素数には2種類あります。 1 つ目は孤立した外れ値です。4、唯一の偶数素数です。 その後、素数の半分は 3 で割ると余り 5 を残します。残りの半分は余り 13 を残します。(7 と 11 は最初のキャンプに該当し、1 と 3 は XNUMX 番目のキャンプに該当します)。 -XNUMX 素数と剰余-XNUMX 素数は根本的に異なる動作をするはずです。 しかし、彼らはそうします。

19 つの重要な違いは、おそらく XNUMX 世紀で最も影響力のある数学者であるカール ガウスによって最初に証明された XNUMX 次相反性と呼ばれる性質に由来します。 「これは非常に単純な命題であり、数論だけでなく、あらゆる種類の数学に応用できるものです」と氏は述べた。 ジェームズ・リッカーズ、コロラド大学ボルダー校の数学者。 「しかし、それは本当に興味深いものであるほど自明ではないことでもあります。」

数論は、(形状や連続量とは対照的に) 整数を扱う数学の一分野です。 DNA が生物学の中核であるのと同じように、素数 (1 とそれ自体でしか割り切れない数) がその核心です。 二次相反性は、どれだけ証明できるかについての数学者の概念を変えました。 素数を山脈と考えると、相反性は、数学者がこれまで到達できなかった山頂に登ることができ、その山頂から隠されていた真実を見ることができる細い道のようなものです。

これは古い定理ですが、新しい応用が続いています。 この夏、リッカーズと彼の同僚は、 キャサリン・スタンジ二人の生徒と一緒に、 広く受け入れられている推測を反証した 小さな円を大きな円の中にどのように詰め込むことができるかについて。 この結果は数学者たちに衝撃を与えた。 ピーターサルナック高等研究所とプリンストン大学の数論者である彼女は、研究チームの研究が終了してすぐのカンファレンスでスタンジ氏と話した。 掲示 彼らの紙。 「彼女は反例があると私に言いました」とサーナクは思い起こす。 「私はすぐに彼女に尋ねました。『どこかで返報性を利用していますか？』 そしてそれは確かに彼女が使っていたものでした。」

素数のペアのパターン

相反性を理解するには、まずモジュラー算術を理解する必要があります。 モジュラー演算は、モジュラスと呼ばれる数値で除算するときの剰余の計算に依存します。 たとえば、9 モジュロ 7 は 2 です。9 を 7 で割ると、余りが 2 になります。モジュロ 7 の数値体系には、{7、0、1、2、3、4 の 5 つの数値があります。 、６｝。 これらの数値は加算、減算、乗算、除算できます。

整数の場合と同様に、これらの数体系には完全二乗、つまり別の数値とそれ自身の積を掛けた数値が含まれる場合があります。 たとえば、0、1、2、および 4 は、7 を法とする完全二乗です (0 × 0 = 0、1 × 1 = 1、2 × 2 = 4、および 3 × 3 = 2 mod 7)。 すべての通常の平方は、0 を法とする 1、2、4、または 7 のいずれかに等しくなります。(たとえば、6 × 6 = 36 = 1 mod 7)。剰余数体系は有限であるため、完全平方の方が一般的です。

二次相反性は、比較的単純な質問から生じています。 XNUMX つの素数が与えられると p & q、それを知っていれば p は完全平方モジュロです qかどうか言えますか？ q は完全平方モジュロです p?

どちらかの場合に限り、 p or q 1で割った余りが4になる場合、 p は完全平方モジュロです qをタップし、その後、 q も完全二乗モジュロです p。 XNUMXつの素数は往復すると言われています。

一方、どちらも 3 の余りを残す場合 (たとえば、7 と 11)、返還されません。 p 平方モジュロです q、つまり q 平方モジュロにはなりません p。 この例では、11 = 7 mod 11 であるため、4 は 7 を法とする平方であり、4 が 7 を法とする完全平方の 7 つであることはすでにわかっています。したがって、11 は 4 を法とする平方ではないということになります。平方 (9、16、25、36、49、64、11、...) を 7 で割った余りを見ると、XNUMX は決して現れません。

これ、専門用語で言うと本当に変なんです！

一般化の力

多くの数学的考え方と同様、相反性は一般化できるため、影響力を持っています。

ガウスが 1801 年に二次関数の相反性の最初の証明を発表した直後、数学者はこのアイデアを平方を超えて拡張しようとしました。 「なぜ第三権力や第四権力ではないのか？ 彼らは、おそらく XNUMX 次の相反則または XNUMX 次の相反則があるのではないかと想像しました」と述べた。 キース・コンラッド、コネチカット大学の数論者。

しかし、彼らは行き詰まってしまった、とコンラッド氏は言う。「簡単なパターンはないからだ」。 ガウスが、マイナス 1 の平方根を加算する複素数の領域に相反性を導入すると、この状況は変わりました。 i、普通の数字に。 彼は、数論者が通常の整数だけでなく、実数部と虚数部が両方とも整数である複素数である、いわゆるガウス整数のような他の整数に似た数学系も分析できるという考えを導入しました。

ガウス整数では、何が素数としてカウントされるかという概念全体が変わりました。 たとえば、5 = (5 + i) × (2 − i）。 「小学生に戻ったかのような気持ちでやり直さなければなりません」とコンラッドさんは言う。 1832 年、ガウスは彼の名を冠した複素整数の XNUMX 次相反法則を証明しました。

突然、数学者はモジュラー算術や因数分解などのツールをこれらの新しい数値体系に適用することを学びました。 コンラッド氏によると、二次相関関係がインスピレーションとなったという。

複素数がなければとらえどころのなかったパターンが現れ始めました。 1840 年代半ばまでに、ゴットホルト・エイゼンシュタインとカール・ヤコビは最初の XNUMX 次相反法則を証明しました。

そして 1920 年代に、現代代数の創始者の XNUMX 人であるエミール アルティンが、コンラッドの言う「究極の相互法則」を発見しました。 他のすべての返報性の法則は、アーティンの返報性の法則の特殊なケースと見なすことができます。

XNUMX 世紀を経た今も、数学者たちはガウスの最初の XNUMX 次相互法則の新しい証明を考案し、それを新しい数学的文脈に一般化しています。 明確な証拠がたくさんあると便利です。 「結果を新しい設定に拡張したい場合、おそらく議論の XNUMX つは簡単に引き継がれますが、他の議論は引き継がれないでしょう」とコンラッド氏は言いました。

互恵性がなぜそれほど役立つのか

二次相反性は、グラフ理論、代数トポロジー、暗号などのさまざまな研究分野で使用されます。 後者では、1982 年に開発された影響力のある公開キー暗号化アルゴリズムです。 Shafiゴールドワッサー & シルビオミカリ XNUMX つの大きな素数の乗算に依存します p & q 一緒に結果を出力し、 N、数字とともに、 x、これは平方モジュロではありません N。 アルゴリズムが使用するのは、 N & x デジタルメッセージをより大きな数字の文字列に暗号化します。 この文字列を復号化する唯一の方法は、暗号化された文字列内の各数値が平方モジュロであるかどうかを判断することです。 N — 素数の値が分からなければ事実上不可能 p & q.

そしてもちろん、二次の相反性は数論の中で繰り返し現れます。 たとえば、1 を法とする 4 に等しい素数は 13 つの平方和として記述できることを証明するために使用できます (たとえば、1 は 4 を法とする 13 に等しく、4 = 9 + 2 = XNUMX)² + 3²）。 対照的に、3 の法 4 に等しい素数は、XNUMX つの平方の和として書くことはできません。

サーナク氏は、どの数値が 4 つの立方体の合計として記述できるかを考えるなど、未解決の問題を解決するために相互関係が使用される可能性があると指摘しました。 5 を法として 9 または 2019 に等しい数値は XNUMX つの立方体の和に等しくないことは知られていますが、その他の数値は謎のままです。 （XNUMX年、アンドリュー・ブッカー 生成された見出し (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33 であることを発見したとき。)

スタンゲ氏は、その多くの応用やさまざまな証明にもかかわらず、相互主義については謎のままであると述べた。

「数学的な証明でよく起こるのは、すべてのステップを実行できるということです。 それが真実だと信じていいよ」と彼女は言った。 「それでも、反対側から出てくると、『でも、なぜ？』という気持ちになることもあります。」

7 と 11 が 5 や 13 と何が違うのかを直感的なレベルで理解するのは、永遠に不可能かもしれません。 「私たちがやりくりできるのは、非常に多くのレベルの抽象化だけです」と彼女は言いました。 「それは数論のいたるところに現れます…しかし、それは実際にただ知ることができると思われることのほんの一歩を超えています。」

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