우리는 수학을 순전히 논리적인 것으로 생각하는 경향이 있지만 수학의 교육, 가치, 유용성 및 작동 방식에는 미묘한 차이가 있습니다. 그렇다면 "좋은" 수학이란 무엇일까요? 2007년에 수학자 테렌스 타오 에 대한 에세이를 썼습니다. 미국수학회 회보 이 질문에 답하려고 노력한 것입니다. 오늘날 필즈상, 수학 혁신상, 맥아더 펠로우십(MacArthur Fellowship)을 받은 타오는 현존하는 가장 명예롭고 많은 작품을 남긴 수학자 중 한 명입니다. 이번 에피소드에서 그는 진행자이자 동료 수학자와 합류합니다. 스티븐 스트로 가츠 좋은 수학의 구성을 다시 살펴보는 것입니다.

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성적 증명서

스티븐 스트로가츠: 2007년 XNUMX월, XNUMX세대 아이폰이 여전히 뜨거운 상품이었고 대공황 이전 주식 시장이 사상 최고치에 달했을 때, UCLA의 수학 교수인 테렌스 타오(Terence Tao)는 다음과 같은 질문에 대답하기로 결심했습니다. 수학자 사이에서 오랫동안 논의되어 온 질문: 좋은 수학이란 정확히 무엇인가?

엄격함에 관한 것입니까? 우아? 실제 유틸리티? Terry는 수학이 좋을 수 있는 모든 방법에 대해 매우 사려 깊고 관대하며 마음이 열린 에세이를 썼습니다. 하지만 15년 이상이 지난 지금, 우리는 좋은 수학이 무엇인지 다시 생각해 볼 필요가 있을까요?

저는 Steve Strogatz입니다. 이것은 'The Joy of Why'라는 팟캐스트입니다. Quanta Magazine 공동 진행자인 Janna Levin과 저는 오늘날 수학과 과학에서 답이 없는 가장 큰 질문을 차례로 탐구하는 곳입니다.

(테마극)

오늘 여기에서 무엇이 수학을 좋게 만드는가에 대한 영원한 질문을 재검토하기 위해 Terry Tao 자신이 왔습니다. Tao 교수는 조화 분석, 편미분 방정식, 조합론, 정수론, 데이터 과학, 확률 행렬 등을 포함하여 놀랍도록 광범위한 수학 분야에 대한 300개 이상의 연구 논문을 작성했습니다. 그는 '수학의 모차르트'로 불린다. 그리고 필즈상, 수학 혁신상, MacArthur Fellowship 및 기타 여러 상을 수상한 사람으로서 그 이름은 확실히 합당한 것입니다.

테리님, 'The Joy of Why'에 오신 것을 환영합니다.

테렌스 타오: 여기 오시게 되어 반갑습니다.

스트로가츠: 어떤 유형의 수학적 연구를 좋게 만드는 것이 무엇인지에 대한 질문에 관해 여러분과 이야기할 수 있게 되어 매우 기쁩니다. 꽤 생생하게 넘기던 기억이 나네요. 미국 수학 학회 게시판 2007년에 다시 와서 이 문제에 대한 당신의 에세이 당신이 우리를 위해 포즈를 취한 것입니다. 그것은 모든 수학자들이 생각하는 것입니다. 하지만 그다지 익숙하지 않은 분들을 위해 이 질문에 어떻게 답하게 되셨는지 말씀해 주시겠어요? 그 당시 좋은 수학을 어떻게 정의하셨나요?

TAO: 그렇죠, 그렇죠. 실제로는 권유였습니다. 그래서 그 편집자는 회보 당시 나에게 기사를 기고해달라고 요청했습니다. 저는 학생 시절 수학이 무엇인지에 대해 매우 순진한 생각을 갖고 있었던 것 같습니다. 나는 사람들이 작업할 문제를 나눠주는 일종의 그레이비어드 협의회가 있다는 생각을 가지고 있었습니다. 대학원생인 저에게는 실제로 문제를 전달할 수 있는 중앙 권한이 없고 사람들이 자기주도적으로 연구를 한다는 사실을 깨닫고 충격을 받았습니다.

나는 계속해서 다른 수학자들이 자신이 흥미로워하는 것과 수학에 대해 흥미를 갖게 만드는 것이 무엇인지, 그리고 각 수학자마다 수학에 접근하는 방법이 다르다는 사실에 대해 어떻게 이야기하는지 듣고 들었습니다. 예를 들어, 일부는 일종의 미적 아름다움을 추구하고 일부는 단지 문제 해결을 통해 응용을 추구합니다. 그들은 문제를 해결하고 싶었고 가장 어렵고 가장 어려운 작업에 집중했습니다. 일부는 기술에 중점을 둡니다. 어떤 사람들은 가능한 한 우아하게 물건을 만들려고 노력할 것입니다.

하지만 수많은 수학자들이 수학에서 가치 있다고 생각하는 것에 대해 이야기하는 것을 듣고 놀랐던 점은 좋은 수학이 어떤 모습이어야 하는지에 대해 우리 모두가 서로 다른 이상을 갖고 있음에도 불구하고 그들은 모두 다음과 같은 경향이 있다는 것입니다. 같은 것으로 수렴합니다.

수학의 한 조각이 정말로 좋다면, 아름다움을 추구하는 사람들은 결국 그것을 건너게 될 것입니다. 기술적인 힘이나 응용을 추구하고 가치 있게 여기는 사람들은 결국에는 그것에 도달하게 될 것입니다.

유진 위그너 에 관한 매우 유명한 에세이가 있었습니다. 수학의 불합리한 효율성 거의 100년 전 물리학에서 그는 수학 분야가 있다는 것을 관찰했습니다. 예를 들어 리만 기하학, 곡선 공간 연구 등은 처음에는 수학자들을 위한 순전히 이론적 연습에 불과했습니다. 평행 공준 등은 아인슈타인, 푸앵카레, 힐베르트가 일반 상대성 이론의 수학을 설명하는 데 꼭 필요한 것으로 밝혀졌습니다. 그리고 그것은 단지 발생하는 현상입니다.

따라서 수학자들이 지적으로 흥미롭다고 생각하는 것이 결국 물리적으로 중요해지는 것은 수학만이 아닙니다. 그러나 수학 내에서도 수학자들이 우아하다고 생각하는 주제들은 깊은 통찰력을 제공하기도 합니다.

제가 느끼는 것은 거기에는 플라톤적인 좋은 수학이 있고 우리의 모든 다른 가치 체계는 객관적인 좋은 것에 접근하는 다른 방법일 뿐이라는 것입니다.

스트로가츠: 정말 흥미롭네요. 나 자신도 플라토닉 사고에 관심이 있는 사람이기 때문에 동의하고 싶습니다. 그런 말을 듣고 조금 놀랐지만, 처음에는 어디로 가는지 알았을 테니까, 이 부분에 대해서는 다양한 관점이 있을 것 같아요. 하지만 당신이 말했듯이 우리는 매우 다양한 가치에서 접근함에도 불구하고 무엇이 좋고 좋지 않은지에 대해 동의하는 데 수렴한다는 것은 일종의 경험적 사실이라는 흥미로운 사실입니다.

TAO: 오른쪽. 수렴에는 시간이 걸릴 수 있습니다. 예를 들어, 하나의 측정항목으로 측정했을 때 다른 측정항목보다 훨씬 더 좋아 보이는 필드가 분명히 있습니다. 아마도 응용 프로그램은 많지만 프레젠테이션은 극도로 역겹습니다.

(스트로가츠 웃음)

또는 매우 우아하지만 아직 현실 세계에서 좋은 응용 프로그램이 많지 않은 것입니다. 하지만 결국에는 수렴될 것 같은 느낌이 듭니다.

스트로가츠: 그럼, 현실세계와의 접점에 대해 여쭤보겠습니다. 수학에서 흥미로운 긴장감입니다. 그리고 아시다시피, 어린 아이들로서 우리가 처음 기하학을 배울 때 그 시점에서 삼각형이 진짜이거나 원이나 직선이 진짜이고 그것들을 통해 여러분이 보는 직사각형 모양에 대해 알 수 있다고 생각할 수도 있습니다. 전 세계의 건물에서 또는 측량사가 기하학을 사용해야 하는 경우. 그리고 결국 그 단어는 지구의 측정, 즉 "기하학"에서 유래되었습니다. 그래서 기하학이 경험적이었던 때가 있었습니다.

그런데 제가 묻고 싶었던 것은 다음과 같은 댓글과 관련이 있습니다. 존 폰 노이만 만들어진. 그래서 잘 모르는 사람에게 폰 노이만은 그 자체로 위대한 수학자였습니다. 그리고 그는 이 에세이에서 이런 논평을 했습니다.수학자,”는 수학과 경험적 세계, 현실 세계의 관계에 대해 대략적으로 수학적 아이디어는 경험적 경험에서 비롯되지만 어느 시점에서 일단 수학적 아이디어를 얻으면 주제가 자신의 삶을 살기 시작한다고 대략적으로 말합니다. 소유하다. 그리고 그것은 창의적인 예술 작품에 가깝습니다. 미적 기준이 중요해집니다. 그러나 그는 그것이 위험을 초래한다고 말합니다. 피험자가 특히 2세대 또는 3세대에서와 같이 경험적 소스에서 너무 멀리 떨어지기 시작하면 피험자가 너무 많은 추상적인 근친교배로 고통받을 가능성이 있고 퇴화의 위험에 처할 가능성이 있다고 그는 말합니다.

그것에 대해 어떤 생각이 있나요? 내 말은, 수학은 경험적 원천과 계속 접촉해야 한다는 건가요?

타오: 네, 근거가 있어야 한다고 생각합니다. 제가 경험적으로 수학을 수행하는 이러한 모든 다양한 방법이 수렴된다고 말할 때, 이는 단지 대상이 건강할 때만 발생하기 때문입니다. 아시다시피 좋은 소식은 일반적으로 그렇습니다.

그러나 예를 들어 수학자들은 긴 증명보다 짧은 증명을 더 중요하게 생각합니다. 다른 모든 조건은 동일합니다. 그러나 사람들이 수학의 한 하위 분야에서 가능한 한 짧은 증명을 만들고 심오한 정리에 대한 매우 불투명한 두 줄 증명을 갖는 데 집착하는 것을 상상할 수 있습니다. 그리고 그들은 그것을 일종의 경쟁으로 만들었습니다. 그러면 그것은 일종의 난해한 게임이 되고 그러면 여러분은 모든 직관을 잃게 됩니다. 당신은 모든 증거를 가능한 한 짧게 만드는 데 너무 집착하기 때문에 더 깊은 이해를 잃을 수도 있습니다. 이제 실제로는 이런 일이 발생하지 않습니다. 하지만 이것은 일종의 이론적인 예이고, 폰 노이만도 비슷한 주장을 했다고 생각합니다.

그리고 60년대와 70년대에는 추상화가 이전에는 매우 경험적이었던 많은 수학을 단순화하고 통합하는 데 큰 진전을 이루었던 수학 시대가 있었습니다. 특히 대수학에서 사람들은 이전에 별도로 취급되었던 숫자와 다항식 및 기타 많은 객체를 모두 동일한 대수학 클래스(이 경우에는 고리)의 구성원으로 생각할 수 있다는 것을 깨달았습니다.

그리고 수학에서는 위상 공간이든 벡터 공간이든 올바른 추상화를 찾고 일반론적으로 정리를 증명함으로써 많은 발전이 이루어졌습니다. 그리고 이것은 때로 우리가 수학에서 부르바키 시대(Bourbaki era)라고 부르는 시기이기도 합니다. 그리고 그것은 접지된 것에서 조금 너무 멀리 방향을 틀었습니다.

물론 우리는 교육자들이 시도한 미국의 New Math 에피소드 전체를 보았습니다. 부르바키 스타일로 수학을 가르치다 그리고 결국에는 그것이 그 수준에서는 적절한 교육학이 아니라는 것을 깨달았습니다.

하지만 이제 진자는 꽤 많이 뒤로 돌아갔습니다. 우리는 주제가 꽤 성숙해졌고 수학, 기하학, 토폴로지 등 모든 분야에서 만족스러운 형식화를 갖고 있고 올바른 추상화가 무엇인지 알고 있습니다. 그리고 이제 이 분야는 다시 상호 연결과 애플리케이션에 초점을 맞추고 있습니다. 이제 현실 세계와 훨씬 더 많이 연결되고 있습니다.

내 말은, 전통적인 연결인 일종의 물리학뿐만 아니라 컴퓨터 과학, 생명 과학, 사회 과학도 마찬가지라는 것입니다. 빅 데이터의 등장으로 인간의 거의 모든 학문이 어느 정도 수학화될 수 있게 되었습니다.

스트로가츠: 저는 당신이 조금 전에 "상호연결"에 관해 사용했던 단어에 매우 관심이 있습니다. 왜냐하면 그것이 우리가 논의할 중심점처럼 보이기 때문입니다. 당신이 에세이에서 우아함이나 실제 적용 등에 대한 "지역적" 기준이라고 부르는 것과 함께 좋은 수학의 "글로벌" 측면을 언급한 것이 있습니다. 좋은 수학은 다른 것과 연결된다는 것입니다. 좋은 수학.

이것이 좋은 점의 핵심이며, 다른 부품과 통합되어 있다는 점입니다. 그러나 그것은 순환논리와 거의 비슷하게 들리기 때문에 흥미롭습니다. 좋은 수학은 다른 좋은 수학과 연결되는 수학이라는 것입니다. 하지만 이것은 정말 강력한 아이디어입니다. 좀 더 확장해 주실 수 있는지 궁금합니다.

TAO: 네, 그러니까 수학이 무엇인지에 관한 것입니다. 수학이 하는 일 중 하나는 매우 기본적이고 근본적인 연결을 만드는 것입니다. 그러나 표면 수준에서 보면 명확하지 않습니다. 이것의 아주 초기 예는 기하학(점과 선, 공간 객체에 대한 연구)과 숫자, 대수학 사이의 근본적인 연결을 만든 데카르트의 데카르트 좌표 발명입니다.

예를 들어 원은 기하학적 객체로 생각할 수도 있지만 방정식으로 생각할 수도 있습니다. x² + y² = 1은 원의 방정식이다. 당시로서는 매우 혁명적인 연결이었습니다. 고대 그리스인들은 정수론과 기하학을 거의 완전히 분리된 주제로 여겼습니다.

하지만 데카르트에게는 이런 근본적인 연관성이 있었습니다. 이제 그것은 내면화되었습니다. 우리가 수학을 가르치는 방식이죠. 기하학적 문제가 있으면 숫자로 공격한다는 것은 더 이상 놀라운 일이 아닙니다. 혹은 숫자에 문제가 있다면 기하학으로 공격할 수도 있습니다.

기하학과 숫자가 모두 동일한 수학적 개념의 측면이기 때문입니다. 우리는 대수기하학이라는 전체 분야를 가지고 있습니다. 이는 대수학도 기하학도 아니지만 선, 원 등과 같은 기하학적 형태나 방정식으로 생각할 수 있는 객체를 연구하는 통일된 과목입니다.

하지만 실제로는 우리가 연구하는 것은 두 가지의 전체적인 결합입니다. 그리고 주제가 깊어짐에 따라 우리는 그것이 어떤 면에서는 대수학이나 기하학을 별도로 다루는 것보다 더 근본적이라는 것을 깨달았습니다. 따라서 이러한 연결은 처음에는 경험적 연구가 주제의 한 부분만을 제공하는 일종의 실제 수학을 발견하는 데 도움이 됩니다.

코끼리에 관한 유명한 비유가 있습니다. 어디서인지는 기억나지 않습니다. 네 명의 맹인이 있는데 그들은 코끼리를 발견합니다. 그리고 그들 중 한 명은 코끼리의 다리를 만져보고는 이렇게 생각합니다. “아, 이거 정말 거칠다. 나무 같은 게 틀림없어요.”

그들 중 한 명이 코를 만져보고, 시간이 많이 지나서야 그들은 각자의 가설을 모두 설명하는 코끼리 개체 하나가 있다는 것을 알게 되었습니다. 네, 그래서 처음에는 우리 모두가 장님입니다. 우리는 단지 플라톤의 동굴에 드리워진 그림자를 지켜보고 있다가 나중에서야 깨닫습니다.

스트로가츠: 와, 당신은 매우 철학적이네요. 이것은 뭔가입니다. 나는 지금 저항할 수 없다. 만약 당신이 코끼리와 시각 장애인에 대해 이야기하기 시작한다면, 이는 수학이 저 너머에 있다고 생각한다는 것을 암시한다. 수학은 코끼리와 같은 것이고 우리는 시각 장애인이라고… 아니면, 당신은 아시다시피, 우리는 인간과 별개로 존재하는 것을 보려고 노력하고 있습니다. 정말 그게 당신이 믿는 바인가요?

TAO: 좋은 수학을 할 때, 그것은 단지 기호를 밀어넣는 것이 아닙니다. 이해하려고 하는 실제 대상이 있는 것처럼 느껴지며 우리가 가지고 있는 모든 방정식은 그에 대한 일종의 근사치 또는 그림자일 뿐입니다.

실제로 현실이 무엇인지에 대한 철학적 요점 등에 대해 토론할 수 있습니다. 내 말은, 이것들은 실제로 만질 수 있는 것이고, 수학적으로 더 실제적인 것이 될수록 때로는 덜 물리적인 것처럼 보입니다. 당신이 말했듯이, 기하학은 처음에는 물리적 공간에 있는 물체에 대한 매우 실질적인 것이었습니다. 실제로 원과 정사각형 등을 만들 수 있습니다.

하지만 현대 기하학에서는 더 높은 차원에서 작업합니다. 우리는 이산적인 기하학, 모든 종류의 이상한 토폴로지에 대해 이야기할 수 있습니다. 그리고 내 말은, 더 이상 측정할 수 있는 지구가 없더라도 그 주제는 여전히 기하학이라고 부를 자격이 있다는 것입니다. 고대 그리스 어원은 매우 시대에 뒤떨어진 것이지만, 분명히 거기에 뭔가가 있습니다. 여부 - 얼마나 실제라고 부르고 싶은지. 하지만 요점은 실제로 수학을 할 목적으로 그것이 진짜라고 믿는 것이 도움이 된다는 것 같아요.

스트로가츠: 응, 그거 흥미롭지 않아? 그렇습니다. 그것은 수학의 역사에서 매우 깊은 내용인 것 같습니다. 나는 아르키메데스가 그의 친구, 적어도 동료인 에라토스테네스에게 쓴 에세이를 읽고 충격을 받았습니다.

우리는 지금 기원전 250년에 이야기하고 있습니다. 그리고 그는 우리가 포물선의 부분이라고 부르는 영역을 찾는 방법을 발견했다고 말했습니다. 그는 포물선을 선택하고 포물선의 축에 대해 비스듬한 각도를 이루는 선분으로 그것을 가로질러 자르고 이 면적을 알아냅니다. 그는 매우 아름다운 결과를 얻습니다. 그러나 그는 에라토스테네스에게 "이러한 결과는 모든 수치에 내재되어 있었습니다."라고 말했습니다. 아시다시피 그들은 거기에 있습니다. 거기 있어요. 그들은 단지 그가 찾기를 기다리고 있을 뿐입니다.

그가 창조한 것과는 다릅니다. 시와는 다릅니다. 내 말은, 사실은 흥미롭지 않나요? 많은 위대한 예술가들 - 미켈란젤로가 돌에서 조각상을 떼어내는 것에 대해 이야기했습니다. 마치 그것이 처음부터 거기에 있었던 것처럼 말입니다. 그리고 그것은 당신과 다른 많은 위대한 수학자들이 말한 것처럼 들립니다. 당신이 말했듯이, 이 아이디어를 믿는 것은 매우 유용합니다. 그것이 우리를 기다리고 있고, 올바른 마음이 그것을 발견하기를 기다리고 있습니다.

TAO: 오른쪽. 글쎄요, 제 생각에 그 한 가지 표현은 처음 발견했을 때 설명하기 매우 복잡한 아이디어가 단순화된다는 것입니다. 내 말은, 뭔가가 처음에 매우 깊거나 어려워 보이는 이유는 올바른 표기법이 없기 때문인 경우가 많다는 것입니다.

예를 들어, 이제 숫자를 조작할 수 있는 십진수 표기법이 있는데 이는 매우 편리합니다. 하지만 과거에는 로마 숫자 같은 것이 있었고 수학을 하고 싶을 때 사용하기 정말 어려운 훨씬 더 원시적인 숫자 체계도 있었습니다.

유클리드의 요소, 아시다시피 — 이 고대 텍스트의 일부 주장입니다. 예를 들어, 유클리드의 정리에는 하나의 정리가 있습니다. 요소 내 생각에는 바보의 다리(Bridge of Fools)라 불리는 것 같아요. 그것은 마치 이등변삼각형과 같고 두 밑각이 같다는 진술과 같습니다. 예를 들어, 이것은 올바른 공리를 사용하는 현대 기하학적 텍스트의 두 줄 증명과 같습니다. 하지만 유클리드는 이렇게 끔찍한 방법을 사용했습니다. 그리고 고전시대 기하학을 전공하는 많은 학생들이 수학을 완전히 포기한 곳도 바로 여기였습니다.

스트로가츠: 진실. (웃음)

TAO: 하지만 이제 우리는 훨씬 더 나은 방법을 갖게 되었습니다. 우리가 수학에서 보는 복잡한 문제는 우리 자신의 한계로 인한 인공물인 경우가 많습니다. 그리고 우리가 성숙해지면 상황이 더 단순해집니다. 그리고 그 때문에 더 현실감이 느껴집니다. 우리는 유물을 볼 수 없습니다. 우리는 본질을 보고 있습니다.

스트로가츠: 글쎄요, 당신의 에세이로 돌아가서: 당신이 그것을 썼을 당시, 제 말은, 이것은 당신의 경력의 꽤 초기 단계였으며, 아주 시작은 아니지만 여전히 그렇습니다. 그때 왜 좋은 수학이 무엇인지 정의하는 것이 중요하다고 느꼈나요?

TAO: 제 생각에는... 그래서 그 시점에서 저는 이미 대학원생들에게 조언을 하기 시작했고, 무엇이 좋고 무엇이 좋지 않은지에 대한 일종의 오해가 있다는 것을 알아차렸습니다. 그리고 다양한 분야의 수학자들과 이야기를 나누다 보니 수학에서 자신이 중요하게 여기는 분야가 남들과 다른 것 같았습니다. 그런데 어째서인지 우리는 모두 같은 주제를 공부하고 있었습니다.

그리고 때때로 누군가가 "이 수학은 적용할 수 없으므로 가치가 없습니다."와 같이 나를 잘못된 방향으로 몰아가는 말을 하곤 했습니다. 또는 “이 증명은 너무 복잡합니다. 그러므로 그것은 가치가 없습니다.” 또는 반대로 “이 증명은 너무 간단합니다. 그러므로 가치가 없다… 일종의 속물 근성 같은 것들이 있었는데, 가끔 접하곤 했어요.

그리고 내 경험상 최고의 수학은 내가 다른 분야의 누군가와 수학에 대해 다른 관점, 즉 다른 방식으로 생각하는 것을 이해하고 그것을 내가 관심 있는 문제에 적용할 때 찾아왔습니다. 그래서 수학을 적절하게 사용하는 방법, 수학을 사용하는 방법에 대한 나의 경험은 이러한 것과는 매우 달랐습니다. 일종의 "수학을 수행하는 진정한 방법"이었습니다.

나는 이 점이 어떻게든 이루어져야 한다고 느꼈다. 수학을 수행하는 데에는 실제로 다양한 방법이 있지만 수학은 여전히 ​​통합되어 있습니다.

스트로가츠: 그건 매우 시사하는 바가 큽니다. 제 서문에서 여러분이 탐구한 수학의 다양한 분야에 대해 언급했는데 일부는 포함하지도 않았기 때문입니다. 예를 들어, 저는 불과 몇 년 전에 유체 역학의 미스터리, 즉 우리가 생각하는 특정 방정식이 물과 공기의 운동을 근사화하는 데 적합한지에 대한 귀하의 연구를 기억합니다. 너무 자세히 설명하고 싶지는 않지만, 간단히 말하자면, 사람들은 당신이 정수론이나 조화 분석을 한다고 생각하는데, 갑자기 유체 역학 문제를 연구하고 있는 것 같습니다. 내 말은, 나는 이것이 편미분 방정식이라는 것을 알고 있습니다. 하지만 여전히, 당신의 관심의 폭은 좋은 수학을 수행하는 다양한 방법에서 나온 다양한 통찰력, 다양한 가치 있는 아이디어를 받아들이는 폭과 관련이 있는 것 같습니다.

TAO: 누가 말했는지는 기억나지 않지만 수학자에는 두 종류가 있습니다. 고슴도치와 여우도 있어요. 여우는 모든 것에 대해 조금 아는 사람입니다. 고슴도치는 한 가지를 아주 잘 아는 생물입니다. 그리고 어느 쪽도 다른 쪽보다 낫지 않습니다. 그들은 서로를 보완합니다. 내 말은, 수학에서는 한 하위 분야에 대해 깊이 있는 도메인 전문가가 필요하고, 그들은 주제를 철저하게 알고 있는 사람들이 필요하다는 것입니다. 그리고 한 분야와 다른 분야 사이의 연결을 볼 수 있는 사람들이 필요합니다. 그래서 나는 확실히 여우라고 생각하지만 많은 고슴도치와 함께 일합니다. 내가 가장 자랑스러워하는 작업은 종종 그런 협업이다.

스트로가츠: 오 예. 그들은 자신들이 고슴도치라는 것을 알고 있나요?

TAO: 음, 알겠습니다. 역할은 시간이 지남에 따라 변합니다. 예를 들어, 내가 고슴도치이고 다른 누군가가 여우인 다른 콜라보레이션도 있습니다. 이것들은 일종의 영구적이지 않습니다. 아시다시피, 이것들은 여러분의 DNA에 없습니다.

스트로가츠: 아, 좋은 지적이네요. 우리는 채택할 수 있습니다. 두 망토를 모두 입을 수 있습니다.

그렇다면 당시 에세이에 대한 반응은 어땠나요? 사람들이 당신에게 뭐라고 대답했나요?

TAO: 전반적으로 상당히 긍정적인 반응을 얻었습니다. 내 말은, AMS 게시판 내 생각에 이 책은 엄청나게 널리 유포되는 출판물은 아니다. 그리고 또한 저는 너무 논란의 여지가 있는 말을 하지 않았습니다. 또한 이런 종류의 소셜 미디어는 이미 존재하기 때문에 이를 포착한 수학 블로그가 몇 군데 있을 것 같지만 트위터는 없었습니다. 입소문이 날 만한 것은 아무것도 없었습니다.

네, 제 생각에는 일반적으로 수학자들은 추측에 많은 시간과 지적 자본을 투자하지 않습니다. 내 말은, 또 다른 수학자라는 사람이 있다는 거야 김민형 그는 수학자에게 신뢰성은 통화, 돈과 같다는 아주 좋은 비유를 했습니다. 정리를 증명하고 주제를 알고 있음을 입증한다면 어떻게든 은행에 이러한 신뢰의 화폐를 축적하게 됩니다. 그리고 충분한 화폐가 있으면 철학적으로 말하고 실제로 증명할 수 있는 것보다 사실일 수 있는 것을 말함으로써 약간의 추측을 할 여유가 있습니다.

그러나 우리는 보수적인 경향이 있으며 은행 계좌에 초과인출이 발생하는 것을 원하지 않습니다. 아시다시피, 대부분의 글이 추측에 불과하고 실제로 무언가를 증명하기 위해 1%만 사용하는 것을 원하지 않습니다.

스트로가츠: 그럴 수 있지. 그럼요. 그래서 그로부터 많은 세월이 흘렀습니다. 우리는 무엇에 대해 이야기하고 있습니까? 15년이 넘었습니다.

TAO: 아, 시간이 참 빠르네요.

스트로가츠: 생각이 바뀌었나요? 우리가 수정해야 할 것이 있나요?

TAO: 글쎄요, 수학의 문화가 꽤 바뀌고 있어요. 나는 이미 수학에 대해 폭넓은 시각을 가지고 있었고, 이제는 훨씬 더 넓은 시각을 갖게 되었습니다.

매우 구체적인 예 중 하나는 다음과 같습니다. 컴퓨터를 이용한 증명은 2007년에도 여전히 논란이 되었습니다. 케플러 추측이라는 유명한 추측이 있었는데, 이는 XNUMX차원 공간에서 단위 공을 채우는 가장 효율적인 방법에 관한 것입니다. 그리고 표준 패킹이 있습니다. 제 생각에는 큐빅 중앙 패킹이라고 불리는 것 같은데, 케플러가 가능한 최고라고 추측한 것입니다.

드디어 해결되었으나, 증명은 컴퓨터의 도움을 많이 받았습니다. 꽤 복잡했고, [토마스] 헤일즈결국 실제로 이 특정 증거를 공식적으로 검증하기 위해 전체 컴퓨터 언어를 만들었지만 수년 동안 실제 증거로 받아들여지지 않았습니다. 그러나 이는 검증을 위해 컴퓨터 지원이 필요하다는 증명 개념이 얼마나 논란의 여지가 있는지를 보여주었습니다.

그 이후로 인간이 복잡한 문제를 여전히 컴퓨터가 검증해야 하는 문제로 줄일 수 있는 증명의 예가 많이 있었습니다. 그러면 컴퓨터가 계속해서 이를 확인합니다. 우리는 이를 책임감 있게 수행하는 방법에 대한 관행을 개발했습니다. 코드와 데이터를 게시하는 방법, 확인하는 방법, 새로운 오픈 소스 등을 알 수 있습니다. 그리고 지금은 컴퓨터를 이용한 증명이 널리 받아들여지고 있습니다.

이제 내 생각에 다음 문화적 변화는 AI가 생성한 증거가 허용되는지 여부. 현재 AI 도구는 수학 문제를 실제로 발전시키기 위한 증거를 생성할 수 있는 수준에 있지 않습니다. 어쩌면 학부 수준의 숙제는 어느 정도 관리할 수 있지만 수학을 연구하는 것은 아직 그 수준에 이르지 못했습니다. 하지만 어느 시점에는 AI 지원 논문이 나오고 논쟁이 벌어지게 될 것입니다.

우리 문화가 어떤 면에서 변화한 방식... 2007년에는 소수의 수학자만이 출판 전에 사전 인쇄본을 공개했습니다. 저자들은 저널로부터 승인 통지를 받을 때까지 자신의 사전 인쇄본을 열심히 보관했습니다. 그리고 그들은 공유할 수도 있습니다.

하지만 이제는 모두가 서류를 올려 arXiv와 같은 공개 서버. 논문의 아이디어가 어디서 나오는지에 대한 비디오와 블로그 게시물을 게시하는 데 훨씬 더 개방성이 있습니다. 사람들은 이것이 일을 더욱 영향력 있고 영향력있게 만드는 것임을 깨닫기 때문입니다. 당신이 당신의 작업을 공개하지 않고 그것에 대해 매우 비밀스럽게 노력한다면 그것은 큰 화제를 일으키지 않습니다.

수학이 되었다 훨씬 더 협력적. 50년 전에는 수학 논문의 대부분이 단일 저자였다고 말하고 싶습니다. 이제 확실히 대다수는 XNUMX, XNUMX, XNUMX명의 저자입니다. 그리고 우리는 과학 분야에서 하는 것처럼 수십, 수백 명의 사람들이 협력하는 정말 큰 프로젝트를 이제 막 보기 시작했습니다. 수학자에게는 여전히 어려운 일이지만, 우리는 거기에 도달할 것이라고 생각합니다.

동시에 우리는 훨씬 더 학제적으로 변해가고 있습니다. 우리는 다른 과학과 훨씬 더 많이 협력하고 있습니다. 우리는 수학 분야를 오가며 일하고 있습니다. 그리고 인터넷 덕분에 우리는 전 세계 사람들과 협력할 수 있습니다. 따라서 수학을 수행하는 방식이 확실히 바뀌고 있습니다.

앞으로는 아마추어 수학 커뮤니티를 더 많이 활용할 수 있었으면 좋겠습니다. 천문학과 같은 다른 분야에서도 천문학자들은 아마추어 천문학 커뮤니티를 최대한 활용합니다. 예를 들어 많은 혜성이 아마추어에 의해 발견되는 것과 같습니다.

하지만 수학자... 타일링, 2차원 타일링, 소수에서 레코드 찾기 등 수학에는 몇 가지 고립된 영역이 있습니다. 아마추어가 기여할 수 있는 엄선된 수학 분야가 있으며 환영받습니다. 하지만 장벽이 많습니다. 대부분의 수학 분야에서는 너무 많은 훈련과 내면화 또는 관습적 지혜가 필요하므로 크라우드 소싱할 수 없습니다. 하지만 이는 미래에는 바뀔 수도 있습니다. 아마도 AI의 영향 중 하나는 아마추어 수학자들이 수학에 의미 있는 기여를 할 수 있도록 하는 것일 것입니다.

스트로가츠: 정말 흥미롭네요.

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스트로가츠: 그럼 아마추어가 AI의 도움을 받아 좋은 새로운 질문을 하거나 기존 질문에 대한 좋은 탐색에 도움을 줄 수도 있다는 거죠?

TAO: 다양한 양식이 있습니다. 예. 예를 들어, 이제 이러한 것들에 대한 큰 정리의 증명을 공식화하는 프로젝트가 있습니다. 공식적인 증명 보조자, 이는 정리가 참인지 아닌지, 그리고 증명되었는지 여부를 100% 확인할 수 있는 컴퓨터 언어와 같습니다. 이는 실제로 수학 분야에서 대규모 협업을 가능하게 합니다.

따라서 과거에는 정리를 증명하기 위해 다른 10명과 협력하고 각자가 한 단계씩 기여했다면 모두가 다른 사람의 수학을 검증해야 했습니다. 왜냐하면 수학은 한 단계에 오류가 있으면 전체가 무너질 수 있기 때문입니다.

따라서 신뢰가 필요합니다. 따라서 이는 수학 분야의 대규모 협력을 방해하고 방해합니다. 그러나 지금은 거대한 커뮤니티가 있는 곳에서 매우 큰 정리가 공식화되는 성공적인 사례가 있습니다. 모두가 서로를 알지도 못하고, 서로를 신뢰하지도 않지만 Github 저장소에 업로드하거나 업로드하여 통신합니다. 논쟁의 개별 단계에 대한 개별 증명과 같은 것입니다. 그리고 정식 증명 소프트웨어는 모든 것을 검증하므로 신뢰에 대해 걱정할 필요가 없습니다. 그래서 우리는 과거에는 볼 수 없었던 새로운 협업 모드를 활성화하고 있습니다.

스트로가츠: 당신의 비전을 듣는 것은 정말 흥미롭습니다, 테리. 그것은 매혹적인 생각이다. “시민 수학자”라는 말은 들리지 않습니다. 시민 과학에 대해 들어보셨는데, 시민 수학은 어떨까요?

하지만 컴퓨터 지원 증명이나 AI 생성 증명과 같이 걱정되는 추세가 있는지 궁금합니다. 특정 결과가 사실이라는 것을 알지만 그 이유를 이해하지 못할까요?

TAO: 그럼 문제가 되는군요. AI가 등장하기 전부터 이미 문제가 있다는 얘기다. 그래서 한 주제의 논문이 수백 페이지에 달하는 분야가 많습니다. 그리고 저는 AI가 실제로 반대로 단순화하는 데 도움을 주고 설명하고 증명할 수 있기를 바랍니다.

예를 들어, 공식화된 증거를 사용하면 이를 사람이 읽을 수 있는 대화형 문서로 실제로 변환할 수 있는 실험적 소프트웨어가 이미 있습니다. 여기서 증거가 있고 상위 수준의 단계를 볼 수 있으며 문장이 있는지 확인할 수 있습니다. 당신은 그것을 두 번 클릭하면 더 작은 단계로 확장된다는 것을 이해하지 못합니다. 머지않아 교정을 진행하는 동안 AI 챗봇이 옆에 앉아 질문을 받고 마치 저자인 것처럼 각 단계를 설명할 수도 있을 것 같습니다. 내 생각에 우리는 이미 그것에 매우 가까워졌다고 생각합니다.

우려가 있습니다. 우리는 학생들을 교육하는 방식을 바꿔야 합니다. 특히 숙제를 할당하는 전통적인 방법 중 상당수가 AI 도구가 많은 표준 시험 문제에 즉각적으로 답할 수 있는 지점에 거의 도달했기 때문입니다. 따라서 AI가 생성한 출력이 올바른지 확인하는 방법과 2차 소견을 얻는 방법과 같은 새로운 기술을 학생들에게 가르쳐야 합니다.

그리고 우리는 수학에 좀 더 실험적인 측면이 도래하는 것을 볼 수도 있습니다. 따라서 수학은 거의 전적으로 이론적인 반면, 대부분의 과학은 이론적인 요소와 실험적인 요소를 모두 가지고 있습니다. 우리는 결국 컴퓨터에 의해서만 처음으로 입증된 결과를 얻게 될 수도 있지만, 당신 말대로 우리는 이해하지 못합니다. 그러나 컴퓨터 생성 증거인 AI가 제공하는 데이터가 있으면 실험을 실행할 수 있습니다.

이제 약간의 실험적인 수학이 있습니다. 사람들은 예를 들어 타원 곡선과 같은 다양한 사물의 대규모 데이터 세트를 연구합니다. 하지만 앞으로는 훨씬 더 커질 수도 있다.

스트로가츠: 이런, 당신은 매우 낙관적인 견해를 가지고 있는 것 같아요. 황금시대가 과거에 있었던 것과는 다릅니다. 내 말을 제대로 듣고 있다면 앞으로 매우 흥미로운 일이 많이 있을 것이라고 생각하는 것 같습니다.

TAO: 네, 많은 새로운 기술 도구가 매우 힘을 실어주고 있습니다. 내 말은, 일반적으로 AI에는 복잡한 장점과 단점이 많이 있다는 것입니다. 그리고 과학 외부에서는 경제, 지적 재산권 등에 대한 혼란이 많이 있을 수 있습니다. 하지만 수학에서는 좋은 것과 나쁜 것의 비율이 다른 많은 분야보다 낫다고 생각합니다.

그리고 아시다시피 인터넷은 우리가 수학을 하는 방식을 정말로 변화시켰습니다. 저는 다양한 분야의 많은 사람들과 협력하고 있습니다. 인터넷이 없었다면 이 일을 할 수 없었을 거예요. Wikipedia 등을 통해 주제 학습을 시작할 수 있고, 누군가에게 이메일을 보낼 수 있으며, 온라인에서 공동 작업을 할 수 있다는 사실입니다. 부서 내의 사람들과만 대화하고 다른 모든 작업에는 실제 메일을 사용할 수 있는 옛날 방식의 작업을 수행해야 한다면 지금 수행하는 계산을 수행할 수 없습니다.

스트로가츠: 와, 알았어. 방금 말씀하신 내용에 밑줄을 긋고 싶습니다. 백만년 안에 이런 말을 듣게 될 거라고는 상상도 못 했으니까요. 테리 타오가 수학을 배우기 위해 위키피디아를 읽는다고요?

TAO: 출발점으로. 내 말은, 항상 Wikipedia는 아니지만 단지 키워드를 얻기 위해 그런 다음 좀 더 전문적인 검색을 할 것입니다. MathSciNet 또는 다른 데이터베이스. 하지만 그렇죠.

스트로가츠: 비판이 아닙니다. 즉, 나도 똑같은 일을 한다. Wikipedia는 실제로 Wikipedia의 수학에 대한 비판이 있다면 아마도 그것이 의도한 것보다 독자들에게 너무 진보된 것일 수도 있습니다. 항상 그런 것은 아닙니다. 내 말은, 상황에 따라 다르다는 것입니다. 기사마다 많이 다릅니다. 하지만 그건 정말 웃기는 일이에요. 나는 그 말을 듣는 것을 좋아합니다.

TAO: 제 말은, 이 도구를 사용하려면 출력을 검사할 수 있어야 한다는 것입니다. 그러니까, 제가 수학을 하기 위해 위키피디아를 사용할 수 있는 이유는 수학에 관한 위키피디아의 한 부분이 의심스럽거나 그렇지 않다면 냄새를 맡을 수 있을 만큼 수학을 이미 충분히 알고 있기 때문입니다. 아시다시피, 일부 소스를 얻을 수 있으며 그 중 하나가 다른 소스보다 더 나은 소스가 될 것입니다. 그리고 저는 저자를 알고 있으며 어떤 참고 문헌이 나에게 더 좋을지에 대한 아이디어를 가지고 있습니다. 내가 경험하지 못한 주제에 대해 배우기 위해 Wikipedia를 사용했다면 그것은 무작위 변수에 더 가깝다고 생각합니다.

스트로가츠: 글쎄, 우리는 무엇이 좋은 수학을 만드는지, 새로운 종류의 좋은 수학을 위한 가능한 미래에 대해 꽤 많이 이야기해왔습니다. 하지만 아마도 우리는 다음 질문에 답해야 할 것입니다. 이것이 왜 중요한가? 수학을 잘하는 것이 왜 중요한가요?

TAO: 글쎄요, 우선, 수학자는 도대체 왜 있는 걸까요? 왜 사회는 수학자들을 소중히 여기고 우리가 하는 일을 할 수 있는 자원을 제공합니까? 알다시피, 그것은 우리가 어떤 가치를 제공하기 때문입니다. 우리는 현실 세계에 적용할 수 있습니다. 지적 관심이 있고, 우리가 개발한 이론 중 일부는 결국 다른 현상에 대한 통찰력을 제공하게 됩니다.

그리고 모든 수학이 동일한 가치를 갖는 것은 아닙니다. 내 말은, 파이의 자릿수를 점점 더 많이 계산할 수 있지만 어느 시점에서는 아무것도 배우지 못한다는 것입니다. 모든 주제에는 자원을 할당해야 하기 때문에 일종의 가치 판단이 필요합니다. 세상에는 수학이 너무 많아요. 어떤 발전을 강조하고 홍보하고 다른 사람들에게 알리고 싶나요? 그리고 어떤 발전은 어딘가에 조용히 일기장에 앉아 있어야 할까요?

어떤 주제가 완전히 객관적이고 참과 거짓만 있다고 생각하더라도 우리는 여전히 선택을 해야 합니다. 아시다시피 시간은 제한된 자원이기 때문입니다. 주의는 제한된 자원입니다. 돈은 제한된 자원입니다. 따라서 이것은 항상 중요한 질문입니다.

스트로가츠: 글쎄, 당신이 홍보에 대해 언급한 것은 흥미롭습니다. 내 생각에 그것이 당신 작업의 독특한 특징이라고 생각하기 때문에 당신은 또한 당신의 블로그와 다양한 기사를 통해 수학을 공개적으로 접근할 수 있도록 많은 노력을 기울였습니다. 썼습니다. 당신이 쓴 글에 대해 토론했던 기억이 나네요 미국 과학자 보편성과 그 아이디어에 대해. 수학을 공개적으로 접근하고 이해할 수 있게 만드는 것이 왜 중요한가요? 내 말은, 당신이 하려는 게 뭔데?

TAO: 유기적으로 일어난 일이에요. 내 경력 초기에는 월드와이드웹(World Wide Web)이 아직 매우 새로운 것이었고 수학자들은 다양한 콘텐츠가 포함된 웹페이지를 갖기 시작했지만 중앙 디렉토리가 많지 않았습니다. Google 등이 등장하기 전에는 실제로 개별 리소스를 찾는 것이 어려웠습니다.

그래서 뭔가 만들기 시작했어요 내 웹페이지의 작은 디렉토리. 그리고 저는 제 논문을 위한 웹페이지도 만들고 논평도 했습니다. 처음에는 정리 도구로서 뭔가를 찾는 데 도움이 되는 것보다 나 자신의 이익을 위한 것이 더 많았습니다. 부산물로서 그것은 대중에게 공개되었지만 나는 내 웹페이지의 주요 소비자이거나 적어도 그렇게 생각했습니다.

하지만 저는 아주 뚜렷하게 기억합니다. 한번은 제가 논문을 써서 웹페이지에 올렸는데, "What's New?"라는 작은 하위 페이지가 있었습니다. 그리고 저는 이렇게 말했습니다. “여기 논문이 있습니다. 그 안에는 아직도 대답할 수 없는 질문이 있고 어떻게 해결해야 할지 모르겠습니다.” 그리고 방금 이런 댓글을 달았습니다. 그러다가 이틀쯤 지나서 “아, 방금 홈페이지를 확인하고 있었는데요.”라는 이메일을 받았습니다. 나는 이것에 대한 답을 알고 있습니다. 당신의 문제를 해결해 줄 종이가 있어요.”

그리고 무엇보다 사람들이 실제로 내 웹페이지를 방문하고 있다는 사실을 깨달았습니다. 하지만 커뮤니티와의 이러한 상호 작용은 실제로 제 질문을 직접 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다.

이라는 법칙이 있어요. 네트워킹에서의 Metcalfe의 법칙 그거, 만약 당신이 가지고 있다면 n 사람들이 있고, 그들은 모두 서로 이야기를 나누고 있어요. n² 그들 사이의 연결. 따라서 청중이 더 많아지고 모든 사람이 다른 사람과 대화할 수 있는 포럼이 커질수록 더 많은 잠재적인 연결을 만들 수 있고 더 많은 좋은 일이 일어날 수 있습니다.

내 말은, 내 경력에서 내가 이룬 발견이나 내가 만든 연결의 대부분은 예상치 못한 연결 때문이라는 뜻입니다. 내 전체 경력 경험은 더 많은 연결이 더 나은 일이 일어나는 것과 같습니다.

스트로가츠: 방금 언급하신 내용의 아름다운 예라고 생각하지만 이에 대해 이야기하는 것을 듣고 싶습니다. 의료 공명 영상과 관련된 질문에 관심이 있는 데이터 과학 분야의 사람들과 맺은 연결입니다. , MRI. 그 이야기에 대해 조금 말씀해 주시겠어요?

TAO: 그러니까 2006년, 2005년쯤이었던 것 같아요. 그래서 여기 UCLA 캠퍼스에는 다중 스케일 기하학적 분석이나 그와 유사한 학제간 프로그램이 있었는데, 그곳에서 그들은 자체적으로 다중 스케일 유형 기하학에 관심이 있는 순수 수학자들을 한자리에 모았습니다. 아주 구체적인 데이터 유형 문제를 안고 있던 사람들이었죠.

그리고 저는 방금 무작위 행렬 이론의 몇 가지 문제를 연구하기 시작했기 때문에 행렬을 조작할 수 있는 사람으로 알려졌습니다. 그리고 이미 알고 있던 사람을 만났는데, 에마뉘엘 칸데스, 당시 그는 바로 옆집 Caltech에서 일했기 때문입니다. 그리고 그와 또 다른 협력자는 저스틴 롬버그, 그들은 이 특이한 현상을 발견했습니다.

그래서 그들은 MRI 이미지를 보고 있었는데 속도가 매우 느렸습니다. 인체의 고해상도 이미지, 종양을 포착하기에 충분한 이미지, 또는 의학적으로 중요한 어떤 특징을 찾고자 하는 이미지를 수집하려면 다양한 각도를 모두 스캔한 다음 데이터를 합성해야 하기 때문에 종종 몇 분 정도 걸립니다. . 사실 이것은 문제가 되었습니다. 예를 들어 어린 아이들이 MRI 기계 앞에 3분 동안 가만히 앉아 있는 것만으로도 꽤 문제가 되었기 때문입니다.

그래서 그들은 선형 대수학을 사용하여 다른 방식으로 실험을 하고 있었습니다. 그들은 10%, 20% 더 나은 성능 향상을 기대하고 있었습니다. 표준 알고리즘을 약간 조정하면 이미지가 약간 더 선명해집니다.

따라서 표준 알고리즘은 최소 제곱 근사법이라고 불리며 총 변동 최소화라는 다른 작업을 수행했습니다. 그러나 컴퓨터 소프트웨어를 실행했을 때 테스트 이미지가 거의 완벽하게 재구성되었습니다. 엄청나게, 엄청난 개선이 이루어졌습니다. 그리고 그들은 이것을 설명할 수 없었습니다.

그런데 에마뉘엘이 이 프로그램에 참석해서 우리는 차를 마시거나 뭐 그런 대화를 나누고 있었습니다. 그리고 그는 방금 이것을 언급했고 실제로 제가 처음 생각한 것은 당신이 계산에 실수를 했음이 틀림없고 당신이 말하는 것이 실제로 가능하지 않다는 것이었습니다. 그리고 나는 그날 밤 집에 돌아가서 그들이 보고 있는 것이 실제로 일어날 수 없다는 실제 증거를 기록하려고 노력했던 것을 기억합니다. 그러다가 중간에 나는 사실이 아닌 가정을 했다는 것을 깨달았습니다. 그리고 실제로 그것이 효과가 있을 수 있다는 것을 깨달았습니다. 그리고 나서 나는 설명이 무엇인지 알아냈습니다. 그리고 우리는 함께 일했고 실제로 좋은 설명을 찾아 출판했습니다.

그리고 우리가 그렇게 한 후에 사람들은 일반적으로 매우 많은 양의 데이터가 필요한 측정을 수행해야 하는 상황이 많이 있다는 것을 깨달았습니다. 어떤 경우에는 훨씬 적은 양의 데이터를 사용하더라도 여전히 매우 높은 결과를 얻을 수 있습니다. 해상도 측정.

예를 들어, 이제 최신 MRI 기계는 이전에 30분이 걸렸던 스캔이 이제 XNUMX초가 걸릴 수 있습니다. 왜냐하면 이 소프트웨어, 이 알고리즘이 이제 기계에 하드와이어, 하드 코딩되어 있기 때문입니다.

스트로가츠: 정말 아름다운 이야기입니다. 정말 멋진 이야기입니다. 내 말은, 문자 그대로 의료 영상의 맥락에서 삶을 변화시키는 중요한 수학에 대해 이야기한다는 것입니다. 나는 이 아이디어를 듣고 "이건 불가능해, 증명할 수 있어"라고 생각하는 당신의 열린 마음과 우연한 기회를 좋아합니다. 그러다가 실제로는 아니란 걸 깨달았습니다. 수학이 그러한 영향을 미치는 것을 보는 것은 환상적입니다.

글쎄요, 내 생각엔 당신을 놓아주는 게 좋을 것 같아요, 테리. 좋은 수학의 본질에 대해 당신과 토론할 수 있어서 정말 즐거웠습니다. 오늘 함께해주셔서 정말 감사드립니다.

TAO: 응, 아니, 즐거웠어. 

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스트로가츠: "The Joy of Why"는 팟캐스트입니다. Quanta Magazine, Simons Foundation에서 지원하는 편집 독립 간행물. Simons Foundation의 자금 지원 결정은 주제 선택, 게스트 또는 이 팟캐스트 또는 Quanta Magazine.

<The Joy of Why>가 제작을 맡은 작품 PRX 프로덕션. 제작팀은 Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler 및 Merritt Jacob입니다. PRX Productions의 총괄 프로듀서는 Jocelyn Gonzales입니다. Morgan Church와 Edwin Ochoa가 추가 지원을 제공했습니다. 에서 Quanta Magazine, John Rennie와 Thomas Lin은 Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana 및 Madison Goldberg의 지원을 받아 편집 지침을 제공했습니다.

우리의 테마 음악은 APM Music에서 나왔습니다. Julian Lin이 팟캐스트 이름을 생각해냈습니다. 에피소드 아트는 Peter Greenwood의 작품이고 로고는 Jaki King과 Kristina Armitage의 작품입니다. Columbia Journalism School과 Cornell Broadcast Studios의 Burt Odom-Reed에게 특별히 감사드립니다.

저는 호스트인 Steve Strogatz입니다. 질문이나 의견이 있으시면 다음 주소로 이메일을 보내주세요. [이메일 보호]. 듣기 주셔서 감사합니다.