Begin juni ontstond er een ophef toen wiskundigen landden op de Londense luchthaven Heathrow. Hun bestemming was de Universiteit van Oxford en een conferentie ter ere van de 65e verjaardag van Michaël Hopkins, een wiskundige aan de Harvard University die voor veel aanwezigen als mentor had gediend.

Hopkins maakte eind jaren tachtig naam met zijn werk aan zeven vermoedens Doug Ravenel van de Universiteit van Rochester tien jaar eerder had geformuleerd. Ze hadden te maken met technieken om te bepalen wanneer twee vormen, of ruimtes, die er misschien anders uitzien, in werkelijkheid hetzelfde zijn. Hopkins en zijn medewerkers bewezen alle vermoedens van Ravenel op één na, een probleem met een suggestieve maar mysterieuze naam, het telescoopvermoeden.

Destijds legde Hopkins zijn werk op de vermoedens van Ravenel terzijde. Decennia lang leek het vermoeden van de telescoop vrijwel onmogelijk op te lossen.

'Je kunt zo'n stelling niet aanraken,' zei Hopkins.

Maar toen wiskundigen in Londen landden, gingen er geruchten dat dit was gedaan – door een groep van vier wiskundigen met banden met het Massachusetts Institute of Technology, van wie er drie op de graduate school door Hopkins waren geadviseerd. De jongste van de vier, een afgestudeerde student genaamd Ishan Levy, zou op dinsdag, de tweede dag van de conferentie, een lezing houden, wat de dag leek te zijn waarop een bewijs zou kunnen worden aangekondigd.

"Ik had geruchten gehoord dat dit eraan zat te komen, en ik wist niet precies wat ik kon verwachten", zei hij Vesna Stojanoska, een wiskundige aan de Universiteit van Illinois, Urbana-Champaign die de conferentie bijwoonde.

Het was al snel duidelijk dat de geruchten waar waren. Vanaf dinsdag en gedurende de volgende drie dagen hebben Levy en zijn co-auteurs – Robert Burklund, Jeremy Hahn en Tomer Schlank - legde aan de menigte van zo'n 200 wiskundigen uit hoe ze hadden bewezen dat het vermoeden van de telescoop vals was, waardoor het de enige van Ravenel's oorspronkelijke vermoedens was die niet waar was.

Het weerleggen van het vermoeden van de telescoop heeft verstrekkende implicaties, maar een van de eenvoudigste en meest diepgaande is deze: het betekent dat in zeer hoge dimensies (denk aan een honderddimensionale bol) het universum van verschillende vormen veel gecompliceerder is dan wiskundigen verwachtten.

Het in kaart brengen van de kaarten

Om vormen, of topologische ruimtes, te classificeren, maken wiskundigen onderscheid tussen verschillen die er wel en niet toe doen. Homotopietheorie is een perspectief van waaruit dit onderscheid kan worden gemaakt. Het beschouwt een bal en een ei als fundamenteel dezelfde topologische ruimte, omdat je de ene in de andere kunt buigen en uitrekken zonder dat ze ook scheuren. Op dezelfde manier beschouwt de homotopietheorie een bal en een binnenband als fundamenteel verschillend, omdat je een gat in de bal moet scheuren om deze tot een binnenband te vervormen.

Homotopie is nuttig voor het classificeren van topologische ruimtes – het creëren van een overzicht van alle soorten vormen die mogelijk zijn. Het is ook belangrijk om iets anders te begrijpen waar wiskundigen om geven: kaarten tussen ruimtes. Als je twee topologische ruimten hebt, kun je de eigenschappen ervan onderzoeken door te zoeken naar functies die punten op de ene naar punten op de andere converteren of in kaart brengen - voer een punt in op ruimte A, krijg een punt op ruimte B als uitvoer, en doe dat voor alle punten op A.

Om te zien hoe deze kaarten werken en waarom ze de eigenschappen van de betrokken ruimtes belichten, begin je met een cirkel. Breng het nu in kaart op de tweedimensionale bol, het oppervlak van een bal. Er zijn oneindig veel manieren om dit te doen. Als u zich de bol voorstelt als het aardoppervlak, kunt u uw cirkel bijvoorbeeld op een willekeurige breedtegraad plaatsen. Vanuit het perspectief van de homotopietheorie zijn ze allemaal gelijkwaardig, of homotoop, omdat ze allemaal kunnen krimpen tot een punt op de noord- of zuidpool.

Breng vervolgens de cirkel in kaart op het tweedimensionale oppervlak van een binnenband (een torus met één gat). Nogmaals, er zijn oneindig veel manieren om dit te doen, en de meeste zijn homotoop. Maar niet allemaal. Je zou een cirkel horizontaal of verticaal rond de torus kunnen plaatsen, en geen van beide kan soepel in de andere worden vervormd. Dit zijn twee (van de vele) manieren om een ​​cirkel op de torus in kaart te brengen, terwijl er maar één manier is om deze op een bol in kaart te brengen, wat een fundamenteel verschil tussen de twee ruimtes weerspiegelt: de torus heeft één gat, terwijl de bol er geen heeft.

Het is gemakkelijk om de manieren te tellen waarop we van de cirkel naar de tweedimensionale bol of torus kunnen gaan. Het zijn vertrouwde ruimtes die gemakkelijk te visualiseren zijn. Maar het tellen van kaarten is veel moeilijker als het om hoger-dimensionale ruimtes gaat.

Dimensionale verschillen

Als twee bollen dezelfde dimensie hebben, zijn er altijd oneindig veel kaarten ertussen. En als de ruimte van waaruit u in kaart brengt lager-dimensionaal is dan de ruimte waarnaar u in kaart brengt (zoals in ons voorbeeld van de eendimensionale cirkel afgebeeld op een tweedimensionale bol), is er altijd maar één kaart.

Gedeeltelijk om die reden is het tellen van kaarten het meest interessant als de ruimte van waaruit je in kaart brengt een hogere dimensie heeft dan de ruimte waarnaar je in kaart brengt, zoals wanneer je een zevendimensionale bol in kaart brengt op een driedimensionale bol. In dergelijke gevallen is het aantal kaarten altijd eindig.

"De kaarten tussen sferen zijn over het algemeen interessanter als de bron een grotere dimensie heeft", zei Hahn.

Bovendien hangt het aantal kaarten alleen af ​​van het verschil in het aantal dimensies (zodra de dimensies groot genoeg worden vergeleken met het verschil). Dat wil zeggen dat het aantal kaarten van een 73-dimensionale bol naar een 53-dimensionale bol hetzelfde is als het aantal kaarten van een 225-dimensionale bol naar een 205-dimensionale bol, omdat in beide gevallen het verschil in dimensie gelijk is aan 20.

Wiskundigen willen graag het aantal kaarten weten tussen ruimtes met enig verschil in dimensie. Ze zijn erin geslaagd het aantal kaarten te berekenen voor bijna alle dimensieverschillen tot 100: er zijn 24 kaarten tussen de bollen als het verschil 20 is, en 3,144,960 als het 23 is.

Maar het berekenen van het aantal kaarten voor elk verschil groter dan 100 vergt moderne rekenkracht. En tegelijkertijd hebben wiskundigen niet genoeg patronen in het aantal kaarten ontdekt om verder te extrapoleren. Hun doel is om een ​​tabel in te vullen die het aantal kaarten specificeert voor elk verschil in dimensie, maar dat doel voelt erg ver weg.

“Dit is geen vraag waarvoor ik een volledige oplossing verwacht tijdens het leven van mijn kleinkinderen”, zegt Ravenel, die 76 is.

Het vermoeden van de telescoop doet een voorspelling over hoe het aantal kaarten groeit naarmate het verschil in dimensie groter wordt. In feite voorspelt het dat het aantal langzaam groeit. Als het waar was geweest, zou het probleem van het invullen van die tabel een beetje eenvoudiger zijn geweest.

Twijfel in ongeloof

Het telescoopvermoeden kreeg zijn naam op een onwaarschijnlijke manier.

Het begon met het feit dat in zeer hoge dimensies de geometrische intuïtie gevormd in lagere dimensies vaak kapot gaat, en het moeilijk is om kaarten tussen sferen te tellen. Maar bij het formuleren van zijn vermoeden begreep Ravenel dat dat niet nodig is. In plaats van kaarten tussen bollen te tellen, kunt u gemakkelijker een proxytelling maken van kaarten tussen bollen en objecten die telescopen worden genoemd.

Telescopen omvatten een reeks kopieën van een gesloten, hoger-dimensionale curve, elk een verkleinde versie van de curve die eraan voorafging. De reeks rondingen lijkt op de in elkaar grijpende buizen van een echte opvouwbare telescoop. “Hoe bizar deze telescoop ook klinkt als je hem beschrijft, het is eigenlijk een gemakkelijker object om mee om te gaan dan de bol zelf,” zei Ravenel.

Maar toch kunnen bollen op veel verschillende manieren in kaart worden gebracht op telescopen, en de uitdaging is om te weten wanneer die kaarten echt verschillend zijn.

Om te bepalen of twee ruimtes homotopisch zijn, is een wiskundige test nodig die bekend staat als een invariant, wat een berekening is op basis van de eigenschappen van de ruimtes. Als de berekening voor elke ruimte een andere waarde oplevert, weet je dat ze uniek zijn vanuit het perspectief van homotopie.

Er zijn veel soorten invarianten, en sommige kunnen verschillen waarnemen waar andere invarianten blind voor zijn. Het vermoeden van de telescoop voorspelt dat er een invariant is genaamd Morava E-theorie (en de symmetrieën ervan) kan alle kaarten tussen bollen en telescopen perfect onderscheiden, tot aan homotopie toe – dat wil zeggen, als Morava E-De theorie zegt dat de kaarten verschillend zijn, dat ze verschillend zijn, en als er staat dat ze hetzelfde zijn, dan zijn ze hetzelfde.

Maar in 1989 begon Ravenel eraan te twijfelen dat het waar was. Zijn scepsis kwam voort uit berekeningen die hij uitvoerde en die niet in overeenstemming leken te zijn met het vermoeden. Maar pas in oktober van dat jaar, toen een enorme aardbeving de Bay Area trof terwijl hij in Berkeley was, werden die twijfels omgezet in volwaardig ongeloof.

"Ik kwam binnen een dag of twee na de aardbeving tot deze conclusie, dus ik denk graag dat er iets is gebeurd waardoor ik dacht dat het niet waar was," zei Ravenel.

Om het vermoeden van de telescoop te weerleggen zou het vinden van een krachtigere invariant nodig zijn die dingen van Morava zou kunnen zien E-theorie kan dat niet. Decennia lang leek een dergelijke invariant niet beschikbaar te zijn, waardoor het vermoeden definitief buiten bereik lag. Maar de vooruitgang van de afgelopen jaren heeft daar verandering in gebracht – en Burklund, Hahn, Levy en Schlank hebben daar gebruik van gemaakt.

De exploderende exoot

Hun bewijs is gebaseerd op een reeks hulpmiddelen die algebraïsch worden genoemd K-theorie, die in de jaren vijftig werd ontwikkeld door Alexander Grothendieck en zich de afgelopen tien jaar snel heeft ontwikkeld. Het heeft toepassingen in de wiskunde, ook in de meetkunde, waar het de mogelijkheid heeft om een ​​invariant een boost te geven.

De vier auteurs gebruiken algebraïsche K-theorie als gadget: ze voeren Morava in E-theorie, en hun output is een nieuwe invariant die zij de algebraïsche noemen K-theorie van de vaste punten van Morava E-theorie. Vervolgens passen ze deze nieuwe invariant toe op kaarten van bollen tot telescopen en bewijzen ze dat Morava kaarten kan zien E-theorie kan dat niet.

En het is niet alleen dat deze nieuwe invariant nog een paar kaarten ziet. Het ziet nog veel meer, zelfs oneindig veel meer. Zoveel meer dat je met recht Morava kunt zeggen E-de theorie was nog maar nauwelijks het oppervlak aan het verkennen als het ging om het identificeren van kaarten van bollen tot telescopen.

Oneindig meer kaarten van bollen tot telescopen betekent oneindig meer kaarten tussen de bollen onderling. Het aantal van dergelijke kaarten is eindig voor elk verschil in dimensie, maar het nieuwe bewijs laat zien dat het aantal snel en onverbiddelijk groeit.

Dat er zoveel kaarten zijn, wijst op een verontrustende geometrische realiteit: er zijn zoveel sferen.

In 1956 identificeerde John Milnor de eerste voorbeelden van wat ‘exotische’ sferen worden genoemd. Dit zijn ruimtes die vanuit het perspectief van homotopie kunnen worden vervormd tot de werkelijke sfeer, maar die in een bepaalde precieze zin verschillen van de sfeer. Exotische sferen bestaan ​​helemaal niet in dimensie één, twee of drie, en niemand heeft er voorbeelden van ontdekt onder dimensie zeven – de dimensie waar Milnor ze voor het eerst vond. Maar naarmate de dimensie groter wordt, explodeert het aantal exotische sferen. Er zijn 16,256 in dimensie 15 en 523,264 in dimensie 19.

En toch, hoe groot deze aantallen ook zijn, het weerlegging van het telescoopvermoeden betekent dat er nog veel meer zijn. Het weerlegging betekent dat er meer kaarten tussen de sferen zijn dan verwacht toen Ravenel het vermoeden uitte, en de enige manier waarop je meer kaarten krijgt, is door een grotere verscheidenheid aan sferen te hebben om tussen in kaart te brengen.

Er zijn verschillende soorten vooruitgang in wiskunde en natuurwetenschappen. Eén soort brengt orde in de chaos. Maar een ander vergroot de chaos door hoopvolle aannames die niet waar waren te verdrijven. Het weerlegging van het telescoopvermoeden is hetzelfde. Het verdiept de complexiteit van de geometrie en vergroot de kans dat vele generaties kleinkinderen zullen komen en gaan voordat iemand de kaarten tussen sferen volledig begrijpt.

“Elke grote vooruitgang in dit onderwerp lijkt ons te vertellen dat het antwoord veel ingewikkelder is dan we eerder dachten,” zei Ravenel.