蜂の巣のような六角形の格子が目の前に広がっていると想像してください。いくつかの六角形は空です。他の部分は高さ 6 フィートの固体コンクリートの柱で埋められています。その結果、一種の迷路が出来上がります。半世紀以上にわたり、数学者たちはこのようなランダムに生成される迷路について疑問を投げかけてきました。舗装されたパスの最大の網はどのくらいの大きさですか?グリッドの一方の端から中心まで、そして再び戻ってくる経路が存在する可能性はどれくらいですか?グリッドのサイズが拡大し、エッジに六角形がどんどん追加されると、これらのチャンスはどのように変化するのでしょうか?

これらの質問は、空きスペースがたくさんある場合、またはコンクリートがたくさんある場合に簡単に答えることができます。すべての六角形には、他のすべての六角形とは独立して、グリッド全体で一定の確率で状態がランダムに割り当てられるとします。たとえば、各六角形が空である確率は 1% である可能性があります。コンクリートがグリッドに密集し、間に小さな空気のポケットだけが残るため、端への道を見つける可能性は事実上ゼロになります。一方、99% の確率で各六角形が空である場合は、コンクリートの壁が薄く散りばめられ、オープン スペースの帯が途切れているだけで、迷路というほどではありません。この場合、中心から端までのパスを見つけることはほぼ確実です。

大きなグリッドの場合、確率が 1/2 に達すると、著しく急激な変化が見られます。ちょうど摂氏 XNUMX 度で氷が溶けて液体の水になるのと同じように、臨界確率と呼ばれるこの移行点で迷路の性質が劇的に変化します。臨界確率を下回ると、グリッドの大部分がコンクリートの下に横たわり、空のパスは必ず行き止まりになります。臨界確率を超えると、広大な土地が空き地となり、確実に衰退するのはコンクリートの壁です。臨界確率で正確に停止すると、コンクリートと空虚が互いにバランスをとり、どちらも迷路を支配することができなくなります。

「臨界点では、より高度な対称性が現れます」と彼は言いました。 マイケル・アイゼンマン、プリンストン大学の数理物理学者。 「それは膨大な数学への扉を開くことになります。」また、防毒マスクの設計から、感染症がどのように広がるか、油が岩石にどのように浸透するかの分析に至るまで、あらゆるものに実用的に応用できます。

で 昨年の秋に投稿された論文, 1人の研究者が最終的に、臨界確率2/XNUMXで迷路の経路を見つける確率を計算しました。

軍拡競争

2000年代半ばに博士課程の学生としてフランスに滞在し、 ピエール・ノラン 重要な確率のシナリオを詳細に研究しました。ランダムな迷路は「本当に美しいモデルであり、おそらくあなたが発明できる最も単純なモデルの 2008 つである」と彼は考えています。 XNUMX 年に修了した博士課程の終わり近くに、ノーリンは、臨界確率での六角形のグリッドがどのように動作するかについての特に難しい質問に魅了されました。円に近似するように中心点の周りにグリッドを構築し、そこからランダムに迷路を構築するとします。 Nolin は、元に戻ることなく、端から中心に到達し、元に戻る開いた道を見つけられる可能性を探りたいと考えました。数学者は、内側と外側の両方の「アーム」がオープン パス上にあるため、これを単色の XNUMX アーム パスと呼びます。 (このようなグリッドは、オープンセルとクローズドセルではなく、XNUMX つの異なる色、たとえばライトブルーとダークブルーで構成されていると同等に考えられることがあります。) 迷路のサイズを大きくすると、必要なパスの長さも同様に長くなります。 、そしてそのような道を見つける可能性はますます小さくなります。しかし、迷路が恣意的に大きくなるにつれて、確率はどのくらい急速に減少するのでしょうか?

関連するより単純な質問は数十年前に答えられていました。 1979 年からの計算 マルセル・デン・ナイス 端から中心までの 1 本のパス、つまりアームが見つかる可能性を推定します。 (これを、5 本のアームが入っていて、もう 48 本のアームが外にあるという Nolin の要件と比較してください。) Den Nijs の研究では、六角形のグリッド内で XNUMX 本のアームが見つかる確率は $latex XNUMX/n^{XNUMX/XNUMX}$ に比例すると予測しました。 、 どこ n 中心から端までのタイルの数、またはグリッドの半径です。 2002年に、 グレゴリー・ローラー, オーデッド・シュラム & ウェンデリンウェルナー 最後に 証明 片腕の予測は正しかったと。グリッドのサイズが大きくなるにつれて減少する確率を簡潔に定量化するために、研究者は、ワンアーム指数として知られる分母の指数 5/48 を使用します。

Nolin は、よりとらえどころのない単色の 2 アーム指数を計算したいと考えていました。 1999年の数値シミュレーション は 0.3568 に非常に近いことを示しましたが、数学者たちはその正確な値を特定できませんでした。

多色 2001 アーム指数と呼ばれるものを計算するのがはるかに簡単になりました。これは、中心から開始して周囲への「開いた」パスだけでなく、別の「閉じた」パスも見つけることができる可能性を特徴づけます。 (閉じられた道は、迷路のコンクリート壁の上部を横切る道だと考えてください。) XNUMX 年、スタニスラフ・スミルノフとヴェルナー 証明 この指数は 1/4 でした。 (1/4 は 5/48 より大幅に大きいため、$latex 1/n^{1/4}$ は $latex 1/n^{5/48}$ よりも早く縮小します。 n 成長します。したがって、多色の二腕構造の可能性は、予想されるとおり、一本の腕の可能性よりもはるかに低いです)。

その計算は、グラフ内のクラスターの形状に関する知識に大きく依存していました。臨界確率の迷路が非常に大きく、何百万もの六角形で構成されていると想像してください。次に、空の六角形のクラスターを見つけて、太い黒いシャーピーでクラスターの端をトレースします。これでは、単純な丸い塊はおそらく得られません。数マイルも上空から見ると、常に倍増するうねうねする曲線が見えます。多くの場合、それ自体を横切ろうとしているように見えますが、完全にコミットすることはありません。

これは、SLE 曲線と呼ばれる曲線の一種で、Schramm によって導入されました。 2000紙 それはこの分野を再定義しました。 1 つの開いたパスと 1 つの閉じたパスを見つける可能性を研究している数学者は、それらのパスが開いたサイトと閉じたサイトのより大きなクラスター内に存在し、最終的には SLE 曲線に沿って合流する必要があることを知っています。 SLE 曲線の数学的特性は、迷路内の経路に関する貴重な情報に変換されます。しかし、数学者が同じタイプの複数のパスを検索している場合、SLE 曲線はその有効性を大幅に失います。

2007 年までに、Nolin と彼の共同研究者 Vincent Beffara は、単色の 0.35 アーム指数が約 17 であることを示す数値シミュレーションを作成しました。これは疑わしいほど 48/5、つまり 48 アームの指数 1/4 と多色の 12 アームの指数 48/17 (または 48/17) の合計に近かったのです。 「48/XNUMXは本当に印象的です」とノリンは語った。彼は、XNUMX/XNUMX が本当の答えではないかと疑い始めました。つまり、さまざまな種類の指数間に単純な関連性があることを意味します。それらを一緒に追加することもできます。 「私たちは『OK、嘘をつくにはもったいない、それはもったいない』と言いました。それは真実でなければなりません。」

しばらくの間、ノーリンとベッファラの推測については何も起こらなかったが、ノーリンは他の人が参考にできるように自分のウェブサイトにそれを投稿した。彼は2017年に香港城市大学の教授職に就くために香港に移り、この問題に取り組み続けた。 2018年、彼は会話の中でこの指数を持ち出した。 魏銭、当時イギリスのケンブリッジ大学の博士研究員でした。 Qian は、SLE 曲線に特に焦点を当てて、離散的ではなく連続的なコンテキストでランダム ジオメトリを研究していました。彼女は、SLE を使用して別の種類のランダム モデルで指数を計算するプロジェクトの真っ最中でした。Nolin は、彼女の専門知識が単色の 2 アーム指数にも関連しているのではないかと疑い始めました。二人はすぐに、その解が指数を与える単純に見える方程式を見つけましたが、その方程式はグリッドの端にある SLE 曲線で囲まれた空間に関係する中間量に依存していました。 Nolin と Qian はその数字を特定できませんでした。

「多くの計算を行いましたが、まだこの特性を計算できませんでした」と Qian 氏は言いました。 「うまくいかなかったので、しばらくやめました。」

「役に立つかどうか分からなかったので、誰にも話したことはありませんでした」とノリン氏は付け加えた。

バックボーン指数

単色の 2 アーム指数は、グリッドの「バックボーン」も説明しているため、特に興味深いです。これは、2 つの別個のアームに接続された六角形の集合で、重なり合わない 2 つのアームに伸びています。1 つは迷路の端に、もう 1 つは迷路の端にあります。その中心。これらのサイトが色付けされると、グリッド全体に広がるウェブが形成され、バックボーンと呼ばれます。研究者が病気の蔓延や多孔質の岩石層をモデル化するとき、バックボーンは微生物や石油が流れる高速道路のようなものです。 Nolin と Qian が求めた指数はバックボーンのサイズを明らかにし、バックボーン指数と呼ばれます。

バックボーンを追ったのはノーリンとチェンだけではなかった。 シン・スン当時ペンシルベニア大学にいた彼もまた、バックボーン指数の計算を試みていました。過去数年間にわたり、サンとニューヨーク大学のニーナ ホールデンを含む共同研究者は、ランダムなフラクタル曲面を使用して SLE 曲線を研究する方法を見つけ出しました。これらの広大な湾曲した表面には、長い蔓へと伸びる波状の縁があります。近隣からすぐのところにあるポイントもあれば、数か月かかる旅のポイントもあります。特定の場所では、これらの影響が極端すぎて視覚化できません。 「それを完全に正確に描くことは実際には不可能です」とホールデン氏は語った。 「表面をかなり伸ばす必要があるでしょう。」

2022 年の夏、Sun は大学院 XNUMX 年生の Zijie Zhuang に、臨界確率でのランダム迷路の研究に参加してもらうよう要請しました。彼らは、六角形が平面上ではなく、ランダムなフラクタル表面上に配置されるランダムな迷路を検討しました。サーフェスがどこでどの程度伸縮されるかは偶然によって決まるため、サーフェスには独自の特性があります。 (これらの特性により、このような表面は XNUMX 次元宇宙における量子重力モデルを研究する物理学者にとっても役立ち、リウヴィル量子重力表面という名前が付けられています。) たとえば、そのような表面にハサミを持っていくと、その形状は次のようになります。 XNUMX つの半分は互いに依存しません。 「このような独立性により、物事が非常に単純化されます」と彼は言いました。 スコット・シェフィールド マサチューセッツ工科大学の博士号。物事がランダムな場合、それについて知っていることは少なくなりますが、それは、面倒に説明する必要がある情報が少ないことを意味する可能性があります。

Sun と Zhuang はまず、グリッドの中心の周りの小さな円を周囲のより大きな円に接続する開いた経路が存在する確率を判断しようとしました。彼らがその質問に答えた後、Sun は野心をさらに強化することを提案しました。それは、入れ子になった円を結ぶ 2 つのパスが存在する確率を計算することです。これにより、バックボーン指数を計算する方法が得られるでしょう。しかしすぐに、彼らは困難に遭遇しました。 「私たちはこのアプローチを数か月間試しましたが、計算はあまり扱いにくいようです」とZhuang氏は電子メールで書いた。

一方、Nolin と Qian は指数の値を見つけることには成功しませんでしたが、別の方法で進歩を遂げました。銭氏はフランス国立科学研究センターでの職を休暇し、香港城市大学の教授としてノーリン氏に加わった。 （彼らは結婚もしました。） 2021 年の夏、彼女はサンとその共同研究者によるいくつかの論文に興味をそそられたため、パンデミックによる渡航制限が解除されたため、2022 年 XNUMX 月にプリンストンの高等研究所を訪問する計画を立てました。 , サン​​が一年を過ごしたニュージャージー州。

それは有益な訪問であったことが証明された。 Qian 氏と Nolin 氏が見つけた方程式を説明するうちに、Sun 氏は、それがリウヴィル量子重力面に迷路を重ねるという、彼と Zhuang 氏の手法に適しているのではないかと考え始めました。 「それは一種の偶然です」とサン氏は語った。 「一人の男が鍵を持っていて、一人の男が鍵を持っています。」

荘さんは少し懐疑的だった。同氏は「予測はなく、その公式が良い解決策をもたらすかどうかさえ分からない」と当時の状況を説明した。 Sun と Zhuang は、数か月前から Nolin と Qian の方程式のとらえどころのない量、つまり鍵を解くために、Liouville 量子重力技術 (鍵) を使用して次の数か月を費やしました。

0.3566668 か月の作業の後、Sun と Zhuang は比喩的な錠を開けました。 Sun は Zhuang、Qian、Nolin に電子メールを送り、「素晴らしいニュース: バックボーン指数の正確な計算式」と宣言しました。その答えは、平方根と三角関数の正弦関数の適度に複雑な表現であると彼は発見しました。これは初期の推定値 (XNUMX で始まる無限の数字の流れ) と一致していました。

4人は自分たちの研究を論文にまとめ、一方でノーリンとチェン、もう一方でサンとチアンのアイデアを組み合わせて議論を洗練させ、サンの博士顧問だったシェフィールドが「美しい研究者」と呼んだ証拠を作成した。宝石。" 「証明戦略は間違いなく驚くべきもので、非常に独創的ですが、それを見ると、ある種自然に感じられるものでもあります」とホールデン氏は語った。

ノーリンは、指数が正確に 2011/17 であったのではないかという 48 年の疑惑を嘆いています。 「私たちはかなり長い間、現場を誤解させてきました。私はそれをあまり誇りに思っていません。」バックボーン指数は、その多色指数とは著しく異なります。それは非合理的であるだけでなく、超越的でもあります。つまり、$latex pi$ と e、単純な多項方程式の解として書くことはできません。

「証明では、この公式がどこから来たのかは実際には説明されていません」と彼は言いました。 「私たちはそれを物理学者に見せており、彼らの洞察を本当に楽しみにしています。」

バックボーン指数の超越的な性質は、この分野の他の人々の注目を集めました。チャン・ザッカーバーグ・バイオハブのグレゴリー・フーバー氏は、 フォローアップ記事 バックボーン指数について、彼はその結果が統計力学における「新しい大陸の最初の垣間見」であると考えていると述べた。 SLE 曲線とリウヴィル量子重力を組み合わせるのは非常に技術的ですが、得られた明確でシンプルな数値的答えは「驚くほどシンプルでエレガント」だと彼は書きました。