バスルームの床にタイルを貼りたい場合は、正方形のタイルが最も簡単なオプションです。タイルは、無限に続くグリッド パターンに隙間なくフィットします。この正方形のグリッドには、他の多くのタイルと共有される特性があります。つまり、グリッド全体を一定量だけシフトすると、結果として得られるパターンは元のパターンと区別できなくなります。しかし、多くの数学者にとって、そのような「周期的な」タイル張りは退屈なものです。小さなパッチを 1 つ見たことがあるなら、それをすべて見たことになります。

1960 年代、数学者は研究を始めました。 「非周期的」タイル セット はるかに豊かな動作で。おそらく最も有名なのは、1970年代に博学物理学者で将来のノーベル賞受賞者である彼によって発見された一対のダイヤモンド型タイルでしょう。 ロジャー・ペンローズ。これら 2 つのタイルのコピーは、ペンローズ タイリングと呼ばれる、無限に続くさまざまなパターンを形成できます。ただし、タイルをどのように配置しても、周期的な繰り返しパターンが得られることはありません。

「これらは本来存在すべきではないタイルです」と彼は言いました。 ニコラス・ブリュックマン、ブリストル大学の物理学者。

半世紀以上にわたり、非周期タイリングは数学者、愛好家、他の多くの分野の研究者を魅了してきました。今回、2 人の物理学者が、非周期タイリングと、一見無関係に見えるコンピューター サイエンスの分野との関連性を発見しました。それは、将来の量子コンピューターが情報をどのようにエンコードできるかという研究です。 エラーから守る。 で 紙 11 月にプレプリント サーバー arxiv.org に投稿されたこの論文では、研究者らはペンローズ タイリングを全く新しいタイプの量子誤り訂正コードに変換する方法を示しました。彼らはまた、他の 2 種類の非周期タイリングに基づいて同様のコードを構築しました。

この対応の中心にあるのは単純な観察です。非周期タイリングと量子誤り訂正符号の両方において、大規模なシステムのごく一部について学習しても、システム全体については何も明らかになりません。

「それは、振り返ってみれば明らかな美しいことの一つです」と彼は言った。 トビー・キュービット、ユニバーシティ・カレッジ・ロンドンの量子情報研究者。 「『なぜ思いつかなかったんだろう？』って感じですね」

禁じられた知識

通常のコンピューターは、0 と 1 というラベルが付けられた 0 つの異なる状態を持つビットを使用して情報を表します。量子ビット (量子ビット) も同様に 1 つの状態を持ちますが、XNUMX と XNUMX の状態が共存する、いわゆる重ね合わせに誘導することもできます。多くの量子ビットを含むより精巧な重ね合わせを利用することで、 量子コンピュータ 従来のマシンよりもはるかに高速に特定の計算を実行できます。

しかし、量子の重ね合わせは気まぐれな生き物です。重ね合わせ状態で量子ビットを測定すると、量子ビットは 0 または 1 に崩壊し、進行中の計算はすべて消去されます。さらに悪いことに、量子ビットとその環境の間の弱い相互作用に起因するエラーは、測定による破壊的な影響を模倣する可能性があります。おせっかいな研究者であれ、はぐれた光子であれ、量子ビットを間違った方法でこするものはすべて、計算を台無しにする可能性があります。

この極端な脆弱性により、量子コンピューティングは絶望的に聞こえるかもしれません。しかし1995年、応用数学者のピーター・ショールは、 発見 量子情報を保存する賢い方法。彼のエンコーディングには 2 つの重要な特性がありました。まず、個々の量子ビットにのみ影響するエラーを許容できます。第 2 に、エラーが発生したときにそれを修正する手順が組み込まれており、エラーが蓄積して計算が狂うことを防ぎます。ショールの発見は、量子誤り訂正符号の最初の例であり、その 2 つの重要な特性は、そのようなすべての符号の特徴となっています。

最初の特性は、単純な原則から生じています。つまり、秘密情報は分割すると脆弱性が低くなります。スパイ ネットワークも同様の戦略を採用しています。各スパイはネットワーク全体についてほとんど何も知らないため、たとえ個人が捕らえられたとしても、組織は安全に保たれます。しかし、量子誤り訂正符号は、このロジックを極限まで突き詰めたものです。量子スパイ ネットワークでは、単一のスパイはまったく何も知りませんが、一緒になれば多くのことを知ることができます。

各量子誤り訂正符号は、集合的な重ね合わせ状態で多くの量子ビットに量子情報を分散させるための特定のレシピです。この手順は、物理量子ビットのクラスターを単一の仮想量子ビットに効果的に変換します。量子ビットの大規模な配列に対してこのプロセスを何度も繰り返すと、計算の実行に使用できる仮想量子ビットが多数得られます。

各仮想量子ビットを構成する物理量子ビットは、気付かない量子スパイのようなものです。それらのいずれかを測定しても、それが属する仮想量子ビットの状態、つまり局所的区別不能性と呼ばれる特性については何もわかりません。各物理量子ビットは情報をエンコードしないため、単一量子ビットのエラーによって計算が台無しになることはありません。重要な情報は、どういうわけかどこにでもありますが、特定の場所にはありません。

「個々の量子ビットを特定することはできません」とキュービット氏は言う。

すべての量子誤り訂正符号は、符号化された情報に影響を与えることなく少なくとも 1 つの誤りを吸収できますが、誤りが蓄積すると最終的にはすべて消滅します。ここで、量子誤り訂正符号の 2 番目の特性、つまり実際の誤り訂正が機能します。これは局所的識別不能性と密接に関係しています。個々の量子ビットのエラーは情報を破壊しないため、常に次のことが可能です。 エラーを元に戻す 各コードに固有の確立された手順を使用します。

ドライブに連れて行ってもらった

志李カナダのウォータールーにある理論物理学ペリメーター研究所の博士研究員である彼は、量子誤り訂正の理論に精通していました。しかし、彼が同僚と会話を始めたとき、その話題は彼の頭から遠ざかっていた レイサム・ボイル。それは2022年の秋、XNUMX人の物理学者はウォータールーからトロントへ向かう夕方のシャトルに乗っていた。ボイル氏は非周期タイルの専門家で、当時トロントに住んでおり、現在はエディンバラ大学に在籍しているが、頻繁に渋滞に巻き込まれるシャトルバスではおなじみの顔だった。

「通常であれば、彼らは非常に悲惨な状況に陥る可能性があります」とボイル氏は言う。 「これは史上最高のもののようでした。」

その運命の夜の前に、リーとボイルはお互いの研究内容を知っていましたが、彼らの研究分野は直接重なっておらず、一対一で会話したこともありませんでした。しかし、無関係な分野の無数の研究者と同様に、リー氏も非周期タイリングに興味を持っていました。 「興味を持たないのはとても難しいことです」と彼は言った。

ボイルが非周期タイリングの特別な特性、つまり局所的な識別不能について言及したとき、興味は魅惑に変わりました。その文脈では、この用語は別のものを意味します。同じタイルのセットから、全体的にはまったく異なって見える無数のタイルを形成することができますが、局所的な領域を調べても 2 つのタイルを区別することは不可能です。これは、タイルのすべての有限パッチは、その大きさに関係なく、他のすべてのタイルのどこかに表示されるためです。

「私があなたをどちらかのタイルの中に放り込んで、残りの人生を探索する時間を与えても、私があなたをあなたのタイルに置いたのか、それとも私のタイルに置いたのか、あなたは決して理解できないでしょう」とボイルは言いました。

リーにとって、これは量子誤り訂正における局所的識別不可能性の定義に興味をそそられるほど似ているように見えました。彼はボイルとのつながりについて言及したが、彼は即座に釘付けになった。 2 つのケースの基礎となる数学はまったく異なっていましたが、類似点は無視するにはあまりにも興味深いものでした。

リーとボイルは、非周期タイリングのクラスに基づいて量子誤り訂正コードを構築することによって、局所的区別不能性の 2 つの定義の間のより正確な関係を描けないだろうかと考えました。彼らは 2 時間のシャトルに乗る間ずっと会話を続け、トロントに到着するまでに、そのような暗号は可能であると確信していました。それは正式な証明を構築するだけの問題でした。

量子タイル

リーとボイルは、シンプルで馴染みのあるペンローズのタイルから始めることにしました。それらを量子エラー訂正コードに変換するには、まず、この珍しいシステムで量子の状態とエラーがどのように見えるかを定義する必要があります。その部分は簡単でした。量子ビットのグリッドのように、ペンローズ タイルで覆われた無限の 0 次元平面は、量子物理学の数学的枠組みを使用して記述できます。量子状態は、1 と XNUMX ではなく特定のタイルです。エラーは単純にタイリング パターンの単一パッチを削除します。これは、量子ビット配列内の特定のエラーが小さなクラスター内のすべての量子ビットの状態を消去する方法と同じです。

次のステップは、通常の量子誤り訂正符号の仮想量子ビット状態など、局所的な誤りの影響を受けないタイリング構成を特定することでした。解決策は、通常のコードと同様に、重ね合わせを使用することでした。注意深く選ばれたペンローズのタイルの重ね合わせは、世界で最も優柔不断なインテリア装飾家が提案したバスルームのタイルの配置に似ています。たとえごちゃ混ぜの設計図の一部が欠けていたとしても、全体的なフロア プランに関する情報は何ら裏切られません。

このアプローチを機能させるには、リーとボイルはまず、異なるペンローズ タイリング間の質的に異なる 2 つの関係を区別する必要がありました。タイリングを任意の方向に移動したり回転したりすることで、無限の数の新しいタイリングを生成できます。この方法で生成されたすべてのタイリングのセットは、等価クラスと呼ばれます。

ただし、すべてのペンローズ タイルが同じ同等クラスに分類されるわけではありません。ある同値クラスのタイリングは、回転と平行移動をどのように組み合わせても別のクラスのタイリングに変換できません。2 つの無限パターンは質的に異なりますが、それでも局所的には区別できません。

この区別を適切に行うことで、リーとボイルは最終的に誤り訂正コードを構築することができました。通常の量子誤り訂正符号では、仮想量子ビットが物理量子ビットを重ね合わせて符号化されることを思い出してください。タイリングベースのコードでは、類似の状態は単一の同値クラス内のすべてのタイリングの重ね合わせです。平面がこの種の重ね合わせでタイル状に並べられている場合、全体的な量子状態に関する情報を明らかにせずにギャップを埋める手順があります。

「ペンローズのタイルは、量子コンピュータが発明される前から、どういうわけか量子誤り訂正について知っていました」とボイル氏は言う。

バスに乗っているときのリーとボイルの直感は正しかった。深いレベルでは、局所的区別不能性の 2 つの定義自体は区別できませんでした。

パターンを見つける

数学的には明確に定義されていましたが、リーとボイルの新しいコードはほとんど実用的ではありませんでした。ペンローズ タイリングのタイルのエッジは一定の間隔ではないため、その分布を指定するには、離散的な整数ではなく連続した実数が必要です。一方、量子コンピューターは通常、量子ビットのグリッドのような離散システムを使用します。さらに悪いことに、ペンローズ タイリングは無限平面上でのみ局所的に区別できず、これは有限の現実世界にはうまく変換されません。

「それは非常に興味深いつながりです」と彼は言いました バーバラ・ターハル、デルフト工科大学の量子コンピューティング研究者。 「しかし、それを地上に降ろすのも良いことです。」

リーとボイルは、基礎となる量子システムが一方の場合には有限であり、他方の場合には離散である他の 2 つのタイルベースのコードを構築することにより、すでにその方向への一歩を踏み出しています。離散コードを有限にすることもできますが、他の課題が残っています。どちらの有限コードもクラスター化されたエラーのみを訂正できますが、最も一般的な量子エラー訂正コードはランダムに分散されたエラーを処理できます。これがタイルベースのコードに固有の制限であるのか、それともより賢い設計で回避できるのかはまだ明らかではありません。

「その後にできることはたくさんある」と氏は語った。 フェリックス・フリッカー、ブリストル大学の物理学者。 「優れた論文はすべてそうすべきだ。」

より深く理解する必要があるのは技術的な詳細だけではありません。新しい発見は、より根本的な疑問も引き起こします。明らかな次のステップの 1 つは、他のどのタイリングがコードとしても機能するかを決定することです。ちょうど昨年、数学者たちが発見した 非周期タイルのファミリー それぞれが 1 つのタイルのみを使用します。ペンローズ氏は電子メールで、「こうした最近の進展が量子誤り訂正の問題とどのように関係するのかを知るのは興味深いだろう」と書いた。

もう 1 つの方向には、量子誤り訂正符号と特定の量子誤り訂正符号の間の関係を探索することが含まれます。 量子重力のモデル。 で 2020紙、ボイル、フリッカー、そして故マデリーン・ディケンズは、これらのモデルの時空間幾何学に非周期的なタイリングが現れることを示しました。しかし、そのつながりはタイルの特性から生じたもので、リーとボイルの作品には何の役割も果たしていない。量子重力、量子誤り訂正、非周期タイリングは、研究者がその輪郭を理解し始めたばかりのパズルの異なるピースであるようです。非周期的なタイリング自体と同様、これらの部分がどのように組み合わされるかを理解するのは非常に難しい場合があります。

「これらの異なるものを結び付ける深い根があります」とフリッカー氏は言いました。 「この魅力的な一連のつながりは解明されることを切望しています。」