Op een recente ochtend in oktober stond Rob Kirby voor een kamer vol wiskundigen en zei tegen hen dat ze zich niet gebonden moesten voelen door de manier waarop hij de dingen in het verleden had gedaan.

De afgelopen halve eeuw Kirby, 85, is een centrale figuur geweest in de laagdimensionale topologie, de studie van vervormbare vormen. Naast belangrijke onderzoeksbijdragen publiceerde hij in 1978 de eerste versie van wat bekend werd als “Kirby's lijst” – een verzameling van 80 openstaande problemen die de komende decennia hielpen bij het bepalen van de onderzoeksagenda voor het vakgebied. Twintig jaar later, in 1997, publiceerde hij een tweede, even invloedrijk boek versie van de lijst.

De enkele tientallen wiskundigen die Kirby toesprak, waren bijeengekomen op de Amerikaans Instituut voor Wiskunde (AIM) in Pasadena om een ​​derde versie van de lijst te maken. Niet dat alle problemen op de eerdere lijsten waren opgelost – de meeste niet – maar veel problemen waren uit de mode geraakt. Hoewel wiskunde eeuwig is, wordt het vakgebied beoefend door mensen die rages volgen, en veel van de oude vragen werden niet meer als interessant beschouwd.

“We denken dat sommige deelgebieden prestigieus zijn, terwijl andere zeggen dat niemand er iets om geeft.” gezegd Maggie Molenaar van de Universiteit van Texas, Austin, een van de 14 redacteuren van de lijst.

De conferentie is bedacht door Daniël Ruberman van Brandeis University, die begin jaren tachtig Kirby's student was geweest, en Inanç Baykur van de Universiteit van Massachusetts, die postdoctoraal onderzoeker was onder Ruberman. Ze wilden dat de lijst bestond uit harde en belangrijke problemen.

“Het zou een probleem moeten zijn dat voldoende interessant is, zodat als er een oplossing zou komen, deze het potentieel zou hebben om het veld te veranderen,” zei Miller. Baykur voegde hieraan toe: “Misschien kan een klein percentage in de komende twee tot drie jaar worden opgelost.”

De manier waarop wiskundigen beslissen wat belangrijk is, is veranderd in de halve eeuw sinds Kirby zijn eerste lijst publiceerde. Zelfs als de waarheid of onwaarheid van individuele vermoedens een kwestie van objectieve waarheid is, is het rangschikken van hun belang een subjectief, sociaal proces. En dat proces ziet er in de huidige, mondiaal verbonden wereld heel anders uit dan in de jaren zeventig. Het verhaal van de nieuwe lijst is het verhaal van die veranderingen.

Het begin van de lijst

Kirby's eigen carrière begon met een problemenlijst. In 1963 woonde hij als afgestudeerde student aan de Universiteit van Chicago een conferentie bij in Seattle waar de wiskundige John Milnor presenteerde een lijst van de zeven belangrijkste open problemen in de topologie. Het laatste probleem was het annulus-vermoeden, dat stelt dat de ruimtes tussen twee correct gedefinieerde bollen altijd de vorm aannemen van een annulus, het gebied tussen twee concentrische cirkels.

Dit geldt voor cirkels en normale, driedimensionale ballen, maar in hogere dimensies – waarbij paren bollen van vijf of zes of een willekeurig aantal dimensies betrokken zijn – gebeuren er verrassende dingen. In 1969 bewees Kirby, als assistent-professor aan de Universiteit van Californië, Los Angeles, dat dit waar is voor dimensies vijf en hoger, gegeven enkele beperkingen (de bollen moeten in een bepaalde wiskundige zin glad zijn).

Op basis van dat resultaat promoveerde UCLA hem rechtstreeks tot hoogleraar en verdubbelde zijn salaris. Twee jaar later won hij de prestigieuze prijs Oswald Veblen-prijs bij Geometrie. Kirby schrijft dit succes in zijn vroege carrière gedeeltelijk toe aan het bestaan ​​van de Milnor-lijst, die hem een ​​grotere verscheidenheid aan projecten opleverde om uit te kiezen dan hij zou hebben gekregen van de mensen om hem heen op de graduate school.

"Voor degenen die graag aan problemen werken en niet noodzakelijkerwijs willen doen wat hun adviseur hen zegt te doen, is een problemenlijst waardevol", zei hij.

Kirby begon in augustus 1976 met het samenstellen van zijn eerste problemenlijst op een conferentie van de American Mathematical Society aan de Stanford University. Hij bouwde de lijst de komende twee jaar op via telefoontjes, brieven en informele gesprekken met wiskundigen op conferenties die hij bijwoonde, en publiceerde deze in 1978 als een uitgebreid tijdschriftartikel.

Zoals Miller het zegt: “Hij heeft zojuist iedereen gebeld die hij kende aan de telefoon.”

De lijst bevatte ongeveer 80 problemen, onderverdeeld in vijf hoofdstukken. De eerste vier hoofdstukken gingen over eendimensionale knopen, tweedimensionale oppervlakken en drie- en vierdimensionale spruitstukken (ruimten zoals het oppervlak van een bol die lokaal plat lijken, maar een ingewikkelder globale structuur kunnen hebben). Het vijfde hoofdstuk was voor diverse problemen. Hoewel Kirby veel overleg had gepleegd om de lijst samen te stellen, was het eindproduct onmiskenbaar van hem.

“Ik was meer inclusief dan exclusief,” zei Kirby, maar voegde eraan toe: “Ik was vrijwel de laatste scheidsrechter.”

De tweede lijst

Het eind van de jaren zeventig was een veelbelovende tijd om een ​​lijst met problemen op het gebied van de topologie op te stellen. Aan het begin van het decennium was het veld klein, maar in de daaropvolgende tien jaar explodeerde het. In 1970 Michaël Freedman loste een vierdimensionale versie van het vermoeden van Poincaré op in a monumentaal bewijs dat zou jaren duren om te verteren. (Het vermoeden vraagt ​​of wiskundige objecten die op bollen lijken, in feite bollen moeten zijn. Het antwoord, zo bewees Freedman, is ja.) Een jaar later publiceerde William Thurston het vermoeden van geometrisatie, dat sommige topologische structuren in geometrische categorieën classificeert. Het vermoeden bracht instrumenten uit de analyse (een geavanceerde vorm van calculus) rechtstreeks naar de topologie. Datzelfde jaar Simon Donaldson introduceerde differentiële geometrie (die calculus en geometrie combineert) in het veld met zijn werk aan vierdimensionale spruitstukken.

“Het is moeilijk te beschrijven hoe snel de vooruitgang was. Het was een van die grote perioden in de wiskunde, met de ene revolutie na de andere”, aldus Ruberman.

Als gevolg van al deze activiteiten was Kirby's lijst binnen een paar jaar bijna verouderd. Maar het opstellen van probleemlijsten was niet Kirby's voornaamste bezigheid. Pas tijdens een conferentie aan de Universiteit van Georgia in de zomer van 1993 besloot hij de lijst te herzien.

Kirby begon problemen op de conferentie te verzamelen en zette het werk voort via e-mail, wat niet gebruikelijk was toen hij de eerste lijst samenstelde. Als gevolg hiervan werd de lijst groter. De definitieve lijst bevatte 415 problemen en werd in 1997 in boekvorm gepubliceerd. Toen de derde lijst eenmaal van start ging, werd de tweede poging met terugwerkende kracht bekend als K2, zoals in de tweede versie van Kirby's lijst, en ook als een knipoog naar de tweede. -hoogste berg ter wereld. Het uitgebreide formaat hielp de tweede versie van de lijst als toetssteen en scorekaart te versterken. Het oplossen van een Kirby-probleem zorgt ervoor dat jonge wiskundigen opgemerkt worden.

“Als je een aanbevelingsbrief voor iemand schrijft en diegene heeft een Kirby-probleem opgelost, dan vermeld je dat in je brief,” zei John Boudewijn, een wiskundige aan het Boston College die aan de workshop deelnam en helpt bij het bewerken van de lijst.

Arunima Ray, een groepsleider van het Max Planck Instituut voor Wiskunde in Bonn, Duitsland, die de workshop bijwoonde, zei dat een van de eerste dingen die haar doctoraal adviseur deed nadat ze in 2011 geslaagd was voor haar examens, was haar een kopie van de K2-lijst te geven: “ om een ​​idee te krijgen van de grote problemen waarin mensen geïnteresseerd zijn.”

Natuurlijk worden beslissingen over wat belangrijk is beïnvloed door wie in de kamer zit die die beslissingen neemt. De Kirby-lijsten weerspiegelen een pedagogische filosofie die voortkwam uit Kirby's sociaal-politieke wereldbeeld. Hij omschrijft zichzelf als een klassiek liberaal en noemt de 19e-eeuwse Britse filosoof John Stuart Mill als een belangrijke invloed op zijn denken.

“Klassieke liberalen geloofden echt in vrijheid, vrijheid van meningsuiting en een lichte hand van de overheid, dus dat is ongeveer mijn standpunt,” zei hij. “In zekere zin gaat dat samen met het niet vertellen aan mijn studenten wat ze moeten doen. Het geeft ze een beetje de vrije hand.”

Kirby verwerkt deze overtuigingen in de manier waarop hij denkt en praat over de wiskundegemeenschap. In 2021 ondertekende hij samen met meer dan 1,000 andere in Californië gevestigde wiskundige en wetenschappelijke professionals een open brief het bekritiseren van het voorstel van de staat om een ​​nieuw wiskundecurriculum voor het basis- en voortgezet onderwijs aan te nemen, waardoor overwegingen van sociale rechtvaardigheid centraler zouden zijn geworden in de manier waarop de staat dit onderwerp onderwijst. Het voorstel uit Californië is ingediend veel kritiek in de wiskundegemeenschap voor, onder andere, het beperken van de beschikbaarheid van cursussen voor gevorderden, en voor het minder nadruk leggen op pre-calculuscursussen ten gunste van ‘data science’.

Kirby is van oudsher scepticus geweest over het bestaan ​​van structurele vooroordelen in de wiskunde, ook wat betreft de genderonevenwichtigheid in het vakgebied. In de jaren zeventig was ongeveer 1970% van de wiskundigen vrouw; vandaag de dag is dat bijna 10%, volgens a 2020 rapport door de Internationale Wetenschapsraad.

In een artikel dat hij in de jaren negentig schreef, en die werd ingediend voor publicatie in de Mededelingen van de American Mathematical Society maar nooit gepubliceerd, stelde Kirby dat deze sombere cijfers niet het resultaat waren van enige vooringenomenheid in het veld. “Naar mijn mening is het kleinere aantal vrouwen in wiskunde niet te wijten aan discriminatie door mannen, noch aan enige inherente inferioriteit bij vrouwen, maar eerder aan het simpele feit dat meer mannen dan vrouwen ervoor kiezen om wiskunde te studeren”, schreef Kirby.

Voor veel wiskundigen is de realiteit dat er maar weinig vrouwen het vakgebied betreden allesbehalve een simpel feit. “Er zijn aanwijzingen dat hier sprake is van een feedbackeffect: omdat er zo weinig vrouwelijke professoren zijn, kunnen vrouwelijke studenten geen duidelijk carrièrepad in de wiskunde zien, dus besluiten ze geen doctoraat te volgen.” schreven vier vooraanstaande vrouwelijke wiskundigen in 2022 in de Times Higher Education-supplement. Zoals het rapport van de International Science Council stelt, na analyse van een dataset van honderdduizenden gepubliceerde wiskundige artikelen, “moeten verschillende structurele en systemische factoren de carrières van vrouwelijke wiskundigen op een andere manier hebben beïnvloed dan die van mannen.”

Kirby's opvattingen zijn algemeen bekend binnen de laagdimensionale topologiegemeenschap. Ik vroeg Kirby of hij dacht dat dit het voor vrouwen moeilijker maakte om deel te nemen aan situaties zoals de recente conferentie waar hij een prominente rol speelde. Hij zei dat hij het niet wist, omdat, met uitzondering van één wiskundige, niemand er ooit bij hem over was begonnen.

Ray, die werkzaam is als gendergelijkheidsfunctionaris bij het Max Planck Instituut, zei: “Ik denk niet dat dit het gevoel van de conferentie heeft bepaald. Ik denk wel dat het bepaalt hoe hij wordt gezien op het gebied van de wiskunde, maar ik denk dat we in het algemeen de wiskunde scheiden van de wiskundige.”

Een gemeenschappelijke inspanning

Net als na K1 ontwikkelde de laagdimensionale topologie zich snel na de release van K2. Een belangrijke ontwikkeling was de uitwerking van de Seiberg-Witten-theorie, die ideeën uit de natuurkunde gebruikte om onderscheid te maken tussen vierdimensionale spruitstukken. Tegen het einde van de jaren 2000 was de Kirby-lijst klaar om opnieuw te worden bijgewerkt.

“Het punt is dat het veld sinds de jaren negentig veel groter is geworden, het is enorm geworden”, zei Baykur.

Deze keer kwam de aanzet voor het creëren van een nieuwe lijst van Ruberman en Baykur. Ze begonnen rond 2013 met het verzamelen van problemen. Maar tussen hun andere verplichtingen en de pandemie door, slaagden ze er pas in oktober 2023 in om een ​​groep topologen bijeen te brengen voor een persoonlijke ontmoeting. Ze wilden dat de derde versie van de lijst meer een gezamenlijke inspanning zou zijn.

"De oorspronkelijke lijst was geweldig, ik ben zo blij dat hij er was, maar dit nieuwe format is lovenswaardig omdat het dat wat opener maakt," zei Ray.

Eind 2022 voegde Kirby zich bij Baykur en Ruberman als medeorganisator van de conferentie. Ze nodigden experts uit op de belangrijkste gebieden van de laagdimensionale topologie – overeenkomend met dezelfde structuur van vijf hoofdstukken die Kirby in eerdere versies van de lijst had gebruikt – maar probeerden te voorkomen dat er zoveel specialisten werden uitgenodigd dat niemand iets met iemand anders gemeen had.

Baykur en Ruberman deden het grootste deel van de organisatie, terwijl Kirby meer een titulaire rol op zich nam.

'Het lijkt een beetje op de baby van Rob, weet je, alsof hij emotioneel de leiding heeft. Maar Danny en Inanç verzorgden alle logistiek”, aldus Miller.

Op maandag 30 oktober begon de groep te werken aan de K3-lijst (zoals deze om voor de hand liggende redenen werd genoemd en ook met betrekking tot K3-oppervlakken, die belangrijke objecten zijn in de topologie).

De lijst weerspiegelde de manieren waarop de laagdimensionale topologie sinds K2 was gegroeid. Begin jaren negentig leidde het werk van Andreas Floer tot nieuwe methoden voor het sorteren van driedimensionale spruitstukken. Tegen het einde van dat decennium waren die methoden uitgegroeid tot een heel onderzoeksgebied, de Heegaard Floer-homologie, en binnen dat gebied zijn er nu een aantal verschillende benaderingen om variëteiten te onderscheiden. Deze benaderingen zouden allemaal consistent met elkaar moeten zijn, maar het is niet zeker of dit het geval is, en K1990 zal vragen bevatten die tot doel hebben de zaak op te lossen.

Kirby sloeg zijn kamp op in de grote collegezaal waar de wiskundigen elke ochtend bijeenkwamen, waarbij ze de brainstormsessies meestal vermeden. Op dinsdagochtend Dave Gabai van de Universiteit van Princeton gaf een lezing voor de hele groep over verbanden tussen het vermoeden van Schoenflies en het vermoeden van Poincaré, misschien wel de twee belangrijkste open problemen in een gladde vierdimensionale topologie.

Het vermoeden van Schoenflies heeft een soortgelijke smaak als het vermoeden van de annulus waar Kirby in de jaren zestig aan werkte. Het voorspelt dat als twee bollen één dimensie verschillen (zoals een cirkel versus het oppervlak van een bal), en je de lager-dimensionale (de cirkel) inbedt in de hoger-dimensionale (het oppervlak van een bal), de eerste snijdt deze laatste altijd in het equivalent van twee ballen. Dit is duidelijk waar als je een cirkel op een wereldbol etst (alsof je de evenaar wilt vormen), maar net als bij het annulus-vermoeden is dit minder duidelijk waar in hogere dimensies.

Kirby vond Gabai daarna, en de twee praatten urenlang over de implicaties van Gabai's toespraak. Op andere momenten in de week besteedde Kirby tijd aan het e-mailen van zijn uitgebreide netwerk in de wiskundegemeenschap voor bijdragen aan de lijst.

"In sommige opzichten leek het nogal op wat hij in de vorige lijsten had gedaan," zei Ruberman. 'Hij kwam niet zo vaak in de kamers. [Hij] e-mailde mensen en zei: 'Iemand in de werkplaats zei dit, wat vind je daarvan?'

De oorlogskamer

Op de laatste twee dagen van de conferentie vroegen Baykur en Ruberman de aanwezigen om de problemen die ze hadden verzameld op te schrijven. Het voelde als een oorlogskamer, terwijl de wiskundigen zich haastten om samenvattingen te schrijven van de problemen die ze hadden opgelost voordat ze naar huis vlogen.

"Het voelde echt alsof je op de universiteit zit en de volgende dag huiswerk moet inleveren, en iedereen in de klas in een kamer zit, en het is twee uur 's nachts," zei Miller.

Een gedeeld document waarin de wiskundigen de lijst aan het samenstellen waren, was donderdagochtend vrijwel leeg, maar groeide snel doordat tientallen wiskundigen tegelijk aan het redigeren waren. Vrijdag was de lijst met problemen meer dan 250 pagina's lang. De wervelende ervaring was bijna onherkenbaar vergeleken met Kirby's twee eerdere inspanningen.

“Ik voelde me oud in de zin dat ik, toen ik K2 deed, dat over een periode van twee tot drie jaar deed. Ik ging met iemand om de tafel zitten en we schreven samen het probleem op,' zei Kirby. “Met K3 was ik slechts bij een bescheiden aantal problemen betrokken.”

Baykur en Ruberman hopen tegen het einde van het jaar een lijst van zo'n 400 problemen te publiceren, na herzieningen en aanvullingen van topologen die niet bij de bijeenkomst in Pasadena waren. Baykur, Ruberman en de andere redacteuren debatteren nog steeds over hoe vaak ze de lijst moeten bijwerken. Ze zouden de houdbaarheid van K3 kunnen verlengen door een online versie actueel te houden, maar zien daar nadelen in. De eerste twee lijsten, zei Baykur, “waren historische documenten en het was uiterst informatief om te zien hoe ze in de jaren zeventig en negentig naar de dingen keken, en hoe ze over wiskunde dachten. Ik wilde een soortgelijk eigentijds document hebben.”