数学のテストを受けたことがあれば、おそらく放牧されているヤギに出会ったことがあるでしょう。 通常、それは柵の支柱または納屋の側面に結び付けられており、気のない農民がそこに残して、到達できるあらゆる草を放牧します。 放牧されているヤギに出会ったとき、あなたの仕事はそれが放牧できる地域の総面積を計算することです。 結局のところ、それは数学のテストです。

数学の教師は、何百年もの間、奇妙な形の野原に山羊を突き刺すことで生徒を悩ませてきましたが、ある特定の放牧山羊の問題は、XNUMX世紀以上にわたって数学者の山羊を襲ってきました。 昨年まで、彼らは問題に対するおおよその答えを見つけることしかできませんでした、そしてそれは最終的に正確な解決策を生み出すためにいくつかの非常に高度な数学で新しいアプローチを取りました。 数学のテストで見つけた質問が、XNUMX世紀以上にわたって数学者を困惑させる問題にどのように変わるかを見てみましょう。

最も単純な種類の放牧ヤギの問題は、空腹の動物が固定長のロープで長い納屋の側面に取り付けられていることです。

通常、これらの問題では、ヤギがアクセスできる地域の領域を見つけたいと思います。 その地域はどのように見えますか？

ひもをぴんと張った状態で、ヤギは半円を作り、その中の何にでも達することができます。 円の面積は A = πr²、したがって、半円の面積は A = $ラテックスfrac {1} {2} $πr²。 たとえば、ロープの長さが4の場合、山羊は面積のある地域で放牧する可能性があります。 A = $ラテックスfrac {1} {2} $π ×4² = 8π 正方形の単位。

この簡単な設定は、数学の学生や山羊にとってはそれほど難しいことではないので、もっと面白くしましょう。 ヤギが四角い納屋の側面に縛られている場合はどうなりますか？

ロープと納屋の側面の両方の長さが4で、ロープが片側の中央に取り付けられているとします。 ヤギが現在アクセスできる地域の面積はどれくらいですか？

さて、ヤギはまだ最初の問題と同じ半円にアクセスできます。

しかし、ヤギは納屋の角を曲がったところで続けることもできます。 角に着くと、ヤギにはさらに2ユニットのロープがあり、納屋の両側にある半径XNUMXの別のXNUMX分のXNUMXの円を一掃できます。

ヤギは、半径4の半円と半径2のXNUMXつの四分円にアクセスでき、総面積は A = $ラテックスfrac {1} {2} $π ×4² + $ラテックスフラク{1} {4} $π ×2² + $ラテックスフラク{1} {4} $π ×2² = 10π 正方形の単位。

障害物の形状を変更することで、問題をより困難にすることができます。 三角形、六角形、さらには凹面の形にヤギが付いているのを見たことがあります。

古い質問から新しい数学の質問を逆にすることもできます。ロープの長さから始めて面積を見つける代わりに、面積から始めてロープの長さを見つけることができます。

たとえば、私たちの四角い納屋に固執して、新しい質問をしてみましょう。ヤギが合計50平方単位の領域にアクセスするには、ロープはどのくらいの長さである必要がありますか。 数学の問題を逆転させることは、古い考えに新しい命を吹き込むことができますが、それはまた、この問題をはるかに困難にします。

まず、領域の形状がロープの長さに依存することに注意してください。 たとえば、ロープの長さが2単位より短い場合、山羊は納屋の角を回ることができないため、領域は半円になります。

ロープが2ユニットより長い場合、上で見たように、ヤギは角を曲がることができます。

また、ロープが6ユニットより長い場合、ヤギは納屋の後ろに隠れて、考慮すべき別のXNUMX分のXNUMX円のセットを作成する可能性があります。 （ロープが長くなると重なります。この例については、列の最後にある演習を参照してください。）

総面積が50平方単位になるロープの長さを求めます。 これを数学的に行う方法は、面積の式を50に設定し、次のように解くことです。 r。 しかし、地域ごとに異なる面積式があります。 どちらを使用しますか？

これを理解するには、少しケースワークが必要です。 r≤2の場合、領域の面積は次のようになります。 A = $ラテックスfrac {1} {2} $πr²。 最大の面積は次の場合に発生します r = 2、これはの総面積をもたらします A = $ラテックスfrac {1} {2} $π ×2² = 2π ≈6.28。 これは50未満なので、2ユニット以上のロープが必要であることがわかります。

2の場合 r ≤6の場合、これにより、前に遭遇した半円とXNUMXつの四分円が得られます。 半円の半径は r、および四分円の半径は r – 2、コーナーに到達するにはXNUMXユニットのロープが必要であり、残っているロープはすべて、コーナーを中心とするXNUMX分のXNUMX円の半径のように機能するためです。

この半円の面積は$ latex frac {1} {2} $です。πr²、および各四分円の面積は$ラテックスfrac {1} {4} $です。π(r - 2）²。 これを合計すると、の総面積が得られます

$ラテックスbegin {aligned} A＆= frac {1} {2} pi r ^ {2} + frac {1} {4} pi（r-2）^ {2} + frac {1} {4} pi（r -2）^ {2} \ [1pt]
\ A＆= frac {1} {2} pi r ^ {2} + frac {1} {2} pi（r-2）^ {2} .end {aligned} $

可能な限り最大の面積を得る r = 6、これはの面積を与えます A = $ラテックスfrac {1} {2} $π ×6² + $ラテックスフラク{1} {2} $π ×4² = 26π ≈81.68平方単位。 50 <26以降π、つまり r それは私たちに50平方単位の面積を与えるでしょう6未満でなければなりません。

知っています r 2〜6単位である必要があり、どの面積式を使用する必要があるかという問題を解決します。 r ≤6、面積は A = $ラテックスfrac {1} {2} $πr² + $ラテックスフラク{1} {2} $π(r - 2）²。 の正確な値を見つけるには r これにより、50平方単位の面積が得られるので、次の式を設定します。

50 = $ラテックスfrac {1} {2} $πr² + $ラテックスフラク{1} {2} $π(r - 2）².

これは、逆の質問が元の質問よりも複雑な別の方法であることに注意してください。ヤギが到達できる領域を計算するだけでなく、方程式を解いてロープの長さを計算する必要があります。 そのためには、分離する必要があります r。 算術と代数を使用して取得する必要があります r 方程式の片側にそれ自体で、そしてそれは私たちに正確に何を教えてくれるでしょう r でなければなりません。

私たちの方程式は最初は少し威圧的に見えるかもしれませんが、それは r。 そのような方程式を解くための標準的な手順があります：私たちはそれを次の形式に再配置します ar² + br + c = 0の場合、XNUMX次方程式を使用します。 少しの代数と算術でうまくいきます。

50 = $ラテックスfrac {1} {2} $π² + $ラテックスフラク{1} {2} $π(r - 2）²

$ラテックスfrac {100} {pi} $ = r² +（r - 2）²

$ラテックスfrac {100} {pi} $ = 2r² - 4r + 4

0 = 2r² - 4r + 4 – $ラテックスfrac {100} {pi} $。

これは世界で最も美しい数式ではないかもしれませんが、これは単なるXNUMX次方程式なので、XNUMX次方程式を適用して正確に解くことができます。 r。 これは私たちに答えを与えます

r = 1 + $ latexsqrt {frac {50} {pi} – 1} $≈4.86。

隔離できたから r 私たちの方程式では、50平方単位の面積を得るのにロープがどれくらいの長さでなければならないかが正確にわかりました。 （私たちが見つけたrの値は予想通り2から6の間であることに注意してください。）

この逆ヤギの放牧の問題を私たちが最初に見た問題と比較したのと同じくらい挑戦的でしたが、数学者は、ヤギを納屋の中に突き刺すと問題がさらに困難になることを発見しました。 実際、非常にやりがいがあり、正確に解決することはできませんでした。

ヤギを一辺の長さが4の四角い納屋の中に入れ、壁の真ん中にロープを取り付けましょう。 ヤギが納屋の内側の半分の領域にアクセスできるようにするには、ロープはどのくらいの長さである必要がありますか？

上記のように、課題の一部は、領域の形状がの値に依存することです。 r。 正方形の半分の面積を得るには、 r 納屋の側面の半分より長く、全面より短くなるため、このような領域が得られます。

この地域の面積の公式を見つけるのはそれほど簡単ではありません。 この地域は、半径の円のXNUMXつのセクターとして想像できます。 r プラスXNUMXつの直角三角形、そして高校の幾何学を使用して数式を取得します。 しかし、すぐにわかるように、円と三角形の混合はいくつかの問題を引き起こすでしょう。

三角形から始めましょう。 ピタゴラスの定理は、直角三角形ごとに欠落している脚の長さが$ latexsqrt {r ^ {2} -4} $であることを示しています。 これにより、三角形の1つの面積が$ latest frac {2} {2} $×2×$ latexsqrt {r ^ {4} – 2} $ = $ latestsqrt {r ^ {4} – 2} $になるため、 2つの三角形を合わせると、面積は4 $ latexsqrt {r ^ {XNUMX} -XNUMX} $になります。

さて、扇形についてです。

セクターの面積は A = $ latestfrac {1} {2} r ^ {2} $θここで、 θ は中心角の尺度です（度ではなくラジアンで）。 面積の公式が必要です r、角度を表現する必要があります θ の面では r。 これを行うには、高校の三角法で過小評価されている定理である余弦定理を使用します。

余弦定理を辺のある二等辺三角形に適用する r, r そして4は私たちに

4² = r² + r² - 2r²COSθ,

これをcosで解くことができますθ:

COSθ = $ラテックスfrac {2 r ^ {2} -16} {2 r ^ {2}} $ = $ラテックスfrac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} $。

分離するには θ、方程式の両辺の逆余弦、またはアークコサインを取る必要があります。 これは私たちに与えます

θ = arccos $ latexleft（frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} right）$。

今、私たちは角度を持っています θ の面では r、これで、セクターの領域を次のように表すことができます。 r & r 単独で。

A = $ラテックスfrac {1} {2} $r²θ

A = $ラテックスfrac {1} {2} $r²arccos $ latex left（frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}} right）$。

最終的な面積の式は、扇形の面積とXNUMXつの三角形の面積の合計です。

A = $ラテックスfrac {1} {2} $r²arccos $ラテックス左（frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}}右）$ + 2 $ラテックスsqrt {r ^ {2} -4} $。

これで、正方形内のヤギがアクセスできる領域の面積の式が完全に次のようになりました。 r。 今、私たちはの値を見つける必要があります r それはヤギに正方形の半分へのアクセスを与えます。 正方形全体の面積は16なので、プラグを差し込むだけです。 A = 8を方程式に入れて、 r 終了します。

8 = $ラテックスfrac {1} {2} $r²arccos $ラテックス左（frac {r ^ {2} -8} {r ^ {2}}右）$ + 2 $ラテックスsqrt {r ^ {2} -4} $。

小さな問題がXNUMXつだけあります。それを解決することはできません。 r この方程式で。

つまり、正確に解決することはできません r この方程式で。 計算機を使用して、の値を概算できます。 r それはこの方程式を真にします（r ≈2.331）、しかし分離することはできません r私たちの方程式で。 方程式に三角関数と多項式関数を混在させると、回避できない障害が発生します。

私たちは取得しようとすることができます rはアークコサイン関数の内側から出ていますが、それを行うには、他の関数を配置する必要があります rは余弦関数内にあります。 いずれにせよ、指数関数や三角関数などの超越関数を含む方程式を扱うことになります。 超越関数は、足し算や掛け算などの通常の代数演算で簡単に表現することはできないため、一般に超越方程式を正確に解くことはできません。

この問題は、ヤギが円形の納屋の中に置かれた19世紀に提起された有名な放牧ヤギ問題の中心にあります。 私たちの四角い納屋の問題と同様に、目標は、ヤギが地域の半分にアクセスできるようにするためにロープがどれくらいの長さでなければならないかを決定することでした。

ヤギがアクセスできる領域は、「レンズ」の形をしています。XNUMXつの円形のセグメントが積み重ねられています。

高校の幾何学を使用して、ロープの長さrでこのレンズの面積を見つけることは可能ですが、式は正方形の場合よりもはるかに複雑です。 そして、これを円形の納屋の面積の半分に設定すると、正方形の内側で発生したのと同じ問題が発生します。分離することはできません。 r。 あなたはそれを概算することはできますが、あなたはそれを解くことはできません r 正確に。

この種の頑固さは、ヤギよりも方程式の方が魅力的ではありません。 100年以上の間、数学者はこのヤギの輪のパズルの正確な解決策を見つけようとしましたが、それは昨年までではありませんでした。 ドイツの数学者はついにそれを理解しました。 彼は複雑な分析（ほとんどのヤギの問題が依存する円や正方形の幾何学から遠く離れた数学）を使用して、を明示的に解きました。 ヤギの鎖の長さを見つけるために周回積分のような高度なものを使用することはやり過ぎのように思えるかもしれませんが、以前はできなかったことを行うことには常に数学的な満足感があります。 そして、これらの新しい方法は、たとえヤギに関する愚かな問題を研究することから生じたとしても、納屋を越えた洞察につながる可能性が常にあります。

演習

1.山羊が長さ4の四角い納屋の側面の中央に、長さ8のロープで納屋の外側に取り付けられている場合、山羊がアクセスできる領域の領域はどれくらいですか。

2.山羊が、一辺の長さが4の四角い納屋の角に、長さ8のロープで納屋の外側に取り付けられている場合、山羊がアクセスできる領域の面積はどれくらいですか。

3.ヤギが頂点に接続された辺4の正三角形の内側にあると仮定します。 ヤギが三角形の半分にアクセスできるようにするには、ロープはどのくらいの長さである必要がありますか？

4.山羊が長さ4の四角い納屋の側面の中央に、長さ10のロープで納屋の外側に取り付けられている場合、山羊がアクセスできる領域の領域はどれくらいですか。

答え

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