1959年のディズニー映画で マスマジックランドのドナルド, ドナルドダックは、ビリヤードの幾何学についてのナレーターの説明に触発され、 精力的に手球を打つ、最終的に意図したボールに当たる前に、テーブルの周りで跳ね返ります。ドナルドは「数学はどうですか?」と尋ねます。

長方形のビリヤード テーブルには直角に交わる 4 つの壁があるため、ドナルドのようなビリヤードの軌道は、たとえ実際に実行するのが困難であっても、予測可能であり、よく理解されています。しかし、研究数学者は、他の多角形 (平らな側面を持つ形状) のテーブル上のビリヤード ボールの可能な軌道に関する基本的な質問にはまだ答えることができません。多角形の中で最も単純な三角形でさえ、依然として謎を残しています。

ボールが同じ方向に移動しながら開始点に戻り、いわゆる周期的な軌道を描くようにボールを打つことは常に可能でしょうか?誰も知らない。他のより複雑な形状の場合、テーブル上の任意の点からテーブル上の他の点にボールを打つことが可能かどうかは不明です。

これらの疑問は高校で教えられる幾何学の範囲内にぴったりと収まるように見えますが、これらの疑問を解決するには、世界の一流の数学者が力学系、トポロジー、微分幾何学など異分野からアイデアを持ち込む必要がありました。他の優れた数学の問題と同様、これらの問題に取り組むことで新しい数学が生み出され、他の分野の知識がフィードバックされて進歩しました。しかし、これだけの努力と、現代のコンピューターがもたらした洞察にもかかわらず、これらの一見単純な問題は解決に頑固に抵抗します。

ドナルドダックの壮大なもつれたショット以来、数学者たちがビリヤードについて学んだことは次のとおりです。

彼らは通常、ビリヤード ボールが無限に小さく、無次元の点であり、以下に示すように、ボールが壁に当たると到達するのと同じ角度で完全な対称性で跳ね返り、到達するのと同じ角度で離れると想定します。

摩擦がなければ、ボールはコーナーに到達しない限り無限に進み、ポケットのようにボールが止まります。ビリヤードを数学的に分析するのが非常に難しい理由は、コーナーの両側に着弾したほぼ同じ 2 つのショットの軌道が大きく異なる可能性があるためです。

多角形のビリヤードを分析するための重要な方法は、ボールがテーブルの端で跳ね返ると考えるのではなく、ボールが壁に当たるたびに、ひっくり返されたテーブルの新しいコピーに飛び込み続けると想像することです。エッジ、鏡像を生成します。ビリヤード パスの展開と呼ばれるこのプロセス (以下を参照) により、ボールは直線の軌道を続けることができます。想像上のテーブルを隣り合うテーブルに折り返すと、ボールの実際の軌道を復元できます。この数学的トリックを使用すると、そうでなければ見るのが困難な軌道に関する事柄を証明することができます。

たとえば、これを使用して、単純な長方形のテーブルがすべての点を通る無限に多くの周期的な軌跡を持つ理由を示すことができます。同様の議論は任意の長方形にも当てはまりますが、具体的にするために、幅が長さの 2 倍であるテーブルを想像してください。

テーブルを横切る周期軌道を見つけたいとします。 n 長い方向に数回、 m 短方向に 1 回。長方形の各鏡像は壁で跳ね返ったボールに対応しているため、ボールが同じ方向に移動して開始点に戻るには、その軌道が両方向に偶数回テーブルを横切る必要があります。それで m & n 均等でなければなりません。同一の長方形のグリッドをレイアウトし、それぞれが隣接する長方形の鏡像として表示されます。元のテーブル上の点からコピー上の同じ点まで線分を描きます。 n テーブルは長手方向に離れていて、 m テーブルは短手方向に離れています。パスが角を通過する場合は、原点を少し調整します。以下に例を示します。 n = 2および m = 6. 折り畳むと、パスは緑色の四角形で示されているように周期的な軌道を生成します。

三角不等式

三角形のビリヤードは、長方形のような直角の幾何学形状を持たないため、より複雑です。高校の幾何学で覚えているかもしれませんが、三角形にはいくつかの種類があります。 90 つの内角がすべて 90 度未満である鋭角三角形。 90度の角度を持つ直角三角形。鈍角三角形は XNUMX つの角度が XNUMX 度を超えます。

鋭角三角形や直角三角形の形をしたビリヤード テーブルには周期的な軌道があります。しかし、鈍角三角形についても同じことが当てはまるかどうかは誰にもわかりません。

鋭角三角形の周期的な軌跡を見つけるには、下の左側に見られるように、各頂点から反対側に垂直な線を引きます。右に示すように、直角が発生する点を結合して三角形を形成します。

この内接三角形は、ファニャーノ軌道と呼ばれる周期的なビリヤードの軌道で、1775 年にこの三角形の周囲がすべての内接三角形の中で最小であることを示したジョバンニ・ファニャーノにちなんで名付けられました。

1990年代初頭、ワシントン大学のフレッド・ホルトと グレゴリー・ガルペリン とモスクワ州立大学の共同研究者たち 単独で 示されました すべての直角三角形には周期的な軌道があるということです。これを示す簡単な方法の 1 つは、以下に示すように、一方の脚、次にもう一方の脚の三角形を反映させることです。

斜辺 (三角形の長辺) に対して直角の軌道から始めます。斜辺とその 2 番目の反射は平行であるため、それらを結ぶ垂直線分は、永遠に前後に跳ね返る軌道に対応します。ボールは斜辺から直角に出発し、両足で跳ね返り、右の斜辺に戻ります。角度を変えて、そのルートを戻ります。

しかし、鈍角三角形は謎のままです。 1992 年の論文で、ガルペリンと彼の共同研究者は、周期的な軌道を作成できるように鈍角三角形を反射するさまざまな方法を考案しましたが、これらの方法は一部の特殊な場合にのみ機能しました。そして2008年に、 リチャード・シュワルツ ブラウン大学の研究者らは、すべての鈍角三角形が 100度以下の角度 周期的な軌跡を含んでいます。彼のアプローチには、問題を複数のケースに分割し、伝統的な数学とコンピューター支援を使用して各ケースを検証することが含まれていました。 2018年、ジェイコブ・ガーバー、ボーヤン・マリノフ、 ケネス・ムーア アルバータ大学のジョージ・トカルスキー氏と このしきい値を延長しました 112.3度まで。 (トカルスキーとマリノフ 十年以上を費やした この目標を追いかけています。）

トポロジカルな転換

すべての角度が有理である場合、つまり分数で表現できる場合、さらに大きな角度を持つ鈍角三角形は周期的な軌道を持つに違いないことを示すために、別のアプローチが使用されています。このアプローチでは、単に平面上にポリゴンをコピーするのではなく、ポリゴンのコピーをトポロジー サーフェス (1 つまたは複数の穴のあるドーナツ) にマッピングします。

長方形を短辺で反射し、次に両方の長方形を最長辺で反射して、元の長方形の 4 つのバージョンを作成し、上下と左右を接着すると、ドーナツが作成されます。または、以下に示すようにトーラス。テーブル上のビリヤードの軌道はトーラス上の軌道に対応し、その逆も同様です。

1986 年の画期的な記事では、 ハワード・マサー はこの手法を使用して、有理角を持つすべての多角形テーブルが周期的な軌道を持つことを示しました。彼のアプローチは、鈍角三角形だけでなく、はるかに複雑な形状にも有効でした。たとえば、不規則な 100 面のテーブルや、壁がジグザグに曲がり角を作っている多角形は、角度が合理的である限り、周期的な軌道を持ちます。

やや驚くべきことに、多角形内に 1 つの周期軌道が存在するということは、無限に多くの周期軌道が存在することを意味します。軌道をほんの少しだけずらすと、関連する周期的な軌道のファミリーが得られます。

照明の問題

隅々にある形状では、関連した疑問が生じます。この問題は、開始点に戻る軌跡について問うのではなく、軌跡が指定されたテーブル上のすべての点を訪れることができるかどうかを問うものです。これは、ビリヤード台を囲む鏡張りの壁に反射するレーザー光線を想像して考えることができるため、照明問題と呼ばれます。特定のテーブル上に 2 つの点がある場合、常にレーザー (無限に細い光線として理想化) を 1 つの点から別の点に照射できるかどうかを尋ねます。逆に言うと、一度に全方向に光る電球をテーブルの上の一箇所に置いたら、部屋全体が明るくなるでしょうか？

この問題に対する研究には主に 2 つの方向性があり、照明できない形状を見つけることと、照明できる大きなクラスの形状を証明することです。照らすことができない奇妙な形状を見つけることは、単純な数学を巧みに応用することで実現できますが、多くの形状が照らされることを証明するには、重い数学的機械を使用する必要があります。

1958年には、 ロジャー・ペンローズ、その後も優勝した数学者。 2020ノーベル物理学賞、ある領域のどの点も別の領域のどの点も照らすことができない湾曲したテーブルが見つかりました。何十年もの間、誰も同じ特性を持つポリゴンを思いつくことができませんでした。しかし 1995 年に、トカルスキーは、三角形に関する単純な事実を利用して、以下に示す、相互にアクセスできない 26 つの点を持つブロック状の XNUMX 角形の多角形を作成しました。つまり、ある点から発射されたレーザー ビームは、その方向に関係なく、他の点に当たることはできません。

Tokarsky 氏が特別なテーブルを作成するときに使用した重要なアイデアは、レーザー ビームが 45°-45°-90° の三角形の鋭角の XNUMX つから開始すると、そのコーナーには決して戻ることができないということでした。

彼のギザギザのテーブルは 29 個の三角形で構成されており、この事実を巧みに利用して配置されています。 2019年 アミット・ウォレッキ当時テルアビブ大学の大学院生だった彼は、同じテクニックを次のことに応用しました。 形を作り出す これは 22 の側面 (下図を参照) を持ち、これが相互に照射しない XNUMX つの内部点を持つ形状の可能な最小の側面数であることを証明しました。

別の方向で結果を証明するのは非常に困難です。 2014年、スタンフォード大学の数学者マリアム・ミルザハニは女性として初めて、 フィールズ賞を獲得する、リーマン面のモジュライ空間に関する彼女の研究に対して、数学界で最も栄誉ある賞が与えられました。これは、有理角を持つすべての多角形テーブルが周期軌道を持つことを示すためにマズアが使用したドーナツの一種の一般化です。 2016年には、 サミュエル・ルリエーブル パリ・サクレー大学の ティエリー・モンティユ フランス国立科学研究センターの バラク・ワイス テルアビブ大学の教授は、ミルザハニの多くの結果を応用した 表示する 有理多角形の任意の点は、有限個の点を除くすべての点を照明します。 (Tokarsky や Wolecki の例のように) 孤立した暗いスポットが存在する可能性がありますが、直線の壁ではなく湾曲した壁を持つ Penrose の例のような暗い領域はありません。で Wolecki の 2019 年の記事、彼は、照明不可能な点のペアが有限の数しか存在しないことを証明することによって、この結果を強化しました。

悲しいことに、 ミルザハニ氏死去 がんとの闘病を経て、2017年40歳。彼女の作品は、ビリヤード場のトリックショットとはかけ離れているように見えました。しかし、ビリヤードの軌道を分析すると、最も抽象的な数学であっても、私たちが住んでいる世界とどのように結びつくことができるのかがわかります。