平面内に 2 つの点を散在させ、それらの各ペアの間の距離を測定します。おそらく、XNUMX つの異なる距離が見つかるでしょう。しかし、点を正三角形に配置すると、どの距離も同じになります。平面では、XNUMX つの点でこれを行うことは不可能です。設計できる最小距離の数は XNUMX (正方形の辺と対角線) です。

しかし、点の 1 つを平面から持ち上げて、各辺が正三角形であるピラミッドを作成すると、単一の固有の距離 (つまり、1 つの辺の長さ) だけ離れた 4 つの点のセットが得られます。三角形。

多くのポイントがある場合、これらのパターンはさらに顕著になります。平面内にランダムに散在する 4,950 個の点は、100 個の異なるペアごとの距離を定義する可能性があります。しかし、50 個の点を平らな正方形のグリッドに配置すると、どの点のペアも、可能な距離はわずか XNUMX 個のうちの XNUMX つだけ離れます。ポイントを XNUMX 次元グリッドに持ち上げると、その数をさらに減らすことができます。

点間の距離の数に関する質問に答えるのは、難解な演習のように聞こえるかもしれません。しかし、このような問題を解決するための数十年にわたる探求の中で、数学者は数論から物理学に至るまで、他の幅広い用途に使用できるツールを開発してきました。

「人々が問題を解決しようとしたとき」と彼は言いました。 パブロ・シュマーキン ブリティッシュコロンビア大学の博士は、「彼らは、驚くべき予想外のつながりを発見し始めました。」

最新の開発は昨年末に行われ、4人の数学者の共同研究が行われた。 新しい関係を証明した 点のセットのジオメトリとそれらの間の距離の間。

点のセットによって決定されるさまざまな距離のリストは、その距離セットと呼ばれます。そのリストにある数値の数を数えると、距離セットのサイズがわかります。 1946 年、多作の数学者パウル エルデシュは、多数の点の場合、設定される距離は点をグリッドに配置したときに得られる距離よりも小さくなることはできないと推測しました。この問題は、一見単純そうに見えますが、実際には非常に奥深く、困難であることが判明しました。 2010 次元でもまだ完全には証明されていませんが、XNUMX 年に XNUMX 人の数学者が とても近づいた 現在では事実上解決済みとみなされていること。それは高次元でも開いたままです。

その一方で、数学者もこの予想の新しいバージョンを定式化しました。これらのうち最も重要なものの 1 つは、ある出来事で生じました。 1985紙 by ケネス・ファルコナー, スコットランドのセント・アンドリュース大学の数学者。ファルコナーは、無数の点間の明確な距離について何が言えるのか疑問に思いました。

無限に多くの点がある場合、単に数えるだけではあまり役に立ちません。しかし、数学者はサイズを定義する別の方法を持っています。 Falconer の予想は、フラクタル次元と呼ばれる数値によって特徴付けられる点のセットの幾何学形状と、メジャーと呼ばれる数値によって特徴付けられる距離セットのサイズとの間の関係を仮定します。

フラクタル次元は、次元に関する通常の直観と一致します。より馴染みのある次元の概念と同様に、線分のフラクタル次元は 1 ですが、正方形 (内部が塗りつぶされている) のフラクタル次元は 2 です。しかし、点の集合がより複雑なフラクタル パターンを形成すると、どこまでズームインしても微視的なねじれや曲がりが現れ続ける曲線のように、そのフラクタル次元は整数ではない可能性があります。たとえば、以下に示すコッホ スノーフレーク カーブには、ますます小さな三角形のバンプが無限に続き、その寸法は約 1.26 です。

一般に、点の無限の集合は、分散の程度に大まかに依存するフラクタル次元を持ちます。それが平面の周りに広がる場合、そのフラクタル次元は 2 に近くなります。それが線のように見える場合、そのフラクタル次元は 1 に近くなります。同じ種類の構造を XNUMX 次元空間内の点のセットに対して定義できます。 、またはさらに高い次元で。

Falconer の予想の反対側には、設定された距離の尺度があります。メジャーは、長さの概念を数学的に一般化したものです。数直線上の点として表すことができる単一の数値は、メジャーがゼロです。しかし、無限集合であってもメジャーがゼロになる可能性があります。たとえば、整数は実数の中に非常に薄く分散しているため、集合的な「長さ」がなく、メジャー ゼロのセットを形成します。一方、たとえば 3/4 と 1 の間の実数は 1/4 の長さを持ちます。これは、間隔がその長さだからです。

この測定により、無限に多くの点間の一連の個別の距離のサイズを特徴付けることができます。距離の数が「小さい」場合、距離セットのメジャーがゼロになることを意味します。重複した距離が多数あります。一方、設定された距離のメジャーがゼロより大きい場合は、さまざまな距離が存在することを意味します。

二次元では、ファルコナーは、フラクタル次元が 1.5 を超える点のセットには、ゼロ以外の尺度で設定された距離があることを証明しました。しかし数学者たちはすぐに、これが 1 より大きいフラクタル次元を持つすべての集合に当てはまると信じるようになりました。「私たちはこの 1/2 のギャップを解決しようとしているのです」と彼は言いました。 王夢夢 ペンシルバニア大学の博士で、新しい論文の共著者の一人です。さらに、ファルコナーの予想は 3 次元以上に拡張されます。 d-次元空間では、点のフラクタル次元が d / 2の場合、設定された距離の測定値は 0 より大きくなければなりません。

2018年、王は仲間たちとともに、 という推測が示された は、フラクタル次元が 5/4 より大きいすべての集合に対して XNUMX 次元で成り立ちます。さあ、Ou — と一緒に シウミン・ドゥ ノースウェスタン大学の、 張瑞祥 カリフォルニア大学バークレー校、および ケビン・レン プリンストン大学の教授 — 高次元では、非ゼロの尺度で設定された距離を確保するためのしきい値が、 d/2 + 1/4。 「この論文では、史上初めて、高次元の限界が 2 次元よりも優れています」とシュマーキン氏は言いました。 (XNUMX 次元では、しきい値は正確に d/2 + 1/4。)

この最新の結果はほんの 1 つです 波 最近の進歩の on 鷹匠の推測。この証明では、境界を強化するために、調和解析 (任意に複雑な関数を単純な波で表現することを扱う数学の一見遠い分野) のテクニックが洗練されました。しかし、これらの技術の一部は、これとまったく同じ問題に取り組むために最初に開発されたものです。

点間の距離に関するこの質問は、「高調波解析におけるいくつかの最大のアイデアの遊び場として機能しました」と彼は言いました。 アレックス・イオセビッチ ロチェスター大学の博士。

ファルコナーが1985年の論文で残したギャップの半分しか埋められていないが、数学者らは最近の一連の研究を、完全な予想がついに手の届くところにあるかもしれないという証拠とみている。それまでの間、彼らはこの問題を最も洗練されたツールの実験場として使い続けるだろう。