地球が球のような形をしていなかったら、人生はどうなるのだろうと思ったことはありませんか？ 私たちは、太陽系をスムーズに通過し、惑星の回転対称性によってもたらされるシームレスな日没を当然のことと考えています。 丸い地球はまた、ポイントから到達するための最速の方法を簡単に見つけることができます A ポイントへ B：これらのXNUMXつのポイントを通過し、球を半分にカットする円に沿って移動するだけです。 測地線と呼ばれるこれらの最短経路を使用して、飛行機のルートと衛星の軌道を計画します。

しかし、代わりに立方体に住んでいたとしたらどうでしょうか。 私たちの世界はさらにぐらつき、地平線は曲がり、最短経路を見つけるのは難しくなります。 立方体での生活を想像するのにあまり時間をかけないかもしれませんが、数学者はそうします。彼らは、あらゆる種類のさまざまな形で旅行がどのように見えるかを研究します。 そして、 最近の発見 十二面体での往復については、何千年もの間見てきたオブジェクトの表示方法が変わりました。

特定の形状で最短の往復を見つけることは、方向を選択して直線で歩くのと同じくらい簡単に思えるかもしれません。 最終的には、最初の場所に戻ることになりますよね？ まあ、それはあなたが歩いている形に依存します。 それが球体なら、そうです。 （もちろん、地球は完全な球体ではなく、その表面は正確に滑らかではないという事実を無視しています。）球体では、直線のパスは赤道のような測地線である「大円」をたどります。 赤道を歩き回ると、約25,000マイル後に完全に一周し、最初の場所に戻ります。

立方体の世界では、測地線はそれほど明白ではありません。 各面が平らであるため、単一の面でまっすぐなパスを見つけるのは簡単です。 しかし、もしあなたが立方体の世界を歩き回っていたら、あなたが端に達したとき、あなたはどのように「まっすぐ」に進み続けるでしょうか？

私たちの質問への答えを説明する楽しい古い数学の問題があります。 立方体の一方の角にいて、反対側の角に行きたがっているアリを想像してみてください。 立方体の表面で到達する最短経路は何ですか A 〜へ B?

あなたはアリがたどる多くの異なる道を想像することができます。

しかし、どれが最短ですか？ 問題を解決するための独創的なテクニックがあります。 立方体を平らにします！

立方体が紙でできている場合は、端に沿って切り取り、平らにして、このような「ネット」を作ることができます。

この平らな世界では、からの最短経路 A 〜へ B 見つけるのは簡単です：それらの間に直線を引くだけです。

キューブワールド測地線がどのように見えるかを確認するには、キューブを元に戻します。 これが私たちの最短経路です。

立方体の各面はそれ自体が平らであるため、立方体を平らにすることは機能します。したがって、エッジに沿って展開しても何も歪まないのです。 （球を歪ませずに平らにすることはできないため、このような球を「展開」する同様の試みは機能しません。）

立方体上でまっすぐな道がどのように見えるかがわかったので、まっすぐな道を歩いて、最終的には最初の場所に戻ることができるかどうかという質問に戻りましょう。 球体とは異なり、すべての直線経路が立方体を往復するわけではありません。

しかし、往復は存在します—キャッチがあります。 アリは、上でマップしたパスに沿って進み、開始した場所に戻る可能性があることに注意してください。 立方体では、完全に円を描くと、ひし形のように見えるパスが生成されます。

この往復経路をたどる際、アリは別の頂点（点）を通過する必要があります B）開始点に戻る前。 それが落とし穴です。同じ頂点で開始および終了するすべての直線パスは、立方体の別の頂点を通過する必要があります。

これは、XNUMXつの正多面体のうちXNUMXつに当てはまることがわかりました。 立方体、四面体、八面体、二十面体では、同じ頂点で開始および終了する直線パスは、途中で他の頂点を通過する必要があります。 数学者はこれをXNUMX年前に証明しましたが、十二面体はリストに含まれていませんでした。 後でそれに戻ります。

測地線に関するこの事実がXNUMXつの正多面体のうちのXNUMXつに当てはまる理由を理解するために、これらのパスに「タンブリング」アプローチを採用し、タンブリングパスが少し簡単な四面体の世界に切り替えます。勉強する。

四面体の頂点から始まり、面に沿った直線のパスに向かって進むことを想像してみてください。 パスが底面から始まるように四面体の方向を設定しましょう。

エッジに出会ったら、四面体をロールオーバーして、パスが下に終わる面に続くようにします。

このタンブリング図は、立方体のネットで行ったのと同じように、パスを追跡する方法を提供します。

上記のタンブリングパスは、四面体の表面上のこのパスを表しています。

ここで、四面体のXNUMXつのタンブルは、パスが通過する追加のXNUMXつの面に対応します。

これで、四面体の表面上の任意のパスを、このタンブリングスペース内のパスとして想像できます。 私たちの出発点と呼びましょう A タンブリングした後、このポイントがどこで終わるかを確認します。

私たちの道が出発するにつれて A、四面体は反対側を転がります。 このリフト A 地面から。

頂点 A タンブリングスペースの上に一時的に吊り下げられています。 通常は表示しません Aタンブリングスペースを作成するときのの場所ですが、下を見下ろすとここに表示されます。

パスが続くと、四面体は再び転倒します。 それが進むことができるXNUMXつの方向がありますが、どちらの方法でも A 地面に戻ってしまいます。

四面体をすべての可能な方向にタンブリングさせると、次のようなタンブリングスペースになります。

これにより、四面体の正三角形の面が互いに適合するため、グリッドシステムが作成されます。

このグリッドシステムは、タンブリングスペースについてXNUMXつの興味深いことを教えてくれます。 まず、四面体の頂点が着地できる点は、すべて「格子点」、つまり整数座標の点です。 これは、座標系のXNUMXつの単位が四面体のXNUMXつのエッジの長さであるためです。

次に、どこを見てください A 最終的になる可能性があります。

の座標 A 常に均等です。 いつでも A 地面にある場合、XNUMX回転後に地面に戻るので、 A すべて、各タンブリング方向にXNUMXつのエッジ長で間隔が空けられています。

これが測地線について何を言っているか見てみましょう。 で開始および終了する四面体上のパスを思い出してください。 A から始まるタンブリングスペースの直線セグメントになります A （0,0）で、別の場所で終了 A。 そして、パスの開始点と終了点が両方である場合 Aの、パスの中点については非常に興味深いものがあります。

曲がった座標系でも、標準の中点式は機能するため、端点の座標を平均することで中点の座標を見つけることができます。 始点の座標は両方とも0であり、終点の座標は両方とも偶数であるため、中点の座標は両方とも整数です。 これにより、中点が格子点になります。したがって、上記で観察したように、中点はタンブリング空間の三角形の頂点に対応します。

たとえば、（0,0）から（4,2）へのパスには、グリッド内の格子点である中点（2,1）があります。

つまり、四面体の表面では、 A それ自体は、途中で別の頂点を通過する必要があります。

のためのすべての可能な着陸地点以来 A このシステムでは、開始および終了するすべての測地線パスの中点である座標もあります。 A ラティスポイントに対応します。 これは、からのすべての測地線が A 〜へ A 四面体の表面では、別の頂点を通過する必要があります。

これはの単純なバージョンです 引数 これは、数学者のダイアナデイビス、ビクタードッズ、シンシアトラウブ、ジェドヤンによって2015年に厳格化されました。 彼らは、同様の、しかしはるかに複雑な議論を使用して、キューブについて同じことを証明しました。 ドミトリーフックス 証明 翌年の八面体と二十面体の結果。 このため、四面体、立方体、八面体、二十面体の場合、頂点からそれ自体に戻る直線パスがなく、別の頂点を通過しないことがわかっています。

しかし、十二面体の表面にそのような経路が存在するかどうかは、数学者のJayadev Athreya、David Aulicino、PatrickHooperが2019年になるまで未解決の問題でした。 証明 それは実際に可能でした。 実際、彼らは十二面体の表面上に、他の頂点を通過せずに同じ頂点で開始および終了する無限に多くの直線経路を見つけました。

これは、十二面体のネット上に表示され、はっきりと見えないところに隠れているものです。

何千年もの間、正多面体は多くの共通点があるため、一緒に研究されてきました。 しかし今、私たちは明らかに異なる十二面体について何か新しいことを知っています。 この不思議な発見は、私たちが数学的対象をどれほどよく理解していても、学ぶべきことが常にあることを示しています。 また、問題から解決までのパスが必ずしも直線のように見えるとは限らないことも示しています。

演習

1.立方体の辺の長さが1の場合、頂点から反対側の頂点までのアリの最短経路はどのくらいですか？

2.下の図が、キューブ上のパスのタンブリングパスにならない理由を説明します。

3.キューブのタンブリングパスに伴うXNUMXつの問題は、そのポイントです。 A キューブの特定の終了位置に関連付けられた一意の終了位置がありません。 たとえば、立方体が同じ場所にある場合でも、赤いパスまたは青いパスのいずれかに沿って転がります。 A 異なる位置に行き着きます。 どこを決定する A 赤い道と青い道に沿って転がった後、終わります。

4.これがキューブ上のパスの有効なタンブリングパスです。

で始まる立方体の表面にパスをスケッチします A.

答え

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訂正： 2021 年 1 月 13 日

この列は、パスが合計XNUMXつの面を通過するため、示されている四面体のXNUMXつのタンブルがパスが通過するXNUMXつの「追加の」面に対応することを明確にするために改訂されました。