최근 10월의 어느 날 아침, Rob Kirby는 방이 가득한 수학자 앞에 서서 자신이 과거에 했던 방식에 얽매이지 말라고 말했습니다.

지난 반세기 동안 커비, 85는 변형 가능한 형상을 연구하는 저차원 토폴로지의 중심 인물이었습니다. 중요한 연구 공헌 외에도 그는 1978년에 다음과 같은 책을 출판했습니다. 첫 번째 버전 "커비의 목록"으로 알려지게 된 것 중 하나는 향후 수십 년 동안 해당 분야의 연구 의제를 설정하는 데 도움이 된 80개의 공개 문제 모음입니다. 1997년 후인 XNUMX년에 그는 똑같이 영향력 있는 두 번째 책을 출판했습니다. 목록의 버전.

커비가 연설하고 있던 수십 명의 수학자들이 회의장에 모였다. 미국 수학 연구소 (AIM)을 사용하여 목록의 세 번째 버전을 만들었습니다. 이전 목록의 모든 문제가 해결된 것은 아니지만 대부분은 해결되지 않았지만 많은 문제가 시대에 뒤떨어졌습니다. 수학은 영원하지만, 이 분야는 유행을 따르는 인간에 의해 연습되었으며, 오래된 질문 중 상당수는 더 이상 흥미로운 것으로 간주되지 않았습니다.

"우리는 일부 하위 분야가 유명하고 다른 하위 분야는 아무도 관심을 두지 않는다고 생각합니다." 말했다 매기 밀러 이 목록의 편집자 14명 중 한 명인 University of Texas, Austin의 교수입니다.

컨퍼런스는 다음에 의해 고안되었습니다. 다니엘 루버만 1980년대 초 커비의 학생이었던 브랜다이스 대학의 교수이자 이난치 바이쿠르 매사추세츠 대학의 루버만 밑에서 박사후 연구원이었습니다. 그들은 목록이 어렵고 중요한 문제들로 구성되기를 원했습니다.

Miller는 “만약 해결책이 나온다면 분야를 바꿀 가능성이 있을 만큼 충분히 흥미로운 문제여야 합니다.”라고 말했습니다. Baykur는 "아마도 작은 비율은 앞으로 2~3년 내에 해결될 수 있을 것입니다."라고 덧붙였습니다.

커비가 첫 번째 목록을 발표한 이후 반세기 동안 수학자들이 무엇이 중요한지 결정하는 방식이 바뀌었습니다. 개인의 추측이 참인지 거짓인지가 객관적인 진실의 문제라 할지라도 그 중요성의 순위를 매기는 것은 주관적이고 사회적인 과정이다. 그리고 그 과정은 오늘날 전 세계적으로 상호 연결된 세계에서 1970년대와는 매우 다르게 보입니다. 새 목록의 이야기는 그러한 변화의 이야기입니다.

목록의 시작

커비의 경력은 문제 목록으로 시작되었습니다. 1963년 시카고 대학 대학원생으로서 그는 시애틀에서 열린 수학자 회의에 참석했습니다. 존 밀너 토폴로지에서 가장 중요한 7가지 미해결 문제 목록을 제시했습니다. 마지막 문제는 적절하게 정의된 두 구 사이의 공간이 항상 두 동심원 사이의 영역인 고리 ​​모양을 취한다는 고리 추측이었습니다.

이는 원과 일반적인 1969차원 공의 경우에는 해당되지만, XNUMX~XNUMX차원의 구 쌍 또는 다양한 차원을 포함하는 더 높은 차원에서는 놀라운 일이 발생합니다. XNUMX년 로스앤젤레스 캘리포니아 대학의 조교수인 커비는 몇 가지 제한 사항(구는 특정 수학적 의미에서 매끄러워야 함)을 감안할 때 XNUMX차원 이상에 대해 이것이 사실임을 증명했습니다.

그 결과를 바탕으로 UCLA는 그를 정교수로 직접 승진시키고 급여를 두 배로 늘렸습니다. 2년 후 그는 권위 있는 대회에서 우승을 차지했다. 오스왈드 베블렌상 기하학에서. Kirby는 이러한 초기 경력의 성공이 부분적으로 Milnor 목록의 존재에 기인한다고 생각합니다. 이 목록은 그가 대학원에서 바로 주변 사람들로부터 받았을 것보다 선택할 수 있는 더 다양한 프로젝트를 제공했습니다.

“문제 해결을 좋아하지만 조언자가 지시한 대로 반드시 수행하고 싶지 않은 사람들에게는 문제 목록이 중요합니다.”라고 그는 말했습니다.

커비는 1976년 1978월 스탠포드 대학에서 열린 미국 수학회 회의에서 첫 번째 문제 목록을 작성하기 시작했습니다. 그는 전화 통화, 편지, 참석한 회의에서 수학자들과의 비공식 대화를 통해 다음 XNUMX년에 걸쳐 이 목록을 작성했으며 XNUMX년에 이를 확장된 저널 기사로 출판했습니다.

Miller가 말했듯이, "그는 자신이 아는 모든 사람에게 전화를 걸었습니다."

이 목록에는 80개 장으로 구성된 약 XNUMX개의 문제가 포함되어 있습니다. 처음 XNUMX개 장은 XNUMX차원 매듭, XNUMX차원 표면, XNUMX차원 및 XNUMX차원 다양체(국소적으로 평평하게 보이지만 더 복잡한 전체 구조를 가질 수 있는 구 표면과 같은 공간)에 대해 다루었습니다. 다섯 번째 장은 기타 문제에 관한 것이었습니다. Kirby는 목록을 통합하기 위해 폭넓게 협의했지만 최종 제품은 틀림없이 그의 제품이었습니다.

커비는 "나는 배타적이기보다는 포용적이었다"고 말하면서도 "나는 거의 최종 중재자였다"고 덧붙였다.

두 번째 목록

1970년대 후반은 토폴로지의 문제 목록을 만들기에 좋은 시기였습니다. 이 분야는 10년 초에는 작았지만 이후 1981년 동안 폭발적으로 늘어났습니다. XNUMX년 마이클 프리드먼 푸앵카레 추측의 4차원 버전을 풀었습니다. 기념비적인 증거 소화하는 데 몇 년이 걸릴 것입니다. (이 추측은 구와 유사한 수학적 물체가 실제로 구인지 여부를 묻습니다. Freedman이 증명한 대답은 '예'입니다.) 1년 후 William Thurston은 일부 위상학적 구조를 기하학적 범주로 분류하는 기하학 추측을 발표했습니다. 이 추측은 분석(미적분학의 고급 형태) 도구를 토폴로지로 직접 가져왔습니다. 같은 해 사이먼 도널드슨 4차원 다양체에 대한 연구를 통해 미적분학과 기하학을 결합한 미분 기하학을 분야에 도입했습니다.

“진행 속도가 얼마나 빠른지 설명하기가 어렵습니다. 그것은 수학에서 혁명이 계속되는 위대한 시기 중 하나였습니다.”라고 Ruberman은 말했습니다.

이 모든 활동의 결과로 Kirby의 목록은 몇 년 내에 거의 구식이 되었습니다. 그러나 문제 목록을 작성하는 것은 커비의 주요 직업이 아니었습니다. 1993년 여름 조지아 대학교에서 열린 회의에서야 그는 목록을 개편하기로 결정했습니다.

Kirby는 회의에서 문제를 수집하기 시작했고 이메일을 통해 작업을 계속했는데, 이는 그가 첫 번째 목록을 작성할 당시 일반적으로 사용되지 않았습니다. 결과적으로 목록이 늘어났습니다. 최종 목록에는 415개의 문제가 포함되어 있으며 1997년에 책으로 출판되었습니다. 세 번째 목록이 진행된 후 두 번째 노력은 Kirby 목록의 두 번째 버전에서와 같이 소급하여 K2로 알려지게 되었습니다. -세계에서 가장 높은 산. 확장된 형식은 목록의 두 번째 버전을 시금석이자 스코어카드로 확고히 하는 데 도움이 되었습니다. 커비 문제를 해결하면 젊은 수학자들의 주목을 받게 됩니다.

"누군가를 위해 추천서를 쓰고 있는데 그 사람이 커비 문제를 해결했다면, 그 내용을 편지에 언급하세요." 존 볼드윈워크숍에 참여해 목록 편집을 돕고 있는 보스턴 칼리지의 수학자.

아루니마 레이워크숍에 참석한 독일 본 막스 플랑크 수학 연구소의 그룹 리더인 는 2011년 자격 시험에 합격한 후 박사 지도교수가 가장 먼저 한 일 중 하나가 K2 목록 사본을 그녀에게 주는 것이었다고 말했습니다. 사람들이 관심을 갖고 있는 큰 문제를 파악하기 위해서죠.”

물론, 무엇이 중요한지에 대한 결정은 그 결정을 내리는 방에 있는 사람에 따라 달라집니다. 커비 목록은 커비의 사회정치적 세계관에서 성장한 교육학 철학을 반영합니다. 그는 자신을 고전적 자유주의자라고 묘사하며, 자신의 사고에 중요한 영향을 미친 사람으로 19세기 영국 철학자 존 스튜어트 밀(John Stuart Mill)을 인용합니다.

“고전적 자유주의자들은 정말로 자유, 언론의 자유, 정부의 가벼운 손길을 믿었습니다. 그래서 그것이 제 관점과 같습니다.”라고 그는 말했습니다. “어느 정도는 학생들에게 무엇을 해야 할지 말하지 않는 것과 관련이 있습니다. 그들에게 약간의 자유를 주는 것입니다.”

커비는 수학 커뮤니티에 대해 생각하고 말하는 방식에 이러한 신념을 주입합니다. 2021년에 그는 캘리포니아에 거주하는 1,000명이 넘는 다른 수학 및 과학 전문가들과 함께 공동 서명했습니다. 공개 서한 주정부가 수학 과목을 가르치는 방식에서 사회 정의 고려 사항을 더욱 중요하게 만드는 새로운 K-12 수학 커리큘럼을 채택하겠다는 주정부 제안을 비판했습니다. 캘리포니아 제안이 승인되었습니다. 수학계에서 상당한 비판 무엇보다도 고급 과정의 가용성을 제한하고 "데이터 과학"을 선호하는 미적분학 사전 과정을 덜 강조하기 때문입니다.

Kirby는 역사적으로 수학 분야의 성별 불균형을 포함하여 수학의 구조적 편견의 존재에 대해 회의적이었습니다. 1970년대에는 수학자 중 약 10%가 여성이었습니다. 한 연구에 따르면 오늘날 거의 30%가 그렇다고 합니다. 2020 보고서 국제 과학위원회에 의해.

In 그가 1990년대에 쓴 기사, 그리고 이는 출판을 위해 제출되었습니다. 미국수학회 공지사항 그러나 출판되지 않은 Kirby는 이러한 암울한 숫자가 해당 분야의 편견의 결과가 아니라고 주장했습니다. 커비는 “내 생각에는 수학 분야에서 여성의 수가 적은 것은 남성에 의한 차별이나 여성에 대한 타고난 열등감 때문이 아니라 오히려 남성이 여성보다 수학을 더 많이 선택한다는 단순한 사실 때문이라고 생각한다”고 썼다.

많은 수학자에게 이 분야에 진출하는 여성이 거의 없다는 현실은 결코 단순한 사실이 아닙니다. "여기에는 피드백 효과가 있다는 증거가 있습니다. 여교수가 너무 적기 때문에 여학생들은 수학을 통해 명확한 진로를 알 수 없어 박사 학위를 취득하지 않기로 결정합니다." 네 명의 저명한 여성 수학자를 저술했습니다. 2022 년 타임즈 고등교육 보충자료. 국제 과학 위원회(International Science Council)의 보고서에 따르면, 수십만 건의 출판된 수학 논문의 데이터 세트를 분석한 후 "다양한 구조적, 체계적 요인이 남성과 다른 방식으로 여성 수학자의 경력에 ​​영향을 미쳤음에 틀림없습니다."

Kirby의 견해는 저차원 토폴로지 커뮤니티에서 잘 알려져 있습니다. 나는 커비에게 자신이 중요한 역할을 했던 최근 컨퍼런스와 같은 환경에 여성이 참여하는 것이 더 어려워진다고 생각하는지 물었습니다. 그는 수학자 한 명을 제외하고는 누구도 그 문제를 제기한 적이 없기 때문에 모른다고 말했습니다.

막스 플랑크 연구소에서 성평등 담당관으로 일하고 있는 Ray는 “내 생각에는 그것이 회의의 느낌을 형성했다고 생각하지 않습니다. 나는 그것이 수학 분야에서 그를 어떻게 보는가를 결정한다고 생각하지만 일반적으로 우리는 수학과 수학자를 분리한다고 생각합니다.”

공동의 노력

K1 이후와 마찬가지로 K2 출시 이후에도 저차원 토폴로지가 빠르게 발전했습니다. 주요 발전 중 하나는 2000차원 다양체를 구별하기 위해 물리학의 아이디어를 사용한 Seiberg-Witten 이론의 정교화였습니다. XNUMX년대 후반에 이르러 커비 목록은 다시 업데이트될 준비가 되었습니다.

"문제는 1990년대 이후로 이 분야가 훨씬 더 커졌다는 것입니다. 거대해졌습니다."라고 Baykur는 말했습니다.

이번에 새로운 목록을 만드는 원동력은 Ruberman과 Baykur로부터 나왔습니다. 그들은 2013년쯤부터 문제를 수집하기 시작했습니다. 그러나 다른 의무와 전염병 사이에서 2023년 XNUMX월이 되어서야 토폴로지 그룹을 모아 직접 만날 수 있었습니다. 그들은 목록의 세 번째 버전이 더 많은 공동 노력이 되기를 원했습니다.

"초기 목록은 훌륭했습니다. 거기에 있어서 정말 기쁩니다. 하지만 이 새로운 형식은 이를 좀 더 개방적으로 만드는 데 칭찬할 만합니다."라고 Ray는 말했습니다.

2022년 말 Kirby는 컨퍼런스의 공동 주최자로 Baykur와 Ruberman에 합류했습니다. 그들은 Kirby가 목록의 이전 버전에서 사용한 것과 동일한 XNUMX장 구조에 해당하는 저차원 토폴로지의 주요 영역의 전문가를 초대했지만, 어느 누구도 다른 사람과 공통점이 없는 너무 많은 전문가를 초대하는 것을 피하려고 노력했습니다.

Baykur와 Ruberman은 대부분의 조직을 수행했으며 Kirby는 더 많은 역할을 맡았습니다.

“Rob의 아기와 비슷합니다. 그가 감정을 담당하는 것 같아요. 하지만 Danny와 Inanç가 모든 물류를 처리했습니다.”라고 Miller는 말했습니다.

30월 3일 월요일에 그룹은 K3 목록에 대한 작업을 시작했습니다(명백한 이유와 토폴로지에서 중요한 개체인 KXNUMX 표면과 관련하여 호출되었기 때문에).

이 목록에는 K2 이후 저차원 토폴로지가 성장한 방식이 반영되어 있습니다. 1990년대 초 안드레아스 플로어(Andreas Floer)의 연구는 3차원 다양체를 분류하는 새로운 방법을 탄생시켰습니다. 그 XNUMX년 말까지 이러한 방법은 전체 연구 영역인 Heegaard Floer 상동성으로 꽃을 피웠고 이제 그 영역 내에서 다양체를 구별하는 다양한 접근 방식이 있습니다. 이러한 접근 방식은 모두 서로 일관성이 있어야 하지만, 그런지는 확실하지 않으며 KXNUMX에는 문제 해결을 목표로 하는 질문이 포함될 것입니다.

커비는 브레인스토밍 세션을 대부분 피하면서 매일 아침 수학자들이 모이는 메인 강의실에 캠프를 열었습니다. 화요일 아침에 데이브 가바이 프린스턴 대학의 교수는 부드러운 4차원 위상수학에서 가장 중요한 두 가지 공개 문제인 쇤플라이 추측과 푸앵카레 추측 사이의 연관성에 대해 전체 그룹에게 강의를 했습니다.

Schoenflies 추측은 Kirby가 1960년대에 작업한 고리 추측과 비슷한 특징을 가지고 있습니다. 두 구가 XNUMX차원만큼 다르고(예: 원과 공의 표면) 더 낮은 차원의 구(원)를 더 높은 차원의 구(공의 표면)에 삽입하면 전자를 예측합니다. 항상 후자를 두 개의 공에 해당하는 것으로 자릅니다. 이것은 적도를 형성하는 것처럼 지구본에 원을 새길 때 분명히 사실이지만, 고리 추측과 마찬가지로 더 높은 차원에서는 덜 명확하게 사실입니다.

Kirby는 나중에 Gabai를 찾았고 두 사람은 Gabai의 대화의 의미에 대해 몇 시간 동안 이야기했습니다. 주중에 다른 시점에 Kirby는 목록에 기여하기 위해 수학 커뮤니티의 광범위한 네트워크에 이메일을 보내는 데 시간을 보냈습니다.

Ruberman은 “어떤 면에서는 이전 목록에서 그가 수행한 작업과 다소 유사했습니다.”라고 말했습니다. “그는 방에 많이 들어오는 경향이 없었습니다. [그는] 사람들에게 이메일을 보내 '워크숍에서 누군가가 이렇게 말했는데, 그것에 대해 어떻게 생각하세요?'라고 말하곤 했습니다.”

전쟁 방

회의 마지막 이틀 동안 Baykur와 Ruberman은 참석자들에게 그들이 정리한 문제를 적어 달라고 요청했습니다. 수학자들이 집으로 돌아가기 전에 해결한 문제에 대한 요약을 서둘러 작성했기 때문에 그곳은 전쟁실처럼 느껴졌습니다.

Miller는 “대학에 다니면서 다음 날 숙제를 해야 하고, 수업 시간에 모두가 한 방에 있고 새벽 2시가 되었을 때와 같은 느낌이었습니다.”라고 말했습니다.

수학자들이 목록을 작성하던 공유 문서는 목요일 오전에는 거의 비어 있었지만 수십 명의 수학자들이 동시에 편집하면서 빠르게 성장했습니다. 금요일까지 문제 목록은 250페이지가 넘었습니다. 회오리바람 경험은 Kirby의 이전 두 번의 노력에 비해 거의 인식할 수 없었습니다.

“예전에 K2를 할 때 3~XNUMX년 정도 했다니 나이가 들었다는 생각이 들더라고요. 저는 한 사람과 함께 앉아 문제를 함께 작성하곤 했습니다.”라고 Kirby는 말했습니다. "KXNUMX에서 나는 약간의 문제에만 관여했습니다."

Baykur와 Ruberman은 Pasadena 회의에 참석하지 않은 토폴로지의 수정과 추가를 거쳐 연말까지 약 400개의 문제 목록을 출판할 수 있기를 바라고 있습니다. Baykur, Ruberman 및 기타 편집자들은 목록을 얼마나 자주 업데이트할지 여전히 토론하고 있습니다. 온라인 버전을 최신 상태로 유지하면 K3의 유효 기간을 연장할 수 있지만 그렇게 하는 데에는 단점이 있습니다. Baykur는 처음 두 목록은 “역사적인 문서였으며 그들이 1970년대와 1990년대에 사물을 어떻게 보고 있는지, 그리고 수학에 대해 어떻게 생각했는지 보는 것은 매우 유익했습니다. 나는 비슷한 현대 문서를 갖고 싶었습니다.”