数学の最も壮大なプロジェクトは、巨大な350ページの紙の形で珍しい贈り物を受け取りました XNUMX月に投稿 これにより、世界中の研究者がこの分野の最も深い質問のいくつかを調査する方法が変わります。 この作品は、幾何学と数の関係についての大胆でかつては空想的な夢を実現する新しい幾何学オブジェクトを形作っています。

「これは本当に途方もない量の可能性を開きます。 彼らの方法と構造はとても新しいので、探求されるのを待っています」と述べました。 タショ・スタテフ ミシガン大学の。

作品はのコラボレーションです ローラン・ファーグ パリのジュシュー数学研究所と ピーターショルツェ ボン大学の。 これは、微積分や幾何学などの数学の異なる分野をリンクして、数に関する最も基本的な質問のいくつかに答えることを目的とした、長期にわたる「ラングランズプログラム」の新しい前線を開きます。

彼らの論文はそのビジョンを実現し、数学者に何世紀にもわたって彼らを刺激し混乱させてきた質問についての全く新しい考え方を与えています。

Fargues and Scholzeの作品の中心には、Fargues-Fontaine曲線と呼ばれる活性化された幾何学的オブジェクトがあります。 それは、Farguesと2010年に癌で亡くなるまでParis-Sud大学の教授であったJean-Marc Fontaineによって2019年頃に最初に開発されました。XNUMX年後、曲線は現在最高の形に到達しています。

「当時、彼らはFargues-Fontaine曲線が興味深く重要なものであることを知っていましたが、どのように理解していませんでした」と述べています。 エバ・ビーマン ミュンヘン工科大学の。

曲線は、それが発明された数学の技術的なコーナーに限定されたままだったかもしれませんが、2014年にFarguesとScholzeが関与するイベントがそれをフィールドの中心に推進しました。 次のXNUMX年間で、彼らはファーグの曲線をショルツェの理論に適合させるために必要な基本的な詳細を解明しました。 最終的な結果は、それらの間の地面を崩壊させるほど多くの橋の数と形状ではありません。

「それはXNUMXつの異なる世界の間のある種のワームホールです」とScholzeは言いました。 「彼らは本当に別のレンズを通してどういうわけか同じものになるだけです。」

ルートハーベスト

ラングランズプログラムは、次のような多項式の解を見つけるという単純な懸念から始まる広大な研究ビジョンです。 x² − 2 = 0および x⁴ - 10x² + 22 = 0。それらを解くことは、多項式の「根」を見つけることを意味します—の値 x 多項式をゼロに等しくします（x =最初の例では$ latex pm sqrt {2} $、および x = 5番目の$ latex pm sqrt {3 pm sqrt {XNUMX}} $）。

1500年代までに、数学者は、最高の累乗が2、3、または4である多項式の根を計算するための整然とした式を発見しました。次に、5の累乗以上に累乗された変数を持つ多項式の根を識別する方法を探しました。 しかし、1832年に、若い数学者エヴァリストガロアは​​、検索が無益であることを発見し、より高次の多項式の根を計算するための一般的な方法がないことを証明しました。

しかし、ガロアはそこで止まりませんでした。 1832年に20歳で決闘で亡くなる前の数か月間、ガロアは多項式解の新しい理論を打ち出しました。 彼は、根を正確に計算するのではなく（ほとんどの場合は実行できません）、根間の対称性を研究することを提案しました。これは、最終的にガロア群と呼ばれる新しい数学的オブジェクトにエンコードされました。

例では x² − 2、ガロア群は、根を明示的にする代わりに、代数の法則に関する限り、XNUMXつの根（それらが何であれ）は互いの鏡像であることを強調します。

「通常、数式がなかったため、数学者は数式から離れなければなりませんでした」と述べています。 ブライアンコンラッド スタンフォード大学の。 「ガロア群を計算することは、根の間の関係を計算するためのいくつかの尺度です。」

20世紀を通じて、数学者はガロア群を研究する新しい方法を考案しました。 主な戦略のXNUMXつは、グループと他のオブジェクト（多くの場合微積分に由来する関数）の間で翻訳する辞書を作成し、ガロアグループを直接操作するためのプロキシとしてそれらを調査することでした。 これは、ラングランズプログラムの基本的な前提です。これは、これらのタイプの翻訳を通じてガロア群（実際には多項式）を調査するための幅広いビジョンです。

ラングランズプログラムは1967年に始まりました。 ロバート・ラングランズ, 手紙を書いた アンドレ・ヴェイユという名の有名な数学者に。 ラングランズは、すべてのガロア群を保型形式と呼ばれるオブジェクトと一致させる方法があるべきだと提案しました。 ガロア群は代数で発生しますが（方程式を解くために代数を使用する方法を反映します）、保型形式は、微積分の拡張形式である分析と呼ばれる非常に異なる数学の分野から来ています。 20世紀前半からの数学的進歩により、ラングランズがより完全なつながりを疑うように、XNUMXつの間に十分な類似点が特定されました。

「非常に異なる性質のこれらのオブジェクトが何らかの形で相互に通信することは注目に値します」と述べました。 アナ・カライアーニ インペリアル・カレッジ・ロンドンの。

数学者がラングランズ通信と呼ばれるようになったものを証明できれば、微積分の強力なツールを使用してすべての多項式を自信を持って調査できます。 推測された関係は非常に基本的であるため、その解決策は、数百万ドルのミレニアム賞問題のうちのXNUMXつを含む、数論における最大の未解決の問題の多くにも触れる可能性があります。 リーマン仮説、BSD予想とホッジ予想。

利害関係を考えると、何世代にもわたる数学者がこの取り組みに参加するよう動機付けられており、ラングランズの最初の推測は、ほぼ間違いなく、今日の分野で最大かつ最も広大なプロジェクトに発展しています。

「ラングランズプログラムは、純粋数学のほぼすべての分野に触れる推測のネットワークです」とCaraiani氏は述べています。

形からの数

1980年代初頭から ウラジミール・ドリンフェルド 以降 アレクサンダーベイリンソン ラングランズの予想を幾何学的な用語で解釈する方法があるべきだと提案した。 数値とジオメトリの間の変換はしばしば困難ですが、それが機能する場合、問題を大きく開く可能性があります。

一例を挙げると、数に関する基本的な質問は、素因数が繰り返されているかどうかです。 数12は行います：それは2×2×3に因数分解され、2は15回発生します。 3という数字はそうではありません（5×XNUMXを考慮に入れます）。

一般に、数値に繰り返し因子があるかどうかをすばやく知る方法はありません。 しかし、はるかに簡単な類似の幾何学的問題があります。

多項式には、数値と同じプロパティが多数あります。それらを加算、減算、乗算、および除算できます。 それが何を意味するのかという概念さえあります 「素数」となる多項式。 しかし、数とは異なり、多項式には明確な幾何学的な装いがあります。 それらのソリューションをグラフ化し、グラフを調べて、それらについての洞察を得ることができます。

たとえば、グラフが x-任意の点の軸で、多項式には繰り返し因数分解があると推測できます（正確に接点で示されます）。 これは、曖昧な算術の質問が、多項式のアナログに変換された後、視覚的な意味を取得する方法の一例にすぎません。

「多項式をグラフ化できます。 数値をグラフ化することはできません。 そして、[多項式]をグラフ化すると、アイデアが得られます」とコンラッド氏は述べています。 「番号があれば、あなたはその番号を持っているだけです。」

「幾何学的」ラングランズプログラムは、それが呼ばれるようになったとき、ガロア群とラングランズ予想の保型形式を表すことができる特性を持つ幾何学的オブジェクトを見つけることを目的としていました。 幾何学的ツールを使用してこの新しい設定で類似の対応を証明することで、数学者は元のラングランズ予想に自信を持てるようになり、おそらくそれらについての有用な考え方を示唆する可能性があります。 それは素晴らしいビジョンでしたが、やや風通しの良いビジョンでもありました。タイムマシンさえあれば宇宙を横断できると言っているようなものです。

「数字の設定で同様の役割を果たす幾何学的オブジェクトを作成することは、はるかに難しいことです」とコンラッド氏は述べています。

そのため、何十年もの間、幾何学的ラングランズプログラムは元のプログラムから離れたままでした。 XNUMXつは同じ目標によってアニメーション化されましたが、それらは根本的に異なるオブジェクトを含んでいたため、互いに会話させる実際の方法はありませんでした。

「算数の人々は、[幾何学的ラングランズプログラム]に戸惑っているように見えました。 彼らはそれは素晴らしいと言ったが、私たちの懸念とはまったく関係がない」とカレサは言った。

しかし、ショルツェとファーグスの新作は、幾何学的ラングランズプログラムに固定された希望を最終的に実現します。その特性がラングランズの当初の懸念と直接通信する最初の形状を見つけることによってです。

ショルツェのトゥール・ド・フォース

2014年26月、ショルツェはカリフォルニア大学バークレー校で特別コースを教えていました。 わずかXNUMX歳であるにもかかわらず、彼はすでに数学の世界で伝説的存在でした。 XNUMX年前に彼は論文を完成させ、パーフェクトイド空間と呼ばれる彼が発明したオブジェクトに基づいた新しい幾何学的理論を明確に表現しました。 その後、彼はこのフレームワークを使用して、重量モノドロミー予想と呼ばれる数論の問題の一部を解決しました。

しかし、特定の結果よりも重要なのは、それを取り巻く可能性の感覚でした。数学の他の質問がこの鋭い新しい視点にいくつもたらされるかはわかりませんでした。

ショルツェのコースのトピックは、パーフェクトイド空間の彼の理論のさらに拡張されたバージョンでした。 数学者たちは小さなセミナー室の席を埋め、壁に沿って並んで廊下にこぼれ出て彼の話を聞いた。

「これが革命的なものだとわかっていたので、誰もがそこにいたかったのです」と言った デビッドベンズヴィ テキサス大学オースティン校。

ショルツェの理論はに基づいていた と呼ばれる特別な番号システム p-アディックス。 の「p」 p-adicは、素数のように「素数」を表します。 素数ごとに、固有のものがあります p-アディック記数法：2アディック、3アディック、5アディックなど。 P-進数は、XNUMX世紀以上にわたって数学の中心的なツールでした。 これらは、比較すると扱いにくい有理数（正または負の整数の比率として記述できる数）で発生する質問を調査するための、より管理しやすい数システムとして役立ちます。

の美徳 p-進数は、それぞれがXNUMXつの素数に基づいているということです。 これにより、素数が無限大であり、それらの間に明らかなパターンがない有理数よりも、より単純で、より明白な構造になります。 数学者はしばしば、数字に関する基本的な質問を理解しようとします。 p-最初にadics、次にそれらのレッスンを理論的根拠の調査に戻します。

「 p-進数は有理数への小さな窓です」とカレサは言いました。

すべての数体系には幾何学的な形があります。たとえば、実数は線の形を取ります。 ショルツェのパーフェクトイド空間は、新しくより有用な幾何学的形態を与えました p-進数。 この強化されたジオメトリにより、 p-パーフェクトイド空間を通して見られるように、adicsは、多項式の解についての質問のような、基本的な数論的現象を精査するためのさらに効果的な方法です。

「彼は p-adicの世界とそれを幾何学にした」とBen-Zviは言った。 「それらは非常に基本的であるため、これは多くの成功につながります。」

バークレー校のコースで、ショルツェはパーフェクトイド空間の理論のより一般的なバージョンを提示しました。これは、彼が考案したダイヤモンドと呼ばれるさらに新しいオブジェクトに基づいています。 理論は、の使用をさらに拡大することを約束しました p-進数。 しかし、ショルツェが教え始めたとき、彼はそれを解決することさえしていませんでした。

「彼は理論を発展させながらコースを提供していました。 彼は夕方にアイデアを思いつき、朝に頭から新鮮なアイデアを提示していました」とカレサは言いました。

それは素晴らしい展示でした、そしてそれを聞いた部屋の人々の一人はローラン・ファーグスでした。

カーブを持って、旅行します

ショルツェが講義をしているのと同時に、ファーグスは特別学期に出席していました。 数理科学研究所 バークレーキャンパスから丘を上ったところにあります。 彼はについて多くのことを考えていました p-進数も。 過去XNUMX年間、彼はジャンマルクフォンテーヌと呼ばれる数学の分野で働いていました。 p-これらの数に関する基本的な算術問題に焦点を当てたadicHodge理論。 その間、彼とフォンテーヌは独自の新しい幾何学的オブジェクトを思いついた。 それは曲線— Fargues-Fontaine曲線—であり、その点はそれぞれ、と呼ばれる重要なオブジェクトのバージョンを表しています。 p-アディックリング。

当初考えられていたように、それは数学の技術的な部分で狭く有用なツールであり、分野全体を揺るがす可能性のあるものではありませんでした。

「これは、 p-アディックホッジ理論、それは私がそれをどう思うかです。 このカーブが現れる前に、これらすべてのリングを追跡することは不可能でした」とCaraiani氏は述べています。

しかし、ファーグスがショルツェに耳を傾けて座っていたとき、彼は数学における曲線のさらに大きな役割を想像しました。 幾何学的ラングランズプログラムの実現されなかった目標は、数論の質問への回答をエンコードする幾何学的オブジェクトを見つけることでした。 ファーグスは、彼の曲線がショルツェの曲線とどのように融合したかを認識しました p-adicジオメトリは、まさにその役割を果たすことができます。 学期半ばごろ、彼はショルツェを脇に置き、彼の初期の計画を共有しました。 ショルツェは懐疑的だった。

「彼はMSRIでのコーヒーブレイクでこのアイデアを私に話しました」とScholzeは言いました。 「それほど長い会話ではありませんでした。 最初は、それは良くないと思いました。」

しかし、彼らはより多くの会話をしました、そしてショルツェはすぐにアプローチが結局うまくいくかもしれないことに気づきました。 5月XNUMX日、学期が終了すると、ファーグスはMSRIで講義を行い、幾何学的ラングランズプログラムの新しいビジョンを紹介しました。 彼は、ショルツェの観点からファルゲス-フォンテーヌ曲線を再定義することが可能であるべきだと提案した。 p-adicジオメトリ、次にその再定義されたオブジェクトを使用して、ラングランズ対応のバージョンを証明します。 ファーグスの提案は、すでにスリリングな数学の季節であったものの最後の予想外の転換でした。

「それは今学期のこの壮大なフィナーレのようでした。 ショックを受けたのを覚えています」とBen-Zviは言いました。

ローカル通信

元のラングランズ予想は、有理数のガロア群の表現を保型形式と一致させることに関するものです。 ザ・ p-adicsは異なる記数法であり、Langlands予想のバージョンもあります。 （どちらも幾何学的ラングランズプログラムとは別です。）これには一種のマッチングも含まれますが、この場合は、ガロア群の表現間です。 p-の進数と表現 p-adicグループ。

それらの目的は異なりますが、XNUMXつの予想の精神は同じです。つまり、多項式の解を研究することです。XNUMXつのケースでは有理数の観点から。 p-もう一方の進数—一見無関係に見えるXNUMXつの種類のオブジェクトを関連付けることによって。 有理数にはすべての素数が含まれているため、数学者は有理数のラングランズ予想を「グローバル」ラングランズ対応と呼びます。 p-「ローカル」ラングランズ通信としてのadics p-進数システムは一度にXNUMXつの素数を扱います。

MSRIでのXNUMX月の講演で、Farguesは、Fargues-Fontaine曲線のジオメトリを使用してローカルラングランズ予想を証明することを提案しました。 しかし、彼とフォンテーヌは完全に異なり、より限定されたタスクのために曲線を開発したため、それらの定義には、曲線が最終的にこれらの拡大された計画をサポートするために必要な構造と複雑さを提供できる、より強力なジオメトリが必要でした。

状況は、特定の幾何学理論に依存しないXNUMX面形状に到達する方法と似ていましたが、その形状をユークリッド幾何学の理論と組み合わせると、突然、より豊かな生活を送ることができます。三角法、ピタゴラスを取得します。定理と明確に定義された対称性の概念。 本格的な三角形になります。

「[Fargues]は曲線のアイデアを取り入れ、ショルツェがそのアイデアを具体化するために開発した強力なジオメトリを使用していました」とカレサは言いました。 「これにより、曲線の美しい特性を正式に述べることができます。」

ファーグスの戦略は、「ローカルラングランズ対応の幾何化」として知られるようになりました。 しかし、彼がそれを作ったとき、既存の数学にはそれを実行するために必要なツールがなく、新しい幾何学理論が毎日登場することはありません。 幸いなことに、歴史は彼の味方でした。

「[Farguesの予想]は大胆なアイデアでした。Farguesには存在しないジオメトリが必要だったからです。 しかし、その瞬間にショルツェがそれを開発していたことが判明したのです」とカレサは言いました。

基礎ビル

バークレーで一緒に過ごした後、ファーグスとショルツェは次のXNUMX年間を費やして、計画に適した形でファーグス-フォンテーヌ曲線を再構築できる幾何学的理論を確立しました。

「2014年には、基本的に、全体像がどうあるべきか、そしてすべてがどのように組み合わされるべきかがすでに明確でした。 すべてが完全に不明確だっただけでした。 これについて話すための基盤はありませんでした」とショルツェは言いました。

作業はいくつかの段階で行われました。 2017年、ショルツェは「ダイヤモンドのエタールコホモロジー」は、バークレー校の講義で紹介した最も重要なアイデアの多くを形式化したものです。 彼はその論文を 別の大規模な作品 彼と共著者 ダスティン・クラウセン 2020年に一連の講義としてリリースされたコペンハーゲン大学の資料。ショルツェのダイヤモンドに関する研究で浮かび上がったいくつかの特定のポイントの基礎を確立するために、その資料（352ページすべて）が必要でした。

「ショルツェは、彼の[2017]論文の最後のXNUMXページで出てきた特定の技術的問題を処理するために、そこにある他のすべての理論を考え出さなければなりませんでした」とカレサは言いました。

全体として、これらの論文や他の論文により、FarguesとScholzeは幾何学的オブジェクトを定義するまったく新しい方法を考案することができました。 あなたが探しているオブジェクトを組み立てるためにちょうどいい方法で一緒に接着したいポイントの組織化されていないコレクション（ショルツェの言葉では「ほこりの雲」）から始めると想像してください。 Fargues and Scholzeが開発した理論は、その接着を実行するための正確な数学的方向性を提供し、最終的にはFargues-Fontaine曲線が得られることを証明します。 そして今回は、目前のタスクにぴったりの方法で定義されています—ローカルラングランズ通信に対処します。

「それは技術的に私たちがそれを手に入れることができる唯一の方法です」とScholzeは言いました。 「この種のフレームワークでジオメトリの多くの基礎を再構築する必要がありますが、それが可能であることに私は非常に驚きました。」

ファーグとフォンテーヌの曲線を定義した後、ファーグとショルツェは旅の次の段階に着手しました。ガロア群の表現とガロア群の表現との対応を証明するために必要な機能を備えています。 p-adicグループ。

これらの機能を理解するために、まず、円のような単純な幾何学的オブジェクトについて考えてみましょう。 円のすべての点で、その点で形状に接する線を配置することができます。 すべての点には固有の接線があります。 これらの多くの線をすべてまとめて、接束と呼ばれる補助的な幾何学的オブジェクトにまとめることができます。このオブジェクトは、基礎となる幾何学的オブジェクトである円に関連付けられています。

彼らの新しい作品では、FarguesとScholzeはFargues-Fontaine曲線に対して同様のことをしています。 ただし、接平面やバンドルの代わりに、より複雑な幾何学的オブジェクトを作成する方法を定義します。 シーブと呼ばれるXNUMXつの例は、接線を円上の点に関連付ける方法で、Fargues-Fontaine曲線上の点に自然に関連付けることができます。

シーブは1950年代にAlexanderGrothendieckによって最初に定義され、基礎となる幾何学的オブジェクトの代数的および幾何学的特徴が互いにどのように相互作用するかを追跡します。 何十年もの間、数学者は、幾何学的ラングランズプログラムで焦点を当てるのに最適なオブジェクトである可能性があると考えてきました。

「あなたはガロア群の表現論を束の観点から再解釈します」とコンラッドは言いました。

幾何学的ラングランズプログラムには、元のプログラムと同じように、ローカルバージョンとグローバルバージョンがあります。 シーブに関する質問は、ファーグスが地元のラングランズ通信につながる可能性があると疑ったグローバルな幾何学プログラムに関連しています。 問題は、数学者がその日を運ぶための適切な種類の幾何学的オブジェクトに定義された適切な種類のシーブを持っていなかったことでした。 現在、FarguesとScholzeは、Fargues-Fontaine曲線を介してそれらを提供しています。

始まりの終わり

具体的には、XNUMXつの異なる種類を考え出しました。コヒーレントシーブは、 p-adicグループ、およびガロアグループの表現へのエタールシーブ。 彼らの新しい論文で、FarguesとScholzeは、連接層をエタール射と一致させる方法が常にあることを証明しています。その結果、 p-ガロア群を表すadic群。

このようにして、彼らはついに地元のラングランズ通信の一方向を証明しました。 しかし、他の方向性は未解決の問題のままです。

「それはあなたに一方向を与えます、どのように表現から行くか p-ガロア群を代表するアディックグループですが、戻る方法はわかりません」とショルツェは述べています。

この作品は、ラングランズプログラムのこれまでの最大の進歩のXNUMXつであり、多くの場合、 ヴィンセント・ラフォルグ フランスのグルノーブルにあるFourierInstituteの、2018年のラングランズ通信のさまざまな側面についての説明です。これは、初期の数学者が幾何学的な手段でラングランズプログラムを試みることを愚かではなかったことを示す最も具体的な証拠でもあります。

「これらのことは、人々が幾何学的ラングランズで何十年も行っていた仕事の素晴らしい証拠です」とベンズヴィは言いました。

数学全体としては、新作の受容には畏敬の念と可能性があります。 p-アディック幾何学ショルツェは、大学院がファーグス-フォンテーヌ曲線に現れて以来構築してきました。その曲線がラングランズプログラムのまったく新しい未踏の次元を開くため、可能性があります。

「それは本当にすべてを変えました。 これらの過去XNUMX〜XNUMX年間で、彼らは本当に分野全体を変えました」とViehmannは言いました。

明確な次のステップは、ローカルラングランズ通信の両側を釘付けにすることです。これは、ファーグスとショルツェがこれまで舗装してきた一方向の道路ではなく、双方向の道路であることを証明するためです。

それを超えて、グローバルなラングランズ通信自体があります。 FarguesとScholzeの幾何学を翻訳する明白な方法はありません p-有理数の対応する構文への進数。 しかし、この新作を見るのも不可能であり、方法があるのではないかと考えています。

「それは私が本当に向かおうとしている方向です」とショルツェは言いました。