2018年、数学界最高の栄誉であるフィールズ賞の受賞を準備していたアクシャイ・ヴェンカテシュは、ポケットに一枚の紙を入れていた。 そこには、何世紀にもわたって数論で重要な役割を果たしてきた数式の表が書かれていました。

これらの表現は、過去 XNUMX 年間にわたるヴェンカテシュ自身の研究で顕著に取り上げられていましたが、彼はそれを、自分が達成したことの記念としてではなく、まだ理解していなかった何かを思い出させるために持ち歩いていました。

表の列は不可解に見える数式で埋められていました。左端にはピリオドと呼ばれるオブジェクトがあり、右にはピリオドと呼ばれるオブジェクトがありました。 L-関数は、現代数学における最も重要な質問のいくつかに答える鍵となる可能性があります。 この表は、この 2012 つの間にある種の関係があることを示唆しています。 XNUMX年の本の中で ヤニス・サケラリディス ジョンズ・ホプキンス大学の、 Venkatesh ピリオドが渡された場合、それに関連するピリオドがあるかどうかを判断できました。 L-関数。

しかし、彼らはその逆の関係をまだ理解できませんでした。 与えられたかどうかを予測することは不可能でした L-関数に一致するピリオドがありました。 彼らが見たとき L-機能、彼らは主に無秩序を見ました。

だからこそ、ヴェンカテシュはその紙をポケットにしまっていたのだ。 彼は、このリストを十分に見つめていれば、一見ランダムに見えるこのリストに共通する特徴が見えてくることを望んでいた。 L-機能は彼にとって明らかになるでしょう。 XNUMX 年間持ち歩いた後、彼らは持っていませんでした。

「このテーブルの背後にある原理が何なのか理解できませんでした」と彼は言いました。

2018 年はヴェンカテシュにとって、さまざまな意味で大きな年でした。 フィールズ賞の受賞に加えて、彼はそれまでXNUMX年間在籍していたスタンフォード大学からニュージャージー州プリンストンの高等研究所に移った。

彼とサケラリディス氏も話し始めた。 デビッドベンズヴィ、テキサス大学オースティン校の数学者で、一学期を同研究所で過ごしていた。 ベン=ズヴィは、サケラリディスとヴェンカテシュが興味を持っていた数字に関する同じ種類の疑問を、幾何学的な観点から研究しながら、数学の並行分野でキャリアを築いてきました。 ベンカテシュがどこにでも持ち歩いていたこの謎のテーブルについて話すのを聞いたとき、ベン＝ズヴィはほぼすぐに新しいピリオドの作り方を理解し始めました。 L-関数は相互に通信します。

この評価の瞬間をきっかけに、数年に渡るコラボレーションがこの XNUMX 月に実現し、Ben-Zvi、Sakellaridis、Venkatesh が次の投稿を投稿しました。 451ページの原稿。 この論文は、期間と期間の間の双方向の翻訳を作成します。 L- ピリオドを再キャストすることによって機能し、 L- 物理学における基本的な問題を研究するために使用される、一対の幾何学的空間に関する関数。

そうすることで、ラングランズ プログラムと呼ばれる数学における広範な研究イニシアチブの中で長年の夢が前進しました。 プログラム内の質問に取り組む数学者は、異なる分野の間に橋を架け、高度な形式の微積分 (周期の起源) を使用して、整数論 (数学の本拠地) における基本的な未解決の質問に答えることができることを示すことを目指しています。 L-関数)、または算術の基本的な質問に幾何学をどのように適用できるか。

彼らは、こうした橋が確立されれば、数学のある分野から別の分野に技術を移植して、自分たちの領域内では解決が難しいと思われる重要な疑問に答えることができると期待している。

新しい論文は、数十年にわたって主に互いに切り離されて進歩してきたプログラムの幾何学的側面と算術側面を結び付けた最初の論文の XNUMX つです。 このリンクを作成し、当初考えられていたラングランズ プログラムの範囲を効果的に拡大することにより、新しい論文は多数の数学的接続に対する単一の概念的枠組みを提供します。

「これにより、これまでの異なって見える現象の多くが統一され、それは数学者にとって常に喜ばしいことです」と述べた。 キム・ミンヒョン, スコットランドのエディンバラにある国際数理科学センターの所長。

接続のみ

ラングランズ プログラムを開始したのは、 ロバート・ラングランズ、現在は高等研究所の名誉教授です。 1967 年に 17 ページから始まりました。 手書きの手紙 当時プリンストン大学の若き教授だったラングランズから、世界で最も有名な数学者の一人であるアンドレ・ワイルまで。 ラングランズは、保型形式と呼ばれる微積分の重要なオブジェクトと、ガロア群と呼ばれる代数学のオブジェクトをペアにする方法があるべきだと提案しました。 保型形式は、三角関数のサインのような周期関数を一般化したもので、入力が増加するにつれて出力が際限なく繰り返されます。 ガロア群は、フィールドと呼ばれるエンティティ (実数や有理数など) が新しい要素で拡張されたときにどのように変化するかを記述する数学的オブジェクトです。

保型形式とガロア群の間のような組み合わせは双対性と呼ばれます。 彼らは、異なるクラスのオブジェクトが相互に反映され、数学者がどちらかを他方の観点から研究できることを示唆しています。

何世代にもわたる数学者は、ラングランズの仮説である双対性の存在を証明するために取り組んできました。 彼らは限られたケースに対してのみそれを確立することができましたが、それらの限られたケースでもしばしば素晴らしい結果をもたらしました。 たとえば、1994 年にアンドリュー ワイルズがラングランズの提案した双対性が特定のクラスの例に当てはまることを示したとき、その結果は彼のフェルマーの最終定理の証明となり、数学史上最も有名な成果の XNUMX つとなりました。

数学者はラングランズ プログラムを追求するにつれて、それをさまざまな方向に拡張してきました。

そのような方針の 2012 つは、ラングランズが興味を持っていたものとは関連しているが、それとは異なる算術オブジェクト間の双対性を研究することでした。サケラリディスとヴェンカテッシュは XNUMX 年の著書で、保型形式と密接に関連するピリオド間の双対性を研究しました。 L-関数。ガロア群に付加される無限和です。 数学的な観点から見ると、周期と L-関数は、明らかな共通の特徴を持たない、まったく異なる種類のオブジェクトです。

ピリオドは、1930 年代のエーリッヒ ヘッケの研究において数学的関心の対象として登場しました。

L-関数は、18 世紀半ばのレオンハルト オイラーの研究以来、数に関する基本的な疑問を調査するために使用されてきた無限和です。 一番有名な L-関数、リーマン ゼータ関数はリーマン予想の中心であり、素数がどのように分布するかについての予測とみなすことができます。 の リーマン仮説 おそらく数学における最も重要な未解決の問題です。

ラングランズ氏は、 L-関数と周期ですが、彼はそれらを数学のさまざまな領域を結合するという彼の計画の中で二次的な問題と見なしました。

「ある論文で、[ラングランズ] はこの時代の研究を考察し、 L研究する価値のないものとして機能する」とサケラリディス氏は語った。

マシンへようこそ

ロバート・ラングランズは時代と時代のつながりを強調しなかったが、 L-関数、サケラリディスとヴェンカテシュは、それらが、ラングランズが提案した一見遠く離れた数学領域間のつながりを広げ、深める中心となるものであるとみなした。

彼らは 2012 年の本の中で、ピリオドを入力として受け取り、長時間の計算を実行して出力する、ある種のマシンを開発しました。 L-関数。 すべての期間が対応するものを生成するわけではありません Lしかし、彼らの本の主な理論的進歩は、どの関数が機能するかを理解することでした。 (これは、京都大学の市野篤氏と池田保氏による以前の研究に基づいています。)

しかし、彼らのアプローチには XNUMX つの限界がありました。 まず、なぜ特定の期間が特定の結果をもたらすのか説明されていませんでした。 L-関数。 一方をもう一方に変えるマシンはブラックボックスでした。 あたかも、お金を入れるたびに何か食べるものを確実に出してくれる自動販売機を作ったかのようでしたが、事前にはそれが何になるか、あるいは軽食を出さずにその機械がお金を食べてしまうかどうかはわかりませんでした。

どのような場合でも、お金を、つまり生理を投入して、「行って長い計算をして、動物園の中からどれが当たるかを確認する」のです。 L-あなたが得た機能です」とヴェンカテシュ氏は言いました。

彼らが著書の中で達成できなかった二番目のことは、どのようなものかを理解することでした。 L-関数にはピリオドが関連付けられています。 そうする人もいます。 他の人はそうではありません。 彼らにはその理由が分かりませんでした。

彼らは本が出版された後も研究を続け、なぜ接続が機能するのか、そしてマシンを両方向に実行する方法を解明しようとしました。 L- ピリオドからの関数ですが、その逆も可能です。

言い換えれば、彼らは自動販売機に 1.50 ドルを入れれば、チートスが 1.50 袋手に入るということを知りたかったのです。 さらに、彼らは、チートスの袋を持っている場合、自動販売機に XNUMX ドルを入れることを意味することを伝えたいと考えていました。

一見すると何の共通点もないオブジェクトを結び付けるため、二重性は強力です。 数学的オブジェクトのラインナップを永遠に見つめていても、どのような仕組みになっているのか理解できないかもしれません。 L-関数と期間が一致します。

「それらの定義と与え方、この時代と L-関数、明らかな関係はありません」と言いました ウィー・テック・ガン シンガポール国立大学の博士号。

表面的に矛盾したものの間を翻訳するには、共通点を見つける必要があります。 次のようなオブジェクトに対してそれを行う方法の XNUMX つ L-関数と周期は数論に由来しており、それらを幾何学的オブジェクトと関連付けることです。

おもちゃの例として、三角形があると想像してください。 各辺の長さを測定すると、どのように書き留めるかを示す一連の数値を生成できます。 L-関数。 別の三角形を見て、長さではなく XNUMX つの内角に注目してください。これらの角度を使用して周期を定義できます。 だから比較するのではなく L-関数と期間を直接比較すると、それらに関連付けられた三角形を比較できます。 三角形は、 L-関数とピリオド — ピリオドが特定の角度の三角形と一致する場合、その三角形の長さは対応する三角形と一致します。 L-関数。

「この時期と L-関数、それらがあなたに与えられる方法には明らかな関係はありません。 つまり、重要なのは、それぞれを別の方法で、別の方法で理解できれば…それらが非常に似ていることに気づくかもしれない、ということです」とガン氏は語った。

Sakellaridis と Venkatesh は 2012 年の著書で、この翻訳の一部を実現しました。 彼らは、特定の種類の幾何学的オブジェクトを使用して時代にインデックスを付ける満足のいく方法を発見しました。 しかし、彼らは同様の考え方を見つけることができませんでした L-関数。

ベン・ズヴィはそれができると思った。

マクスウェルのデュアルハンマー

サケラリディスとヴェンカテシュの研究はラングランズのビジョンとはわずかにずれていましたが、ベン-ズヴィはまったく異なる世界、つまりラングランズ プログラムの幾何学的バージョンにある数学の分野に取り組みました。

幾何学的なラングランズ プログラムは、ウラジミール ドリンフェルドとアレクサンダー ベイリンソンが一種の二次双対性を提案した 1980 年代初頭に始まりました。 ドリンフェルドとベイリンソンは、ガロア群と保型形式の間のラングランズの双対性は、1990 種類の幾何学的オブジェクト間の類似の双対性として解釈できると提案しました。 しかし、XNUMX 年代に Ben-Zvi がハーバード大学の大学院生として幾何学的なラングランズ プログラムに取り組み始めたとき、幾何学的なラングランズ プログラムとオリジナルのラングランズ プログラムの間のつながりは、いくぶん野心的なものでした。

「幾何学的なラングランズが最初に導入されたとき、[オリジナルの] ラングランズ プログラムからこの [幾何学的な] ステートメントに至るまでの一連の心理的ステップは、別の獣のように感じられました」と Ben-Zvi 氏は言いました。

ベン＝ズヴィ氏が高等研究所でサバティカルな一年を過ごした2018年までに、両者の関係は少しずつ接近しており、最も注目すべきは、グルノーブルのフーリエ研究所の研究者ヴァンサン・ラフォルグ氏が同年に発表した研究成果だ。 それでも、Ben-Zvi 氏は、2018 年のサバティカルな IAS 訪問を、ラングランズ プログラムの幾何学的な側面に関する研究に利用する予定でした。 ヴェンカテシュの講演を聞きに行ったとき、彼の計画は中断された。

「息子とアクシャイの娘は遊び友達で、社交的にも友人だったので、学期初めにアクシャイが行った講演に参加しようと思ったのです」とベンズヴィさんは語った。

それらの初期の講演の XNUMX つで、ヴェンカテシュ氏は、時代と時代の両方を索引付けできる一種の幾何学的オブジェクトを見つける必要性を説明しました。 L彼はその方向における最近の進歩について説明しました。 それには、シンプレクティック幾何学と呼ばれる数学の分野の幾何学的空間を使用する試みが含まれていました。ベン・ズヴィは、幾何学的なラングランズ プログラムでの研究でよく知っていました。

「（アクシャイとヤニスは）物事をシンプレクティック幾何学で捉える方向に進んでいた。それが私にとってさまざまな鐘を鳴らした」とベン・ズヴィは語った。

次のステップは物理学です。

何十年もの間、物理学者や数学者は双対性を利用して、自然の力がどのように機能するかについての新しい説明を考え出してきました。 最初の最も有名な例は、19 世紀後半に初めて書き留められた、電場と磁場を結び付けるマクスウェルの方程式から来ています。 方程式は、変化する電界がどのように磁界を生成するか、そして変化する磁界がどのように電界を生成するかを説明します。 それらは合わせて単一の電磁場として説明できます。 真空では、「これらの方程式は素晴らしい対称性を持っています」とベン・ズヴィ氏は語った。 数学的には、電気と磁気は、結合電磁場の挙動を変えることなく位置を切り替えることができます。

研究者は純粋に数学的な結果を証明するために物理学からインスピレーションを得ることもあります。 たとえば、物理学者の Davide Gaiotto と Edward Witten は 2008 年の論文で、電磁気学の場の量子理論に関連する幾何学的空間が幾何学的なラングランズ プログラムにどのように適合するかを示しました。 これらの空間は、電磁二重性の各側に XNUMX つずつペアで存在します。ハミルトニアン G-空間とその双対: ハミルトニアン Ğ-スペース (G ハット スペースと発音します)。

Ben-Zvi は、Gaiotto-Witten の論文が発表されたときにそれを吸収し、その論文が提供した物理学のフレームワークを使用して、幾何学的なラングランズの問題について考えていました。 しかし、その研究は、ましてその動機となった物理学論文は言うまでもなく、元のラングランズ プログラムとはまったく関係がありませんでした。

それは、ベン＝ズヴィがIASの聴衆の中にいてヴェンカテシュの話を聞いていることに気づくまでのことだった。 彼は、2012 年の著書の後、彼とサケラリディスが時代について幾何学的に考える正しい方法はハミルトニアンの観点から考えることだと信じるようになったとヴェンカテシュが説明しているのを聞きました。 G-スペース。 しかし、ヴェンカテシュ氏は、どのような幾何学的なオブジェクトと組み合わせるべきか分からないことを認めました。 L-関数。

それはベン・ズヴィにとって衝撃的な出来事だった。 かつてサケラリディスとヴェンカテシュはハミルトニアンと時代を結び付けていた G-スペース、二重幾何学的オブジェクトが何のためのものであるかはすぐに明らかになりました L-関数は次のようにする必要があります: Ğ-ガイオットとヴィッテンが言った空間は、 G-スペース。 ベン=ズヴィにとって、算術、幾何学、物理学のすべての二重性は収束しつつあるように見えました。 彼は数論をすべて理解していなかったとしても、それがすべて「XNUMX つの大きくて美しい絵」の一部であると確信していました。

に G またはしない Ğ

2018年の春、ベン・ズヴィ、サケラリディス、ヴェンカテシュは高等研究所のキャンパス内にあるレストランで定期的に会っていた。 数か月かけて、彼らはから抽出されたデータを解釈する方法を考え出しました。 L-ハミルトニアンを構築するためのレシピとして機能します Ğ-スペース。 彼らが確立したイメージでは、時代と時代の間の二重性が描かれています。 L-関数は、幾何学的なラングランズ プログラム内で意味をなす幾何学的な二重性に変換され、電気と磁気の間の二重性に由来します。 物理学と算術は、ラングランズ プログラム全体に反映される形で、相互に反映されます。

「オリジナルのラングランズの設定は、この新しいフレームワークの特殊なケースになっていると言えるかもしれません」とガン氏は語った。

XNUMX 人の数学者は、異なる現象を統合することによって、電気と磁気の関係に固有の秩序の一部を、周期と磁気の関係にもたらしました。 L-関数。

「幾何学的なラングランズ対応を物理的に解釈すると、より自然になります。 それはこの二重性の全体像に当てはまります」とキム氏は語った。 「ある意味、[この新しい研究が]行っていることは、同じ種類の言語を使用して算術対応を解釈する方法です。」

仕事には限界があります。 特に、XNUMX 人の数学者は、期間と期間の間の二重性を証明しました。 L-Langlands プログラムの本拠地である実数のような数値フィールドではなく、関数フィールドと呼ばれる幾何学で発生する数値システム上の関数。

「基本的な図は、数値フィールドを網羅することを目的としています。 これらはすべて、最終的には数値フィールド用に開発されると思います」と Venkatesh 氏は言いました。

機能分野を越えても、この作品は時代と時代の関係に秩序をもたらします。 L-機能。 ベンカテシュさんは何ヶ月もの間、プリントアウトしたものをポケットに入れて持ち歩いていたが、彼もサケラリディスさんもなぜそのようなことが起こったのか全く分からなかった。 L-関数はピリオドに関連付けられた関数である必要があります。 これで、この関係は双方向で意味をなすようになりました。 彼らは共通言語を使用して自由に翻訳できます。

「私はこれらすべての時代を知っていましたが、それぞれの時代を変えることができることを突然学びました、そしてそれは私が知っていた別の時代に変わります。 それは非常に衝撃的な認識だ」とベンカテシュ氏は語った。