数学的真実は、多くの場合、秩序と無秩序の間の葛藤から生まれます。数学者はパターンを発見し、作用する神秘的な力をより深く理解するために、それらのパターンを破壊する相殺する衝動を探します。

この緊張感は、昨年の取材でも何度も出てきた。私たちは、グラフ理論、組合せ論、数論、幾何学におけるブレークスルーを取り上げました。パターンが予期せぬ方法で発生する領域です。時には、一見異なる数学的構造間のつながりが原因で、時には数学者が新しい証明で明らかにした隠された固有のメカニズムが原因で発生します。

シニアライターのジョルダナ・チェペレヴィッツとの魅力的なインタビューで、次のように述べています。 アンドリュー・グランヴィル 計算と実験が、時には忘れ去られている方法で、数学者が隠れたパターンを探索するのにどのように役立つかを議論しました。彼はまた、他の数学者に結果が正しいと納得させるために必要な変化について、また証明とは何かを理解するためには数学の社会的性質を検討することが不可欠であると考える理由についても語った。

これは、数学的真理の性質について私たちが昨年公開したいくつかの会話のうちの XNUMX つです。ユージニア・チェン氏と話した ジョイ・オブ・ホワイ ポッドキャストホストのスティーブン・ストロガッツ氏について カテゴリー理論、その抽象度の高さで他の数学者を怖がらせることができる、一種の「数学の中の数学」です。そしてジャスティン・ムーアは、公理（基本的で明白な真理）の限界についてストロガッツと語った。 集合論 そして、なぜ重要で答えのない数学的な疑問が常に存在するのか。

私たちの報道の大部分は抽象的な領域に直接当てはまりましたが、 キム・ミンヒョン 社会的課題の解決に数学を活用したいと願う数学者を支援するために彼が設立した組織、Mathematics for Humanity についてケビン ハートネット氏に語りました。そしてマイク・オーカット 報告 議会選挙区の地図の公平性を確認し、より公平な地図を描くために数学がどのように使用されるかについて。

2023 年に特に実りをもたらした数学分野があるとすれば、それはグラフ理論です。過去 XNUMX 年間で最も大きな数学的発見の XNUMX つは、より厳密な新しい計算式の証明でした。 ラムジー数の上限。これらの数値は、クリークと呼ばれるオブジェクトが必然的に含まれる前にグラフが到達する必要があるサイズを測定します。 1935月に発表されたこの発見は、この種の発見としてはXNUMX年以来初めての進歩であり、いわゆる対称ラムゼー数に関するものだった。 XNUMX月にはこれに続いて、 新しい結果 より一般的な非対称の場合について説明します。

これらの論文はどちらも、グラフが無限に大きくなったときに何が起こるかに関するものでした。しかし クアンタ も考えました 中距離、力ずくで分析するには大きすぎるが、無限の漸近限界より小さいグラフについて数学者が何を証明できるかを調べます。

接続された発振器のネットワークがどのように機能するかについての新しい結果を記録しました。 同期する グラフ理論がどのように関係するのか 場の量子論。私たちは、ベクトル空間と呼ばれる数学的オブジェクトを特定の方法で細分化する可能性についての新しい発見を報告しました。 デザインと呼ばれるサブセット。そしてパトリック・オナー、 クオンタイズ アカデミー コラムニストはその方​​法について書きました グラフのローカル プロパティ 彼らのグローバル構造を管理します。

クアンタ また、長年の XNUMX つの着色問題に関する記事も公開しました。ある人は有名な現象の証拠を調べました。 四色定理これは、隣接する XNUMX つの領域が同じ色にならないように、平面上のマップを着色するには XNUMX つの色で十分であることを示しています。もう XNUMX つは、あまり知られていないが同様に興味深い質問に関する新しい結果を取り上げています。 飛行機はいくらですか 正確に XNUMX 単位離れた XNUMX つの点が同じ色にならないように色を付けることができます。

グラフ理論は、組み合わせ論 (カウントの数学的研究) の一分野と考えることができます。ノードとエッジのコレクションで何が起こるかをカウントすることは、ある意味、より一般的に組み合わせをカウントする特殊なケースです。

この年は次のような結果で終わりました。 画期的な証拠 XNUMX 人の著名な数学者による、組み合わせ論を集合の代数構造に関連付ける長年の予想。

3月に遡ると、ザンダー・ケリーとラグー・メカという8人のコンピューター科学者が、古い組み合わせ論の問題で常識を超えた画期的な発見をしたというニュースを発表し、数学者たちを驚かせた。それは、次の13つの整数をバケツに入れずにバケツに整数をいくつ入れることができるかというものだった。それらは等間隔の数列を形成します (101、201、301 または XNUMX、XNUMX、XNUMX など)。ケリーとメカは 長年にわたる上限 ある上限よりも小さい整数の数に応じて N そのようなパターンを作成せずにバケットに入れることができます。

先月、ケビン ハートネットは、別の外部者、Google の研究者による 2022 年 XNUMX 月の論文について報告しました。 ジャスティン・ギルマー 彼は何年も前に数学から離れていましたが、和合閉予想と呼ばれる組み合わせ問題について考えることを決してやめませんでした。この予想は、{1}、{1, 2}、{2, 3, 4}、{1, 2, 3, 4} のような集合の族に関係します。このファミリーは「結合閉」です。これは、ファミリー内の任意の XNUMX つのセットを組み合わせると、その組み合わせもファミリー内に含まれるためです。ギルマーが証明したこの予想は、家族が結合を閉じている場合、少なくともセットの半分に出現する少なくとも XNUMX つの数字を持っていなければならない、というものです。ギルマーは、情報理論から導き出された議論を使用しました。この議論は、特定の特性を満たす結合が閉じられた家族から XNUMX つのセットをランダムに選択することに依存しています。彼の議論は、構造の存在を推測するツールとしてランダム性をどのように使用できるかを示すもう XNUMX つの例です。

対照的に、 Kevin Hartnett による XNUMX 月の記事 は、複雑だが単純な構造が驚くほど可能であることが判明した例を説明しました。 Bernardo Subercaseaux と Marijn Heule は、1 から 15 までの数字のみを使用して、同じ数字の XNUMX つの出現間の距離が数字自体よりも大きくなるように、無限のグリッドを数字で埋めることができることを示しました。

そして久しぶりの クアンタ 寄稿者のエリカ・クラライヒは、いわゆる感染症の驚くべき蔓延について書いた。 自動詞サイコロ。これらは、たとえば、XNUMX つのサイコロ A、B、C のセットで、A が B に勝つ (より高い数字を振る)、B が C に勝つ、そして C が A に勝つ可能性が高いことが示されました。新しい論文では、次のことが示されています。 A が B に勝ち、B が C に勝つということだけが分かっている場合、直接対決で A と C のどちらが勝つ可能性があるかについての情報は得られません。

おそらく他の数学分野よりも、数論者は、信じられないほど複雑な技術的構造を使用して、単純に聞こえる定理を証明できます。今年、 クアンタ 読者をそれらの建造物のいくつかのツアーに連れて行きました。出版しました 詳細なビジュアル説明 加算、減算、乗算、除算と並んで数学の「XNUMX 番目の基本演算」と言われているモジュラー形式。そして私たちは読者を 二次相反性の歴史ツアー、数論の最も強力なツールの XNUMX つです。モジュール形式の説明は、いわゆるモジュール形式に関する記事からインスピレーションを得たものです。 非合同モジュラー形式 — あまり研究されていないタイプの関数ですが、それでも物理学に大きな影響を及ぼします。

二次相反性の解説を書いた Max Levy は、ある問題について報告しているときにこの主題に興味を持ちました。 夏の意外な発見 サークルが作れるパターンについて。レヴィ氏は、夏休みの研究プロジェクトに取り組む XNUMX 人の学生が、ローカルからグローバルへの予想と呼ばれる、円がどのように調和して入れ子になるかについての長年の予想を反証するのにどのように役立ったかを語った。これは、数学における計算ツールの有用性の増大を示す今年の多くの開発のうちの XNUMX つでした。学生とその共著者たちは、この推測が実際に機能しているかどうかを確認するためにコンピューターで作成したプロットをじっくり検討することで、その推測が誤りであるという証拠を最初に発見しました。

モジュラー形式は、楕円曲線 (一方の変数が 1994 乗、もう一方の変数が XNUMX 乗である XNUMX つの変数の滑らかな関数) と密接に関連しています。 (これらの関数は、いくつかの特定の数学的制約も満たします。) この XNUMX つの関係は、アンドリュー ワイルズによる XNUMX 年のフェルマーの最終定理の証明の中心でした。ハートネットさんはこう書きました 研究者の理解の進歩 虚数二次体から引き出された変数で定義された楕円曲線の関係 — 次の形式の数値 a + b $latex sqrt{-5}$ ここで a & b 両方とも有理数または分数です。

彼はまた、次のことについても書きました 待望の大傑作 — フィールズ賞メダリストのアクシャイ・ヴェンカテシュとヤニス・サケラリディス、デイビッド・ベン＝ズヴィによる451ページの原稿。モジュラー形式に関連するオブジェクトと、 L-関数。素数と深い関係を持つ重要なタイプの無限和です。

数論者は、素数と、素数が他の整数の間で微妙に美しく分布する方法に特に注目します。興味深いことに、素数が無限に広がることを考えると、素数をある数値で割ったときに同じ数の余りが残ることは長い間知られていました。たとえば、すべての素数を 5 で割ると、同じ数の余りが得られます。残りは 1、2、3、4 です。しかし数学者は、素数がどれくらい早く均一になるかについての結果を証明しようと努力し続けています。 XNUMX月にご報告させていただきましたが、 新世代の数学者 素数の分布方法に関する定理を証明します。

また、次のような楽しい数学ゲームを導入し、再導入しました。 ハイパージャンプ 基本的な算術を使用して単純な数列を作成するようプレイヤーに挑戦させることで、構造とランダム性の間の緊張関係を探ります。

今年は幾何学においても刺激的な年でした。今年最も注目を集めた成果は、新たな発見でした。 タイルの種類 それは決して繰り返されることのないパターンで平面を覆います。これを実現する 1970 つのタイルの組み合わせは XNUMX 年代から知られていましたが、デビッド・スミスという愛好家によって発見され、XNUMX 月に発表された XNUMX つのタイルはセンセーションを巻き起こしました。ファンはこのシンプルなデザインをクッキーの抜き型として使用し、キルトに縫い付けました。私たちはニュース報道に続いて、 の項目に表示されます。 基礎となる数学の一部を説明し、もう XNUMX つを与える タイル張りの簡単な歴史.

針といえば、理想的な針が全方向に回転しながら占有できる空間体積はどのくらいかを問う掛谷予想が進歩した年でもありました。 新しい証拠 予想の特殊な場合 (「スティッキー」掛谷予想と呼ばれる) は、より一般的な予想が真実であるという強力な証拠を与えます。

この予想は幾何学だけでなく、調和解析や偏微分方程式の研究にも影響を与えることが判明しました。あ フォローアップ説明者 それらの影響を検討します。そして、 クオンタイズ アカデミー の項目に表示されます。読者を推測の基礎となるロジックに導きます。

他の幾何学のニュースでは、望遠鏡予想と呼ばれる、異なる次元の球間の地図に関する長年のアイデアが紹介されています。 虚偽であることが判明した。長い間不可能だと考えられていた特定の種類の接触構造（特定の数学的特性を満たす平面のパターン）が判明した 存在する.

インタビューしました エミー・マーフィー、そのような接触構造を研究する幾何学者。マーフィーは、接触幾何学 (およびその兄弟であるシンプレクティック幾何学) が剛性と柔軟性のスペクトルの中間に存在すると説明しています。剛体幾何学では多くのことが正確な測定に依存するが、柔軟な幾何学は代数に似ている傾向がある、と彼女は語った。しかし、その中間では「視覚的な思考がより役立つ」と彼女は言いました。

XNUMX月には、数学者のアサフ・ナオールとコンピューター科学者のオデッド・レゲブが 存在を証明した いわゆる球形の立方体。これらは、高次元の球の表面積と同様に、表面積がゆっくりと増加しますが、立方体と同じように空間を完全に埋めることができる物体です。

20世紀で最も著名な幾何学者の一人であるエウジェニオ・カラビは、 年齢100で死亡 長年の同僚の一人であるジェリー・カズダン氏は、カラビ氏は「誰も考えなかった興味深い質問をするだろう」と語った。私たちのカラビの死亡記事では、特に彼の最も有名な発見であるカラビ・ヤウ多様体に焦点を当てながら、これらの疑問を探求しています。カラビ・ヤウ多様体は、後に物理学における弦理論の中心となりました。

物理学といえば、寄稿者である Steve Nadis の好きなテーマであるブラック ホールの数学に関するいくつかの新しい結果も発表しました。彼は次のことを発見した新しい論文について書いた 無限の数 高次元でのさまざまなブラック ホールの形状と、その数学的性質を明らかにする別の論文 ブラックホールの境界.

XNUMX 月に、数学者が物理学者と協力して理解する方法について説明しました。 新しい種類の対称性 場の量子理論で。

キャスリン・マンとトーマス・バーセルメは、スティーブン・フランケルとともに、 一連の論文 カオスと安定性のバランスをとるアノソフ流と呼ばれる動的システムを特徴づけます。任意の点で、流れは一方向に収束し、別の方向に分岐します。

そして、今年最も不安を抱かせる数学記事となるかもしれないのは、次の関連ニュースです。 XNUMX つの論文シリーズ Marcel Guàrdia、Jacques Fejoz、Andrew Clarke は、モデル太陽系の惑星軌道が常に不安定であることを示しています。良いニュースは、彼らのモデルが私たちの太陽系とはまったく異なるということですが、クラーク氏はここでも同様の不安定性が存在する可能性があると考えています。

しかし、もしそうなったとしても、すぐにどの惑星も軌道から外れるわけではないので、もう XNUMX 年間の数学報道を楽しみにしていてください。 クアンタ 2024インチ