Bill Gates가 이야기를 할 때 Warren Buffett은 한때 그에게 주사위 게임에 도전했습니다. 각자는 버핏의 주사위 1개 중 하나를 선택한 다음 더 높은 숫자가 이기는 주사위를 던집니다. 이것은 표준 주사위가 아니었습니다. 일반적인 6부터 XNUMX까지의 숫자와는 다른 종류의 숫자였습니다. Buffett은 Gates가 먼저 선택하게 하여 그가 가장 강한 주사위를 고를 수 있도록 했습니다. 그러나 Gates는 주사위를 조사한 후 반대 제안을 반환했습니다. Buffett이 먼저 선택해야 합니다.

Gates는 Buffett의 주사위가 기묘한 특성을 보인다는 것을 인식했습니다. 그 중 누구도 가장 강한 주사위는 없었습니다. Gates가 먼저 선택한 다음 그가 선택한 주사위가 무엇이든 Buffett은 그것을 이길 수 있는 다른 주사위(즉, 이길 확률이 50% 이상인 주사위)를 찾을 수 있었을 것입니다.

버핏의 주사위 XNUMX개 A, B, C 과 D) 가위바위보를 연상시키는 패턴을 형성했는데, A 비트 B, B 비트 C, C 비트 D 과 D 비트 A. 수학자들은 그러한 주사위 세트가 "자동사"라고 말합니다.

"[자동사 주사위]가 존재해야 한다는 것은 전혀 직관적이지 않습니다."라고 말했습니다. 브라이언 콘리, 2013년에 이 주제에 대해 영향력 있는 논문을 쓴 새너제이에 있는 미국 수학 연구소(AIM) 소장.

수학자들이 생각해 냈습니다. 첫 번째 예 자동사 주사위의 50년 이상 전, 그리고 결국 증명 점점 더 많은 면이 있는 주사위를 고려할 때 어떤 길이의 자동사 주기도 만들 수 있습니다. 수학자들이 최근까지 몰랐던 것은 자동사 주사위가 얼마나 흔한지였습니다. 그러한 예를 신중하게 고안해야 합니까, 아니면 무작위로 주사위를 골라서 자동사 집합을 잘 찾을 수 있습니까?

세 개의 주사위를 보고, 만약 당신이 그것을 안다면 A 비트 B 과 B 비트 C, 그것은 증거처럼 보인다 A 가장 강하다; 상황 C 비트 A 드물어야 합니다. 그리고 실제로 주사위의 숫자가 다른 합계가 되도록 허용되면 수학자들은 이 직관이 사실이라고 믿습니다.

그러나 온라인에 게시된 종이 작년 말은 또 다른 자연 환경에서 이러한 직관이 극적으로 실패했음을 보여줍니다. 주사위가 일반 주사위에 나타나는 숫자만 사용하고 일반 주사위와 동일한 합계를 갖도록 요구한다고 가정합니다. 그런 다음 종이에 다음과 같이 표시되었습니다. A 비트 B 과 B 비트 C, A 과 C 본질적으로 서로에 대해 동등한 기회를 갖습니다.

"그것을 아는 것은 A 비트 B 과 B 비트 C 여부에 대한 정보를 제공하지 않습니다. A 비트 C"고 말했다. 티모시 고워스 Fields 메달리스트이자 Polymath 프로젝트로 알려진 공개 온라인 협업을 통해 입증된 새로운 결과의 기여자 중 한 명인 University of Cambridge의

한편, 또 다른 최근 논문 XNUMX개 이상의 주사위 세트를 분석합니다. 그 결과는 틀림없이 훨씬 더 역설적입니다. 예를 들어, 무작위로 XNUMX개의 주사위를 선택하고 A 비트 B, B 비트 C 과 C 비트 D, 그러면 약간 배우기 가능성이 있는 D 이길 A 반전보다.

강하지도 약하지도 않다

최근 결과의 발진은 약 XNUMX년 전 Conrey가 자동사 주사위를 다루는 세션으로 수학 교사 모임에 참석한 후 시작되었습니다. 그는 “그런 것들이 존재할 수 있다는 것을 전혀 몰랐다”고 말했다. "나는 그들에게 약간 매료되었습니다."

그는 결정했습니다(나중에 그의 동료와 합류 켄트 모리슨 AIM에서) 그가 멘토링하고 있던 세 명의 고등학생인 James Gabbard, Katie Grant 및 Andrew Liu와 함께 주제를 탐구했습니다. 그룹은 무작위로 선택한 주사위가 자동사 주기를 형성하는 빈도를 궁금해했습니다.

자동사 주사위 세트는 주사위의 앞면 숫자가 다른 총계에 합산되면 드문 것으로 생각됩니다. 총합이 가장 높은 주사위가 다른 주사위를 이길 가능성이 높기 때문입니다. 그래서 팀은 두 가지 속성을 가진 주사위에 집중하기로 결정했습니다. 첫째, 주사위는 표준 주사위와 동일한 숫자를 사용합니다. n, 의 경우 n- 양면 다이. 둘째, 면 번호를 더하면 표준 다이와 동일한 합계가 됩니다. 그러나 표준 주사위와 달리 각 주사위는 일부 숫자를 반복하고 나머지는 생략할 수 있습니다.

육면체 주사위의 경우 이 두 가지 속성을 가진 주사위는 32개뿐입니다. 따라서 컴퓨터의 도움으로 팀은 모든 트리플을 식별할 수 있었습니다. A 비트 B 과 B 비트 C. 연구원들은 놀랍게도 A 비트 C 1,756개의 트리플에서 C 비트 A 1,731개의 트리플에서 거의 동일한 숫자입니다. XNUMX면 이상의 주사위에 대한 이러한 계산 및 시뮬레이션을 바탕으로, 팀은 추측했다 주사위의 면 수가 무한대에 가까워질수록 A 비트 C 50%에 근접합니다.

접근성과 뉘앙스가 어우러진 이 추측은 Conrey를 많은 수학자들이 온라인에서 함께 모여 아이디어를 공유하는 Polymath 프로젝트의 좋은 사료로 생각했습니다. 2017년 중반에 그는 Polymath 접근 방식의 창시자인 Gowers에게 아이디어를 제안했습니다. Gowers는 "놀라운 가치 때문에 이 질문이 매우 마음에 들었습니다."라고 말했습니다. 그는 썼다 블로그 게시물 댓글이 쏟아진 추측에 대해 댓글 작성자는 XNUMX개의 추가 게시물을 통해 이를 증명하는 데 성공했습니다.

그들의 논문에서, 온라인에 게시 2022년 XNUMX월 말, 증명의 핵심 부분은 대부분 단일 주사위가 강한지 약한지에 대해 이야기하는 것이 이치에 맞지 않는다는 것을 보여주는 것입니다. Buffett의 주사위 중 어느 것도 가장 강하지는 않지만 그렇게 특이한 것은 아닙니다. Polymath 프로젝트에 따르면 무작위로 주사위를 선택하면 다른 주사위의 절반 정도를 이기고 나머지 절반은 잃을 가능성이 높습니다. Gowers는 "거의 모든 주사위가 꽤 평균적입니다."라고 말했습니다.

이 프로젝트는 한 가지 측면에서 AIM 팀의 원래 모델과 달랐습니다. 일부 기술을 단순화하기 위해 프로젝트는 주사위의 숫자 순서가 중요하다고 선언했습니다. 예를 들어 122556과 152562는 두 개의 다른 주사위로 간주됩니다. 그러나 AIM 팀의 실험적 증거와 결합된 Polymath 결과는 추측이 원래 모델에서도 참이라는 강력한 가정을 생성한다고 Gowers는 말했습니다.

Conrey는 "그들이 이 증거를 내놓은 것이 정말 기뻤습니다."라고 말했습니다.

XNUMX개 이상의 주사위 수집에 관해서 AIM 팀은 XNUMX개의 주사위와 유사한 행동을 예측했습니다. A 비트 B, B 비트 C 과 C 비트 D 대략 50-50의 확률이 있어야 합니다. D 비트 A, 주사위의 면 수가 무한대에 가까워짐에 따라 정확히 50-50에 접근합니다.

이 추측을 테스트하기 위해 연구자들은 50, 100, 150 및 200면이 있는 XNUMX개의 주사위 세트에 대한 일대일 토너먼트를 시뮬레이션했습니다. 시뮬레이션은 XNUMX개의 주사위를 던질 때처럼 그들의 예측을 거의 따르지 않았지만 추측에 대한 그들의 믿음을 강화할 만큼 충분히 근접했습니다. 그러나 연구원들은 그것을 깨닫지 못했지만 이러한 작은 불일치는 다른 메시지를 전달했습니다. XNUMX개 이상의 주사위 세트에 대한 그들의 추측은 거짓입니다.

Conrey는 "우리는 [추측]이 사실이기를 정말로 원했습니다. 그것이 멋질 것이기 때문입니다."라고 Conrey는 말했습니다.

XNUMX개의 주사위의 경우, 엘리자베타 코르나키아 스위스 연방 공과대학 로잔과 얀 헤즐라 르완다 키갈리에 있는 아프리카 수학 과학 연구소(African Institute for Mathematical Sciences)의 종이 2020년 후반에 온라인에 게시된 경우 A 비트 B, B 비트 C 과 C 비트 D다음, D 이길 확률이 50%보다 약간 더 높습니다. A — 아마도 약 52% 정도라고 Hązła는 말했습니다. (Polymath 논문과 마찬가지로 Cornacchia와 Hązła는 AIM 논문에서와 약간 다른 모델을 사용했습니다.)

Cornacchia와 Hązła의 발견은 일반적으로 단일 주사위가 강하지도 약하지도 않지만 한 쌍의 주사위가 때때로 공통 영역의 강점을 가질 수 있다는 사실에서 나옵니다. Cornacchia와 Hązła는 무작위로 두 개의 주사위를 선택하면 주사위가 상관 관계가 있을 가능성이 높다는 것을 보여주었습니다. 그들은 같은 주사위에 이기거나 지는 경향이 있습니다. Hązła는 "서로 가까운 두 개의 주사위를 만들라고 요청하면 이것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다."라고 말했습니다. 이 작은 상관 관계 포켓은 그림에 최소 XNUMX개의 주사위가 있는 즉시 토너먼트 결과가 대칭에서 벗어나게 합니다.

최근 논문은 이야기의 끝이 아닙니다. Cornacchia와 Hązła의 논문은 주사위 사이의 상관관계가 토너먼트의 대칭성을 어떻게 불균형하게 만드는지 정확하게 밝히기 시작했습니다. 하지만 그 동안 우리는 자동사전 주사위 세트가 많이 있다는 것을 알고 있습니다. 어쩌면 빌 게이츠가 먼저 선택하도록 속일 수 있을 만큼 교묘한 주사위일 수도 있습니다.