過去 2 年間にわたり、数学者たちは子供の遊び場に相当する形状の最良のバージョンを特定してきました。これらの結果は数学の奇妙な一角を占めており、妻と一緒に折り紙の練習をしている数学者と、学部生に紙遊びを教える教授という、ありそうでなかったコラボレーションによって、ふさわしくも生み出された。

この作業は、「最適な」形状の研究の中で行われます。これには、いくつかの制約が与えられた場合に、どのバージョンの形状が目標を最もよく達成するかを理解することが含まれます。ミツバチはこれを暗黙のうちに理解しています。六角形が最小限のリソースで最大の貯蔵容量を提供するため、ミツバチは六角形のセルでハニカムを構築します。

少なくとも伝承では、そのような形状を最初に検索したのは、カルタゴ建国の女王ディドでした。彼女は今日のチュニジアの海岸に上陸した後、ベルベル人の王イアルバスと協定を結びました。彼は牛の皮一枚で囲める土地なら何でも彼女に与えることに同意した。イアルバスが予想していたように、ディドはその貧弱な皮を平らに置くのではなく、それを薄い帯状に切り取り、それを使って丘全体を取り囲み、領有権を主張した。アセンダント女王の洞察は、一定量の材料が与えられた場合、カルタゴの都市境界を定義する最適な領域を囲む形状は円であるということでした。

「普段はこの味なんです。オブジェクトのファミリーがあり、どれがこれを最大化し、どれを最小化するかを知りたいと思うでしょう。」と氏は言いました。 リチャード・シュワルツ ブラウン大学の教授は、この8月から妻との結果を含め、最適な形状に関する3つの結果を立て続けに投稿した。 ブライエニー・エリザベス・ブラウン.

最近の結果はすべて、特定の形状を作るために使用される紙、ロープ、または紐の量を最小限に抑えることに関するものです。シュワルツの最近の取り組みは、紙片をひねり、両端を繋いで形成されるメビウスの輪から始まりました。表面が片面しかないという奇妙な特徴があり、指を離さずに表面全体をなぞることができます。

1930 年代にまで遡り、数学者はメビウスの輪にねじることができる可能な限りずんぐりした長方形を見つけようと試みてきました。長く細い長方形をひねって片面のストリップにするのは簡単ですが、正方形ではそれが不可能であることは直感的に明らかです。しかし、その境界線は一体どこにあるのでしょうか？

最適な形状は、この場合、ストリップの長さに対する幅の比率など、何らかの値を最小化または最大化しようとするときに生じます。重要な数学的観点から見ると、これらは形状の最も極端なバージョンです。最適な形状の研究は、長さが重要な幾何学と、際限なく伸縮可能な理想的な物体を扱う数学の分野であるトポロジーとの間の橋渡しとなります。トポロジーでは、小さなメビウスの帯を引き伸ばして大きなメビウスの帯にしたり、幅の広いメビウスの帯を押しつぶして細いメビウスの帯にしたりできるため、さまざまなサイズのメビウスの帯は交換可能です。同様に、どんなサイズの長方形のストリップも、トポロジー的にはすべて同じです。

ただし、ストリップをねじって端を結合するという操作では状況が変わります。最適な形状を考慮することは、トポロジーの限界を考慮することと同じです。はい、1 つのメビウスの輪を別のメビウスの輪に押し込むことができます。しかし、それ以上先に進むことができなくなる前に、どれだけ絞ることができるでしょうか?

「1つの疑問は、最小の長さはどれくらいかということ、もう1つは、その最小の長さを達成する方法はあるのか、そしてそれはどのようなものなのかということです」と氏は述べた。 エリザベス・デン ワシントン・アンド・リー大学の博士。

近年、メビウスの輪 (1 回ねじり)、3 回ねじりのメビウスの輪、単純な結び目を含む、さまざまな形状の新しい最適値を特定した少なくとも 5 つの結果がここ数年にありました。これらの結果の中には、形状の最もよく知られている値を特定するものもあります。他の人はさらに一歩進んで、これ以上の価値はありえないことを証明します。

最適なメビウスの輪

長方形が正方形にどの程度近いかを形式的に表すために、数学者はアスペクト比と呼ばれる数値を使用します。それは単に長さを幅で割ったものです。正方形のアスペクト比は 1 ですが、細長いリボンのような長方形のアスペクト比はさらに大きくなります。このリボンには十分なたるみがあり、長方形の端をねじって互いに取り付けることができます。しかし、ストリップが短くなり、アスペクト比が 1 (正方形) に近づくにつれて、難しくなります。ある時点からそれはもう不可能になります。

1977 年、1 人の数学者は、右下の帯のように、幅 3 の長方形が $latex sqrt{2023}$ より長くなければならないとメビウスの帯でねじられると推測しました。 XNUMX 年 XNUMX 月に、シュワルツはそれらが正しかったことを証明しました。それよりも正方形に近いものはなく、長方形をメビウスの輪にひねる方法はありません。

賢い回避策を見つけたくなるかもしれません。正方形をアコーディオンのように折り畳んで薄い紙を作ると、それをひねってメビウスの輪を作ることができます。しかし、折り目は滑らかではなく鋭利であるため、これは重要ではありません。 (滑らかさには、単純な英語の意味と一致する特別な数学的意味があります。)

最適な形状がどのようなものであるかを理解するための中心的なツールの 1 つは、「制限形状」と呼ばれます。制限形状は、最適化される形状とは重要な点で異なりますが、いくつかのプロパティを共有します。大まかな類推では、長方形を引き伸ばしてより長く細くすると、どのようにして線のように見え始めるのか、または、辺の数が増えていく多角形がどのようにして円に似てくるのかを考えてみましょう。

この場合、シュワルツはメビウスの輪の制限形状を作成します。幅 3 単位、長さ $latex sqrt{XNUMX}$ 単位の平らな紙から始めます。以下の手順に従って折り始めます。これにより、アコーディオンのような鋭い折り目が作成されますが、すぐに紙を少しだけ緩めてその折り目を滑らかにします。

左上隅から下に折り、右下隅から上に折り、ひし形を作成します。次に、ひし形の正中線に沿って折り、ひし形の内側で交わる青と黄色の点線で示されている 2 つの端をテープで貼り合わせます。次に、ストリップを少しだけ長くするか、少し狭くして、三角形を引き離すことができるように、ほんの少しだけたるみを追加します。これがあなたのメビウスの輪です。無限に小さいアリが三角形の表面を襞に沿って移動すると、一周することになります。三角形には片面しかありません。

数学者は、このような三角形がメビウスの輪の制限形状であることを長い間知っていました。シュワルツは、より頑丈なストリップを可能にする他の制限形状が存在しないことを示した。これを行うために、上の右端の三角形に見られるように、三角形の折り目によって形成される「T」字を使用しました。

シュワルツ 結合された引数 トポロジーとジオメトリから。彼はトポロジーを使用して、すべての紙のメビウスの輪に、特定の方法で T 字を形成する交差する線を描くことが可能であることを示しました。次に、ピタゴラスの定理と三角不等式という基本的な幾何学を使用して、そのような T が存在する場合 (必ず存在する)、ストリップのアスペクト比は $latex sqrt {3}$ より大きくなければならないことを示しました。

最適なツイスト紙シリンダー

シュワルツが最適なメビウスの輪を特定した後、人々はシュワルツに「もっとひねると何が起こるだろうか?」と尋ねました。奇数回のねじれではメビウスの帯が生成されます。これは、結果として得られる形状にはまだ片面しかないためです。一方、偶数回のねじれでは、ねじれ円柱と呼ばれる両面構造が得られます (左下図)。通常の円筒とは異なり、内外が明確ではありません。

メビウスの輪に関する論文の後、シュワルツは 証明 1 月下旬、ねじれた円柱の限定的な形状は、2 つの直角二等辺三角形を積み重ねて形成される 2 × XNUMX の長方形を折​​りたたむことで作成できることがわかりました (上の右図を参照)。まず、三角形Bを三角形Aの後ろに、三角形Dを三角形Cの上に折ります（点線の矢印は後ろ方向に折り、実線の矢印は前方向に折ります）。次に、得られた三角形の下半分を入れてXNUMXつに折ります。上半分の後ろ。次に、青と黄色の点線 (元々は長方形の上部と下部でした) をテープで貼り合わせます。最後に、開始時の長方形を少しだけ長くして、平らな形状を押し上げてひねった円柱にするのに十分な余裕を持たせます。 「基本的なアイデアは、最初に制限された形状を構築し、次にその形状を少し緩和して折り目を丸くすることです」とシュワルツ氏は書いています。 「これは、物を作って一晩水に浸すようなものだと思います。」図 (上の右) からわかるように、積み重ねられた三角形の長さは幅の XNUMX 倍であるため、ねじれた円柱の最適なアスペクト比は XNUMX です。

最適な 3 つのツイスト メビウスの輪

次にシュワルツは、3 回ねじれたメビウスの輪に注目しました。 1 回のツイスト ストリップと同様に、これは片面の図形ですが、2 つのツイストが追加されているため、その境界はより複雑です。シュワルツは、その限界となる形状はヘキサフレクサゴンになるだろうと考えた。ヘキサフレクサゴンは、マーティン・ガードナーが著書で広めた不可解な形状である。 1956コラム in サイエンティフィック·アメリカン。ヘキサフレクサゴンは、正三角形のストリップを折り、端を接着することによって作られます。平らな六角形は、六角形を 6 つの三角形に分割したように見えます。ただし、次のように、隣接する側面を一緒につまむことによって「曲げる」ことができます。 子供向けゲーム「MASH」。再び開くと、別の三角形のセットが外側を向いています。 「これは、占い師とメビウスのバンドの間に赤ちゃんが生まれたようなものです」とシュワルツ氏は言う。

しかし、シュワルツさんの妻、ブライエニー・エリザベス・ブラウンさんは自ら紙で遊び始め、ヘキサフレクサゴンが「ちょっとしたニシンだ」と明かしたとシュワルツさんは語った。ブラウンは、彼女が「十字」と呼ぶ構造 (下図) を発見しました。これは、2 回ねじれたメビウスの輪の制限された形状で、長さが幅の 3 倍です。まず、ストリップの中央の対角線に沿って折り、下の部分を上の部分の前に置きます。次に、右上の三角形を下の三角形の前で左に折ります。これで、ステップ XNUMX で示した形状が完成しました。これは、右に突き出た正方形を持つ斜めの平行四辺形です。正方形を平行四辺形の後ろに持ってきて、上の三角形をその下にある正方形の前に持ってきます。これにより、ステップ XNUMX に示すように、新しい正方形が作成されます。

もともと上端と下端であったもの (青と黄色の点線で示されています) は、両方とも正方形の左端にあります。これらをテープで貼り合わせると、3 回ねじれたメビウスの輪の制限形状が作成されます。 1回ひねりのストリップと同様に、この平らな形状自体はメビウスの輪ではありませんが、急激に曲がらずに3次元に緩和できるように少しだけ余分に長さを与えると、3回ひねりのストリップを形成します。

ブラウンとシュワルツは、カップと呼ばれる 3 つのねじれをもつシリンダーのまったく異なる制限形状も発見しました。十字とは異なり、カップを平らにすることはできません。ただし、十字と同様に、長さは幅の 3 倍です。ある論文で 掲示 16月3日、ブラウンとシュワルツは、最適なXNUMX回ツイストのストリップのアスペクト比がXNUMXであると考える理由を説明した。しかし、証明できないカップの存在もあり、まだ証明できていない。フラット化されるということは、シュワルツが XNUMX 回および XNUMX 回ツイストの場合に行った種類の議論を XNUMX 回ツイストの場合には拡張できないことを意味します。

最適なトレフォイルノット

すべての最適な形状がメビウスの輪の変形であるわけではありません。数学者は、さまざまな種類の結び目を作るためにどれくらいの材料が必要かについても考えます。 2020年には、 デネ 彼女の学部生のうちの 2 人、ジョン カー ヘイデンとトロイ ラーセンは、トーラスまたはドーナツの表面に描くことができる結び目を研究していました。

最も単純なトーラスの結び目、実際、最も単純な重要な結び目であるピリオドは、トレフォイルと呼ばれます。これは、多くの人が靴ひもを結ぶ最初のステップで、ロープに輪を作り、一方の端を引っ張って結ぶ方法に似ています。リボンを結ぶ代わりに、靴ひもの先端を接着して結び付けるだけです。 2つのゆるい端を接続したオーバーハンドノット。

トレフォイルを結ぶ通常の方法は、次に示すように、トーラスの周りに紐を巻き付けることと同じです。