York.

En wanneer theorieën oneindigheden produceren, stelt dit hun fysieke relevantie in twijfel, omdat oneindigheid bestaat als een concept, niet als iets wat experimenten ooit kunnen meten. Het maakt de theorieën ook wiskundig moeilijk om mee te werken.

“We houden er niet van om een ​​raamwerk te hebben dat oneindigheid beschrijft. Daarom begin je je te realiseren dat je een beter wiskundig begrip nodig hebt van wat er aan de hand is,” zei Alejandra Castro, een natuurkundige aan de Universiteit van Amsterdam.

De problemen met oneindigheid worden erger wanneer natuurkundigen beginnen na te denken over hoe twee kwantumvelden op elkaar inwerken, zoals ze bijvoorbeeld zouden kunnen wanneer deeltjesbotsingen worden gemodelleerd aan de Large Hadron Collider buiten Genève. In de klassieke mechanica is dit type berekening eenvoudig: om te modelleren wat er gebeurt als twee biljartballen botsen, gebruikt u gewoon de getallen die het momentum van elke bal op het botspunt specificeren.

Als twee kwantumvelden op elkaar inwerken, zou je iets soortgelijks willen doen: vermenigvuldig de oneindig-dimensionale operator voor het ene veld met de oneindig-dimensionale operator voor het andere, precies op het punt in de ruimte-tijd waar ze elkaar ontmoeten. Maar deze berekening - het vermenigvuldigen van twee oneindig-dimensionale objecten die oneindig dicht bij elkaar staan ​​- is moeilijk.

"Dit is waar het vreselijk mis gaat", zei Rejzner.

Verpletterend succes

Natuurkundigen en wiskundigen kunnen niet rekenen met oneindigheden, maar ze hebben oplossingen ontwikkeld - manieren om hoeveelheden te benaderen die het probleem ontwijken. Deze tijdelijke oplossingen leveren geschatte voorspellingen op, die goed genoeg zijn, omdat experimenten ook niet oneindig nauwkeurig zijn.

“We kunnen experimenten doen en dingen meten tot op 13 cijfers achter de komma en ze komen overeen met alle 13 cijfers achter de komma. Het is het meest verbazingwekkende in de hele wetenschap,' zei Tong.

Een oplossing begint door je voor te stellen dat je een kwantumveld hebt waarin niets gebeurt. In deze setting - een "vrije" theorie genoemd omdat het vrij is van interacties - hoef je je geen zorgen te maken over het vermenigvuldigen van oneindig-dimensionale matrices omdat er niets in beweging is en er nooit iets botst. Het is een situatie die gemakkelijk in volledig wiskundig detail te beschrijven is, hoewel die beschrijving niet veel waard is.

"Het is totaal saai, omdat je een eenzaam veld hebt beschreven met niets om mee om te gaan, dus het is een beetje een academische oefening", zei Rejzner.

Maar je kunt het interessanter maken. Natuurkundigen voeren de interacties op en proberen de wiskundige controle over het beeld te behouden terwijl ze de interacties sterker maken.

Deze benadering wordt perturbatieve QFT genoemd, in de zin dat je kleine veranderingen of verstoringen in een vrij veld toelaat. Je kunt het perturbatieve perspectief toepassen op kwantumveldentheorieën die vergelijkbaar zijn met een vrije theorie. Het is ook erg handig voor het verifiëren van experimenten. "Je krijgt een verbazingwekkende nauwkeurigheid, een verbazingwekkende experimentele overeenkomst", zei Rejzner.

Maar als je de interacties steeds sterker maakt, raakt de perturbatieve benadering uiteindelijk oververhit. In plaats van steeds nauwkeurigere berekeningen te maken die het echte fysieke universum benaderen, wordt het steeds minder nauwkeurig. Dit suggereert dat hoewel de verstoringsmethode een nuttige gids is voor experimenten, het uiteindelijk niet de juiste manier is om het universum te proberen te beschrijven: het is praktisch bruikbaar, maar theoretisch wankel.

"We weten niet hoe we alles bij elkaar moeten optellen en iets zinnigs krijgen", zei Gaiotto.

Een ander benaderingsschema probeert op andere manieren een volwaardige kwantumveldentheorie binnen te sluipen. In theorie bevat een kwantumveld oneindig fijnkorrelige informatie. Om deze velden te koken, beginnen natuurkundigen met een raster, of rooster, en beperken de metingen tot plaatsen waar de lijnen van het rooster elkaar kruisen. Dus in plaats van het kwantumveld overal te kunnen meten, kun je het in eerste instantie alleen op geselecteerde plaatsen op een vaste afstand van elkaar meten.

Van daaruit verbeteren natuurkundigen de resolutie van het rooster, door de draden dichter bij elkaar te trekken om een ​​steeds fijner weefsel te creëren. Naarmate het strakker wordt, neemt het aantal punten waarop u metingen kunt uitvoeren toe, waardoor het geïdealiseerde idee van een veld waar u overal metingen kunt uitvoeren, benadert.

"De afstand tussen de punten wordt erg klein, en zoiets wordt een continu veld", zei Seiberg. In wiskundige termen zeggen ze dat het continuümkwantumveld de limiet is van het aanscherpingsrooster.

Wiskundigen zijn gewend om met limieten te werken en weten vast te stellen dat bepaalde limieten echt bestaan. Ze hebben bijvoorbeeld bewezen dat de limiet van de oneindige reeks $latex frac{1}{2}$ + $latex frac{1}{4}$ +$latex frac{1}{8}$ +$latex frac {1}{16}$ … is 1. Natuurkundigen willen graag bewijzen dat kwantumvelden de limiet zijn van deze roosterprocedure. Ze weten alleen niet hoe.

"Het is niet zo duidelijk hoe je die limiet moet nemen en wat het wiskundig betekent," zei Moore.

Natuurkundigen twijfelen er niet aan dat het aanscherpingsrooster op weg is naar het geïdealiseerde idee van een kwantumveld. De nauwe overeenkomst tussen de voorspellingen van QFT en experimentele resultaten suggereert sterk dat dit het geval is.

"Het lijdt geen twijfel dat al deze limieten echt bestaan, omdat het succes van de kwantumveldentheorie echt verbluffend is", zei Seiberg. Maar sterk bewijs hebben dat iets juist is en onomstotelijk bewijzen dat het zo is, zijn twee verschillende dingen.

Het is een mate van onnauwkeurigheid die niet in de pas loopt met de andere grote natuurkundige theorieën die QFT wil vervangen. Isaac Newtons bewegingswetten, kwantummechanica, Albert Einsteins theorieën over speciale en algemene relativiteitstheorie - het zijn allemaal stukjes van het grotere verhaal dat QFT wil vertellen, maar in tegenstelling tot QFT kunnen ze allemaal in exacte wiskundige termen worden opgeschreven.

"De kwantumveldentheorie kwam naar voren als een bijna universele taal van fysieke verschijnselen, maar het is in slechte wiskundige staat", zei Dijkgraaf. En voor sommige natuurkundigen is dat een reden voor een pauze.

“Als het hele huis rust op dit kernconcept dat zelf niet op een wiskundige manier wordt begrepen, waarom ben je er dan zo zeker van dat dit de wereld beschrijft? Dat verscherpt de hele kwestie", aldus Dijkgraaf.

Buiten roerwerk

Zelfs in deze onvolledige staat heeft QFT geleid tot een aantal belangrijke wiskundige ontdekkingen. Het algemene patroon van interactie is dat natuurkundigen die QFT gebruiken op verrassende berekeningen stuiten die wiskundigen vervolgens proberen uit te leggen.

"Het is een machine die ideeën genereert," zei Tong.

Op een basisniveau hebben fysieke verschijnselen een nauwe relatie met geometrie. Om een ​​eenvoudig voorbeeld te geven: als je een bal in beweging zet op een glad oppervlak, zal zijn baan het kortste pad tussen twee punten verlichten, een eigenschap die bekend staat als een geodeet. Op deze manier kunnen fysieke verschijnselen geometrische kenmerken van een vorm detecteren.

Vervang nu de biljartbal door een elektron. Het elektron bestaat waarschijnlijk overal op een oppervlak. Door het kwantumveld te bestuderen dat die kansen vastlegt, kun je iets leren over de algemene aard van dat oppervlak (of veelvoud, om de term van de wiskundigen te gebruiken), zoals hoeveel gaten het heeft. Dat is een fundamentele vraag die wiskundigen die werkzaam zijn in de meetkunde, en het verwante gebied van de topologie, willen beantwoorden.

"Een deeltje dat zelfs maar daar zit en niets doet, zal de topologie van een spruitstuk leren kennen", zei Tong.

Aan het eind van de jaren zeventig begonnen natuurkundigen en wiskundigen dit perspectief toe te passen om basisvragen in de meetkunde op te lossen. Tegen het begin van de jaren negentig, Seiberg en zijn medewerker Edward Witten bedacht hoe het te gebruiken om een ​​nieuw wiskundig hulpmiddel te maken - nu de Seiberg-Witten-invarianten genoemd - dat kwantumverschijnselen verandert in een index voor puur wiskundige eigenschappen van een vorm: tel het aantal keren dat kwantumdeeltjes zich op een bepaalde manier gedragen, en je hebt effectief het aantal gaten in een vorm geteld.

"Witten toonde aan dat de kwantumveldentheorie volledig onverwachte maar volledig nauwkeurige inzichten geeft in geometrische vragen, waardoor hardnekkige problemen oplosbaar worden," zei Graeme Segal, een wiskundige aan de Universiteit van Oxford.

Een ander voorbeeld van deze uitwisseling vond plaats in het begin van de jaren negentig, toen natuurkundigen berekeningen deden die verband hielden met de snaartheorie. Ze voerden ze uit in twee verschillende geometrische ruimtes op basis van fundamenteel verschillende wiskundige regels en bleven lange reeksen getallen produceren die precies bij elkaar pasten. Wiskundigen pakten de draad op en werkten het uit tot een heel nieuw onderzoeksgebied, genaamd spiegel symmetrie, die de samenloop onderzoekt - en vele anderen vinden het leuk.

"De natuurkunde zou met deze verbazingwekkende voorspellingen komen, en wiskundigen zouden proberen ze met onze eigen middelen te bewijzen", zei Ben-Zvi. "De voorspellingen waren vreemd en prachtig, en ze bleken vrijwel altijd correct te zijn."

Maar hoewel QFT succesvol is geweest in het genereren van aanknopingspunten voor wiskunde om te volgen, bestaan ​​de kernideeën nog steeds bijna volledig buiten de wiskunde. Kwantumveldentheorieën zijn geen objecten die wiskundigen goed genoeg begrijpen om de manier te gebruiken waarop ze polynomen, groepen, variëteiten en andere pijlers van het vakgebied kunnen gebruiken (waarvan vele ook afkomstig zijn uit de natuurkunde).

Voor natuurkundigen is deze afstandelijke relatie met wiskunde een teken dat ze veel meer moeten begrijpen over de theorie die ze hebben voortgebracht. "Elk ander idee dat de afgelopen eeuwen in de natuurkunde is gebruikt, had zijn natuurlijke plaats in de wiskunde", zei Seiberg. "Dit is duidelijk niet het geval met de kwantumveldentheorie."

En voor wiskundigen lijkt het alsof de relatie tussen QFT en wiskunde dieper zou moeten zijn dan de occasionele interactie. Dat komt omdat kwantumveldentheorieën veel symmetrieën, of onderliggende structuren, bevatten die bepalen hoe punten in verschillende delen van een veld zich tot elkaar verhouden. Deze symmetrieën hebben een fysieke betekenis - ze belichamen hoe hoeveelheden zoals energie worden behouden terwijl kwantumvelden in de loop van de tijd evolueren. Maar het zijn op zich ook wiskundig interessante objecten.

"Een wiskundige kan een bepaalde symmetrie belangrijk vinden, en we kunnen het in een fysieke context plaatsen. Het creëert deze prachtige brug tussen deze twee velden”, aldus Castro.

Wiskundigen gebruiken al symmetrieën en andere aspecten van geometrie om alles te onderzoeken, van oplossingen tot verschillende soorten vergelijkingen tot de verdeling van priemgetallen. Vaak, geometrie codeert antwoorden op vragen over cijfers. QFT biedt wiskundigen een rijk nieuw type geometrisch object om mee te spelen - als ze het direct in handen kunnen krijgen, is het niet te zeggen wat ze zullen kunnen doen.

"We spelen tot op zekere hoogte met QFT," zei Daan Vrij, een wiskundige aan de Universiteit van Texas, Austin. "We hebben QFT gebruikt als een externe stimulus, maar het zou leuk zijn als het een interne stimulus zou zijn."

Maak plaats voor QFT

Wiskunde laat nieuwe vakken niet zomaar toe. Veel basisconcepten ondergingen lange beproevingen voordat ze hun juiste, canonieke plaatsen in het veld kregen.

Neem de echte getallen - alle oneindig veel maatstreepjes op de getallenlijn. Het kostte wiskunde bijna 2,000 jaar oefening om overeenstemming te bereiken over een manier om ze te definiëren. Ten slotte, in de jaren 1850, kwamen wiskundigen tot een nauwkeurige verklaring van drie woorden die de reële getallen beschrijft als een 'compleet geordend veld'. Ze zijn compleet omdat ze geen gaten bevatten, ze zijn geordend omdat er altijd een manier is om te bepalen of het ene reëel getal groter of kleiner is dan het andere, en ze vormen een 'veld', wat voor wiskundigen betekent dat ze de rekenregels volgen .

"Die drie woorden zijn historisch zwaar bevochten", zei Freed.

Om QFT om te zetten in een interne stimulus - een hulpmiddel dat ze voor hun eigen doeleinden kunnen gebruiken - zouden wiskundigen QFT dezelfde behandeling willen geven die ze gaven aan de reële getallen: een scherpe lijst met kenmerken die elke specifieke kwantumveldentheorie nodig heeft voldoen.

Veel van het werk van het vertalen van delen van QFT naar wiskunde is afkomstig van een wiskundige genaamd Kevin Costello bij het Perimeter Instituut. In 2016 was hij co-auteur van een leerboek dat zet storende QFT op een stevige wiskundige basis, inclusief het formaliseren van hoe te werken met de oneindige hoeveelheden die opduiken als je het aantal interacties verhoogt. Het werk volgt op een eerdere poging uit de jaren 2000, de algebraïsche kwantumveldentheorie genaamd, die soortgelijke doelen nastreefde, en die Rejzner beoordeeld in een boek uit 2016. Dus hoewel perturbatieve QFT het universum nog steeds niet echt beschrijft, weten wiskundigen hoe ze moeten omgaan met de fysiek onzinnige oneindigheden die het produceert.

“Zijn bijdragen zijn buitengewoon ingenieus en inzichtelijk. Hij plaatste [perturbatieve] theorie in een mooi nieuw kader dat geschikt is voor rigoureuze wiskunde, "zei Moore.

Costello legt uit dat hij het boek schreef uit een verlangen om de perturbatieve kwantumveldentheorie coherenter te maken. “Ik vond de methoden van bepaalde natuurkundigen gewoon ongemotiveerd en ad hoc. Ik wilde iets meer op zichzelf staands waar een wiskundige mee aan de slag kon', zei hij.

Door precies te specificeren hoe verstoringstheorie werkt, heeft Costello een basis gecreëerd waarop natuurkundigen en wiskundigen nieuwe kwantumveldentheorieën kunnen construeren die voldoen aan de voorschriften van zijn verstoringsbenadering. Het is snel omarmd door anderen in het veld.

“Hij heeft zeker veel jonge mensen die in dat kader werken. [Zijn boek] heeft zijn invloed gehad", aldus Freed.

Costello heeft ook gewerkt aan het definiëren van wat een kwantumveldentheorie is. In uitgeklede vorm vereist een kwantumveldentheorie een geometrische ruimte waarin je op elk punt waarnemingen kunt doen, gecombineerd met correlatiefuncties die uitdrukken hoe waarnemingen op verschillende punten zich tot elkaar verhouden. Costello's werk beschrijft de eigenschappen die een verzameling correlatiefuncties moet hebben om als werkbare basis te dienen voor een kwantumveldentheorie.

De meest bekende kwantumveldentheorieën, zoals het standaardmodel, bevatten extra functies die mogelijk niet in alle kwantumveldentheorieën aanwezig zijn. Kwantumveldentheorieën die deze kenmerken niet hebben, beschrijven waarschijnlijk andere, nog onontdekte eigenschappen die natuurkundigen zouden kunnen helpen bij het verklaren van fysieke verschijnselen die het standaardmodel niet kan verklaren. Als je idee van een kwantumveldentheorie te nauw aansluit bij de versies die we al kennen, zul je het moeilijk hebben om je zelfs de andere, noodzakelijke mogelijkheden voor te stellen.

"Er is een grote lantaarnpaal waaronder je theorieën over velden kunt vinden [zoals het standaardmodel], en eromheen is een grote duisternis van [kwantumveldtheorieën] waarvan we niet weten hoe we die moeten definiëren, maar we weten dat ze er zijn ', zei Gaiotto.

Costello heeft een deel van die donkere ruimte verlicht met zijn definities van kwantumvelden. Uit deze definities heeft hij er twee ontdekt: verrassend nieuwe kwantumveldentheorieën. Geen van beide beschrijft ons vierdimensionale universum, maar ze voldoen wel aan de kerneisen van een geometrische ruimte die is uitgerust met correlatiefuncties. Hun ontdekking door puur denken is vergelijkbaar met hoe de eerste vormen die je zou kunnen ontdekken die zijn die aanwezig zijn in de fysieke wereld, maar als je eenmaal een algemene definitie van een vorm hebt, kun je je een weg banen naar voorbeelden zonder enige fysieke relevantie.

En als wiskunde de volledige ruimte van mogelijkheden voor kwantumveldentheorieën kan bepalen - alle vele verschillende mogelijkheden om te voldoen aan een algemene definitie met betrekking tot correlatiefuncties - kunnen natuurkundigen dat gebruiken om hun weg te vinden naar de specifieke theorieën die de belangrijke fysieke vragen verklaren die ze het belangrijkst vinden over.

"Ik wil de ruimte van alle QFT's weten omdat ik wil weten wat kwantumzwaartekracht is", zei Castro.

Een uitdaging voor meerdere generaties

Er is nog een lange weg te gaan. Tot nu toe zijn alle kwantumveldentheorieën die in volledige wiskundige termen zijn beschreven, gebaseerd op verschillende vereenvoudigingen, waardoor ze gemakkelijker wiskundig kunnen worden gebruikt.

Een manier om het probleem, tientallen jaren terug te gaan, te vereenvoudigen, is door eenvoudigere tweedimensionale QFT's te bestuderen in plaats van vierdimensionale. Een team in Frankrijk onlangs genageld alle wiskundige details van een prominente tweedimensionale QFT.

Andere vereenvoudigingen gaan ervan uit dat kwantumvelden symmetrisch zijn op manieren die niet overeenkomen met de fysieke realiteit, maar die ze vanuit een wiskundig perspectief beter hanteerbaar maken. Deze omvatten "supersymmetrische" en "topologische" QFT's.

De volgende, en veel moeilijkere, stap zal zijn om de krukken te verwijderen en een wiskundige beschrijving te geven van een kwantumveldentheorie die beter past bij de fysieke wereld die natuurkundigen het meest willen beschrijven: het vierdimensionale, continue universum waarin alle interacties mogelijk zijn onmiddelijk.

"Dit is [a] zeer gênante zaak dat we geen enkele kwantumveldentheorie hebben die we in vier dimensies kunnen beschrijven, zonder verstoring", zei Rejzner. "Het is een moeilijk probleem, en blijkbaar heeft het meer dan een of twee generaties wiskundigen en natuurkundigen nodig om het op te lossen."

Maar dat weerhoudt wiskundigen en natuurkundigen er niet van om er gretig naar te kijken. Voor wiskundigen is QFT een zo rijk type object als ze maar konden hopen. Om de karakteristieke eigenschappen te definiëren die door alle kwantumveldentheorieën worden gedeeld, zullen bijna zeker twee van de pijlers van de wiskunde moeten worden samengevoegd: analyse, die uitlegt hoe oneindigheden te beheersen, en geometrie, die een taal biedt om over symmetrie te praten.

"Het is een fascinerend probleem, alleen al in wiskunde zelf, omdat het twee geweldige ideeën combineert", zegt Dijkgraaf.

Als wiskundigen QFT kunnen begrijpen, is het niet te zeggen welke wiskundige ontdekkingen wachten op de ontgrendeling ervan. Wiskundigen hebben lang geleden de karakteristieke eigenschappen van andere objecten, zoals variëteiten en groepen, gedefinieerd en die objecten doordringen nu vrijwel elke hoek van de wiskunde. Toen ze voor het eerst werden gedefinieerd, zou het onmogelijk zijn geweest om al hun wiskundige vertakkingen te voorzien. QFT belooft minstens zoveel voor wiskunde.

"Ik zeg graag dat de natuurkundigen niet per se alles weten, maar de natuurkunde wel," zei Ben-Zvi. "Als je het de juiste vragen stelt, heeft het al de verschijnselen waarnaar wiskundigen op zoek zijn."

En voor natuurkundigen is een volledige wiskundige beschrijving van QFT de keerzijde van het overheersende doel van hun vakgebied: een volledige beschrijving van de fysieke realiteit.

"Ik heb het gevoel dat er één intellectuele structuur is die alles omvat, en misschien zal het de hele natuurkunde omvatten", zei Seiberg.

Nu hoeven wiskundigen het alleen nog maar te ontdekken.