10月2018において、 デビッド・アスペロ イタリアで休暇を過ごしていたとき、ガールフレンドが彼らをベッド＆ブレックファーストに連れて行ったとき、車の窓を眺めていました。彼のことになると、今や無限の大きさについての画期的な新しい証拠の欠落したステップです。 「それはこのフラッシュ体験でした」と彼は言いました。

英国のイーストアングリア大学の数学者であるAsperóは、彼が長い間証明を追求してきた協力者に連絡しました。 ラルフシンドラー ドイツのミュンスター大学の学部長であり、彼の洞察について説明しました。 「それは私には完全に理解できませんでした」とシンドラーは言いました。 しかし、最終的に、デュオはファンタズムを堅実な論理に変えました。

彼らの証拠、 XNUMX月に登場 セクションに 数学の年報は、無限の数学の競合する基盤として位置づけられているXNUMXつのライバルの公理を統合します。 AsperóとSchindlerは、これらの公理のXNUMXつが他の公理を暗示していることを示し、両方の公理（およびそれらが無限大について親密なものすべて）が真実である可能性を高めました。

「それは素晴らしい結果です」と言いました メナケムマギドール、エルサレムのヘブライ大学の主要な数学論理学者。 「正直なところ、私は自分でそれを手に入れようとしていました。」

最も重要なことは、結果が連続体仮説、無限の層についての非常に影響力のある1878年の予想に対するケースを強化することです。 新しい証明に収束した両方の公理は、連続体仮説が誤りであり、143年前にXNUMX番目とXNUMX番目の無限大数であると仮定されたXNUMXつの間に余分な無限大のサイズがあることを示しています。

「私たちは今、連続体仮説の首尾一貫した代替案を持っています」と述べました。 イリヤス・ファラー、トロントのヨーク大学の数学者。

その結果、連続体仮説が間違っていると骨の中で感じている数学者の陣営が勝利します。 「この結果は、全体像を非常に明確にしています」と述べています。 ジュリエット・ケネディ、ヘルシンキ大学の数学的論理学者および哲学者。

しかし、別の陣営は、連続体仮説が成り立つ無限数学の異なるビジョンを支持しており、これらの側の間の戦いは勝つにはほど遠いです。

「それは素晴らしい時間です」とケネディは言いました。 「これは、私たちが今いる数学の歴史の中でこれまでに起こった中で最も知的に刺激的で、絶対に劇的なことのXNUMXつです。」

無限の無限

はい、無限大にはさまざまなサイズがあります。 1873年、ドイツの数学者ゲオルクカントールは、数直線を埋める「実数」（ほとんどは3.14159のような終わりのない数字で…）が1、2、3のような「自然」数を上回っていることを発見したとき、数学を核心に揺さぶった。 、両方の数が無限にあるにもかかわらず。

無限の数のセットは、サイズに関する直感を混乱させるため、ウォームアップとして、自然数{1、2、3、…}を奇数数{1、3、5、…}と比較します。 1番目のセットには要素の半分しか表示されないため、最初のセットの方が大きいと思うかもしれません。 しかし、Cantorは、1つのセットの要素を2対3で対応させることができることに気づきました。 各セットの最初の要素（3と5）をペアリングし、次に0番目の要素（XNUMXとXNUMX）をペアリングし、次にXNUMX番目の要素（XNUMXとXNUMX）をペアリングし、以下同様に、両方のセットのすべての要素をカバーします。 この意味で、XNUMXつの無限集合は同じサイズ、つまりCantorが「カーディナリティ」と呼んだものを持っています。 彼はそれらのサイズを基数$ latexboldsymbol {aleph} _ {XNUMX} $（「aleph-zero」）で指定しました。

しかし、Cantorは、自然数を実数の連続体と1対1.00000で対応させることはできないことを発見しました。 たとえば、2を1.00001…とペアリングし、1.000000001をXNUMX…とペアリングしようとすると、無限に多くの実数（XNUMX…など）をスキップすることになります。 それらすべてを数えることはできません。 それらのカーディナリティは自然数のカーディナリティよりも大きくなります。

無限のサイズはそれだけではありません。 Cantorは、無限集合のべき集合（その要素のすべてのサブセットの集合）のカーディナリティがそれよりも大きいことを発見しました。 すべてのべき集合自体にべき集合があるため、基数は無限に高い無限の塔を形成します。

この禁じられた建物のふもとに立って、カンターは最初の数階に焦点を合わせました。 彼は、自然数を並べ替えるさまざまな方法（たとえば、最小から最大、またはすべての奇数を最初に）から形成されたセットのカーディナリティが$ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $であり、自然数。 さらに、これらの「注文タイプ」はそれぞれ実数をエンコードします。

彼の連続体仮説は、これが正確に連続体のサイズであると主張しています—正確に$ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $実数があるということです。 言い換えると、連続体のカーディナリティは、自然数のカーディナリティである$ latexboldsymbol {aleph} _ {0} $の直後に続き、間に無限大のサイズはありません。

しかし、カンターの甚大な苦痛に対して、彼はそれを証明することができませんでした。

1900年、数学者のDavid Hilbertは、23世紀に解決すべき20の数学問題の有名なリストの最初に連続体仮説を置きました。 ヒルベルトは、無限の初期の数学、つまり彼がそれを呼んだ「カンターの楽園」に夢中になり、連続体仮説はその最も低い成果のように見えました。

それどころか、前世紀の衝撃的な啓示は、カンターの質問を深い認識論的難問に変えました。

この問題は、オーストリア生まれの論理学者クルト・ゲーデルが1931年に発生したときに発生しました。 発見 あなたが数学の基礎として仮定するかもしれない公理のセットは必然的に不完全になるでしょう。 基本ルールのリストで解決できない質問、証明できない真の数学的事実が常にあります。

ゲーデルがすぐに疑ったように、連続体仮説はそのような場合です：数学の標準的な公理から独立している問題。

これらの公理は全部で10個あり、ZFC（「選択公理を備えたツェルメロフレンケル公理​​」の略）として知られており、現代の数学のほとんどすべてを支えています。 公理は、オブジェクトまたはセットのコレクションの基本的なプロパティを記述します。 事実上すべての数学は集合から構築できるため（たとえば、空の集合{}は0を示し、{{}}は1を示し、{{}、{{}}}は2を示します）、集合の規則数学全体で証明を作成するには十分です。

1940年、ゲーデルは、連続体仮説を反証するためにZFC公理を使用することはできないことを示しました。 その後、1963年に、アメリカの数学者Paul Cohenは反対のことを示しました。それを証明するために、それらを使用することもできません。 コーエンの証明は、ゲーデルの証明とともに、連続体仮説がZFC公理から独立していることを意味します。 彼らはどちらの方法でもそれを持つことができます。

連続体仮説に加えて、無限集合に関する他のほとんどの質問もZFCから独立していることがわかります。 この独立性は、これらの質問に答えがないことを意味すると解釈されることがありますが、ほとんどのセット理論家はそれを深刻な誤解と見なしています。

彼らは、連続体が正確なサイズであると信じています。 それが何であるかを理解するために必要なのは、新しいロジックツールだけです。 これらのツールは、新しい公理の形で提供されます。 「公理はこれらの問題を解決しません」とマジドールは言いました、それで「我々はそれらをより豊かな公理システムに拡張しなければなりません」。 欠けているのは数学的な真実への手段としてのZFCであり、真実そのものではありません。

コーエン以来、セット理論家は、ZFCに少なくともXNUMXつの新しい公理を追加することにより、無限の数学の基礎を強化しようと努めてきました。 この公理は、無限集合の構造を明らかにし、自然で美しい定理を生み出し、致命的な矛盾を回避し、そしてもちろん、カンターの質問を解決する必要があります。

ゲーデルは、連続体仮説は誤りであると信じていました—カンターが推測したよりも多くの実数があると。 彼はそれらの$ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $があるのではないかと疑った。 彼は予測したように 書いた 1947年、「集合論における連続体問題の役割はこれであり、それは最終的にカンターの予想を反証することを可能にする新しい公理の発見につながるだろう」。

光源

それを行うXNUMXつのライバル公理が出現しました。 何十年もの間、彼らは論理的に互換性がないと疑われていました。 「常にこの緊張がありました」とシンドラーは言いました。

それらを理解するには、ポール・コーエンの1963年の作品に戻らなければなりません。そこで彼は強制と呼ばれる手法を開発しました。 $ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $実数を含む数学的宇宙のモデルから始めて、コーエンはモデルの実数を超える新しい実数を含むように連続体を拡大することを強制しました。 コーエンと彼の同時代の人々は、手順の詳細に応じて、強制することで、好きなだけ多くのレアルを追加できることにすぐに気付きました— $ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $または$ latexboldsymbol {aleph} _ {35} $、 。 新しい現実は別として、数学者はコーエンの方法を一般化して、論理的に互いに互換性のない他のあらゆる種類のオブジェクトを想起させました。 これは、可能な数学的宇宙の多元宇宙を作成しました。

「彼の方法は、私たちの集合の世界に曖昧さを生み出します」と述べました。  ヒュー・ウッディン、ハーバード大学の集合論者。 「それはこの仮想宇宙の雲を作ります、そして私はどうやって私がどれにいるのかを知ることができますか？」

何が仮想で何が現実でしたか？ 異なる強制手順によって夢見られたXNUMXつの競合するオブジェクトのどちらを許可する必要がありますか？ コーエンの方法で想像できたからといって、いつ、あるいはオブジェクトが実際に存在するのかさえはっきりしていませんでした。

この問題に対処するために、数学者はさまざまな「強制公理」を提起しました。これは、コーエンの方法によって可能になった特定のオブジェクトの実際の存在を確立する規則です。 「オブジェクトが存在することを想像できるなら、それはそうです。 これは、公理を強制することにつながる直感的な指針です」とマジドールは説明しました。 1988年、マジドール、マシューフォアマン、サハロンシェラは、ポーズをとることでこの精神を論理的な結論に導きました。 マーティンの最大、これは、プロシージャが特定の整合性条件を満たす限り、強制プロシージャを使用して考えられるものはすべて真の数学的エンティティになることを示しています。

マーティンの最大値のすべての拡張性について、強制のすべての製品を同時に許可するために（その恒常性条件を満たす一方で）、連続体のサイズは控えめな$ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $ —XNUMXつの基数にのみジャンプします。可能な最小値を超えています。

連続体の問題を解決することに加えて、マーティンの最大値は、無限集合の特性を探索するための強力なツールであることが証明されています。 支持者は、それが多くの抜本的な言明と一般的な定理を助長すると言います。 対照的に、連続体にカーディナリティがあると仮定すると、$ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $は、より例外的なケースと証明への障害をもたらす傾向があります。これは、マジドールの言葉では「反例の楽園」です。

マーティンの最大値は、ZFCの拡張として非常に人気がありました。 しかし、1990年代に、ウッディンは別の説得力のある公理を提案しました。これも連続体仮説を無効にし、連続体を$ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $に固定しますが、まったく異なるルートです。 ウッディンは公理（*）を「星」と発音しました。それは「明るい光源のようで、構造の光源、光源のようなもの」だったからです。

（*）は、選択公理ではなく、XNUMXつのZF公理と決定性公理を満たす集合のモデルユニバースに関するものです。 決定性と選択は論理的に互いに矛盾しているため、（*）とマーティンの最大値は一致しないように見えました。 しかし、ウッディンは、モデルの数学的宇宙をZFCと一致するより大きな宇宙に拡張するための強制手順を考案しました。この宇宙では、（*）公理が当てはまります。

（*）を非常に明るくするのは、数学者が「すべての人のために」という形式のステートメントを作成できることです。 X、 が存在します Y、 そのような Zドメイン内のセットのプロパティを参照する場合は」。 このようなステートメントは、数学的推論の強力なモードです。 そのようなステートメントの1つは、「$ latexboldsymbol {aleph} _ {XNUMX} $実数のすべてのセットについて、それらのセットにない実数が存在する」です。 これは、連続体仮説の否定です。 したがって、（*）によれば、カンターの予想は誤りである。 （*）によって数学者がこれを結論付け、実数の集合の他の多くの特性を主張できるという事実は、それを「魅力的な仮説」にしているとシンドラーは述べています。

XNUMXつの生産性の高い公理が浮かんでいるため、強制の支持者は不穏な余剰に直面しました。 「強制公理[マーティンの最大値]と（*）公理はどちらも美しく、正しく自然に感じられます」とシンドラーは言いました。「どちらを選びますか？」

公理が互いに矛盾している場合、一方を採用することは、他方の良い結果を犠牲にすることを意味し、判断の呼びかけは恣意的に感じるかもしれません。 「一方が真でもう一方が偽である理由を考え出す必要があったでしょう。あるいは、両方が偽であるはずです」とシンドラーは述べています。

代わりに、Asperóとの彼の新しい仕事は、Martinのmaximum ++（Martinのmaximumの技術的バリエーション）が（*）を意味することを示しています。 「私たちが行ったように、これらの理論を統一すれば、賛成のケースとしてそれをとることができると思います。おそらく人々は何か正しいことをしたのでしょう。」

ミッシングリンク

AsperóとSchindlerは、20年前にウィーンの研究所で一緒に若い研究者でした。 彼らの証拠は、シンドラーが集合論者ロナルド・ジェンセンによっていつものように手書きされた原稿を読んだとき、数年後に発芽しました。 その中で、ジェンセンはLフォーシングと呼ばれる技術を発明しました。 シンドラーはそれに感銘を受け、彼の学生にそれをさらに発展させることを試みるように頼みました。 2011年後のXNUMX年、彼はミュンスターで彼を訪ねていたアスペロにLフォーシングについて説明しました。 Asperóはすぐに、Martinのmaximum ++から（*）を導出するための手法を使用できる可能性があることを示唆しました。

彼らは翌年の2012年に証拠があると発表しました。ウッディンはすぐに間違いを特定し、恥ずかしそうに論文を撤回しました。 彼らはその後の数年間に何度も証明を再検討しましたが、マーティンの最大++から（*）に至る論理チェーンの中で、「ミッシングリンク」というXNUMXつの重要なアイデアが欠けていることに常に気づきました。

前者から後者の公理を導き出すための彼らの攻撃計画は、証人と呼ばれるタイプのオブジェクトを生成するためのL強制と同様の強制手順を開発することでした。 この証人は、（*）の形式のすべてのステートメントを検証します。 強制手順が必要な整合性条件に従っている限り、Martinのmaximum ++は、証人が存在することを強制できるため、証人が存在することを確立します。 したがって、（*）が続きます。

「私たちはそのような強制力を構築する方法を知っていました」とアスペロは言いました、しかし彼らは彼らの強制力手順がマーティンの最大の重要な要件を満たすことを保証する方法を見ることができませんでした。 2018年の車でのアスペロの「フラッシュ体験」はついに道を示しました：彼らは強制をそれぞれが必要な条件を満たす再帰的な一連の強制に分割することができました。 「この成分が実際に証明を機能させると非常に自信を持っていたのを覚えています」と彼は言いましたが、それをすべて解決するには、アスペロとシンドラーの両方からさらに洞察が必要でした。

他の星

マーティンのmaximum ++と（*）の収束により、連続体のカーディナリティが$ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $である無限の塔の強固な基盤が作成されます。 「問題は、それは本当ですか？」 尋ねる ピーター・ケルナー、ハーバード大学の集合論者。

Koellnerによれば、最も強力な強制公理が（*）を意味することを知っていると、それに対する賛成または反対の証拠として数えることができます。 「本当にそれはあなたの（*）に対する見方に依存します」と彼は言いました。

収束の結果は、（*）の妥当性に精査を集中させます。これは、（*）により、数学者がそれらを「すべての人にとって」強力にすることができるためです。 X、 が存在します Y」実数の特性に影響を与えるステートメント。

（*）がこれらのステートメントを許可するのに非常に有用であるにもかかわらず、一見矛盾がないように見えますが、Koellnerは公理を疑う人々のXNUMX人です。 その意味のXNUMXつ、つまり、特定の大きなクラスのセットの構造をはるかに小さなセットでミラーリングすることは、彼を奇妙なものとして思い起こさせます。

特に、（*）の正しさに最も熱心だったかもしれない人もそれに反対しました。 「私は裏切り者と見なされています」と、ウッディンは今年の夏のズームの会話のXNUMXつで言いました。

1年前、彼が（*）を提起したとき、ウッディンは連続体仮説が誤りであると考え、したがって（*）が光源であった。 しかし、約XNUMX年前、彼は考えを変えました。 彼は現在、連続体のカーディナリティが$ latexboldsymbol {aleph} _ {XNUMX} $であり、（*）と強制が「運命づけられている」と考えています。

ウッディンはアスペロとシンドラーの証明を「素晴らしい結果」と呼んだ。 年報」— 数学の年報 はトップの数学ジャーナルであると広く考えられており、彼はこの種の収束結果は「通常、ある種の真実の証拠と見なされる」ことを認めました。 しかし、彼はそれを購入しません。 Koellnerが言及した問題と、AsperóとSchindlerの論文のプレプリントを読んだ直後の、2019年の彼自身のフラッシュ体験で彼が特定したさらに大きな問題があります。 「それは物語の予想外のひねりです」とウッディンは言いました。

彼が（*）を提起したとき、Woodinは（*）+および（*）++と呼ばれるより強力なバリアントも提起しました。これらは、実数のフルパワーセット（すべてのサブセットのセット）に適用されます。 一般的ではないにしても、数学の世界のさまざまなモデルでは、（*）+はマーティンの最大値と矛盾することが知られています。 彼がXNUMX月に数学者と共有し始めた新しい証明で、ウッディンは（*）+と（*）++が同等であることを示しました。これは、（*）++がさまざまなモデルでもマーティンの最大値と矛盾することを意味します。

（*）+と（*）++は（*）をはるかに上回っています。理由のXNUMXつは、数学者が「実数のセットが存在する…」という形式のステートメントを作成できるため、すべてのセットのプロパティを記述および分析できることです。実数の。 （*）は、実数の集合のそのような「実存理論」を提供しません。 また、マーティンの最大値は（*）+と（*）++と矛盾しているように見えるため、マーティンの最大フレームワークでは、実数のセットに関する存在記号は不可能である可能性があります。 ウッディンにとって、これは取引のブレーカーです。「これが言っていることは、運命にあるということです。」

他の主要なプレーヤーはすべてまだウッディンの証拠を消化しています。 しかし、彼の議論は推測であると強調した人もいた。 ウッディンでさえ、以前に起こったように、驚くべき発見が状況（そして彼の意見）を変える可能性があることを認めています。

コミュニティの多くは、「究極のL」予想を証明しようとするウッディンの試みの結果を待っています。つまり、ゲーデルの集合のモデル宇宙の包括的な一般化の存在です。 究極のLが存在する場合—ウッディンはそれを考える十分な理由があり、現在400ページで証明を試みています—ZFCに追加する「夢の公理」は究極のL公理でなければならないことは明らかだと考えます。究極のLは集合の宇宙であるという声明。 そして究極のLでは、Cantorは正しいです：連続体はカーディナリティ$ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $を持っています。 証明がうまくいけば、究極の公理は、ZFCの拡張の明白な選択ではないにしても、少なくともマーティンの最大値の手ごわいライバルになるでしょう。

ゲーデルとコーエンが連続体仮説のZFCからの独立性を確立して以来、無限の数学は、集合理論家が実数を任意のレベルまで強制できる、独自の冒険物語でした— $ latestboldsymbol {aleph} _ { 35} $または$ latexboldsymbol {aleph} _ {1000} $と言い、その結果を調べます。 しかし、AsperóとSchindlerの結果が$ latexboldsymbol {aleph} _ {2} $を説得力を持って指し示し、Woodinが$ latexboldsymbol {aleph} _ {1} $のケースを構築したことで、明確な二分法が確立され、完全な勝者が新たに登場したようです。可能。 ほとんどの集合理論家は、数学の多元宇宙を抜け出し、カントールの楽園のXNUMXつの絵の後ろで合体することだけを望んでいます。

ケネディは、その一例として、私たちがすぐにその「プレラプサリアンの世界」に戻るかもしれないと考えています。 「ヒルベルトはスピーチをしたとき、人間の尊厳は私たちが数学のことをイエスかノーかで決めることができるかどうかにかかっていると言いました」と彼女は言いました。 「これは、数学が私たちがいつも思っていたものであるかどうか、つまり真実を確立することであるかどうかという、人類の贖いの問題でした。 この真実だけでなく、その真実。 可能性だけではありません。 いいえ。連続体はこのサイズ、期間です。」