計画変更は遠征中に起こりました。去年の4月の晴れた日、数学者たちは レイチェル・グリーンフェルド & サラ・ペルーズ 両名は、本拠地であるニュージャージー州プリンストンの高等研究所を出発し、ニューヨーク州ロチェスターに向かい、翌日そこで講演する予定だった。

彼らは、複雑な信号を成分周波数に分解する方法を研究する分野である高調波解析における重要な推測について、ほぼ 2 年間格闘していました。 3人目の協力者と一緒に、 マリーナ・イリオプロウ彼らは、成分周波数が互いの距離が整数に関連する平面上の点として表される問題のバージョンを研究していました。 3 人の研究者は、これらの点が多すぎるはずがないことを示そうとしていましたが、これまでのところ、彼らの技術はすべて不十分でした。

彼らは車輪を回転させているようでした。そこでペルセは考えました。調和解析の問題を (もちろん一時的にですが) やめて、任意の 3 点間の距離が正確に整数である点の集合に注意を向けたらどうなるでしょうか。このようなセットにはどのような構造が考えられますか?数学者は古代から整数の距離集合を理解しようとしてきました。たとえば、ピタゴラスのトリプル (4、5、XNUMX など) は、XNUMX つの頂点がすべて整数の距離だけ離れている直角三角形を表します。

「車の中で、レイチェルが私と一緒に閉じ込められていたので、私がそれを持ち出したのだと思います」と、現在ミシガン大学の教授であるペルーズ氏は語った。整数距離に取り組むというアイデアは、グリーンフェルドを興奮させました。

気がつくと、彼らは 1 度ではなく 2 度の方向転換を始めていました。

「実際、私たちはどこに行くのかに注意を払うのをやめ、高速道路から降りませんでした」とペルーズさんは語った。 「計算に興奮しすぎて、気づくまで1時間ほどロチェスターとは逆方向に進んでいたのです。」

1945年、ノーマン・アニングとポール・エルデス 証明 平面内ですべて整数距離離れた無限の点の集合は直線上になければなりません。有限の点セットの場合、可能性はもう少し多様になります。数学者は、場合によっては主要なドラッグから外れた 3 つまたは 4 つの追加の点を含む、直線または円上にある大きな集合を構築しました。 (点自体は整数の座標を持つ必要はありません。問題はそれらの間の距離です。)

他の構成で大規模な点のセットを思いついた人はいませんが、他の構成が不可能であることを証明した人はいません。アニングとエルデシュの研究結果から 80 年近くが経ち、このテーマは今日に至るまで事実上何の進歩も見られません。

グリーンフェルド、イリオプロウ、ペルセは、 証明 大きな整数距離セット内のすべての点は、おそらく少数の外れ値点を除いて、単一の直線または円上になければなりません。 「すべてのペアごとの距離が整数である大規模なセットが必要な場合、プレーヤーは円と線だけです。」と彼は言いました。 ヨジェフ・ソリモシ ブリティッシュコロンビア大学の博士。彼はその結果を「素晴らしい解決策」と呼びました。

新しいアプローチは、組み合わせ論、数論、代数幾何学という数学の 3 つの異なる分野のアイデアと技術を使用します。この異なる分野の結合は「真の心理的進歩となる可能性がある」と述べた。 テレンス・タオ、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学者。

アレックス・イオセビッチロチェスター大学の教授もこれに同意する。 「彼らは非常に幅広い問題に対して非常に強固な基盤を築いた」と彼は語った。 「これがさらに奥深い用途に応用できるだろうということは、私の心にはまったく疑いの余地がありません。」

シンプルさの限界

平面内では、すべて整数の距離だけ離れた点の無限のセットを選択するのは簡単です。お気に入りの直線を選択し、その上に重ね合わされた数直線を想像し、整数に対応する点の一部またはすべてを使用するだけです。しかし、アニングとエルデシュが 1945 年に認識したように、これが平面内に設定された無限の整数距離を構築する唯一の方法です。すべてが同じ線上にない XNUMX つの点があるだけで、構成は非常に制約され、不可能になります。無限に多くのポイントを追加します。

その理由は単純な幾何学に帰着します。整数の距離だけ離れた 2 つの点 A と B から始めることを想像してください。 A と B の両方から整数の距離にあるが、それらを通る線上にない 4 番目の点 C を追加する場合、平面内のほとんどの点は機能しません。唯一の実行可能な点は、A と B の間を切る双曲線と呼ばれる特別な曲線上に存在します。A と B がたとえば XNUMX 単位離れている場合、これらの双曲線はちょうど XNUMX つ存在します。 (双曲線には通常 XNUMX つの異なる部分があるため、たとえば、下の図の XNUMX つの赤い曲線は XNUMX つの双曲線を形成します。)

C (この例では A から 3 単位、B から 5 単位) を選択すると、さらにポイントを追加するオプションはほとんどありません。追加できる点は、A と B の間の双曲線のいずれか、またはそれらを通る線上になければなりません。ただし、A と C の間の双曲線の XNUMX つ、および B と C の間の双曲線の XNUMX つ (または対応する線) の上にもなければなりません。つまり、新しい点は XNUMX つの双曲線または線が交差する場所にのみ配置できます (ただし、すべての交点が機能するわけではありません)。そもそも、これらの双曲線や線の数は有限であり、XNUMX つの双曲線 (または線) が交差できるのは最大 XNUMX 点です。したがって、最終的に選択できる交点の数は有限になります。無限のセットを構築することはできません。

整数の距離点の有限セットが実際にどのようなものかを理解することになると、双曲線のアプローチはすぐに扱いにくくなります。点を追加するにつれて、増加する双曲線の数に対処する必要があります。たとえば、セットのポイントが 10 個だけになるまでに、11 番目のポイントを追加すると、新しい双曲線ファミリーが 10 個作成されます。これは、新しいポイントとセット内の各ポイントの間にあるものすべてです。 「多くのポイントを追加することはできません。双曲線や交点の中で迷子になってしまうからです」とグリーンフェルド氏は言う。

そこで数学者たちは、直線上にない整数の距離点の大きなセットを構築するための、より管理しやすい原理を探してきました。しかし、彼らが思いついたアプローチは 1 つだけです。それは、点を円の上に置くことです。たとえば XNUMX 兆個の点で整数の距離を設定したい場合は、距離がすべて分数になる半径 XNUMX の円上に XNUMX 兆個の点を見つける方法があります。次に、すべての小数距離が整数になるまで円を膨張させます。セットに必要なポイントが多ければ多いほど、円を膨らませる必要があります。

長年にわたり、数学者はもう少し珍しい例しか思いつきませんでした。 4 点を除くすべての点が直線上にある、または 3 点を除いてすべてが円上にある、大きな整数の距離セットを構築できます。多くの数学者は、すべての点が直線上または円上にあるわけではない大きな整数距離セットはこれらだけであると疑っています。ボンビエリ・ラング予想と呼ばれるものを証明できれば、彼らはこのことを確実に知ることになるでしょう。しかし、この推測が真実であるかどうかについては、数学者たちの意見が分かれています。

1945 年のアニングとエルデシュの研究以来、数学者は整数距離セットの理解にほとんど進歩を見せていません。時間が経つにつれて、整数距離の問題は、述べるのは簡単だが解決が不可能に見える、組み合わせ論、数論、幾何学の他の一連の問題に加わるようになりました。 「これは私たちの数学がどれほど情けないものであるかを示す尺度です」とタオ氏は言う。

ある意味、整数距離の問題は、初期の成功の犠牲者でした。双曲線の証明は、その独創的な単純さを備えており、エルデシュが信奉した哲学を象徴しています。エルデシュは非常に影響力のある数学者であり、数学における最もエレガントな証明をまとめた想像上の一冊である「ザ・ブック」についてよく話しました。エルデシュ氏が推進した簡素化の文化が、組み合わせ幾何学で「驚異的な成果」をもたらしたとイオセビッチ氏は語った。しかし、それは盲点にもつながる可能性があります。この場合、代数幾何学からのアプローチを導入する価値についてです。

「過去50年間に証明された（代数幾何学の）結果の中で、技術的にあまり複雑でなく、面倒なものは見つからないと思います」とイオセビッチ氏は語った。 「しかし、時にはこうでなければならないこともあります。」

振り返ってみると、整数距離の問題は、双曲線よりも手に負えない曲線を検討し、それらを制御するために代数幾何学と数論の突飛なツールを利用することを厭わない数学者を待っていました。 「十分な広範な知識と関心を持った人材が必要でした」とヨセビッチ氏は語った。

同氏によると、ほとんどの数学者は、生涯を通じて数学の片隅でいくつかのツールを使うことに満足しているという。しかし、グリーンフェルド、イリオプロウ、ペルセは恐れを知らない探検家だ、とイオセビッチ氏は語った。 「彼らは数学を一貫した全体として見ています。」

問題の複雑化

2021 年の夏、グリーンフェルドさんは、大学院時代から考え続けてきた高調波解析の問題に本格的に取り組む時期が来たと判断しました。現実世界での信号処理の基礎を形成する古典的な高調波解析では、信号をさまざまな周波数と位相の正弦波に分解します。このプロセスが機能するのは、組み合わせたときに冗長性を持たずにあらゆる信号のすべての特徴を捉える正弦波の無限のリストを作成できるためです。

ただし、多くの場合、研究者は 1 次元の信号よりも複雑なものを研究したいと考えます。たとえば、平面内のディスク上の信号を分解したい場合があります。しかし、ディスクは互換性のある正弦波の有限のコレクションしかホストできません。ディスク上のすべての信号の動作をキャプチャするには少なすぎます。次に問題は、この有限のコレクションはどのくらいの大きさになることができるかということです。

このようなコレクションでは、サインの周波数は、線や円のクラスター化を嫌う平面上の点として表現できます。すべてが同じ線に近い 3 つの点や、すべてが近い 4 つの点は決して見つかりません。同じサークルに。グリーンフェルドは、この嫌悪感を利用して、これらの周波数セットには数点しか含まれないことを証明したいと考えました。

ボン大学での2021年の会議で、グリーンフェルド氏は「行列式法」についての講演に出席した。これは、特定の型の整数点が曲線上にいくつ存在できるかを推定するために使用できる数論の手法である。このツールはまさに彼女が必要としていたものかもしれない、と彼女は気づきました。グリーンフェルド氏は同じく会合に出席していたイリオプロウ氏とペルセ氏を勧誘した。 「私たちはこの方法を一緒に学び始めました」とグリーンフェルド氏は語った。

しかし、多くの努力にもかかわらず、決定方法を目的に合わせて曲げることはできなかったようで、2023 年の春までに彼らは落胆していました。イオセビッチはグリーンフェルドとペルセを車でロチェスターまで訪問するよう誘っていた。 「それで、私たちは『よし、ロチェスターに行こう、アレックスと話せば元気が出るだろう』と考えていたんです」とペルセさんは語った。しかし結局のところ、ペンシルベニア州のサスケハナ川沿いの計画外の迂回路で整数距離セットについての気を引き締めた議論のおかげで、彼らはすでに元気を取り戻してロチェスターに到着しました。

彼らは予定していたイオセビッチとの夕食には到着が遅すぎたが、彼がテイクアウトの袋を抱えてホテルのロビーで待っているのを見つけた。彼は彼らの遅刻を許しました - そして翌朝、彼らが整数距離セットに取り組む計画について彼に話したとき、彼はさらに許してくれました。 「彼はとても興奮していました」とペルーズさんは振り返る。 「感情的には、これは大きな後押しでした。」

双曲線アプローチと同様に、Greenfeld、Iliopoulou、Peluse は、点が存在する必要がある曲線の族を特定することによって、整数距離セットの構造を制御しようとしました。双曲線法は、複数の点があるとすぐに複雑になり始めますが、Greenfeld、Iliopoulou、Peluse は、構成全体を高次元空間に移動することで、多くの点を同時に考慮する方法を見つけ出しました。

これがどのように機能するかを確認するために、整数距離セット内の「基準」点 A から始めると仮定します。セット内の 1 つおきの点は、A からの整数距離です。これらの点は平面内に存在しますが、A からの距離を値とする 3 番目の座標を各点に追加することで、平面を 4 次元空間にバンプさせることができます。たとえば、A が点 (7, 5) であるとします。すると、A から 4 単位離れた点 (7, 5) は、1 次元空間の点 (3, 0, XNUMX) になります。このプロセスにより、平面が XNUMX 次元空間内の円錐に変換され、その先端が A に位置し、(XNUMX, XNUMX, XNUMX) とラベル付けされます。整数距離の点は、円錐上および特定の格子上にある XNUMX 次元空間内の点になります。

同様に、2 つの参照点 A と B を選択した場合、平面内の点を 4 次元空間内の点に変換できます。各点に、A と B までの距離を値とする 2 つの新しい座標を与えるだけです。このプロセスにより、平面が変換されます。四次元空間の曲面に加工します。この方法で参照ポイントを追加し続けることができます。新しい基準点が追加されるたびに、次元は 1 ずつ増加し、平面はさらに波打つ表面 (または数学者が言うように、より高次の表面) にマッピングされます。

この枠組みを整備した上で、研究者らは数論の行列式手法を使用しました。行列式は、通常は行列に関連付けられた数値であり、点の集合の多数の幾何学的特性を捕捉します。たとえば、特定の行列式は、3 つの点によって形成される三角形の面積を測定する場合があります。行列式法は、そのような行列式を使用して、波打つ表面と格子上に同時に存在する点の数を推定する方法を提供します。まさにグリーンフェルド、イリオプロウ、ペルセが扱っていたような状況です。

研究者らは、行列式法に基づく一連の作業を使用して、設定された整数距離を適切な高次元に引き上げると、すべての点が少数の特別な曲線上に存在する必要があることを示しました。これらの曲線は、平面内の影が線や円ではない場合、整数距離セット内の点の唯一の候補である格子点を多く含むことができません。これは、主線または円から外れる集合内の点の数が制限されていることを意味します。研究者らは、この点の数が集合の直径の非常にゆっくりと増加する関数よりも小さくなければならないことを示しました。

それらの限界は、多くの数学者が大きな整数距離セットに当てはまると信じている「直線から 4 点、または円から 3 点外れている」という予想の標準に達していません。それでも、この結果は「推測の本質は正しい」ことを示している、とスタンフォード大学のジェイコブ・フォックス氏は語った。数学者らによると、この予想を完全に証明するには、新たなアイデアをさらに注入する必要があるだろうという。

チームの高次元エンコード方式は「非常に堅牢」だとイオセビッチ氏は語った。 「原則としてアプリケーションだけが存在するわけではありません。すでに考えているアプリケーションもあります。」

Greenfeld 氏、Iliopolou 氏、Peluse 氏は、元の高調波解析問題への応用を希望しており、現在 3 名はこの問題に戻ってきています。整数距離集合に関する彼らの結果は「そのための足がかりになる可能性がある」とグリーンフェルド氏は語った。

研究者らが始めた代数幾何学を用いた組合せ論の合成は、整数距離集合や調和解析における関連問題にとどまらないだろうとイオセビッチ氏は予測した。 「私たちが目にしているのは概念的な画期的な進歩であると信じています」と彼は言いました。 「これは、両方の分野の人々に、これが非常に生産的な交流であるというメッセージを送ることになります。」

また、時には問題をより複雑にすることの価値についてのメッセージも送っているとタオ氏は言う。数学者は通常、その逆を目指して努力する、と彼は指摘した。 「しかしこれは、問題を複雑にすることが実際には正しい行動であるという例です。」

この進歩により、高度なカーブに対する考え方が変わった、と彼は語った。 「時には彼らは敵ではなく友人になることもあります。」