最近の10月のある朝、ロブ・カービーは部屋いっぱいの数学者たちの前に立ち、過去の自分のやり方に縛られるなと彼らに告げた。

過去半世紀にわたって カービー, 85 は、変形可能な形状の研究である低次元トポロジーの中心人物です。重要な研究への貢献に加えて、1978 年に彼は 最初のバージョン 後に「カービィのリスト」として知られるようになったもの。これは、今後数十年間にわたってこの分野の研究課題を設定するのに役立った、80 件の未解決の問題を集めたものです。 1997 年後の XNUMX 年に、彼は同様に影響力のある XNUMX 冊目の本を出版しました。 リストのバージョン.

カービーが話していた数十人の数学者たちは、会議に招集された。 アメリカ数学研究所 (AIM) パサデナでリストの第 3 バージョンを作成します。以前のリストにあったすべての問題が解決されたわけではありませんが、ほとんどが解決されていませんでしたが、多くは時代遅れになっていました。数学は永遠ですが、この分野は流行を追う人間によって実践されており、古い質問の多くはもはや興味深いものとは見なされませんでした。

「一部のサブフィールドは名門であり、他のサブフィールドは誰も気に留めないようなものだと考えています。」言った マギーミラー テキサス大学オースティン校のリストの編集者14人のうちのXNUMX人。

このカンファレンスを発案したのは、 ダニエル・ラバーマン 1980年代初頭にカービーの学生だったブランダイス大学の教授、そして イナン・バイクル マサチューセッツ大学の博士号を取得し、ルーバーマンの下で博士研究員を務めた。彼らはリストを困難で重要な問題で構成することを望んでいました。

「これは十分に興味深い問題であるはずで、解決策が出れば分野を変える可能性がある」とミラー氏は語った。バイクル氏はさらに、「おそらく少数の部分は今後2、3年で解決できるだろう」と付け加えた。

数学者が何が重要かを判断する方法自体が、カービーが最初のリストを発表してから半世紀の間に変化した。たとえ個々の推測の真偽が客観的な真実の問題であっても、その重要性のランク付けは主観的で社会的なプロセスです。そしてそのプロセスは、今日の世界的に相互接続された世界では、1970 年代とは大きく異なっているように見えます。新しいリストの物語は、それらの変化の物語です。

リストの始まり

カービィ自身のキャリアは、問題リストから始まりました。 1963 年、シカゴ大学の大学院生として、彼はシアトルで開催された数学者が参加した会議に出席しました。 ジョン・ミルナー トポロジーにおける 7 つの最も重要な未解決の問題のリストを示しました。最後の問題は、適切に定義された 2 つの球の間の空間は常に環の形状をとる、つまり 2 つの同心円の間の領域であるという環予想でした。

これは円や通常の 1969 次元の球にも当てはまりますが、高次元 (XNUMX 次元または XNUMX 次元、あるいは任意の数の次元の球のペアを含む) では、驚くべきことが起こります。 XNUMX 年、カービーはカリフォルニア大学ロサンゼルス校の助教授だったときに、いくつかの制限 (特定の数学的な意味で球は滑らかでなければなりません) を条件として、XNUMX 次元以上の次元については真実であることを証明しました。

その結果に基づいて、UCLAは彼を正教授に直接昇進させ、給与を2倍に増額した。 2年後、彼は名誉ある大会で優勝した オズワルド・ヴェブレン賞 幾何学で。カービーは、このキャリア初期の成功の一部はミルナー リストの存在によるものだと考えています。ミルナー リストのおかげで、大学院時代に周囲の人々から受けるよりもはるかに多様なプロジェクトの中から選択できるようになりました。

「問題に取り組むのが好きで、必ずしもアドバイザーの指示通りに行動したくない人にとって、問題リストは貴重です」と彼は言う。

カービーは、1976 年 1978 月にスタンフォード大学で開催されたアメリカ数学協会の会議で最初の問題リストを作成し始めました。彼は電話、手紙、出席した会議での数学者との非公式な会話を通じて、その後 XNUMX 年間かけてリストを作成し、XNUMX 年にそれを拡張ジャーナル論文として出版しました。

ミラー氏は、「彼は知り合い全員に電話をかけただけだ」と述べています。

リストには、80 つの章にまとめられた約 XNUMX の問題が含まれていました。最初の XNUMX 章は、XNUMX 次元の結び目、XNUMX 次元の曲面、XNUMX 次元および XNUMX 次元の多様体 (局所的には平らに見えるが、全体的にはより複雑な構造を持つ可能性がある球の表面のような空間) についてでした。第 XNUMX 章はさまざまな問題についてでした。カービーはリストをまとめるために広く相談しましたが、最終的に完成したのは間違いなく彼のものでした。

カービーさんは「私は排他的というよりも、より包括的だった」と述べたが、「私はほぼ最終的な裁定者だった」とも付け加えた。

XNUMX番目のリスト

1970 年代後半は、トポロジーの問題リストを作成するのに絶好の時期でした。この分野は 10 年代の初めには小規模でしたが、次の 1981 年間で爆発的に増加しました。 XNUMX年 マイケル・フリードマン ポアンカレ予想の 4 次元バージョンを解きました。 記念碑的な証拠 それを消化するには何年もかかるだろう。 (この予想は、球に似た数学的物体は実際には球でなければならないかどうかを尋ねます。フリードマンは答えがイエスであることを証明しました。) 1 年後、ウィリアム サーストンは、いくつかの位相構造を幾何学的カテゴリーに分類する幾何化予想を発表しました。この予想は、解析 (微積分の高度な形式) のツールをトポロジーに直接導入しました。同年 サイモン・ドナルドソン は、4 次元多様体に関する研究により、微分幾何学 (微積分と幾何学を組み合わせたもの) をこの分野に導入しました。

「進歩の速さを説明するのは難しいです。革命が次々と起こった、数学における偉大な時代の一つでした」とルーバーマン氏は語った。

こうした活動の結果、カービィのリストは数年以内にほとんど時代遅れになってしまいました。しかし、問題リストを作成することはカービィの主な仕事ではありませんでした。彼がリストを全面的に見直すことを決定したのは、1993 年の夏のジョージア大学での会議でした。

カービーはカンファレンスで問題を収集し始め、最初のリストをまとめたときには電子メールは一般的には使用されていなかったが、電子メールで作業を続けた。その結果、リストは無秩序に広がってしまいました。最終的なリストには 415 の問題が含まれており、1997 年に本として出版されました。2 番目のリストが開始されると、XNUMX 番目の取り組みは遡って KXNUMX として知られるようになりました。これは、カービィのリストの第 XNUMX バージョンのように、また XNUMX 番目のリストへの敬意としても知られています。 -世界で一番高い山。拡張されたフォーマットは、第 XNUMX バージョンのリストを試金石およびスコアカードとして定着させるのに役立ちました。カービィの問題を解くと、若い数学者が注目されるようになります。

「誰かに推薦状を書いていて、その人がカービィの問題を解決した場合、そのことを手紙の中で言及します。」と彼は言いました。 ジョン・ボールドウィン、ボストン大学の数学者はワークショップに参加し、リストの編集を手伝っています。

アルニマ・レイワークショップに参加したドイツのボンにあるマックス・プランク数学研究所のグループリーダーは、2011年に彼女が資格試験に合格した後、彼女の博士顧問が最初にしたことの一つは、彼女にK2リストのコピーを渡すことであったと語った。人々が関心を持っている大きな問題を理解するためです。」

もちろん、何が重要であるかについての決定は、その決定を下す部屋にいる人によって左右されます。カービーのリストは、カービーの社会政治的世界観から生まれた教育哲学を反映しています。彼は自分自身を古典的リベラルであると述べ、彼の考え方に重要な影響を与えた人物として 19 世紀のイギリスの哲学者ジョン・スチュアート・ミルを挙げています。

「古典的リベラル派は自由、言論の自由、そして政府の軽い対応を本当に信じていた。だからそれが私の見方だ」と彼は語った。 「ある意味、それは生徒たちに何をすべきかを指示しないことと同じことです。それは彼らに少し自由を与えることだ。」

カービーは、数学コミュニティについての考え方や話し方にこれらの信念を注入しています。 2021 年、彼はカリフォルニアを拠点とする他の 1,000 人を超える数学および科学の専門家とともに、 公開書簡 州がこの科目を教える方法において社会正義への配慮をより中心にするはずだった幼稚園から高校までの新しい数学カリキュラムを採用するという州の提案を批判した。カリフォルニアの提案が実現した 数学界ではかなりの批判がある とりわけ、上級コースの利用可能性を制限し、「データ サイエンス」を優先して微積分以前のコースを重視しないためです。

カービーは歴史的に、この分野の男女の不均衡を含め、数学における構造的偏りの存在には懐疑的だった。 1970 年代には、数学者の約 10% が女性でした。ある調査によると、今日ではほぼ 30% がそうです。 2020レポート 国際科学会議による。

In 彼が1990年代に書いた記事、そして、で出版するために提出されました。 アメリカ数学協会の通知 しかし公表されることはなかったが、カービーはこれらの悲惨な数字はこの分野の偏見の結果ではないと主張した。 「私の考えでは、数学界の女性の数が少ないのは、男性による差別や女性の本質的な劣等性によるものではなく、むしろ女性よりも男性の方が数学を志すという単純な事実によるものです」とカービー氏は書いた。

多くの数学者にとって、この分野に参入する女性がほとんどいないという現実は単純な事実ではありません。 「ここにはフィードバック効果があることが証拠によって示唆されています。女性教授が非常に少ないため、女子学生は数学を通じて明確なキャリアパスを見ることができず、そのため博士号を取得しないことを決めるのです。」 4人の著名な女性数学者が書いた 2022年に タイムズ高等教育サプリメント。 国際科学会議の報告書が、出版された数十万の数学論文のデータセットを分析した結果、「さまざまな構造的および体系的要因が、男性とは異なる方法で女性数学者のキャリアに影響を与えたに違いない」と述べている。

Kirby の見解は、低次元トポロジーのコミュニティ内ではよく知られています。私はカービーに、彼が重要な役割を果たした最近のカンファレンスのような場に女性が参加することが困難になったと思うかと尋ねた。彼は、一人の数学者を除いて、誰もそのことを持ち出したことがなかったため、分からないと言いました。

マックス・プランク研究所の男女平等責任者を務めるレイ氏は、次のように述べた。それが数学の分野で彼がどのように見られるかを形作っているとは思いますが、一般的に私たちは数学と数学者を切り離していると思います。」

共同の取り組み

K1 以降と同様に、K2 のリリース後、低次元トポロジーは急速に進歩しました。大きな発展の 2000 つは、物理学からのアイデアを使用して XNUMX 次元多様体を区別するザイベルク ヴィッテン理論の精緻化でした。 XNUMX 年代後半までに、カービィ リストは再び更新される準備が整いました。

「実際のところ、この分野は1990年代からはるかに大きくなり、巨大になった」とバイクル氏は語った。

今回、新しいリストを作成するきっかけとなったのは、Ruberman 氏と Baykur 氏です。彼らは 2013 年頃に問題の収集を開始しました。しかし、他の義務とパンデミックの合間に、トポロジストのグループを集めて直接会うことができたのは 2023 年 XNUMX 月になってからでした。彼らは、リストの XNUMX 番目のバージョンを、より共同的な取り組みにしたいと考えていました。

「最初のリストは素晴らしかったので、そこにあったことをとてもうれしく思いますが、この新しいフォーマットにより、リストがもう少しオープンになったことは賞賛に値します」とレイ氏は語った。

2022年後半、カービー氏はカンファレンスの共同主催者としてバイクル氏とルバーマン氏に加わった。彼らは、カービーがリストの以前のバージョンで使用していたのと同じ XNUMX 章構造に対応する、低次元トポロジーの主要分野から専門家を招待しましたが、誰も他の人と共通点を持たないほど多くの専門家を招待することは避けようとしました。

バイクルとルーバーマンが組織化の大部分を担当し、カービーはより名ばかりの役割を担った。

「ロブの赤ちゃんのようなもので、彼が感情的に主導権を握っているようなものです。しかし、ダニーとイナンチがすべての物流を担当しました」とミラー氏は語った。

30 月 3 日月曜日、グループは K3 リストの作業を開始しました (これは明らかな理由と、トポロジーの重要なオブジェクトである KXNUMX サーフェスに関連して呼ばれたものです)。

このリストには、K2 以降の低次元トポロジーの成長の様子が反映されています。 1990 年代初頭、Andreas Floer の研究により、3 次元多様体を分類するための新しい方法が生まれました。その XNUMX 年の終わりまでに、これらの方法は Heegaard Floer ホモロジーという研究領域全体に花開き、現在ではその領域内で多様体を区別するためのさまざまなアプローチが数多く存在します。これらのアプローチはすべて相互に一貫しているはずですが、それが確実であるかどうかは不明であり、KXNUMX には問題の解決を目的とした質問が含まれる予定です。

カービーは数学者たちが毎朝集まる大講堂にキャンプを張り、ブレインストーミングセッションをほとんど避けた。火曜日の朝 デイブ・ガバイ プリンストン大学の教授は、おそらく滑らかな 4 次元トポロジーにおける 2 つの最も重要な未解決の問題であるシェーンフライズ予想とポアンカレ予想の関係についてグループ全体に講義を行いました。

シェーンフライズ予想は、カービーが 1960 年代に取り組んだ環状予想と似た性質を持っています。これは、XNUMX つの球が XNUMX 次元だけ異なっていて (円とボールの表面のように)、低次元の球 (円) を高次元の球 (ボールの表面) に埋め込むと、前者が後者は常にボール XNUMX 個相当にカットされます。これは、(赤道を形成するかのように) 地球上に円をエッチングする場合には明らかに当てはまりますが、環予想の場合と同様、高次元ではあまり明確には当てはまりません。

その後カービィはガバイを見つけ、二人はガバイの話の意味について何時間も話し合った。その週の別の時点で、カービーはリストへの貢献を求める数学コミュニティの広範なネットワークに電子メールを送信して時間を費やしました。

「ある意味、それは彼が以前のリストでやったこととかなり似ていた」とルーバーマン氏は語った。 「彼はあまり部屋に来る傾向がありませんでした。 「彼は人々に『ワークショップの誰かがこう言ったけど、それについてどう思いますか？』とメールを送っていたんです」。

戦争部屋

カンファレンスの最後の2日間、バイクル氏とルーバーマン氏は参加者に、自分たちがまとめた問題点を書き出すよう求めた。数学者たちが帰国の飛行機に乗る前に決着した問題の要約を急いで書いていたので、そこはまるで作戦室のようだった。

「大学にいて、翌日に宿題があり、クラスの全員が同じ部屋にいて、もう午前2時だというような感じでした」とミラー氏は語った。

数学者たちがリストを編集していた共有文書は、木曜日の朝にはほとんど空になっていたが、数十人の数学者が一度に編集したことで急速に増えた。金曜日までに、問題のリストは 250 ページを超えました。この旋風の経験は、カービィのこれまでの XNUMX つの取り組みと比較すると、ほとんど認識できませんでした。

「K2をやっていた頃、3～XNUMX年かけてやっていたという意味では年をとったと感じました。私は誰かと座って、一緒に問題を書くような感じでした」とカービーは語った。 「KXNUMX では、私が巻き込まれた問題はほんのわずかでした。」

バイクル氏とルーバーマン氏は、パサデナ会議に出席していなかったトポロジストによる改訂と追加を経て、年末までに約400の問題のリストを出版したいと考えている。 Baykur、Ruberman、および他の編集者は、リストをどのくらいの頻度で更新するかについてまだ議論しています。オンライン バージョンを最新の状態に保つことで K3 の有効期間を延ばすこともできますが、そうすることには欠点があると考えています。最初の 1970 つのリストは歴史的な文書であり、1990 年代と XNUMX 年代に彼らが物事をどのように見ていたのか、数学についてどのように考えていたのかを知るのに非常に有益でした。私も同様の現代の文書を作りたかったのです。」