繰り返しは必ずしも退屈である必要はありません。数学では、それは途方もない複雑さを生み出す強力な力です。

何十年も研究を続けてきたにもかかわらず、数学者は、非常に単純なルール、つまり最も基本的な「力学システム」の繰り返し実行に関する質問に答えることができないことに気づきました。しかし、そうしようとするうちに、彼らはそれらのルールと数学の他の一見遠い分野との間に深いつながりがあることを明らかにした。

たとえば、マンデルブロ集合です。 書きました 先月、関数ファミリーがどのように方程式で記述されるかを示したマップです。 f(x）= x² + c — の値として動作します c いわゆる複素平面にわたる範囲です。 (直線上に配置できる実数とは異なり、複素数には 2 つの成分があり、それらを上にプロットできます。 x- & y- 2 次元平面の軸。)

マンデルブロ集合をどれだけ拡大しても、常に新しいパターンが際限なく現れます。 「これほど単純なルールからこの非常に複雑な構造が生み出されるとは、今でもまったく驚かされます」と氏は語った。 マシューベイカー ジョージア工科大学の博士。 「これは20世紀の本当に驚くべき発見の一つです。」

マンデルブロ集合の複雑さは、部分的には、それ自体が複素数である数値によって定義されているために現れます。しかし、おそらく驚くべきことに、それだけではありません。ときでさえ c たとえば、-3/2 のような単純な実数であると、あらゆる種類の奇妙な現象が発生する可能性があります。方程式を繰り返し適用すると何が起こるか誰も分かりません f(x）= x² – 3/2、反復として知られるプロセスで各出力を次の入力として使用します。から反復を開始すると、 x = 0 (二次方程式の「臨界点」) の場合、値の繰り返しサイクルに向かって最終的に収束するシーケンスを生成するのか、それとも混沌としたパターンで無限に跳ね返り続けるシーケンスを生成するのかは不明です。

の値については、 c –2 より小さいか 1/4 より大きい場合、反復はすぐに無限大に達します。しかし、その間隔内には、無限に多くの値が存在します。 c 混沌とした動作を引き起こすことが知られており、-3/2 のような「非常に具体的であるにもかかわらず、何が起こるかわからない」ケースが無数にあります。 ジュリオ・ティオッツォ トロント大学の博士。

しかし1990年代、ストーニーブルック大学の数学者は、 ミーシャ・リュービッチ、マンデルブロ集合に関する私のレポートで顕著に登場した人物、 証明 -2 から 1/4 までの範囲では、 c 優れた「双曲的」動作を生成します。 （数学者のヤツェク・グラチクとグジェゴシュ・シヴィアテク） 独立して証明された これは、対応する方程式が反復されると、単一の値または数値の繰り返しサイクルに収束することを意味します。

10 年後、3 人の数学者は、 c は二次方程式だけでなく、 実多項式の族 (変数のべき乗を組み合わせる、より一般的な関数。 x⁷ + 3x⁴ + 5x² +1)。そして今、そのうちのXNUMX人が、 セバスティアン・ファン・ストリアン インペリアル・カレッジ・ロンドンの博士は、サイン関数、コサイン関数、指数関数を含む実解析関数と呼ばれるさらに広範なクラスの方程式について、この性質を証明したと信じています。ヴァン・ストライエン氏は5月に結果を発表したいと考えている。もし査読後にそれが維持できれば、実際の一次元システムがどのように動作するかの特性評価において大きな進歩を示すことになるでしょう。

ありそうもない交差点とエントロピーベーグル

実際の二次方程式は無数にあり、ゼロから反復すると、最終的には繰り返しの数値サイクルが生成されることが知られています。でも制限すると c 有理値 (分数として記述できる値) に対して、最終的に生成される周期シーケンスは 0、-1、-2 の XNUMX つの値だけです。 「これらの力学システムは非常に特別なものです」と彼は言いました。 クレイトン・ペッチェ オレゴン州立大学の博士。

In 紙 昨年出版されたペッチェと チャチャイ・ノイタプティム ウォータールー大学の博士らは、それらが一見したよりもさらに特別であることを証明しました。数学者たちは、実数よりも制限が厳しいが、有理数よりも制限が緩い「完全実数」に注目しました。

多項式に数値を代入してゼロの出力が得られた場合、その数値は多項式の解、つまり根となります。たとえば、2 は次の根です。 f(x）= x² – 4、 f(x）= x³ - 10x² + 31x – 30 個、その他無限に多くの方程式。このような多項式は、実数の根または複素数の根を持つことができます。 (たとえば、 x² + 1 は –1 の平方根であり、次のように書かれます。 i、 と -i — 両方の複素数。)

実数の根のみを持つ整数係数をもつ多項式を満たす場合、その数値は完全に実数になります。すべての有理数は完全に実数ですが、一部の無理数も同様です。たとえば、$latex sqrt{2}$ は完全に現実です。なぜなら、これは次の解決策だからです。 f(x）= x² – 2。実際のルート ($latex sqrt{2}$ とその「姉妹」ルート $latex -sqrt{2}$) のみがあります。しかし、2 の立方根 $latex sqrt[3]{2}$ は完全に実数ではありません。それは解決策です f(x）= x³ – 2。ガロア共役とも呼ばれる複素数の姉妹根がさらに XNUMX つあります。

Petsche と Noytaptim は、最終的に周期的なサイクルを生み出す無理な完全実数は存在しないことを証明しました。むしろ、これを行う完全な実数は 0、-1、および -2 だけです。それらは、数論 (整数の研究) と力学システムという、一見異なる XNUMX つの世界の特性間のありそうもない交差点を表しています。 Petsche と Noytaptim は、証明に数論からの重要な結果を使用し、XNUMX つの分野間の関係を強調しました。

数学者たち ザビエル・バフ & サラ・コック 発見 ありそうもない交差点。彼らは、次の完全に実際の値は 4 つだけであることを示しました。 c — 1/4、–3/4、–5/4、および –7/4 — 放物線サイクルと呼ばれる、よく理解されている特定のタイプのシーケンスを生成します。

ガロア共役は、複素平面内で輝くフラクタル リングである「エントロピー ベーグル」と呼ばれる謎の物体の発見への道も開きました。エントロピーはランダム性の尺度です。この文脈では、反復処理によって生成される一連の数値を予測することがどれほど難しいかを測定します。 x² + c。 の中に 彼が最後に書いた論文 2012 年に亡くなる前に、著名な位相学者ウィリアム サーストンは、ほぼ XNUMX 億の異なる実数値に対応する一連のエントロピー値をグラフ化しました。 c — それらのエントロピー値のガロア共役（複素数になる可能性があります）を組み合わせます。エントロピーの概念は「現実の線上にありますが、どういうわけかまだ複雑な世界の影を見ることができます」とティオッツォ氏は言いました。

「これがこの信じられないほどのレースのフラクタル構造に組織化されていることがわかります」とコッホ氏は言いました。 "すっげー。"エントロピー ベーグルは、実際の二次方程式の反復から現れる非常に複雑なパターンの 1 つにすぎません。 「私たちは、実際の二次多項式に関するこれらすべての魔法のステートメント、つまり小さな宝石をまだ学んでいます」と彼女は付け加えた。 「いつでも過去に戻って、自分がよく知っていると思っていたことに驚くことができます。」