私たちは数学を純粋に論理的なものと考える傾向がありますが、数学の教え、その価値、その有用性、そしてその仕組みにはニュアンスが詰まっています。では、「良い」数学とは何でしょうか? 2007年に数学者は、 テレンス・タオ にエッセイを書きました アメリカ数学協会の会報 この質問に答えようとしたものです。今日、タオはフィールズ賞、数学ブレークスルー賞、そしてマッカーサーフェローシップの受賞者として、存命中の最も栄誉ある多作な数学者の一人です。このエピソードでは、彼は私たちのホストであり仲間の数学者に加わります スティーブンストロガッツ 優れた数学の本質を再考するために。

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成績証明書（トランスクリプト）

スティーブン・ストロガッツ: 2007 年 XNUMX 月、初代 iPhone がまだ人気商品で、株式市場が大不況前の史上最高値にあった頃、UCLA の数学教授テレンス・タオは、ある質問に答えようと決意していました。数学者の間で長い間議論されてきた問題、「優れた数学とは一体何なのか?」

厳しさのことですか？優雅？現実世界のユーティリティ?テリーは、非常に思慮深く、寛大で、率直にさえ言える、数学が役に立つあらゆる方法についてのエッセイを書きました。しかし、15 年以上経った今、優れた数学とは何かを再考する必要があるでしょうか?

私はスティーブ・ストロガッツです。これは、のポッドキャスト「The Joy of Why」です。 クォンタマガジン そこでは、共同司会者のジャンナ レビンと私が交代で、今日の数学と科学における未解決の最大の疑問のいくつかを探ります。

(テーマプレイ)

今日ここで、何が数学を優れたものにするのかという永遠の問いを再考するために、テリー・タオ自身が登場します。タオ教授は、調和解析、偏微分方程式、組合せ論、数論、データサイエンス、ランダム行列などを含む驚くほど広範囲の数学に関する 300 以上の研究論文を執筆しています。彼は「数学のモーツァルト」と呼ばれています。そして、フィールズ賞、数学ブレークスルー賞、マッカーサーフェローシップ、その他多くの賞の受賞者として、そのあだ名は確かにふさわしいものです。

テリー、「The Joy of Why」へようこそ。

テレンス・タオ：ここに来られて嬉しいです。

ストロガッツ: ある種の数学的研究を優れたものにするものは何かというこの問題について、皆さんとお話しできることをとても楽しみにしています。パラパラとめくってみたのを鮮明に覚えています アメリカ数学協会の会報 2007年に戻って この問題に関するあなたのエッセイ あなたが私たちのためにポーズをとったこと。それはすべての数学者が考えていることです。しかし、あまり馴染みのない人のために、どのようにしてこの質問にたどり着いたのか教えていただけますか?当時、優れた数学をどのように定義していましたか?

CAT：そうです、そうです。実は勧誘でした。それで、その編集者は、 掲示板 当時、私に記事を寄稿してほしいと頼まれました。学生時代の私は数学とは何なのかについて非常に素朴な考えを持っていたと思います。私は、グレイビアードの評議会のようなものがあって、人々が取り組むべき問題を配布しているのではないかという考えを持っていました。そして、実際には問題を配布する中央の権威はなく、人々は自主的に研究を行っていることに気づき、大学院生だった私にとってはある種のショックでした。

私は講演会に通い続け、他の数学者が数学の何が面白いのか、何に興奮するのか、そして各数学者が数学への取り組み方が異なるという事実について話しているのを聞きました。たとえば、ある者は応用を追求し、ある者はある種の美しさを追求し、ある者は単に問題解決を追求するでしょう。彼らは問題を解決したいと考えており、最も困難で最も挑戦的なタスクに集中していました。テクニックに焦点を当てる人もいます。物事をできるだけエレガントにしようとする人もいます。

しかし、非常に多くのさまざまな数学者たちが、数学に価値があると考えていることについて話すのを聞いて、私が印象に残ったのは、優れた数学とはどのようなものであるべきかについて、たとえ私たち全員が異なる理想を持っていたとしても、彼らはみな、ある種の傾向があるということです。同じものに収束します。

数学の一部が本当に優れている場合、美を追求する人々は最終的にその数学に出会うでしょう。技術力や応用力を追求し、価値を見出している人は、最終的にはそこに辿り着くのです。

ユージン・ウィグナー についての非常に有名なエッセイがありました 数学の不合理な有効性 ほぼ1世紀前に物理科学の分野で、彼は数学の領域があることに気づいたばかりだった――たとえば、リーマン幾何学や曲面空間の研究など――当初は数学者にとって、それを証明しようとする純粋に理論的な演習にすぎなかった。平行公準など、アインシュタイン、ポアンカレ、ヒルベルトが一般相対性理論の数学を記述するためにまさに必要としていたものであることが判明しました。そしてそれはただ起こる現象です。

つまり、数学者が知的に興味深いと考えるものは、結局は物理的に重要であるということだけではありません。しかし、数学の中でも、数学者が洗練されていると感じる主題は、たまたま深い洞察をもたらすものでもあります。

私が感じているのは、ご存知のように、そこにはプラトニックな優れた数学があり、私たちのさまざまな価値体系はすべて、その客観的な優れたものにアクセスするための異なる方法にすぎないということです。

ストロガッツ：それはとても興味深いですね。私自身プラトニック思考に傾きがちな人間なので、それに同意したくなります。あなたがそう言うのを聞いて少し驚きましたが、私はあなたが最初にどこに行こうとしているかのように見えたと思っていたので、これについては非常に多くの異なる視点があると思います。しかし、興味深い事実は、一種の経験的事実ですが、たとえあなたが言うように、私たちは非常に多くの異なる価値観から判断しているにもかかわらず、何が良いか、何が良くないかについて同意することに収束するのです。

CAT： 右。収束には時間がかかる可能性があります。たとえば、ある指標で測定すると、他の指標よりもはるかに良く見えるフィールドが確実に存在します。おそらく彼らにはたくさんのアプリケーションがあるかもしれませんが、彼らのプレゼンテーションは非常に不快です。

（ストロガッツ笑い）

あるいは、非常に洗練されているものの、現実世界ではまだあまり適切な用途が確立されていないものもあります。でも、最終的には収束するような気がします。

ストロガッツ：それでは、この現実世界との接点についてお聞きします。数学における興味深い緊張感です。そして、たとえば、小さな子供のように、私たちが初めて幾何学について学ぶとき、あなたはその時点で、三角形が本物であるか、円や直線が本物であり、目に見える長方形の形状について説明できると考えるかもしれません。世界中の建物で、あるいは測量士が幾何学を使用する必要があるということです。そして結局のところ、この言葉は地球の測定、つまり「幾何学」に由来しています。そのため、幾何学が経験的なものであった時代がありました。

しかし、私があなたに聞きたかったことは、次のようなコメントと関係があります。 ジョン・フォン・ノイマン 作った。つまり、フォン・ノイマンは、詳しくない人にとっては、彼自身が偉大な数学者だったのです。そして彼はこのエッセイの中で次のようにコメントしました。数学者」では、数学と経験的世界、現実世界との関係について、数学的アイデアは経験に由来するが、一度数学的アイデアを獲得すると、ある時点で主題が独自の人生を歩み始めると彼は乱暴に述べています。自分の。そして、それはむしろ創造的な芸術作品のようなものです。美的基準が重要になります。しかし、それは危険を引き起こすと彼は言います。特に第二世代や第三世代のように、対象がその経験的情報源から大きく離れ始めたとき、その対象が過度の抽象的な近親交配に苦しむ可能性があり、退化の危険にさらされる、と彼は言う。

それについて何か考えはありますか？つまり、数学はその経験的な情報源と接触し続ける必要があるのでしょうか?

タオ: はい、接地する必要があると思います。私が経験的に、数学を行うこれらすべての異なる方法が収束すると言うのは、それが単に被験者が健康な場合にのみ起こるからです。幸いなことに、通常はそうなります。

しかし、たとえば、数学者は、他のすべての条件が同じであれば、長い証明よりも短い証明を重視します。しかし、人々が行き過ぎて、たとえば数学の一分野が証明をできるだけ短くし、深い定理の非常に不透明な 2 行の証明をすることに執着していることを想像することもできます。そして彼らはそれをコンテストのようなものにし、それからこの種の難解なゲームになり、そしてあなたはすべての直感を失います。すべての証明をできるだけ短くすることに執着するあまり、より深い理解を失う可能性があります。さて、これは実際には起こりません。しかし、これは一種の理論的な例であり、フォン・ノイマンも同様のことを主張していたと思います。

そして 60 年代から 70 年代にかけて、それまでは非常に経験的だった多くの数学を単純化し、統合するために抽象化が大きく進歩した数学の時代がありました。特に代数では、人々は、以前は別々に扱われていた数値や多項式、その他多くのオブジェクトが同じ代数クラス (この場合は環) のメンバーとして考えることができることに気づき始めました。

そして、それが位相空間であれベクトル空間であれ、何であれ、適切な抽象化を見つけて、非常に一般的な定理を証明することによって、数学における多くの進歩がもたらされました。そしてこれは、数学においてブルバキ時代と呼ばれることもあります。そして、それは接地から少し遠ざかりすぎました。

もちろん、米国では「新しい数学」のエピソード全体があり、そこでは教育者たちが次のことを試みました。 ブルバキ流で数学を教える そして最終的には、それはそのレベルでは適切な教育法ではないことに気づきました。

しかし今、振り子はかなり戻ってきました。私たちはある意味、この主題はかなり成熟しており、数学、幾何学、トポロジーなどあらゆる分野で満足のいく形式化ができており、正しい抽象化が何であるかをある程度知っています。そして今、この分野は再び相互接続とアプリケーションに焦点を当てています。それは今、現実の世界ともっとつながっています。

つまり、伝統的なつながりである一種の物理学だけではなく、コンピューター サイエンス、生命科学、社会科学なども同様です。ビッグデータの台頭により、人間のほぼすべての分野がある程度数学化できるようになりました。

ストロガッツ: 私は、あなたが先ほど使用した「相互接続」という言葉に非常に興味があります。それが私たちが議論する中心点のように思えるからです。あなたがエッセイの中で述べていることは、エレガンスや現実世界の応用などに関するあなたが「ローカル」基準と呼ぶものに加えて、優れた数学のこの「グローバル」な側面、つまり優れた数学が他のものと結びついているということについても言及していることです。良い数学。

それが他の部分と統合されていることが、この製品の良さのほぼ鍵となります。しかし、これは興味深いのです。なぜなら、それは循環論法のように聞こえるからです。つまり、優れた数学は他の優れた数学につながる数学なのです。しかし、これは非常に強力なアイデアなので、もう少し拡張していただけないでしょうか。

CAT: ええ、つまり、数学とは何なのかということです。数学が行うことの 1 つは、非常に基本的で基本的な、しかし表面レベルから見ただけでは明らかではない関連性を作り出すことです。この非常に初期の例は、デカルトのデカルト座標の発明であり、幾何学 (点と線および空間オブジェクトの研究) と数値、代数の間の基本的な関係を確立しました。

たとえば、円は幾何学的オブジェクトとして考えることができますが、方程式として考えることもできます。 x² + y² = 1 は円の方程式です。当時、それは非常に革新的な接続でした。ご存知のとおり、古代ギリシャ人は数論と幾何学をほぼ完全にバラバラな主題として見ていました。

しかし、デカルトには、この根本的なつながりがありました。そして今、それは内面化されています。ご存知のように、私たちが数学を教える方法です。幾何学的な問題がある場合、数字を使って解決するのは、もはや驚くべきことではありません。あるいは、数字に問題がある場合は、幾何学で攻撃することもできます。

それは、幾何学と数値の両方が同じ数学的概念の側面であるためです。私たちには代数幾何学と呼ばれる分野全体があり、これは代数学でも幾何学でもありませんが、線や円などの幾何学的形状、または方程式として考えることができるオブジェクトを研究する統一された主題です。

しかし実際には、私たちが研究しているのはこの 2 つの総合的な結合です。そして、この主題が深まるにつれて、ある意味、代数学や幾何学を別々に扱うよりも、それがより基本的なものであることに私たちは気づきました。したがって、これらのつながりは、最初はどういうわけか、実証研究では主題のほんの一角しか得られなかった、ある種の本当の数学を発見するのに役立ちます。

象の有名な寓話があります。どこでしたか忘れましたが… 4 人の盲人がいて、一頭の象を発見します。そして、そのうちの一人が象の足を触って、「ああ、これはとてもごつごつしている」と思いました。それはきっと木か何かのようなものでしょう。」

そして彼らのうちの1人が鼻を触り、彼らがすべての別々の仮説を説明している単一の象の物体があることに気づくのはずっと後になってからです。そうですね、最初は私たち全員が盲目なのです。私たちはプラトンの洞窟の影を眺めているだけで、後になって初めて気づきます。

ストロガッツ：わあ、あなたはとても哲学的ですね。これは何かです。もう我慢できません。もしあなたが象と目の見えない人々について話し始めようとしているなら、これはあなたが数学がそこにあると考えていることを示唆しています - それは象のようなものであり、私たちは盲目であると考えていることを示唆しています…あるいは、あなたはご存知のように、私たちは人間から独立して存在するものを見ようとしています。それは本当にあなたが信じていることですか？

CAT: 優れた数学を行うとき、それは単に記号を押しつけるだけではありません。あなたは理解しようとしている実際のオブジェクトがあるように感じます、そして私たちが持っているすべての方程式はそれの一種の近似、または影にすぎません。

実際に何が現実であるかなどの哲学的な点について議論することができます。つまり、これらは実際に触れることができるものであり、数学的にリアルになるほど、物理的ではないように見えることがあります。あなたが言ったように、幾何学は当初、物理空間内のオブジェクトに関する非常に具体的なもので、実際に円や正方形などを構築することができます。

しかし、現代の幾何学では、ご存知のように、私たちはより高い次元で働いています。離散幾何学やあらゆる種類の奇抜なトポロジーについて話すことができます。つまり、たとえ地球が測定されなくなったとしても、この主題は依然として幾何学と呼ばれるに値します。古代ギリシャ語の語源は非常に古いですが、確かにそこには何かがあります。それがどれほど現実的であるかどうか。しかし、重要なのは、実際に数学を行うためには、それが本物であると信じることが役立つということだと思います。

ストロガッツ：そう、それは面白くないですか？します。それは数学の歴史の非常に深いところにあるもののようです。私はアルキメデスが友人、少なくとも同僚であるエラトステネスに宛てて書いたエッセイに衝撃を受けました。

私たちは今、紀元前 250 年のことを話しています。そして彼は、放物線のセグメントと呼ばれる領域を見つける方法を発見したと発言しました。彼は放物線を取得し、放物線の軸に対して斜めの線分でそれを横切り、この領域を計算します。彼はとても美しい結果を得ました。しかし、彼はエラトステネスに「これらの結果は最初から数字に内在していたものである」というようなことを言います。ほら、彼らはそこにいるよ。彼らはそこにいます。彼らはただ彼が見つかるのを待っているのです。

彼がそれらを作成したわけではありません。詩とは違います。というか、実際、面白いですよね？多くの偉大な芸術家が、ミケランジェロは、あたかも最初からそこにあったかのように、像を石から解放することについて話しました。そして、あなたや他の多くの偉大な数学者もそう思っているようです - あなたが言うように、このアイデアはそこにあり、私たちを待っていて、適切な頭脳がそれを発見するのを待っていると信じることは非常に有益です。

CAT： 右。そうですね、その現れの 1 つは、最初に発見されたときは説明するのが非常に複雑なアイデアが、その後は単純化されてしまうということだと思います。つまり、最初は何かが非常に奥深く見えたり、難しく見えたりする理由は、多くの場合、正しい表記法を持っていないからです。

たとえば、今では数字を操作するために10進法があり、とても便利です。しかし、過去には、ローマ数字のようなものがあり、さらに原始的な数値体系があり、数学をしたい場合に扱うのは非常に困難でした。

ユークリッドの 要素ご存知のとおり、これらの古代文書の議論の一部です。ユークリッドの定理のようなもの 要素 愚か者の橋か何かと呼ばれていたと思います。これは、二等辺三角形のようなものだと思いますが、2 つの底角は等しいというステートメントに似ています。これは、現代の幾何学の文章における、正しい公理を使った 2 行の証明のようなものです。しかし、ユークリッドはそれを行う恐ろしい方法を持っていました。そして、古典時代の幾何学の多くの学生が数学を完全に諦めたのもそこでした。

ストロガッツ： 真実。 (笑)

CAT: しかし、ご存知のとおり、今ではそれを行うためのはるかに優れた方法があります。私たちが数学で目にする複雑な問題は、多くの場合、私たち自身の限界から生み出されたものです。そして、私たちが成熟するにつれて、物事はよりシンプルになります。そしてそのおかげでよりリアルに感じられます。私たちは人工物を見ていません。私たちは本質を見ています。

ストロガッツ: さて、あなたのエッセイに戻りますが、あなたがそれを書いた当時、つまり、これはあなたのキャリアのかなり初期の頃で、最初ではありませんでしたが、それでもまだでした。当時、優れた数学とは何かを定義することが重要だと感じたのはなぜですか?

CAT: そうですね…その時点で、私はすでに大学院生にアドバイスをし始めていましたが、何が良くて何が良くないかについて、ある種の誤解があることに気づきました。また、さまざまな分野の数学者と話していましたが、数学において自分の分野が重視するものは他の分野とは異なるようでした。それでも、どういうわけか私たちは皆同じ科目を勉強していました。

そして時々誰かが、「この数学には応用がないので、価値がない」といった、私を不快にさせるようなことを言うことがありました。または、「この証明は複雑すぎます。したがって、価値はありません」とかなんとか。あるいは逆に、「この証明は簡単すぎる。証明は簡単すぎる」ということもわかります。したがって、それは価値がありません...」時々、俗物的な態度などに遭遇することがありました。

私の経験では、異なる分野の人の異なる視点、数学についての異なる考え方を理解し、それを自分が関心のある問題に適用したときに、最高の数学が生まれました。したがって、数学を適切に使用する方法、数学を活用する方法についての私の経験は、これらとは大きく異なり、一種の「数学を行うための唯一の真の方法」でした。

この点は何らかの形で解決しなければならないと感じました。数学を行うには実際には複数の方法があるが、数学はまだ統一されているということ。

ストロガッツ: それは非常に明らかです。なぜなら、私は序文の中で、あなたが研究してきた数学のさまざまな分野について言及しましたが、その一部を含めさえしなかったのではないかと思っていたからです。たとえば、ほんの数年前、流体力学の謎、つまり私たちが考えている特定の方程式が水と空気の動きをうまく近似しているかどうかについてのあなたの研究を思い出します。あまり詳細には触れたくないのですが、ここで、人々はあなたが数論や調和解析をやっていると思っているのに、突然流体力学の問題に取り組んでいると考えます。つまり、偏微分方程式であることがわかりました。しかしそれでも、あなたの興味の幅の広さは、優れた数学を行うためのさまざまな方法からさまざまな洞察やさまざまな貴重なアイデアを受け入れる広さに関係しているようです。

CAT：誰が言ったか忘れましたが、数学者には2つのタイプがあります。ハリネズミとキツネがいます。キツネはあらゆることを少しだけ知っている人です。ハリネズミは、あることをとてもよく知っている生き物です。そして、どちらが他よりも優れているということはありません。それらは互いに補完し合います。つまり、数学では、1 つのサブ分野において本当に深い専門家であり、その主題を隅々まで知っている人材が必要です。そして、ある分野と別の分野の間のつながりを理解できる人材が必要です。ですから、私は間違いなくキツネであると認識していますが、多くのハリネズミと仕事をしています。私が最も誇りに思う仕事は、そのようなコラボレーションであることが多いです。

ストロガッツ： そうそう。彼らは自分たちがハリネズミであることに気づいていますか？

CAT：そうですね、役割は時間とともに変わります。たとえば、私がハリネズミで、他の人がキツネであるコラボレーションは他にもあります。これらは一種の永続的なものではありません。ご存知のとおり、これらはあなたの DNA には組み込まれていません。

ストロガッツ：ああ、いい指摘ですね。私たちは養子縁組をすることができます。両方のマントを着ることができます。

そうですね、当時、エッセイに対する反響はありましたか？人々はあなたに何か言い返しましたか？

CAT：全体的にはかなり肯定的な反応が得られました。つまり、 AMS の会報 『』はそれほど広く広く流通している出版物ではないと思います。また、私はあまり物議を醸すようなことは何も言いませんでした。また、この種のソーシャル メディアは以前から存在していたので、おそらくそれを取り上げた数学ブログがいくつかあったと思いますが、Twitter はありませんでした。それをバイラルにするものは何もありませんでした。

そうですね、一般に数学者は推測に多くの時間と知的資本を費やさないとも思います。つまり、別の数学者がいます。 キム・ミンヒョン 数学者にとって、信頼性は通貨やお金のようなものであるという、とても素晴らしい比喩を持った人です。定理を証明し、その主題を理解していることを証明できれば、銀行に何らかの形でこの信頼性の通貨が蓄積されることになります。そして、十分な通貨を手に入れれば、少し哲学的になり、実際に証明できることよりも真実かもしれないことを言うことで、少し推測する余裕ができます。

しかし、私たちは保守的な傾向があり、銀行口座に当座貸越が生じることを望みません。ご存知のとおり、自分の文章のほとんどが推測であり、実際に何かを証明できるのは 1% だけになることは望ましくありません。

ストロガッツ： けっこうだ。それで、わかりました。それで、それから長い年月が経ちました。私たちは何について話していますか？ 15年以上経ちます。

CAT：ああ、時間が経つのは早いですね。

ストロガッツ：意見は変わりましたか？何か修正する必要はありますか?

CAT: そうですね、数学の文化はかなり変化しています。私はすでに数学に対して広い視野を持っていましたが、今ではさらに広い視野を持っています。

したがって、非常に具体的な例の 2007 つが次のとおりです。コンピュータ支援による証明は、XNUMX 年時点でもまだ物議を醸していました。ケプラー予想と呼ばれる有名な予想がありました。これは、単位ボールを XNUMX 次元空間に詰め込む最も効率的な方法に関するものです。そして、標準的なパッキングがあり、これは立方体中央パッキングか何かと呼ばれていると思いますが、ケプラーが可能な限り最良であると推測したものです。

最終的には解決しましたが、 証明は非常にコンピューターを活用したものでした。かなり複雑な内容でしたし、 [トーマス] ヘイルズ最終的には、この特定の証明を正式に検証するためのコンピューター言語全体を実際に作成しましたが、それは長年にわたって本当の証明として受け入れられませんでした。しかし、これは、検証するためにコンピューターの支援が必要であるという証明の概念がいかに物議を醸すものであるかを示しました。

それ以来何年にもわたって、人間が複雑な問題を、依然としてコンピューターによる検証が必要なものに帰着させることができるという証明の例が、他にもたくさんありました。そして、コンピュータが先に進み、それを検証します。私たちはこれを責任を持って行う方法についての実践を開発してきました。コードやデータを公開する方法、新しいオープンソースのものを確認する方法などです。そして今では、コンピューター支援による証明が広く受け入れられています。

さて、次の文化的変化は次のようなものになると思います。 AI が生成した証明が受け入れられるかどうか。現時点では、AI ツールは数学的問題を実際に発展させるための証明を生成できるレベルにはありません。おそらく学部レベルの宿題ならなんとかできるかもしれませんが、数学の研究はまだそのレベルに達していません。しかし、ある時点で、AIを活用した論文が発表され、議論が巻き起こることになるでしょう。

私たちの文化はある意味で変わってきました…2007 年当時、出版前にプレプリントを利用できるようにした数学者はほんの一部でした。著者はジャーナルから受理の通知を受け取るまで、プレプリントを熱心に守りました。そして、彼らは共有するかもしれません。

しかし今では誰もが書類を提出します arXiv のようなパブリックサーバー。論文のアイデアがどこから来たのかについて、ビデオやブログ投稿を掲載することがはるかにオープンになりました。それが仕事をより影響力のあるものにし、影響力を与えるものであると人々が認識しているからです。自分の仕事を公にせず、極秘にしようとしても、話題にはなりません。

数学はこうなった はるかに協力的です。ご存知のとおり、50 年前、数学の論文の大部分は単著者であったと思います。さて、間違いなく大多数は XNUMX 人か XNUMX 人か XNUMX 人の著者です。そして、科学分野で行うような、数十人、数百人が協力するような、本当に大規模なプロジェクトが見え始めたところです。それは数学者にとってまだ難しいことですが、私たちはそこに到達すると思います。

同時に、私たちはより学際的になってきています。私たちは他の科学とさらに多くの研究を行っています。私たちは数学の分野の間で研究を行っています。そしてインターネットのおかげで、世界中の人々とコラボレーションすることができます。したがって、数学のやり方は確実に変わりつつあります。

将来的には、アマチュア数学コミュニティをもっと活用できるようになることを願っています。天文学のような他の分野では、天文学者がアマチュア天文コミュニティを大いに活用しています。たとえば、多くの彗星がアマチュアによって発見されています。

しかし数学者は… 数学には、いいね、タイリング、2 次元タイリング、そして素数のレコードの検索など、いくつかの独立した分野があります。数学のいくつかの非常に選ばれた分野ではアマチュアが貢献しており、彼らは歓迎されています。しかし、多くの障壁があります。数学のほとんどの分野では、非常に多くのトレーニングと内面化された、または従来の常識が必要なので、物事をクラウドソーシングすることはできません。しかし、これは将来的に変わる可能性があります。おそらく AI の影響の 1 つは、アマチュア数学者が数学に有意義に貢献できるようになることでしょう。

ストロガッツ：それはとても興味深いですね。

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ストロガッツ: ということは、アマチュアは AI の助けを借りて、良い新しい質問をするか、既存の質問をうまく調査するのに役立つ、そのようなことになるでしょうか?

CAT: さまざまな方法があります — そうですね。たとえば、現在、これらの大きな定理の証明を形式化するプロジェクトがあり、 正式な証明アシスタント、定理が正しいかどうか、そして証明されているかどうかを 100% 検証できるコンピューター言語のようなものです。これにより、実際に数学における大規模な共同作業が可能になります。

したがって、過去に、定理を証明するために他の 10 人の人々と協力し、それぞれが XNUMX ステップ貢献した場合、全員が他の全員の数学を検証する必要がありました。なぜなら、数学というのは、XNUMX つのステップに誤りがあると、全体が崩れてしまう可能性があるからです。

したがって、信頼が必要です。したがって、これにより、数学における大規模なコラボレーションが妨げられ、実際に妨げられます。しかし今では、巨大なコミュニティがあり、全員がお互いを知っているわけではなく、全員がお互いを信頼しているわけではありませんが、Github リポジトリや議論の個々のステップの個々の証明のようなもの。また、正式な証明ソフトウェアがすべてを検証するため、信頼性について心配する必要はありません。そのため、私たちはこれまで見たことのない新しいコラボレーション モードを可能にしています。

ストロガッツ: テリー、あなたのビジョンを聞くのは本当に興味深いです。それは魅力的な考えです。 「市民数学者」という言葉は聞きません。公民科学について聞いたことはありますが、公民数学はなぜそうではないのでしょうか?

ただ、ちょっと疑問に思ったのですが、例えばコンピューター支援証明やAI生成証明など、何か気になる傾向はありますか？特定の結果が正しいことは分かるが、その理由は分からないのでしょうか?

CAT：それは問題ですね。つまり、AIが登場する前からすでに問題になっているのです。そのため、1 つのテーマの論文が数百ページにも及ぶ長大な分野が数多くあります。そして私は、AI が実際に逆に単純化に役立ち、証明できるだけでなく説明もできるのではないかと期待しています。

つまり、形式化された証明を取得した場合、それを実際に人間が読めるインタラクティブな文書に変換できる実験的なソフトウェアがすでに存在します。そこでは証明があり、大まかな手順が表示され、文があるかどうかがわかります。理解できない場合は、それをダブルクリックすると、小さなステップに展開されます。近いうちに、証明を行っている間、AI チャットボットを隣に座らせて、質問に答え、著者であるかのように各ステップを説明できるようになると思います。私たちはすでにそれに非常に近づいていると思います。

懸念があります。私たちは生徒の教育方法を変えなければなりません。特に宿題などを与える従来の方法の多くが現在、これらの AI ツールが標準的な試験問題の多くに即座に答えられる段階にほぼ近づいています。そのため、AI が生成した出力が正しいかどうかを確認する方法やセカンドオピニオンを得る方法など、新しいスキルを生徒に教える必要があります。

そして、数学にもっと実験的な側面が現れるかもしれません。したがって、ほとんどの科学には理論的要素と実験的要素の両方があるのに対し、数学はほぼ完全に理論的です。最終的には、最初はコンピュータによってのみ証明され、あなたが言うように、私たちには理解できない結果が得られるかもしれません。しかし、AI が提供するデータ、つまりコンピューターが生成した証明を入手すれば、実験を実行できるかもしれません。

ここで実験数学が少しだけ行われます。人々は、さまざまなものの大規模なデータセット、たとえば楕円曲線などを研究します。しかし、将来的にはさらに大きくなる可能性があります。

ストロガッツ：へえ、あなたはとても楽観的な見方をしているように私には思えます。黄金時代が過去になったわけではありません。私の話が正しければ、これからはとてもエキサイティングなことがたくさん待っていると思います。

CAT: そうですね、新しい技術ツールの多くは非常に力を与えてくれます。つまり、AI には一般的に多くの複雑な長所と短所があります。そして科学の外でも、経済や知的財産権などに多くの混乱が生じる可能性があります。しかし、数学に関しては、他の多くの分野よりも良いことと悪いことの比率が優れていると思います。

そしてご存知のとおり、インターネットは私たちが数学を行う方法を本当に変えました。さまざまな分野で多くの人たちと協力しています。インターネットがなければこれはできませんでした。ウィキペディアなどにアクセスして主題の学習を開始でき、誰かにメールを送信でき、オンラインで共同作業できるという事実。もし、自分の部門内の人々とのみ会話し、その他のことには物理的なメールを使用するという昔ながらのことをしなければならなかったとしたら、今のように計算することはできません。

ストロガッツ：わあ、わかりました。あなたが今言ったことに下線を引きたいと思います。なぜなら、100万年後にこんなことを聞​​くことになるとは思ってもいなかったからです：テリー・タオは数学を学ぶためにウィキペディアを読んでいますか？

CAT: 出発点として。つまり、必ずしも Wikipedia を使用するわけではありませんが、キーワードを取得するためだけに、より専門的な検索を実行します。たとえば、 MathSciNet または他のデータベース。でも、そうだね。

ストロガッツ：批判ではありません。つまり、私も同じことをします。実際のところ、Wikipedia は、Wikipedia の数学について批判があるとすれば、それはおそらく、Wikipedia が対象としている読者にとっては少々高度すぎる場合があるということだと思います。常にではない。つまり、それは状況によります。記事によって大きく異なります。しかし、それはただ面白いのです。それを聞くのが大好きです。

CAT: つまり、これらのツールでは、出力を精査できなければなりません。つまり、私がウィキペディアを使って数学を行うことができるのは、ウィキペディアの数学の一部が疑わしいかどうかを嗅ぎ分けることができるほど、私はすでに十分な数学の知識があるからです。ご存知のとおり、いくつかの情報源を取得する可能性があり、そのうちの 1 つが他の情報源よりも優れた情報源になる可能性があります。著者のことも知っていますし、どの参考書が自分にとってより良いのかもわかります。経験のないテーマについて学ぶために Wikipedia を使用する場合、それは確率変数のようなものになると思います。

ストロガッツ: そうですね、私たちは良い数学を作るものとは何か、新しい種類の良い数学の可能性のある未来についてかなり話してきました。しかし、おそらく私たちは、「なぜこれが重要なのでしょうか?」という質問に取り組む必要があるかもしれません。数学が得意であることがなぜ重要なのでしょうか?

CAT: そうですね、まず第一に、そもそもなぜ数学者がいるのですか?なぜ社会は数学者を評価し、私たちが行っていることを行うためのリソースを与えてくれるのでしょう?それは、私たちが何らかの価値を提供しているからです。現実世界への応用も可能です。そこには知的興味があり、私たちが開発した理論の中には、最終的には他の現象への洞察を提供するものもあります。

そして、すべての数学が同じ価値を持つわけではありません。つまり、円周率の桁をどんどん計算することはできますが、ある時点で何も学習できなくなります。リソースを割り当てなければならないため、どの主題にも何らかの価値判断が必要です。そこには数学がたくさんあります。どのような進歩を強調し、公表し、他の人々に知らせたいと考えていますか?また、どこかの雑誌に静かに載せておくべき進歩はどれですか?

主題が完全に客観的であり、真実か虚偽しか存在しないと考えたとしても、私たちは依然として選択をしなければなりません。ご存知のように、時間は限られたリソースだからです。注意力は限られたリソースです。お金は有限な資源です。したがって、これらは常に重要な質問です。

ストロガッツ: そうですね、公開について言及しているのは興味深いですね。それはあなたの仕事の特徴だと思うのですが、ブログやさまざまな記事を通じて、数学を一般に公開することに多大な努力を払ってきたことです。書きました。あなたが書いたものについて議論したことを覚えています アメリカの科学者 普遍性とその考え方について。数学を公的にアクセス可能にして理解できるようにすることがなぜ重要なのでしょうか?つまり、何をしようとしているのですか？

CAT：それは自然に起こったということですね。私のキャリアの初期には、World Wide Web はまだ非常に新しく、数学者はさまざまなコンテンツを含む Web ページを持ち始めましたが、中心となるディレクトリはあまりありませんでした。 Google などが登場する前は、個々のリソースを見つけるのは実際には困難でした。

それで、私はある種のものを作り始めました 私のウェブページ上の小さなディレクトリ。また、自分の論文用のウェブページを作成したり、コメントを作成したりしました。当初は、それは私自身の利益のためであり、単に物事を見つけるのを助けるための整理ツールとしてでした。副産物として、それは一般に公開されましたが、私は自分の Web ページの主な消費者のようなものでした、または少なくとも私はそう思っていました。

しかし、私は非常にはっきりと覚えています、あるとき、私が論文を書いてそれを自分のウェブページに掲載したとき、「What's New?」という小さなサブページがありました。それで私はこう言いました。「これが紙です。」その中にまだ答えられない質問があり、どうやって解決すればいいのかわかりません。」そして、私はちょうどこのコメントをしました。それから2日後くらいに、「ああ、ちょうどあなたのホームページを見ていたんです。」というメールが届きました。私はこれに対する答えを知っています。あなたの問題を解決する論文があります。」

そして、まず第一に、人々が実際に私のウェブページにアクセスしていることに気づきましたが、私はそれを知りませんでした。しかし、コミュニティとの交流は、私の疑問を直接解決するのに役立つ可能性があります。

という法律があります ネットワークにおけるメトカーフの法則 もしあなたが持っているなら n 人々は皆、お互いに話します。 n² それらの間のつながり。したがって、聴衆が多くなり、誰もが他の人と話せるフォーラムが大きくなればなるほど、より多くの潜在的なつながりを作ることができ、より多くの良いことが起こる可能性があります。

つまり、私のキャリアの中で、私が行った発見やつながりのほとんどは、予期せぬつながりによるものです。私のキャリア全体の経験は、つながりが多ければ多いほど、より良いことが起こるということです。

ストロガッツ: あなたが今言及したことの素晴らしい例だと思いますが、それについてぜひ話を聞きたいのですが、医療共鳴画像法に関係する問題に興味があるデータ サイエンスの人々とあなたが築いたつながりです。 、MRI。その話について少し教えていただけますか？

CAT：それで、これは2006年か2005年くらいだったと思います。それで、ここ UCLA のキャンパスには、マルチスケール幾何学解析かそれに似たような分野の学際的なプログラムがあり、マルチスケール型幾何学自体に興味を持つ純粋な数学者が集まっていました。ご存知のように、非常に具体的なデータ型の問題を抱えていた人たちです。

そして、私はランダム行列理論のいくつかの問題に取り組み始めたばかりだったので、行列を操作できる人として知られていました。そして、以前から知っている人に会ったのですが、 エマニュエル・カンデスというのも、当時彼はカリフォルニア工科大学のすぐ隣で働いていたからです。そして彼ともう一人の協力者は、 ジャスティン・ロンバーグ、彼らはこの異常な現象を発見しました。

そこで彼らはMRI画像を見ていたのですが、非常に遅いのです。人体の非常に高解像度の画像、あるいは腫瘍や見つけたい医学的に重要な特徴を捉えるのに十分な画像を収集するには、これらすべての異なる角度をスキャンしてデータを合成する必要があるため、多くの場合数分かかります。 。そして、これは実際には問題でした。なぜなら、小さな子供たちが、たとえば MRI 装置の中で 3 分間じっと座っているだけでも、かなり問題があるからです。

そこで彼らは、線形代数を使用して、別の方法を実験していました。彼らは 10%、20% のパフォーマンス向上を期待していました。標準アルゴリズムを少し調整することで、画像が少し鮮明になります。

そのため、標準アルゴリズムは最小二乗近似と呼ばれるもので、彼らは総変動最小化と呼ばれる別のことを行っていました。しかし、コンピュータ ソフトウェアを実行すると、テスト イメージがほぼ完璧に再構築されたように見えました。大規模な大幅な改善。そして彼らはこれを説明できませんでした。

でも、エマニュエルはこのプログラムに来ていて、私たちはお茶か何かをしながらおしゃべりしていました。そして、彼は今これについて言及しましたが、実際、私が最初に思ったのは、あなたは計算を間違えたに違いない、あなたの言っていることが実際には不可能であるということでした。そして私はその夜家に帰り、彼らが見ていたことが実際には起こり得ないという実際の証拠を書き留めようとしたのを覚えています。そして途中で、私は自分の思い込みが真実ではなかったことに気づきました。そして、実際にそれがうまくいくかもしれないことに気づきました。そして、それがどのような説明になるのかを考え出しました。そして私たちは協力して、実際に良い説明を見つけ、それを公開しました。

そして、私たちがそれを行うと、通常は大量のデータを必要とする測定を行わなければならない状況が他にもたくさんあること、そして場合によっては、はるかに少量のデータを取得しても非常に高い結果が得られる場合があることに人々が気づきました。解像度測定。

たとえば、最新の MRI 装置では、このソフトウェア、このアルゴリズムが機械に組み込まれ、ハードコーディングされているため、以前は 30 分かかっていたスキャンに XNUMX 秒かかるようになりました。

ストロガッツ：それは美しい物語です、とても素晴らしい物語です。つまり、文字通り、医療画像処理の文脈で、人生を変える重要な数学について話したいのです。私はその偶然性と、このアイデアを聞いて「これは不可能だ、証明できる」と考えるあなたの寛容さが大好きです。そして、いや、実際にはそうであることに気づきました。数学がこれほどの影響を与えるのを見るのは素晴らしいことです。

そうですね、テリー、あなたを手放したほうがいいと思います。優れた数学の本質についてあなたと議論できて本当にうれしかったです。本日はご参加いただき誠にありがとうございます。

CAT：はい、いえ、楽しかったです。 

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ストロガッツ: 「The Joy of Why」は、のポッドキャストです。 クォンタマガジン、シモンズ財団が支援する編集的に独立した出版物。 シモンズ財団による資金提供の決定は、このポッドキャストまたは クォンタマガジン.

「The Joy of Why」のプロデュースは、 PRXプロダクションズ。製作チームはケイトリン・フォールズ、リヴィア・ブロック、ジュヌヴィエーブ・スポンスラー、メリット・ジェイコブ。 PRX Productions のエグゼクティブプロデューサーは Jocelyn Gonzales です。モーガン・チャーチとエドウィン・オチョアは追加の支援を提供した。から クォンタマガジン、ジョン・レニーとトーマス・リンが編集指導を行い、マット・カールストローム、サミュエル・ベラスコ、ノーナ・グリフィン、アーリーン・サンタナ、マディソン・ゴールドバーグがサポートした。

テーマ音楽はAPM Musicから提供されています。ポッドキャストの名前は Julian Lin が考えました。エピソードのアートは Peter Greenwood によるもので、ロゴは Jaki King と Kristina Armitage によるものです。コロンビア・ジャーナリズム・スクールとコーネル放送スタジオのバート・オドム・リードに特に感謝します。

私はあなたのホスト、スティーブ・ストロガッツです。ご質問やご意見がございましたら、下記までメールでお問い合わせください。 [メール保護]. 聞いてくれてありがとう。