계획 변경은 여행 중에 이루어졌습니다. 지난 4월 어느 아름다운 날, 수학자들은 레이첼 그린펠드 과 사라 펠루스 모 기관인 뉴저지주 프린스턴에 있는 고등연구소를 떠나 뉴욕주 로체스터로 향했는데, 그곳에서 두 사람 모두 다음 날 강연을 펼칠 예정이었습니다.

그들은 복잡한 신호를 구성 요소 주파수로 분리하는 방법을 연구하는 분야인 고조파 분석에 대한 중요한 추측으로 거의 2년 동안 고심해 왔습니다. 세 번째 협력자와 함께, 마리나 일리오풀루, 그들은 성분 주파수가 서로의 거리가 정수와 관련된 평면의 점으로 표시되는 문제 버전을 연구하고 있었습니다. 세 명의 연구원은 이러한 점이 너무 많을 수 없다는 것을 보여 주려고 노력했지만 지금까지 모든 기술이 부족했습니다.

그들은 바퀴를 돌리는 것 같았습니다. 그런 다음 Peluse는 다음과 같은 생각을 했습니다. 물론 일시적으로 조화 분석 문제를 버리고 두 점 사이의 거리가 정확히 정수인 점 집합에 주의를 돌렸다면 어떨까요? 그러한 세트는 어떤 가능한 구조를 가질 수 있습니까? 수학자들은 고대부터 정수 거리 집합을 이해하려고 노력해 왔습니다. 예를 들어, 피타고라스 삼중(예: 3, 4, 5)은 세 꼭짓점이 모두 정수 거리 떨어져 있는 직각삼각형을 나타냅니다.

현재 미시간 대학교 교수로 재직 중인 펠루스는 “차 안에 레이첼이 나와 함께 갇혀 있었기 때문에 내가 이 이야기를 꺼낸 것 같다”고 말했다. 정수 거리를 다루는 아이디어는 Greenfeld를 감동시켰습니다.

그들이 그것을 알기도 전에 그들은 한 번이 아니라 두 번의 방향 전환을 시작했습니다.

Peluse는 "실제로 우리는 어디로 가고 있는지 주의를 기울이지 않았고 고속도로에서 내리지 않았습니다"라고 말했습니다. "우리는 수학에 너무 흥미를 느꼈기 때문에 눈치채기 한 시간 정도 전에 로체스터와 반대 방향으로 가고 있었습니다."

1945년, 노먼 애닝(Norman Anning)과 폴 에르되시(Paul Erdös) 증명 평면에서 모두 정수 거리만큼 떨어져 있는 무한한 점 집합이 선 위에 있어야 한다는 것입니다. 유한한 점 집합의 경우 가능성은 좀 더 다양합니다. 수학자들은 선이나 원 위에 놓이는 큰 집합을 구성했으며, 때로는 주 항력에서 벗어난 3~4개의 추가 점이 있는 경우도 있습니다. (점 자체는 정수 좌표를 가질 필요가 없습니다. 문제는 점 사이의 거리에 관한 것입니다.)

다른 구성에 대해 많은 포인트를 제시한 사람은 아무도 없지만 다른 구성이 불가능하다는 것을 증명한 사람도 없습니다. Anning과 Erdös의 결과 이후 거의 80년 동안 이 주제는 지금까지 사실상 진전이 없었습니다.

Greenfeld, Iliopoulou 및 Peluse는 증명 소수의 특이점을 제외하고 큰 정수 거리 집합의 모든 점은 단일 선이나 원 위에 있어야 합니다. "모든 쌍별 거리가 정수인 큰 세트를 원한다면 원과 선만이 유일한 플레이어입니다."라고 말했습니다. 요제프 솔리모시 브리티시 컬럼비아 대학교의. 그는 그 결과를 “환상적인 해결책”이라고 불렀습니다.

새로운 접근 방식은 조합론, 정수론, 대수 기하학이라는 세 가지 수학 영역의 아이디어와 기술을 사용합니다. 이렇게 다양한 분야를 하나로 묶는 것은 “진정한 심리적 돌파구가 될 수 있다”고 말했습니다. 테렌스 타오, 로스앤젤레스 캘리포니아 대학교의 수학자.

알렉스 이오세비치로체스터 대학교의 교수도 이에 동의합니다. “그들은 매우 광범위한 문제에 대한 매우 견고한 기반을 마련했습니다.”라고 그는 말했습니다. "이것이 훨씬 더 깊은 응용 분야를 찾을 것이라는 점에는 의심의 여지가 없습니다."

단순성의 한계

평면 내에서 모두 정수 거리만큼 떨어져 있는 무한한 점 집합을 선택하는 것은 쉽습니다. 좋아하는 선을 선택하고 그 위에 수직선이 겹쳐 있다고 상상한 다음 정수에 해당하는 점 중 일부 또는 전부를 사용하면 됩니다. 그러나 이것은 Anning과 Erdös가 1945년에 깨달은 것처럼 평면에 설정된 무한한 정수 거리를 구성하는 유일한 방법입니다. 모두 같은 선에 있지 않은 세 개의 점만 있으면 구성이 너무 제한되어 불가능해집니다. 무한히 더 많은 포인트를 추가합니다.

그 이유는 단순한 기하학으로 귀결됩니다. 정수 거리만큼 떨어져 있는 두 점 A와 B로 시작한다고 상상해 보세요. A와 B 모두로부터 정수 거리에 있지만 두 점을 통과하는 선 위에 있지 않은 세 번째 점 C를 추가하려는 경우 평면의 대부분의 점은 작동하지 않습니다. 유일하게 실행 가능한 점은 A와 B 사이를 자르는 쌍곡선이라는 특별한 곡선에 있습니다. 예를 들어 A와 B가 4단위만큼 떨어져 있다면 이러한 쌍곡선은 정확히 XNUMX개가 됩니다. (쌍곡선은 일반적으로 두 개의 서로 다른 부분으로 구성됩니다. 예를 들어 아래 그림의 두 개의 빨간색 곡선은 단일 쌍곡선을 형성합니다.)

C(이 예에서는 A에서 3단위, B에서 5단위)를 선택한 후에는 포인트를 더 추가할 수 있는 옵션이 거의 없습니다. 추가할 수 있는 모든 점은 A와 B 사이의 쌍곡선 중 하나 또는 이를 통과하는 선 위에 있어야 합니다. 그러나 이는 또한 A와 C 사이의 쌍곡선 중 하나와 B와 C 사이의 쌍곡선 중 하나(또는 해당 선) 위에 있어야 합니다. 즉, 새 점은 세 개의 쌍곡선 또는 선이 교차하는 곳에만 배치될 수 있습니다. 모든 교차점이 작동하는 것은 아닙니다.) 처음부터 이러한 쌍곡선과 선의 수는 한정되어 있으며 두 개의 쌍곡선(또는 선)은 최대 XNUMX개의 점에서 교차할 수 있습니다. 따라서 선택할 수 있는 교차점은 한정되어 있으며 무한한 집합을 만들 수는 없습니다.

유한한 정수 거리 점 집합이 실제로 어떻게 보이는지 이해하는 데 있어서 쌍곡선 접근 방식은 빠르게 다루기 어려워집니다. 점을 추가하면 늘어나는 쌍곡선 수를 처리해야 합니다. 예를 들어, 세트에 10개의 점이 있을 때 11번째를 추가하면 10개의 새로운 쌍곡선군이 생성됩니다. 모든 항목은 새 점과 세트에 이미 있는 각 점 사이에 있습니다. "많은 점을 추가할 수 없습니다. 왜냐하면 모든 쌍곡선과 교차점에서 길을 잃기 때문입니다"라고 Greenfeld는 말했습니다.

그래서 수학자들은 선 위에 있지 않은 대규모 정수 거리 점 세트를 구성하기 위한 보다 관리하기 쉬운 원리를 찾아왔습니다. 그러나 그들은 오직 한 가지 접근 방식만 제시할 수 있었습니다. 즉, 원 위에 점을 두는 것입니다. 예를 들어 1조 개의 점으로 설정된 정수 거리를 원하는 경우 거리가 모두 분수인 반경 XNUMX의 원에서 XNUMX조 개의 점을 생각해내는 방법이 있습니다. 그런 다음 모든 분수 거리가 정수로 바뀔 때까지 원을 부풀릴 수 있습니다. 세트에 원하는 포인트가 많을수록 원을 더 많이 부풀려야 합니다.

수년에 걸쳐 수학자들은 약간 더 이국적인 예를 생각해 냈습니다. 그들은 네 점을 제외한 모든 점이 선 위에 놓이거나 세 점을 제외한 모든 점이 원 위에 놓이는 큰 정수 거리 집합을 구성할 수 있습니다. 많은 수학자들은 이것이 모든 점이 선이나 원 위에 있지 않은 유일한 큰 정수 거리 집합이라고 의심합니다. 그들은 Bombieri-Lang 추측이라는 것을 증명할 수 있다면 이것을 확실히 알게 될 것입니다. 그러나 수학자들은 이 추측이 사실인지 여부에 대해 의견이 분분합니다.

1945년 Anning과 Erdös의 연구 이후 수학자들은 정수 거리 집합을 이해하는 데 거의 진전을 이루지 못했습니다. 시간이 지남에 따라 정수 거리 문제는 설명하기는 간단하지만 해결이 불가능해 보이는 조합론, 수론 및 기하학의 다른 문제 배열에 합류하는 것처럼 보였습니다. “이것은 우리 수학이 얼마나 형편없는지를 보여주는 척도입니다.”라고 Tao는 말했습니다.

어떤 면에서 정수 거리 문제는 초기 성공의 희생자였습니다. 독창적인 단순성을 지닌 쌍곡선 증명은 수학에서 가장 우아한 증명을 상상한 책인 "The Book"에 대해 자주 언급했던 매우 영향력 있는 수학자 Erdós가 옹호한 철학을 상징합니다. Erdös가 촉진한 단순함의 문화는 조합 기하학에서 "엄청난 결과"를 가져왔다고 Iosevich는 말했습니다. 하지만 이는 또한 맹점으로 이어질 수도 있습니다. 이 경우에는 대수 기하학에서 접근 방식을 가져오는 것의 가치에 대한 것입니다.

Iosevich는 “지난 50년 동안 기술적으로 매우 복잡하고 복잡하지 않은 것으로 입증된 [대수기하학] 결과를 찾을 수 없을 것이라고 생각합니다.”라고 말했습니다. "하지만 때로는 상황이 이렇게 되어야 할 때도 있습니다."

돌이켜보면, 정수 거리 문제는 쌍곡선보다 다루기 힘든 곡선을 기꺼이 고려하고 이를 길들이기 위해 대수 기하학과 정수론의 난해한 도구를 끌어들이는 수학자들을 기다리고 있었습니다. Iosevich는 “충분한 지식과 관심을 가진 사람들이 필요했습니다.”라고 말했습니다.

대부분의 수학자들은 평생 동안 수학의 한 구석에 몇 가지 도구를 사용하는 데 만족한다고 그는 말했습니다. 그러나 Greenfeld, Iliopoulou 및 Peluse는 용감한 탐험가라고 Iosevich는 말했습니다. "그들은 수학을 일관된 전체로 봅니다."

문제를 복잡하게 하다

2021년 여름, 그린펠드는 대학원 때부터 고민해 왔던 조화해석 문제를 해결해야 할 때라고 판단했습니다. 실제 신호 처리의 기초가 되는 고전적 고조파 분석은 신호를 다양한 주파수와 위상의 사인파로 분해하는 것입니다. 이 프로세스는 결합 시 중복 없이 모든 신호의 모든 특징을 포착하는 무한한 사인파 목록을 만드는 것이 가능하기 때문에 가능합니다.

하지만 연구자들은 1차원 신호보다 더 복잡한 것을 연구하고 싶어하는 경우가 많습니다. 예를 들어 평면의 디스크에 있는 신호를 분해하려고 할 수 있습니다. 그러나 디스크는 호환 가능한 사인파의 한정된 컬렉션만 호스팅할 수 있습니다. 이는 디스크에서 가능한 모든 신호의 동작을 캡처하기에는 너무 적습니다. 그러면 질문은 이렇습니다. 이 유한한 컬렉션은 얼마나 클 수 있습니까?

이러한 모음에서 사인의 주파수는 선과 원으로 클러스터링되는 것을 싫어하는 평면의 점으로 표시될 수 있습니다. 모두 같은 선에 가까운 세 점이나 모두 가까운 네 점을 찾을 수 없습니다. 같은 서클에. Greenfeld는 이러한 혐오감을 사용하여 이러한 주파수 세트에 몇 가지 포인트만 포함될 수 있음을 증명하기를 바랐습니다.

2021년 본 대학에서 열린 회의에서 그린펠드는 특정 유형의 정수 점이 곡선에 몇 개나 놓일 수 있는지 추정하는 데 사용할 수 있는 정수 이론의 기술인 '결정자 방법'에 대한 강연에 참석했습니다. 그녀는 이 도구가 그녀에게 꼭 필요한 것일 수도 있다는 것을 깨달았습니다. Greenfeld는 회의에 참석한 Iliopoulou와 Peluse를 영입했습니다. Greenfeld는 “우리는 이 방법을 함께 배우기 시작했습니다.

그러나 많은 노력에도 불구하고 행렬식을 자신들의 목적에 맞게 구부릴 수 없는 것처럼 보였고, 2023년 봄이 되자 그들은 낙담하게 되었습니다. Iosevich는 Greenfeld와 Peluse를 초대하여 방문을 위해 Rochester로 운전했습니다. "그래서 우리는 '좋아, 우리는 로체스터로 갈 것이다. 알렉스와 이야기를 나누면 우리에게 활력을 불어넣을 것이다'라고 생각하고 있었습니다."라고 Peluse는 말했습니다. 그러나 알고 보니 그들은 펜실베니아의 서스케하나 강을 따라 계획되지 않은 우회로에서 정수 거리 집합에 대한 활발한 논의 덕분에 이미 활기를 되찾은 채 로체스터에 착륙했습니다.

그들은 Iosevich와의 예정된 저녁 식사에 너무 늦게 도착했지만 그가 테이크아웃 가방을 들고 호텔 로비에서 기다리고 있는 것을 발견했습니다. 그는 그들의 지각을 용서했고, 다음날 아침 그들이 그에게 정수 거리 세트를 다루려는 계획에 대해 말했을 때 용서 이상의 의미를 가졌습니다. Peluse는 “그는 매우 흥분했습니다.”라고 회상했습니다. "감정적으로 이것은 큰 힘이 되었습니다."

쌍곡선 접근법과 마찬가지로 Greenfeld, Iliopoulou 및 Peluse는 점이 놓여야 하는 곡선군을 식별하여 정수 거리 집합의 구조를 제어하려고 했습니다. 쌍곡선 방법은 점이 몇 개 이상 있으면 너무 복잡해지기 시작하지만 Greenfeld, Iliopoulou 및 Peluse는 전체 구성을 고차원 공간으로 이동하여 동시에 많은 점을 고려하는 방법을 알아냈습니다.

이것이 어떻게 작동하는지 확인하기 위해 정수 거리 세트에서 "참조" 점 A로 시작한다고 가정합니다. 세트의 다른 모든 점은 A로부터 정수 거리에 있습니다. 점은 평면에 있지만 A로부터의 거리 값을 갖는 세 번째 좌표를 각 점에 추가하여 평면을 1차원 공간에 충돌시킬 수 있습니다. 예를 들어 , A가 점 (3, 4)이라고 가정합니다. 그러면 A에서 7단위 떨어진 점 (5, 4)은 7차원 공간에서 점 (5, 1, 3)로 변합니다. 이 프로세스는 평면을 0차원 공간의 원뿔로 변환합니다. 그 끝은 이제 (XNUMX, XNUMX, XNUMX)으로 표시된 A에 있습니다. 정수 거리 지점은 원뿔과 특정 격자 위에 있는 XNUMX차원 공간의 지점이 됩니다.

마찬가지로 두 개의 참조점 A와 B를 선택하면 평면의 점을 4차원 공간의 점으로 변환할 수 있습니다. 각 점에 A와 B까지의 거리를 값으로 하는 두 개의 새 좌표를 지정하면 됩니다. 이 프로세스는 평면을 변환합니다. 4차원 공간의 곡선 표면으로 이런 방식으로 더 많은 참조점을 계속 추가할 수 있습니다. 각각의 새로운 참조점이 있을 때마다 차원은 1씩 증가하고 평면은 더 흔들리는 표면(또는 수학자들이 말하는 것처럼 더 높은 수준의 표면)에 매핑됩니다.

이 프레임워크를 사용하여 연구자들은 정수론의 행렬식 방법을 사용했습니다. 행렬식은 일반적으로 행렬과 연관된 숫자로, 점 집합의 다양한 기하학적 특성을 포착합니다. 예를 들어 특정 행렬식은 세 개의 점으로 형성된 삼각형의 면적을 측정할 수 있습니다. 행렬식 방법은 이러한 행렬식을 사용하여 흔들리는 표면과 격자에 동시에 놓인 점의 수를 추정하는 방법을 제공합니다. 바로 Greenfeld, Iliopoulou 및 Peluse가 처리했던 상황과 같습니다.

연구자들은 행렬식 방법을 기반으로 한 작업 라인을 사용하여 적절하게 높은 차원으로 설정된 정수 거리를 범프할 때 점이 모두 소수의 특수 곡선에 있어야 함을 보여주었습니다. 평면의 그림자가 선이나 원이 아닌 경우 이러한 곡선은 정수 거리 세트의 점에 대한 유일한 후보인 많은 격자 점을 포함할 수 없습니다. 이는 주선이나 원에서 벗어날 수 있는 세트의 점 수가 제한되어 있음을 의미합니다. 연구원들은 이 세트의 직경이 매우 느리게 증가하는 함수보다 작아야 함을 보여주었습니다.

이들의 경계는 많은 수학자들이 큰 정수 거리 집합에 대해 사실이라고 믿는 "선 위의 4개 점 또는 원 위의 3개 점" 추측의 표준에 도달하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 결과는 “추측의 본질이 사실”임을 보여준다고 스탠포드 대학의 제이콥 폭스(Jacob Fox)는 말했다. 추측에 대한 완전한 증명을 위해서는 새로운 아이디어의 또 다른 주입이 필요할 것이라고 수학자들은 말했습니다.

팀의 고차원 인코딩 체계는 "매우 강력하다"고 Iosevich는 말했습니다. "원칙적으로 애플리케이션만 있는 것이 아닙니다. 제가 이미 생각하고 있는 애플리케이션도 있습니다."

Greenfeld, Iliopooulou 및 Peluse 희망 중 하나는 원래의 조화 분석 문제에 대한 것이며, 이제 이 세 가지가 다시 다루어지고 있습니다. 정수 거리 세트에 대한 그들의 결과는 "그것을 향한 디딤돌이 될 수 있습니다"라고 Greenfeld는 말했습니다.

연구원들이 시작한 대수 기하학과 조합론의 합성은 정수 거리 집합이나 조화 분석의 관련 문제로 끝나지 않을 것이라고 Iosevich는 예측했습니다. “나는 우리가 보고 있는 것이 개념적 돌파구라고 믿습니다.”라고 그는 말했습니다. "이것은 매우 생산적인 상호 작용이라는 메시지를 두 분야의 사람들에게 보냅니다."

또한 때로는 문제를 더 복잡하게 만드는 것의 가치에 대한 메시지를 보낸다고 Tao는 말했습니다. 수학자들은 대개 그 반대를 위해 노력한다고 그는 지적했다. "그러나 이것은 문제를 복잡하게 만드는 것이 실제로 올바른 조치라는 예입니다."

그는 이러한 진보로 인해 높은 수준의 곡선에 대해 생각하는 방식이 바뀌었다고 말했습니다. “때때로 그들은 당신의 적이 아니라 친구가 될 수 있습니다.”