まず、 トポロジー 数学の異常に不正確な分野のように見えることがあります。 これは、無制限に曲げたり、伸ばしたり、圧縮したりできるスクイーズな遊び生地の形状の研究です。 しかし、トポロジー学者にはいくつかの制限があります。シェイプ内に穴を作成したり破壊したりすることはできません。 （コーヒーマグとドーナツはどちらもXNUMXつの穴があるため、トポロジー学者が区別できないのは古い冗談です。）これは代数の厳密さからは程遠いように見えるかもしれませんが、ホモロジーと呼ばれる強力なアイデアは数学者を助けますこれらのXNUMXつの世界を接続します。

「穴」という言葉は、日常の会話で多くの意味を持っています。泡、輪ゴム、ボウルにはすべて、さまざまな種類の穴があります。 数学者は、特定のタイプの穴を検出することに関心があります。これは、閉じた中空の空間として説明できます。 一次元の穴は輪ゴムのように見えます。 輪ゴムを形成する波線は閉じており（糸の緩い部分とは異なり）、中空です（ペニーの周囲とは異なります）。

このロジックを拡張すると、XNUMX次元の穴は中空のボールのように見えます。 数学者が探している種類の穴（閉じた穴と中空の穴）はバスケットボールにありますが、ボウルやボウリングボールにはありません。

しかし、数学は厳密に取引されており、このように穴について考えると、輪ゴムやバスケットボールに直観を向けるのに役立つかもしれませんが、数学的な定義として認められるほど正確ではありません。 たとえば、高次元の穴を明確に説明しておらず、閉じた空間と中空の空間を区別するようにコンピュータをプログラムすることはできませんでした。

「穴の良い定義はありません」と言った ホセペレア ミシガン州立大学の。

したがって、代わりに、相同性は、オブジェクトの穴をその境界から推測します。これは、より正確な数学的概念です。 オブジェクトの穴を研究するために、数学者はその境界についての情報だけを必要とします。

形状の境界は、その周辺の点の集合であり、形状の境界は、常に形状自体よりもXNUMX次元低くなります。 たとえば、XNUMX次元の線分の境界は、両端のXNUMX点で構成されます。 （点はゼロ次元と見なされます。）中実の三角形の境界は、XNUMX次元のエッジで構成される中空の三角形です。 同様に、中実のピラミッドは中空のピラミッドで囲まれています。

XNUMXつの線分をくっつけると、それらが交わる境界点が消えます。 境界点は崖の端のようなものです—それらは線から落ちそうです。 しかし、線を接続すると、端にあった点がしっかりと中央に配置されます。 これとは別に、XNUMX本の線には合計XNUMXつの境界点がありましたが、それらをくっつけた場合、結果の形状にはXNUMXつの境界点しかありません。

XNUMX番目のエッジを取り付けて構造を閉じ、中空の三角形を作成できる場合、境界点は完全に消えます。 コンポーネントエッジの各境界点は別の境界点と打ち消し合い、中空の三角形には境界がありません。 したがって、行のコレクションがループを形成するたびに、境界はキャンセルされます。

ループはそれ自体で円を描き、中央の領域を囲みます。 ただし、ループは、輪ゴムのように中央領域が中空の場合にのみ穴を形成します。 紙に描かれた円はループを形成しますが、中心が埋められているため、穴ではありません。中実領域（非穴の種類）を囲むループは、そのXNUMX次元領域の境界です。

したがって、穴にはXNUMXつの重要な厳密な特徴があります。 まず、穴は閉じた形状を形成するため、境界がありません。 そして第二に、穴自体は中空でなければならないので、穴は他のものの境界ではありません。

この定義は、より高い次元に拡張できます。 XNUMX次元の実線の三角形は、XNUMXつのエッジで囲まれています。 複数の三角形を一緒にアタッチすると、いくつかの境界エッジが消えます。 XNUMXつの三角形がピラミッドに配置されると、各エッジは別のエッジとキャンセルされます。 したがって、ピラミッドの壁には境界がありません。 そのピラミッドが中空である場合、つまり、XNUMX次元のソリッドブロックの境界ではない場合、XNUMX次元の穴を形成します。

特定のトポロジー形状内のすべてのタイプの穴を見つけるために、数学者は、相同性の足場を形成する鎖複体と呼ばれるものを構築します。

多くのトポロジー形状は、異なる寸法のピースを接着することによって構築できます。 チェーン複体は、形状の組み立て手順を示す図です。 形状の個々の部分は寸法ごとにグループ化され、階層的に配置されます。最初のレベルにはすべての点が含まれ、次のレベルにはすべての線が含まれます。 （空のゼロ番目のレベルもあります。これは単に基礎として機能します。）各レベルは、それらがどのように接着されているかを示す矢印でその下のレベルに接続されています。 たとえば、実線の三角形は、その境界を形成するXNUMXつのエッジにリンクされています。

数学者は、チェーン複体から形状の相同性を抽出します。これにより、形状の構成部品とその境界に関する構造化データが提供されます。これは、あらゆる次元の穴を記述するために必要なものです。 チェーン複体を使用する場合、10次元の穴とXNUMX次元の穴を見つけるプロセスはほぼ同じです（一方が他方よりも視覚化するのがはるかに難しいことを除いて）。

相同性の定義は、コンピューターがそれを使用して穴を見つけて数えることができるほど厳密であり、数学で通常必要とされる厳密さを確立するのに役立ちます。 また、研究者は、ますます人気のある追求、つまりデータの分析に相同性を使用することができます。

これは、データが空間に浮かぶ点として視覚化できるためです。 これらのデータポイントは、センサーなどの物理的なオブジェクトの位置、または食べ物の好みの説明などの抽象的な空間内の位置を表すことができ、近くのポイントは同様の口蓋を持つ人々を示します。

データから形状を形成するために、数学者は隣接する点の間に線を引きます。 XNUMXつのポイントが接近している場合、それらは塗りつぶされて実線の三角形を形成します。 多数のポイントがクラスター化されると、それらはより複雑で高次元の形状を形成します。 データポイントに入力すると、テクスチャとボリュームが得られます。ドットから画像が作成されます。

ホモロジーは、この漠然とした形の世界を、特定の数値構造と対称性を研究する数学の一分野である代数の厳密な世界に変換します。 数学者は、ホモロジー代数として知られている分野でこれらの代数的構造の特性を研究しています。 代数から、データの元の位相形状に関する情報を間接的に学習します。 相同性には多くの種類があり、そのすべてが代数に関連しています。

「相同性はおなじみの構造です。 それについて知っている代数的なことがたくさんあります」と述べています。 マギーミラー マサチューセッツ工科大学の。

相同性によって提供される情報は、データの不正確さを説明することさえあります。データがわずかにシフトする場合、穴の数は同じままである必要があります。 また、大量のデータが処理されると、穴によって重要な機能が明らかになる可能性があります。 たとえば、時変データのループは周期性を示している可能性があります。 他の次元の穴は、データ内のクラスターとボイドを示す可能性があります。

「堅牢で定性的な機能を引き出しているメソッドを用意することには、真の推進力があります」と述べています。 ロバート・グリスト ペンシルベニア大学の。 「それが相同性があなたに与えるものです。」