クレール・ヴォワザンが数学に夢中になるまでには長い時間がかかりました。

だからといって、彼女がそのテーマを嫌っていたわけではありません。 10 人兄弟の 12 番目としてフランスで育った彼女は、エンジニアの父親と一緒に数学の問題を解くことに何時間も費やすのが楽しかったです。 12 歳になるまでに、彼女は高校の代数学の教科書を自分で読み始め、そのページに概説されている定義と証明に魅了されました。 「このような構造がすべてありました」と彼女は言いました。 「代数は実際には構造の理論です。」

しかし、彼女は数学が生涯の天職であるとは考えていませんでした。彼女がそれがどれほど深くて美しいかを認識したのは大学時代になってからでした。そして、彼女が新しい発見をすることができることに気づきました。それまで、彼女は数学以外にも哲学、絵画、詩といったいくつかの興味を真剣に追求していました。 （「20 歳のときは、数学と絵しかやっていなかったと思います。それはちょっとやりすぎだったのかもしれません」と彼女は笑いました。）彼女の 20 代前半までに、数学は他のすべてを包含していました。しかし、絵画と詩は彼女に影響を与え続けました。彼女は数学を芸術として、そして言語の限界に挑戦し、それを試す方法として捉えています。

数十年後、代数幾何学の分野のリーダーとなった後、ヴォワザンは再び時間を見つけて絵を描いたり、粘土彫刻を制作したりしました。それでも、数学が彼女の関心のほとんどを占め続けています。彼女は、「まるで夢を見ているような」この「別の世界」を探索することに時間を費やすことを好みます。

ヴォワザンは、パリにあるフランス国立科学研究センターの上級研究員です。そこで彼女は代数多様体を研究しています。代数多様体は、円が多項式によって定義される方法と同じように、一連の多項式方程式によって定義される形状として考えることができます。 x² + y² = 1. 彼女は、数学者が代数多様体の重要な性質を研究するために使用するツールキットであるホッジ理論の世界有数の専門家の XNUMX 人です。

ヴォワザンは、2008 年のクレイ研究賞、2015 年のハインツ・ホップ賞、2017 年の数学賞ショー賞など、その研究で数々の賞を受賞しています。XNUMX 月、彼女は、XNUMX 年にクラフォード賞を受賞した初の女性となりました。数学。

クアンタ 数学の創造的な性質についてヴォワザンと話しました。インタビューはわかりやすくするために要約および編集されています。

あなたは子供の頃から数学が好きでしたが、それを追求するつもりはありませんでした。なぜだめですか？

証明には魔法があります。それを理解したとき、それがどれほど強力で、それがあなたをどれほど強くするのかを理解したときに感じる感情です。子供の頃の私にはすでにそれが見えていました。そして、数学に必要な集中力を楽しめました。年齢を重ねるにつれて、それが数学の実践の中心となるようになってきています。残りの世界は消滅します。あなたの脳全体は問題を研究するために存在します。それは並外れた経験であり、私にとって非常に重要な経験です。現実的な世界から離れ、別の世界に住むことです。おそらくこれが、私の息子がビデオゲームをとても楽しんでいる理由です。

しかし、私が数学に対してある意味後発なのは、ゲームにまったく興味がないからです。それは私のためではありません。そして高校では数学はゲームのように感じられました。それを真剣に受け止めるのは私にとって大変でした。私は最初、数学の奥深さを知りませんでした。高校卒業後、非常に興味深い証明や定理を発見し始めたときでさえ、自分で何かを発明したり、それを自分のものにできるとはまったく考えていませんでした。

もっと深くて真剣なもの、自分のものにできるものが必要でした。

数学でそれを見つける前に、どこで調べましたか?

私は哲学とその概念に対する主張が好きでした。また、22 歳くらいまでは、特に幾何学にインスピレーションを得た具象的な作品を描くことに多くの時間を費やしていました。そして私は詩、つまりマラルメ、ボードレール、ルネ・シャールの作品がとても好きでした。私はすでに、ある種の別の世界で生きていました。でも、若いときはそれが普通だと思います。

しかし、数学はますます重要になってきました。本当に頭の全てを使います。机に座って特定の問題に取り組んでいないときでも、心は忙しくしています。つまり、数学をやればやるほど絵を描くことが少なくなっていったのです。子供たちがみんな家を出て、時間がかなり増えたので、最近また絵を描き始めました。

結局、創造的なエネルギーのほとんどを数学に捧げることにしたのはなぜですか?

私にとって数学はますます面白くなりました。修士号および博士号として学生だった私は、20 世紀の数学が非常に奥深く、並外れたものであることを発見しました。それはアイデアとコンセプトの世界でした。代数幾何学では、アレクサンダー・グロタンディークが主導した有名な革命がありました。グロタンディーク以前にも、驚くべき成果があった。つまり、これは最近登場した分野であり、美しいと同時に非常に強力なアイデアを備えています。私が研究しているホッジ理論もその一部でした。

私の人生がそこにあることがますます明確になりました。もちろん、私には夫と 5 人の子供という家族生活があり、その他の義務や活動もありました。しかし、数学を使えば何かを生み出すことができることに気づきました。それはとても美しく、壮観で、とても面白かったので、私はそれに人生を捧げることができました。

あなたは以前、数学がいかに創造的な活動であるかについて書きましたね。

私はプロの数学者なので、正式には私の勤務日は数学を中心に構成されています。私は机に座っています。私はコンピューターで仕事をしています。しかし、私の数学活動のほとんどはその期間には行われません。新しいアイデア、適切な定義、活用できそうなステートメントが必要です。そうして初めて仕事を始めることができます。そして、私が机に座っているとき、それは起こりません。私は自分の心に従う必要があり、自分自身を考え続ける必要があります。

あなたにとって数学は非常に個人的なもののようですね。その過程で自分自身について何か発見したことはありますか?

数学をやっていると、ほとんどの場合、自分自身と戦わなければなりません。なぜなら、私は非常に秩序が乱れており、あまり規律が無く、また、落ち込む傾向があるからです。それは簡単なことではないと思います。しかし、私が発見したのは、朝食を食べているとき、パリの街を歩いているとき、掃除などの何も考えずに何かをしているときなど、ある瞬間に、私の脳が勝手に働き始めるということです。意図せずに数学について考えていることに気づきました。まるで夢を見ているようです。私は 62 歳ですが、優れた数学を行うための実際的な方法を持っていません。今でも多かれ少なかれ、インスピレーションが得られる瞬間を待っています。

高次元空間や複雑な方程式を満たす構造など、非常に抽象的なオブジェクトを扱います。このような抽象的な世界についてどう思いますか？

実はそれほど難しいことではありません。最も抽象的な定義も、一度慣れてしまえば、もはや抽象的ではなくなります。空気がとても澄んでいて、光が細部まで見えるので、とてもよく見える美しい山のようです。私たちにとって、私たちが研究する数学的対象は具体的に見えます。なぜなら、私たちはそれを他の何よりもよく知っているからです。

もちろん、証明すべきことはたくさんあり、何かを学び始めると、その抽象性のせいで苦しむかもしれません。しかし、理論を使用すると、定理を理解しているため、たとえそれが抽象的であっても、実際に問題の対象が非常に近くに感じられます。オブジェクトについて学び、操作し、数学的な議論に使用することで、最終的にはオブジェクトがあなたの友達になります。

そして、これにはさまざまな視点から見ることも必要ですか？

私はもともと代数幾何学を勉強したわけではありません。私は複雑な解析幾何学と微分幾何学を研究していました。解析幾何学では、より大きなクラスの関数と、それらの関数によって局所的に定義される形状を研究します。代数幾何学とは異なり、通常、大域的な方程式はありません。

私は最初、代数的な観点にはあまり注目していませんでした。しかし、年齢を重ね、この分野で仕事をするほど、これら 2 つの異なる言語の必要性がますますわかります。

GAGA と呼ばれる信じられない定理がありますが、これはちょっとした冗談です。フランス語で「老人」という意味ですが、 幾何学計算と幾何学解析。ある言語から別の言語に移行できると書かれています。複雑な解析幾何学で計算を行う方が簡単な場合は、代数幾何学に戻ってください。

また、代数幾何学を使用すると、問題の別のバージョンを研究して、驚くべき結果が得られる可能性も得られます。私は代数幾何学を複素幾何学の側面だけに焦点を当てるのではなく、全体として理解することに努めてきました。

これらを異なる数学言語として考えるのは興味深いことです。

言語は不可欠です。数学の前に言語があります。多くのロジックがすでに言語の中に組み込まれています。数学には、演算の正しい順序を示す量指定子、否定、括弧などの論理規則がすべてあります。しかし、数学者にとって不可欠なこれらの規則はすべて、すでに私たちの日常言語に組み込まれているということを認識することが重要です。

数学の定理を詩に例えることもできます。それは言葉で書かれています。それは言語の産物です。私たちが数学的対象を得ることができるのは、私たちが言語を使用しているからであり、日常の言葉を使用し、それらに特定の意味を与えているからです。つまり、詩と数学を比較することができます。どちらも言語に完全に依存しているにもかかわらず、何か新しいものを生み出しているという点です。

あなたが数学に惹かれたのは、代数幾何学におけるグロタンディークの革命のおかげでした。彼は本質的に、この種の数学を行うための新しい言語を作成しました。

右。

現在使用している数学言語を変更する必要がある可能性がある方法はありますか?

数学者は常に自分の言語を作り直します。古い論文は非常に読みにくくなるので、残念です。しかし、私たちが過去の数学をやり直すのは、それをよりよく理解しているからです。これにより、定理を記述して証明するためのより良い方法が得られます。これは、層コホモロジーを幾何学に適用したグロタンディークの場合に当てはまります。本当に壮観です。

あなたにとってそれが母国語のようなものになるまで、勉強する対象に慣れることが重要です。理論が形成され始めると、正しい定義を見つけ出し、すべてを単純化するのに時間がかかります。あるいは、まだ非常に複雑ですが、定義やオブジェクトについてはさらに詳しくなるかもしれません。それらを使用することがより自然になります。

それは継続的な進化です。私たちは常に書き直して単純化し、何が重要なのか、どのツールを利用可能にするべきなのかを理論化する必要があります。

自分の仕事に新しい定義を導入する必要があったことがありますか?

時々。で 私がやった仕事 　 ヤノス・コラール、特定の定義を通じて、問題の正しい見方を最終的に見つけることができた転機がありました。これは非常に古典的な問題であり、私たちは古典的なツールを使用して作業しましたが、私たちの証明は実際に私たちが設定したこの定義に基づいていました。

別の場合には、 オリヴィエ・ドゥバレ, ダニエル・ハイブレヒト, エマヌエーレ・マクリ そして私は素晴らしいことを証明しました 分類結果 ハイパーケーラー多様体と呼ばれる物体について。そして、その証明の出発点は、私たちが当初「」と呼んだ不変式の導入でした。a.』[笑う.]

数学における定義の重要性を過小評価するかもしれませんが、そうすべきではありません。

定義と言語だけが数学を導くものではありません。真実かもしれないし、そうでないかもしれない推測も同様です。たとえば、あなたは、クレイのミレニアム問題であるホッジ予想について多くの研究を行ってきましたが、その解決策には次のようなものがあります。 1ミリオンの報酬.

理解したい代数多様体があるとします。そこで、複素解析幾何学の側に進み、それをいわゆる複素多様体として考えます。複雑な多様体は、その全体的な形状、つまりトポロジーの観点から考えることができます。多様体に関する多くの位相情報を提供する、ホモロジーと呼ばれるオブジェクトがあります。しかし、それを定義するのはそれほど簡単ではありません。

ここで、元の多様体の中の代数的部分多様体を考えてみましょう。それぞれはトポロジー的不変条件、つまりそれに関連付けられた特定のトポロジー情報を持ちます。これらの位相的不変量を調べることで、複素多様体の相同性のどの部分を取得できるでしょうか?

ホッジ予想は具体的な答えを与えます。そしてその答えは非常に微妙です。

ということは、数学者たちはホッジ予想が最終的に真か偽になるか確信が持てないということでしょうか？

ホッジ予想は代数幾何学の主要な理論の指針となるため、ホッジ予想を信じたいと思うでしょう。

あなたは代数多様体の主な性質を本当に理解したいと思っています。そして、ホッジ予想が真実であれば、さまざまな形状を驚くほど制御できるようになるでしょう。品種の構造に関する非常に重要な情報が得られます。

それを信じる強い理由がいくつかあります。ホッジ予想の特定のケースが知られています。そして、ホッジ予想が真実であることを示唆する、代数多様体に関する深い記述が数多くあります。

しかし、それを証明するための進歩はほとんどまったくありません。また、ホッジ予想を自然に見える別の状況に拡張する方法がないことも証明しました。それでちょっとショックでした。

何十年も数学者として働いてきましたが、今はさらに深く数学をやっていると感じていますか?

私は年をとったので、数学にエネルギーを注ぎ、実際に数学に取り組む時間がずっと多くなりました。あちこちに行く能力も向上しました。以前は、おそらく時間が少なかったため、機動性が低くなっていました。とはいえ、あまりにも機動力がありすぎて、問題に固執せずにただ問題に触れるのもよくありません。今では経験も積んで、自分なりのイメージを構築できるようになりました。

自分が知らないことや未解決の問題について、よりよく把握できるようになります。フィールドとその境界を詳細に表示できます。年を重ねると良い面もあるはずだ。そして、やるべきことはまだたくさんあります。