無限の概念は、おそらく数そのものと同じくらい古いものであり、人々が永遠に数え続けることができることに最初に気付いたときまでさかのぼります。 しかし、たとえ私たちが無限の記号を持っていて、何気ない会話でその概念に言及できるとしても、無限は数学者にとっても、依然として非常に神秘的なままです。 このエピソードでは、Steven Strogatz が仲間の数学者とチャットします。 ジャスティン・ムーア ある無限が別の無限よりも大きくなり得る方法 (およびそれらの間に中間の無限が存在しないことを確信できるかどうか) について、コーネル大学の彼らはまた、物理学者と数学者がどのように無限を異なって使用するか、そして数学のまさに基礎に対する無限の重要性についても議論します.

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成績証明書（トランスクリプト） 

スティーブンストロガッツ （00:03）：私はスティーブ・ストロガッツです、これは なぜの喜び、からのポッドキャスト クォンタマガジン それはあなたを今日の数学と科学における最大の未回答の質問のいくつかに連れて行きます。

(00:13) このエピソードでは、無限について議論します。 無限という概念がどこから来たのかは誰にもわかりませんが、それは非常に古いものであるに違いありません — 永遠に続く可能性があるものに対する人々の希望と恐れと同じくらい古い. 底なしの穴のように恐ろしいものもあれば、無限の愛のように高揚するものもあります。 数学では、無限という概念はおそらく数そのものと同じくらい古いものです。 人々は、1、2、3 など、永遠に数え続けることができることに気づきました。 しかし、無限は非常に古い考えですが、依然として非常に謎に包まれています。 人々は、少なくとも古代ギリシャのゼノとアリストテレス以来、何千年もの間、無限について頭を悩ませてきました.

(00:57) しかし、今日の数学者は無限をどのように理解していますか? 無限大にはさまざまなサイズがありますか? 無限大は数学者にとって有用ですか? もしそうなら、どのように正確に？ そして、これらすべてが数学自体の基礎とどのような関係があるのでしょうか?

(01:14) 今日私と一緒に無限について議論するのは、コーネル大学の数学教授である Justin Moore です。 彼の研究対象には、集合論、数学的論理、無限組合せ論、およびそれらのトポロジー、関数解析、代数などの数学の他の分野への応用が含まれます。 ようこそ、ジャスティン。

ジャスティン・ムーア (01:33): ねえ、スティーブ。 お招きいただきありがとうございます。

ストロガッツ (01:35): ええ、お話しできることをとても楽しみにしています。 おそらく完全な開示のために言うと、ジャスティンは私の友人であり、コーネル大学の数学部門の同僚です. では、数学者が考えるように無限について考えてみましょう。 実際には、数学の部分に飛び込む前に、ちょっとだけ現実世界について話しましょう。 さて、あなたはかつて物理学の世界で訓練を受けていたというのは正しいですか?

ムーア (02:02): ええ、学部生のときは物理と数学のダブルメジャーでした。 私はちょっと物理に燃え尽きました。 最初は物理が好きで、気晴らしに数学にも少し興味を持っていました。 そして、どういうわけか、その過程で、数学と物理学にもっと興味を持つようになりました.

ストロガッツ (02:18): わかりました。 さて、無限の物理学はどうですか？ それは理にかなっていますか？ 私たちが知っている現実世界に無限のものはありますか?

ムーア (02:26): ご存知のとおり 動画, 10 の累乗、チャールズとレイ・イームズによって作成されましたか? 基本的にはすべて — 10 秒ごとだと思いますが、10 のべき乗です。 そうですね、最初は10のべき乗の方が大きいと思います。 ズームアウトします。 そして 10 秒ごとに 10 のべき乗で小さくなり、 宇宙の最大スケールから 素粒子の最小スケールにまで下がります。 これは70年代後半か80年代前半に作られたものです。 それ以来、いくつかのことについての私たちの理解は少し進化したと思いますが、それほど大きくはありません. しかし要点は、最小の長さの目盛りと最大の長さの長さの目盛りを分ける 40 の累乗は約 10 あるということです。 しかし、10 より大きい物理学で測定できるものは何もないと言っても過言ではありません。¹⁰⁰ または10²⁰⁰ またはそのようなもの。

(03:22) 物事が連続的であるという私たちの概念 — 連続的な動きなど — はおそらく、これはすべて幻想にすぎません。 たぶん、すべてが本当に粒状で有限です。 しかし、確かに物理学者は、物事が滑らかで連続的であり、その無限が理にかなっていると想像することによって、私たちが住んでいる世界について多くのことを発見しました. まだ正式化されていない物理学の部分に入ると、数学者がこれに関して物理学者に突き詰める多くの問題は、無限をさまざまな種類の無頓着な方法で扱い、無限から無限を差し引くことです。 、おそらく数学者が彼らに望んでいるほど責任を負っていません。 それは本当に物議を醸す声明ではないと思います。 私は物理学者がそうすると思います—ほとんどの物理学者はおそらくそうするでしょう—つまり、OK、多分あなたはもっとよく知っているでしょう. しかし、ほとんどの物理学者は、それはかなり正しい声明だと言うだろう.

ストロガッツ (04:20): では、あなた自身の個人的な話で言えば — あまり深く掘り下げて恥をかくつもりはありません — でも、あなたを無限に引き込んだものは何でしたか? どういうわけか、物理学があなたにとって小さすぎると感じたのですか? それとも数学の厳しさが好きですか、それとも…？

ムーア (04:33): つまり、全体として数学に興味を持つようになり、具体的に集合論に興味を持つようになる前に、物理学から離れていったと思います。 皮肉なことに、それは私が — まあ、もし物理の授業をとっていたら、ある時点で、数学がかなり速くてルーズになってしまうからです。 そして、あなたはそれで大丈夫か、そうでないかのどちらかです。 私もそれが嫌だった一人です。

ストロガッツ (04:56): ええ。 そして、私は大丈夫だった一人でした、そして私はまだそれをやっています. つまり、これらのことはあまり心配していませんが、純粋数学者がこれらのことを心配しているという知的誠実さを尊重していますが。

(05:11): では、私が好奇心旺盛な XNUMX 代の若者のようで、無限が何であるかさえ知りませんでした。 それは何だと思いますか？ とても大きな数と考えるべきでしょうか？ 何かのシンボルですか？ それは財産ですか？ 無限とは何かを考える良い方法は何ですか?

ムーア (05:26): ええ、つまり、それは — 線の終点にある理想化された点である可能性がありますね。 正式な記号にすることができます。 ご存知のように、-1 を導入するのと同じ意味で正式な記号と考えることができますよね？ 私が子供の頃、教師は負の数について話しても安全かどうかをはっきりさせようとはしなかったことを覚えています。 そして、そうです、後から考えるとばかげているように聞こえますが、あるレベルでは、そうです、-1 は現実の世界に存在するのでしょうか? しかし、それを正式に操作することはできますし、あるレベルで無限大を正式に操作することもできますが、もう少し注意を払う必要があるかもしれません. また、何かがいくつあるかを定量化する手段として無限を使用することもできます。 そして、それはそこにさらに多くの扉を開きます。なぜなら、無限のセットが存在し、その中には他のものよりも大きいものがあることについて話すことができるからです.

ストロガッツ (06:15): わかりました。 わかった。 あなたはこの「セット」という言葉に言及しましたが、今日は確かにセットについて多くのことを話します。 あなたの興味には集合論が含まれると言いました。 セットとはどういう意味ですか?

ムーア (06:26): そうですね… 答えはイエスでもありノーでもあります。 だから私は、自分のパンツの席で飛んで、それを未定義の概念と見なして、直感的に使用しても問題ないと思います. しかし、それはまた、数学の基礎を提供するためのメカニズムとしても使用されました.人々は、数学が何であるかについて、いくつかの注意深い基礎を作る必要があることに気づきました.

ストロガッツ (06:49): うーん。 それは面白い。 なぜなら、私は小さな子供のように、指で数えることを学ぶか、両親が言葉を言い始めると、何かを指差して「1、2、3…」と言うかもしれません。彼らがとても小さいときのように、私は知っていますよね？ つまり、自分や親戚に小さな子供がいる場合です。 そういう側面もありますね。 ほとんどの人は、数字が数学の基礎であると想像すると思います。 しかし、あなたが言っていることは、ほとんどの数学者が同意すると思いますが、数よりもさらに深い何かがあるということです。それがこの集合の概念ですよね?

ムーア (07:22): 「セット」という概念は、非常に基本的で原始的であるため、基本的な概念として生まれたと思います。 数学の布として何かを使用したい場合は、基本的な特性が非常に原始的に見えるものから始めて、そこから始めたいと思うでしょう。 次に、セットを使用して、カウント数、有理数、実数などをエンコードします。 そしてそこから、多様体のような他のあらゆる種類のより複雑な数学的構造、またはその他のもの。

ストロガッツ (07:57): だから私は思い出すことができます セサミストリート 子供と一緒に見たエピソード。 それは映画の中にありました。 私はそれがそうだったと思う。 空腹のペンギンでいっぱいの部屋に魚を注文していたキャラクターがいる. そして彼はペンギンたちに「魚、魚、魚、魚、魚、魚」と叫ぶように言いました。 そして、ウェイターはキッチンに向かって「魚、魚、魚、魚、魚」と呼びます。 そして、別の誰かが「いいえ、あなたはそれを間違えました」と言います。 そして別の誰かが、「なぜXNUMX匹の魚を注文したと言わなかったのですか?」と言いました。 しかし、この数の考え方は、この魚のオブジェクトのコレクションの後に来るということを強調しています. すると別の登場人物が「スパークプラグに効くの？ そしてシナモンロール？」

ムーア (08:42): つまり、理解しようとすることに興味がある場合は、これを証明できますか? それともそれを証明できますか？ そして、物事を証明する方法などのルールを設定しようとしている場合、基本原則をできるだけ単純にしたいと考えています。 したがって、算術がどのように機能するかの規則を書き留めようとするのではなく、単純なものについての単純な規則を書き出すことから始め、次にこれらのより基本的なビルディング ブロックから算術を構築します。

ストロガッツ (09:08): わかりました。 それで、これも「新しい数学」を思い出させます。60 年代の子供の頃、交差点やベン図、和集合について学んでいましたよね？ それが集合論の始まりでした。 彼らは私たちにそれを教えていました—私は覚えていません—それはXNUMX年生かXNUMX年生でした。 私の両親は理由を知りませんでした。 しかし、私が推測するに、あなたのタイプの数学者か、算術を学ぶ前かそれと同時に、子供たちが集合を学ぶべきだと考えていた人たちだったと思います。

ムーア (09:33): ええ、人々が集合論で研究していることのほとんどは、つまり、最近では無限集合が実際にどのように機能するかということです。 無限集合についての私たちの直感は、有限集合についての私たちの直感ほど良くないからです。 そして、それが財団への意欲がそこにあった理由の多くだと思います. それは部分的には、私たちが書き留めたいと思っていたからです.OK、無限集合と一般的な集合の性質であるべきだとかなり確信しているものは何ですか?

ストロガッツ (10:03): では、いくつか例を挙げてみませんか? 無限集合であるものの例をいくつか教えていただけますか?

ムーア (10:08): まあ、自然数のように。 あなたが言っていたように — 1、2、3、4、5、6、7、8 など — だけでなく、有理数のようなものも。 分数は XNUMX つの自然数を重ね合わせたもの、または負の分数のようなものです。 しかし、実数のようなものもあります。ここで、ご存知のように、pi や e.

ストロガッツ (10:28): うーん。 したがって、小数点以下の桁数は無限にある可能性があります。

ムーア (10:32): ええ、ええ、桁数は無限大です。 繰り返す必要はありません。

ストロガッツ (10:35): うーん。 では、数値的なものだけでなく、形や点、幾何学的なものなどはどうでしょうか?

ムーア (10:41): ええ、幾何学的形状のコレクションについても話せます。

ストロガッツ (10:45): わかりました。これは集合の優れた機能です。集合を使用すると、算術、幾何学などについて話すための共通言語を統一するか、少なくとも共通の言語を持つことができます。

ムーア (10:54): そうですね。

ストロガッツ (10:55): 計算前のコースを受講していれば、一連の関数について話すことができると思います。 私たちが微積分のコースにいた場合、連続関数のセットのように、ご存知でしょう。

ムーア (11:04): はい。 うん。

ストロガッツ (11:05): または何でも。 そうですね、これで数学のあらゆる部分に共通の言語が得られます。

ムーア (11:09): そうですね。

ストロガッツ (11:10): そして — しかし、数学の歴史全体から見れば、数学の基礎としては比較的新しい考えだと思いませんか?

ムーア (11:16): ええ、つまり、私は… まあ、私たちが知っている現代の数学は、およそ 100 から 150 年前のものです。 しかし、私は通常、それを前後関係に結び付けています—前世紀の前半は、実際、今日私たちが知っている数学の主要な部分のすべてが発展し始め、実際に独自の別個の主題になり始めたときでした. そして、それは [バートランド] ラッセルが彼のパラドックスを発見したのとほぼ同時期であり、数学のためのある種の厳密な基礎の必要性に拍車をかけました.

ストロガッツ (11:49): ええと。 言及する必要があります—ええ。 バートランド・ラッセルは 哲学者や平和主義者として知られていますが かなり強い数学者で論理学者で 数学の一部としての論理に興味を持っていました

ムーア： ええ、ええ。

ストロガッツ (12:04): つまり、あなたが言うように、彼は集合論の本格的な発展を助けた人物の XNUMX 人でした。 そして彼の前にも、この紳士がいました。 ゲオルク・カンター、1800年代後半のドイツで、かなり話します。

(12:17): では、数学の中で、たとえば数学者は無限をどのように使用するのでしょうか? あなたはそれがどれほど役立つかについて言及しました。 どこで使用されますか？

ムーア (12:27): ええ、微積分のクラスでは、特定の計算を行うための便利な記号です。 入力が非常に大きくなったときに関数がどのように動作するかについて話します。 無限大の極限や、数値がゼロまたは無限大になるときの量の比率などについて話すことができます。 これは、私が最初に述べたような無限の概念であり、無限を線の終点にある理想化された点と見なします。

(12:53) しかし、それについては次のように話すこともできます — ご存知のように、コレクションまたはセットの要素の数を数えることについて話すことができます。無限に多くの要素がある場合、さまざまなサイズの無限を区別しようとします。 つまり、誰もが有限であることと無限であることの違いを理解している、または理解しているふりをしているということです。 で思うんですけど カントールの驚くべき発見 無限集合については、さらに区別することができるということでした。 可算と呼ばれるものと不可算と呼ばれるものを区別できます。 または、一般的に、異なる無数の枢機卿間の区別よりも高い無数の枢機卿です。

ストロガッツ (13:34): では、行きましょう。 なぜなら、これは本当に私たちの主題の核心に私たちを連れて行くからです. 初めて「可算」という言葉を聞いた平均的な人は、10 があるもののように文字通り数えられるという意味だと思うかもしれません。テーブルに 10 個のスパーク プラグがあれば、1、2、3 と数えることができます。 、最大 10 です。しかし、あなたや他の数学者は、それとは少し異なる意味で可算を使用します。

ムーア (13:56): 自然数が XNUMX 回使用されないように、セットの各要素に自然数を割り当てることができるということです。

ストロガッツ (13:56): つまり、何かが可算かつ無限になり得るということです。

ムーア (13:57): そして無限です。 自然数は自分自身を数えるので、明らかに可算です。 しかし、自然数の負数を含む整数が可算であることは、もう少し明白ではありません。

ストロガッツ (14:18): では、それについて少し話しましょう。 ですから、それについて考えたことがない人なら、それは興味深いことです。 あなたが言ったように、すべての数値、すべての正の整数、すべての負の整数、およびゼロを検討します。

ムーア (14:29): ええ。

ストロガッツ (14:30): やり方を間違える可能性もあります。 たとえば、0 から始めて右に数え始め、1、2、3、XNUMX と進むと、負の数に戻ることはありません。 そのため、すべての整数を数えることに失敗したことになります。

ムーア (14:41): ええ。

ストロガッツ：しかし、代わりに何をすべきですか？

ムーア: できることは、0、1、-1、そして 2、-2、3、-3、4、-4、5、-5 と数えることができます。 そして、このようにそれらをリストすると、最終的にすべてをリストすることになります。

ストロガッツ (14:55): 美しい。 したがって、正と負の間を行き来するこのジグザグの議論は、整数を考えると最終的にはリストに載っていることを示すための、整理された体系的な方法です。

ムーア： うん。 うん。

ストロガッツ(15:07): なるほど。 OK、整数は可算です。 カントールは、他にも数えられるものがあることを発見しました — 彼が驚いたかどうかはわかりませんが、私たちの多くは、それについて初めて知ったときに驚きます. のように、何のように？

ムーア (15:21): ええ、驚くべき 1 つの良い例は、最初の論理的根拠です。 したがって、1 つの整数のすべての分数の集合は可算です。 分母が 2 の分数、または分子と分母の絶対値が最大で 3 のすべての分数をリストするだけでよいため、これは実際には非常に簡単にわかります。そして、最大で 4、最大で XNUMX、最大で XNUMX . そして、各段階で、分子と分母が少なくとも大きさが最大で n である有限個の分数のみが存在します。 そして、そのようにしてすべての合理性を使い果たすことができます。

ストロガッツ (15:55): たとえば、私が数字 n を 3 に選ぶとしたら、1/2、2/1、または 0/3 のような数字になる可能性があるとあなたは言っています。 3に？

ムーア (16:06): ええ。 もう XNUMX つは、これもまた驚くべきことですが、ラテン語のアルファベット、または好きなアルファベットで書き留めることができる単語の数を取る場合です。 このアルファベットに由来する有限の単語または記号の有限の文字列は、せいぜい可算数です。 すべての単語、すべての文、すべての文学作品について考えてみると、お望みなら —

ストロガッツ：ああ。

ムーア (16:30): — 現在存在するだけでなく、将来的に存在する可能性があるもの。 無数のサルをタイプライターの前に置いて、限られた時間内にどのような出力が生成されるかを調べます。 それはすべて可算集合です。

ストロガッツ (16:44): うわー。 つまり、考えられるすべての本、たとえば、ラテン語で、私たちが知っているすべての可能な言語で？

ムーア (16:50): すべての可能な言語で。 うん。 つまり、必要に応じて、可算アルファベットを使用できます。 それは何も大きくしません。

ストロガッツ (16:56): つまり、可算は非常に大きな無限のように見えます。 それでも —

ムーア (16:59): ええ。 最初に驚くべきことは、自然数よりも大きいように見える集合が、実際には自然数と同じ大きさであるということです。 それらは数えられます。 しかし、もう XNUMX つの驚きがあります。XNUMX 進数の集合である実数は数えられないということです。

ストロガッツ (17:13): つまり、可算でない集合が存在する可能性があるとあなたが言及している注目すべき点があります。 おそらく最も単純な例は次のようになるでしょう。 無限に長い直線のように。 私たちがそれを呼ぶ本当の線。 それは計り知れません。

ムーア (17:32): そうですね。 あなたが、その行のすべての要素のリストと称されるリストを私に渡した場合、対角引数と呼ばれる手順があります。これにより、行上にあるがリストにはない新しいポイントを作成できます。 それはカントールの有名な発見でした。

ストロガッツ (17:49): 当時としては、本当に驚くべき発見だったのですね。 これで、突然 XNUMX つの無限集合について話し、それらを比較できるようになりました。

ムーア (17:58): ええ、ええ。 そして、数えられるものと数えられないものの区別は、数学では非常に便利なものです。 基本的に、可算集合とは、可算無限長の和についても話すことができます。 これは、標準コースの終わり、つまり XNUMX 学期の微積分コースの終わりに教えられるものです。 不可算集合の合計はあまり意味がないか、少なくともより繊細な方法で定義する必要があります。 そうは言っても、積分の線に沿った何か、またはそのようなものです。

ストロガッツ (18:30): これで、整数 (1、2、3、4、5) のような可算と、線上の点のような不可算の区別ができました。 もう XNUMX つ質問がありますが、それについて少しお時間をいただければ幸いです。 連続体仮説と呼ばれる。 それが何であるか教えていただけますか？

ムーア (18:50): ええ。 そこでカントールは疑問に思いました: 間に何かあるのでしょうか? 自然数は実数の中にあり、自然数は可算です。 実数は数えられず、自然数よりも大きい。 自然数よりも大きいが、よりも小さい実数の集合はありますか?

ストロガッツ (19:10): 数えるという意味では小さい。

ムーア (19:12): — ラインより小さい？ その直線、数直線上に、自然数よりも大きく、有理数よりも大きく、直線全体よりも小さい点の集合はありますか? そのような中間集合が存在しないという主張は、連続体仮説と呼ばれます。 そしてそれが、連続体仮説が真か偽かというヒルベルトの最初の問題でした。

ストロガッツ (19:35): ええと、ヒルベルトはこの分野の偉大な数学者でした — おそらく少し後の世代ですが、それほど後ではありません。 そしてその年、1900年頃だったと思いますが、彼は、20世紀の数学者が取り組まなければならない将来の最大の問題のいくつかを発表またはリストしました。 そして、これが彼のリストの一番の質問だったと思いますか?

ムーア (19:58): ええ、これが一番の質問でした。

ストロガッツ (20:00): うわー。 ですから、これについて考えるのは大きかったです。 カントールはそれを仮説と呼んだとおっしゃいました。 彼はそれが真実になるだろうと思った。

ムーアええ。

ストロガッツ (20:07): 彼がすでに知っていた XNUMX つの間に挟むことができる無限は存在しなかったこと

ムーア (20:11): ええ。 そして問題は、反例を探すテストを生き残るということです。 つまり、実数のすべてのセット、説明を書き留めることができる、または何らかの方法で構築できる行のサブセットを調べ始めると。 彼はこれを試しました。 そして彼は反例がないことを証明しました。 このタイプまたはそのタイプのセットは反例になり得ないと言う初期の定理さえあります。

ストロガッツ (20:40): すごいですね。 これを確実に手に入れさせてください。 私はこのような発言を聞いたことがありません: それらのいくつかが説明可能であるという事実だけで、ある意味では十分ではありません.

ムーア (20:49): たとえば、閉じた集合にはすべての極限点があります。 カントールは、これが反例にならないことを証明しました。 可算か、実数と同じサイズです。

ストロガッツ (21:00): では、反例があるとすれば、それは何とも言えませんね。

ムーア (21:04): ええ、それは複雑でなければなりません。

ストロガッツ (21:06): うわー。 しかし、もちろん、それが本当に奇妙なものであるというだけで、XNUMXつある可能性があります.

ムーア (21:12): ええ。 そういうわけで、この基本的な質問に戻る何かに私たちを導きます. ご存知のように、その頃、彼らは数学の公理が何であるかを形式化しようとし始めていました. それからしばらくして、1930 年代頃に [Kurt] Gödel は、自然数の算術演算を形式化するというささやかな目標を達成するような理解可能な公理システムは、実際にはすべて、必然的に不完全であることを証明しました。 この公理システムから証明できないステートメントがあり、標準の有限証明を使用して公理からそれらを反駁することはできません。

(21:52) そして、これはかなり衝撃的だったと思います。 それは、何らかの形でアルゴリズムを使って数学の問題を解決し、ある種のアルゴリズムの基礎を生み出そうとするという目標があることを示しているため、数学の完全な基礎の一部は、ある意味で運命づけられています。 または、少なくとも、当時利用できたものを超えた、より高い直感に支配されている必要があります。

(22:16) そして、ゲーデルが証明したこと — 彼が後で証明したことの XNUMX つは、証明も反論もできないステートメントの XNUMX つは、そもそも公理システムが一貫しているというステートメントであるということでした。 矛盾を生じさせないということです。 そのステートメントは、数論、自然数の算術演算に関するある種のステートメントとしてコード化できますが、特に自然な方法ではありません。 部門内の数論学者の XNUMX 人に話しかけても、技術的にはそうだとしても、彼らはそれを数論の問題またはステートメントと見なさないでしょう。 そして、ゲーデルの時代から残された問題は、連続体仮説であるかどうか、または私たちが取り組んでいた公理システムに基づいて決定できない他の自然な数学的ステートメントがあるかどうかでした.

ストロガッツ (23:02): この公理の概念があります。 おそらく、それらがどのように見えるかを覚えようとする必要があります。 なぜなら、私たちが非常に慎重に計算している場合、いくつかの定義を定めなければならないだけでなく、私たちが取るいくつかのことも明らかにしなければならないからです。岩盤として。

ムーア (23:19): ええ、ええ。 つまり、これはつまり、これはギリシャ人が行ったことです。つまり、幾何学の形式化における成果の XNUMX つは、幾何学とは何かを定義しようとするのではなく、幾何学を次のように見なすことでした。いくつかの未定義の用語を書き留めてから、これらの未定義の用語の動作を制御するルールまたは公理を書き留めます。 彼らにとって、それは点と線のようなものでした。 点が線上にある場合、それらは未定義の概念です。 そして、点が線上の他の XNUMX つの点の間にある場合、それらは未定義の概念です。 そして、これらの概念がどのように機能するかを規定する一連の公理を書き留めます。 そして、あなたがそれを正しく行えば、これらの特性がこれらのことについて明らかに真実であることに誰もが同意します。 したがって、これらの公理は一種の自明の真実です。

(23:19) ですから、幾何学にはこの有名な平行公準がありますが、これは他の公準から導き出すことはできませんでした。 そして、すべての公理を満たすが平行公理を満たさない幾何学モデルを実際に構築できることが発見されたとき、それはいくぶん革新的でした. したがって、平行線公理は他の公理からは証明できません。 ある意味では、ゲーデルが行ったことは、それを行うための方法を開発することですが、数学のモデル、または少なくとも私たちが数学のために持っているこの公理システムのモデルのレベルで.

ストロガッツ (24:45): あはは、面白い言い方ですね。 たとえば、ユークリッド幾何学があり、アインシュタインが一般相対性理論で使用したことで有名なこれらの新しい非ユークリッド幾何学もありますが、他の場所でも使用されます。 そして、論理的にはユークリッド幾何学と同じくらい優れています。 しかし今、あなたは幾何学について話す代わりに、伝統的なものを持つことができるようなものだと言っています. ユークリッド幾何学の類似物は何ですか? 伝統的な数学はありますか？

ムーア (25:16): それは未解決の問題です。 つまり、つまり、それは部分的に哲学的な問題だと思います。 社会学的な問題かもしれません 数学とは何かの問題ですよね？ その基本的な質問に戻ります。 そして、100 年以上前に開発された ZFC の公理は、これらが真実であることに一般的に同意する公理であると思います。完全ではありません。

ストロガッツ (25:44): えっと、待って、すべてを開梱しましょう。 いいですね。 それでは、ZFC、それから始めませんか? それらは何人かの人の名前であり、物の名前です。

ムーア (25:51): ええ、ええ。 「ツェルメロ・フランケル集合論「選択の公理」と呼ばれるもので。 うん。

ストロガッツ (25:55): わかりました。 そして、それらは広く受け入れられているゲームのルールです。

ムーア (25:59): ええ、これは公理のリストです — かなり長いですが、それほど長くはありません。 たとえば、XNUMX つのセットがある場合、それらの両方を要素として持つセットがあります。 セットのコレクションの和を取ることができるというペアリングの公理、そしてそれがセットです。 等々。

ストロガッツ (26:15): わかりました。 集合論を行う ZFC の方法があります。それは、ある時期に提案され、人々はそれを気に入ったとおっしゃいましたが、それは完全ではないとおっしゃいましたか?

ムーア (26:26): ええ。 だから、それはあなたが書くことができるものです。 公理を列挙するためのコンピューター アルゴリズム。 それは公理の無限集合です。 しかし、XNUMX 種類の公理のクラスターを除いて、それは有限です。 注意を払っていない場合、実際には、これらの公理の他のクラスターのそれぞれが単一の公理であると考えるでしょう。 しかし実際には、それらは公理の無限のファミリーです。 すべての公理を吐き出すコンピューター プログラムを生成できます。 矛盾を発見していないため、ZFC は一貫性があると信じがちです。 それを信じるなら、ゲーデルの不完全性定理によって、ZFC はそれが一貫していることを証明することができなくなります。

(27:03) そのため、ZFC の一貫性など、ZFC では証明できないステートメントがあります。 それは興味深い点です。 繰り返しますが、私たちは ZFC が一貫していると信じています。 つまり、それが理由の XNUMX つです。ほとんどの数学者は、CFC が一貫しているという信念に基づいて研究を進めています。 右？ しかし、それは私たちが真実の声明とみなすものです. しかし、それは ZFC 自体で十分に証明できるものではありません。

ストロガッツ (27:27): 考えているだけです。 ここまで、ゲーデルについて言及してきました。 私は彼が誰であるかを私たちが言ったことを知りません。 簡単に教えていただけますか？

ムーア (27:34) ええ、そうでした。 つまり、彼は一種の革命的な論理学者でした。 この不完全性定理は、彼の主要な成果の XNUMX つです。 そして、彼のもう XNUMX つの主要な成果は、連続体仮説が ZFC 公理を使用して反証できないことを示したことです。

ストロガッツ (27:49): 彼をアリストテレス以来最大の論理学者と考える人もいます。 高等研究所での友人であり同僚でもあったアインシュタインは、一緒に歩いて仕事をする特権が大好きだと言いました。 クルト・ゲーデル. つまり、彼はアインシュタインと同じ知的同盟にいたのです。 彼のことを聞いたことがない場合は、彼に関する本を読むことをお勧めします。 理性の果てへの旅. ゲーデルの人生についての素晴らしい本。 彼は 20 世紀半ばから 20 世紀初頭の論理学者です。 そして、彼がそれを証明したとおっしゃいましたが、連続体仮説についてもう一度おっしゃってください。

ムーア (28:23): 集合論のモデルの中で、彼は連続体仮説を満たす集合論のより小さなモデルを構築しました。 つまり、集合論の公理内で連続体仮説を反証することはできないということです。 集合論の XNUMX つのモデルから、XNUMX つあれば、連続体仮説を満たす新しいモデルを作成できます。

ストロガッツ (28:43): なるほど。 したがって、集合論のバージョン、一種のより小さなバージョンが存在する可能性がありますが、それでも算術を行うには十分です。

ムーアええ。

ストロガッツ (28:51): しかし、OK、カントールが推測したように、連続体仮説は真です。

ムーアええ。

ストロガッツ (28:56): そして。 しかし、この話には大きな「しかし」があります。

ムーア (28:59): ええ。 何年も何年も後、 [ポール]コーエン 彼は、集合論のモデルを拡大することを可能にするフォーシングと呼ばれる手法を開発しました。 そしてこれを使って、彼は連続体仮説を証明できないことを証明しました。 彼のテクニックを除いて、反論できないことを証明するためにも使用できます. これは、ええ、このフォーシングと呼ばれるテクニックは本当に、非常に強力です。 集合論のモデル内でより小さなモデルを構築する強制と手法。 これらは、集合論の古いモデルから集合論の新しいモデルを構築するために私たちが持っている一種の XNUMX つのツールです。

ムーア (29:32): ジオメトリのアナロジーに戻ります。 つまり、非ユークリッド幾何学モデルである双曲平面のこれらのモデルでさえ、ユークリッド平面またはそのサブセットを取得し、そこにある点や線のような幾何学モデルを構築することから始めます。 ポイントは、このディスク上の単なる通常のポイントです。 そして、円が入っている線、元のジオメトリの特定の円です。 私が言おうとしているのは、これは数学で行う実りあることのようなものだということです。 多くの場合、幾何学の公理を満たす幾何学のように、公理システムを満たす何らかの構造から始め、それを何らかの方法で操作して、別の公理セットを満たす新しいものを作成します。 それがコーエンとゲーデルが行っていたことであり、彼らは集合論の公理のモデル — したがって、ある意味では数学のモデル — を取り、さまざまな手法を使用してそれを操作し、新しいモデルを作成しました。連続体仮説が真である、または連続体仮説が偽であること。

ストロガッツ (30:36): ですから、これは私にとって本当に驚くべきことであり、多くの人にとっては、あなたが知っているように、プラトンはこの哲学を持っていると確信しています。ここ地球上では見られませんが、プラトニックな領域には彼らの真実が存在します。

ムーア： ええ、ええ。

ストロガッツ (30:57): そして、人間が考えているかどうかに関係なく、実数が存在するように感じ、連続体仮説が実数に当てはまるか、そうでないかのどちらかだと感じるでしょう。 しかし、あなたは私に言っていますか？

ムーア (31:09): そうですね、これにはさまざまな考え方があります。 つまり、あなたはそれを見ることができます、私が思うに、その名前の下にあると思うこのこと、その一般的なマルチバースビュー、あなたが言うことができるものは何もないということです。 集合論のこれらのモデルのすべてがあります。 そして、私たちができる最善のことは、それぞれの真実を理解し、それらの間を行き来することです. それは非常に非プラトニックな物事の見方であり、一種の形式主義的な見方です。 また、集合論にはおそらく好ましいモデルがいくつかあるという見方もできます。 つまり、私たちが住んでいる現実であり、これらの他のすべてのモデルは、公理のモデルですが、公理で説明しようとしているものではありません。 幾何学との類推は、そこにある実例だと思いますよね？ つまり、ジオメトリのさまざまなモデルを作成できます。 しかし、私たちはまだ幾何学を持つ物理的な世界に住んでおり、おそらくそれが私たちが最も気にかけている幾何学です.

ストロガッツ (32:03): なるほど。 ですから、ユークリッド幾何学に慣れ親しんでいるので、ユークリッド幾何学に好ましい地位を与えることができるのと同じように。 これは、最も簡単で最も明白であるため、長い間使用されてきたものですが、これらの他のものは優れており、有用で興味深いドメインを持っていると私たちはまだ考えています.

ムーア (32:20): しかし、おそらく指摘する価値があるのは、私たちの理解でさえ — まあ、最初に、私たちがユークリッド幾何学に住んでいるかどうか確信が持てないということです. しかし、それについて質問があります。 しかし、物理世界に対する私たちの理解でさえ、これらすべての他の幾何学を理解することによって、つまり他の幾何学モデルを自由に探索することによって、大いに豊かになります。 集合論でも同じことが言えます。 将来、集合論の新しい公理とは何かについて何らかのコンセンサスが得られたとしても、その目的地に到達することは、事前に行われたこのすべての調査がなければ、きっと不可能だったでしょう.

ストロガッツ (33:00): 連続体仮説を証明または反証することは何を意味するのでしょうか? これらのキャンプごとに？ 何が危機に瀕していますか？

ムーア (33:08): ええ、そうです — わかりました。ですから、この種の「すべての世界」の視点を取る陣営は、これは無意味な質問だと言うだけだと思います。 Cohen と Gödel と、集合論の多くのモデルを構築するための彼らの手法については、一種の議論の終わりです。 ご存知のように 集合論の新しいモデルを たくさん生み出すことになるかもしれませんが 連続体仮説が真か偽かという最終的な答えは決して得られませんその言明にはある種の真実または虚偽があるという見方をする人々は、おそらく何らかの新しい公理と、おそらくこの公理が真であるべき理由についてのヒューリスティックな正当化を考え出そうとするでしょう — ヒューリスティックまたはおそらく実用的な正当化なぜそれが真実なのか。 そして、この公理は受け入れられるべきであり、数学や集合について私たちが持っている直観を何らかの形で要約していると主張すると、この公理が一種の形式的な言葉の意味で連続体仮説を証明または反証する場合、あなたは次のように考えるでしょう。 CH が true または false であること。

ストロガッツ (34:12): それが今の私たちの状況です。 現時点では、これら XNUMX つの陣営が実際に存在します。

ムーア (34:16): ええ、ある程度。 連続体仮説が公理に基づいて決定不可能であることが示されてから長い時間が経ちましたが、ほとんどの数学者はおそらくそれがあなたが言うことができるほとんどの事実に慣れていると思います. そして、この時点で、数学者が全体として、誰もが真実であるべきだと同意できる新しいヒューリスティックに集まることができれば、それは素晴らしいことだと思います. そして、おそらくそれは決して起こらないでしょう。 たぶん、コミュニティにはさまざまな視点が多すぎるのかもしれません。 公平を期すために、私はそう思います — ZFC が数学の真の公理のセットであるというのは、ある程度のコンセンサス ビューですが、普遍的なビューではないと思います。 無限のものは存在しないという見方をする人は確かにいます。 そして、それについて話すのは無意味であり、私たちはそれについて話すべきではありません.

ストロガッツ (35:05): まあ、それは古くからの伝統です。 つまり、アリストテレスは無限に注意するように言っていました。 数学の歴史を通じて、 [カール・フリードリヒ] ガウス カントールが私たちのためにこのワームの缶を開けたのは、この完全な無限の概念に非常に注意を払っていた. しかし、それがミミズだとは知りません。 どうやらそれは - 何が害なのですか？ 想像力を働かせて、たくさんの面白いことを発見しているということです。

(35:30) しかし、質問があります。 集合論の専門家ではない者として、失礼な言い方はしたくありません。 しかし、それは少し無礼に聞こえるかもしれません。 たとえば、これは私にどのように影響しますか？ 数学の残りの部分は、集合論内で起こっている振動を感じますか? それとも、あなたたちがしていることから私たちは一種の絶縁されていますか?

Moore (35:49): 良い質問ですね。 ほとんどの数学者は、ZFC 内の数学の通常の公理システム内で、証明も反駁もできないステートメントに遭遇することは決してないと思います。 そして、集合論者はその説明をある程度発見しました。 ゲーデルの元のモデルよりも大きいが、すべてのセットの宇宙よりも小さい、ソリッドベースモデルと呼ばれる集合論のモデルがあります。 [ロバート]ソロベイ コーエンの仕事の頃に発見されました。 そして驚くべき発見は、このモデル — その中で真実であることが、強制によって影響を受けることはないということです. したがって、基本的に、そのモデルで何が真であるか、そのモデルで何が偽であるかについて何かを言い表すことができれば、それは独立現象の影響をほとんど受けないものです。

(36:35) 問題は、集合論のこのモデルはそうではないということです — 選択公理を満たさないのです。 したがって、選択の公理は次のとおりです。これは、ここでの別のワームの缶です。 しかし、選択の公理が他の公理と異なる理由の 100 つは、それが建設的でないことです。 他のすべての公理は、あなたが説明している集合は実際には集合であると教えてくれます。 それが公理の仕組みです。 しかし、選択の公理は、空でないセットのコレクションが与えられた場合、それらのそれぞれから何かを選択できることを示しています。つまり、選択です。 これは一方では、あらゆる種類の奇妙で逆説的なものを構築することを可能にする公理でした。 ご存知のように、XNUMX 年ほど前の球場では、測定不可能なセットのように、それが何であれ. 有名な球体の分解があります。 バナッハ・タルスキのパラドックス、 それか -

ストロガッツ (37:29): おお、これは面白い。

ムーア (37:32): — 球体を有限個の断片に切断し、それらを元の球体と同じ寸法の XNUMX つの球体に再組み立てできます。 そして、それがばかげている理由は、元の球体のそれぞれに質量を割り当てることができなければならないからです。元の質量に加算する必要があります。 そして、それらを並べ替えても、そのプロセスによって質量が変化することはありません。 しかし、どういうわけか、それらを再組み立てすると、最初のXNUMX倍の質量になります. さて、その議論の要点 — 物事がうまくいかないのは、選択の公理があなたに許すこの球体の分割は、あなたが持っているこれらの部分に質量を割り当てることができないほど悪いことです.

(38:11) さて、その逆説的な行動により、人々は選択の公理が何らかの形でおそらく問題があると考えるようになりました。 多分それは、数学自体の中である種のパラドックスにつながるでしょう. したがって、選択公理は受け入れられるべきではありません。 ゲーデルが連続体仮説を反証できないことを証明したと同時に証明したことの XNUMX つは、選択公理を仮定しても安全だということです。 つまり、選択公理を含まない ZFC の公理が一貫している場合、選択公理を含む ZFC の公理の集合も一貫しています。 奇妙でエキゾチックなものをたくさん与えてくれるかもしれませんが、基本的な観点から言えば、水を汚染することはありません。

(38:51) しばらくして、Zorn の補題と呼ばれるものが発見され、選択公理と同等であることが判明しました。 そして、数学のさまざまな分野を発展させるのに非常に実り多いものです。 それは何かです — あなたが上級学部生であるか、数学の大学院生であるなら、あなたはそれについて学びます. それはどういうわけか、数学の大学院の学位を取得するために必要な学習の一部です. そして、この極端なユーティリティのおかげで、最近では受け入れられています。 ほとんどの数学者は、選択公理なしでは快適に作業できないと思います。多くの場合、選択公理を知らずに使用している可能性があるからです。

(39:31) したがって、これは連続体仮説を解決する方法の例でもあると思います。 それは、数学をさらに発展させるのに非常に役立つ公理を将来発見することであり、この公理がある程度真実であると見なすことです. Zorn の補題で起こったことです。 そして、選択の公理に関しては、最初は真実と見なされていたものではありませんでした. 実際、当初は懐疑的に見られていました。

ストロガッツ (39:56): しかし、できるかどうか見てみましょう。実際にそうなので… 私たちは今、選択の公理について多くのことを話してきました: 連続体仮説との関係です。 それが何であるかを言う簡潔な方法はありますか？

ムーア (40:06): ご存知のように、選択公理と連続体仮説には奇妙な関係があります。なぜなら、それらは… OK、連続体仮説は、集合論者の観点から見ると、多くのエキゾチックなものを構築できるからです。 . これにより、非常に制御された方法、アルゴリズム的な方法ですべてを行う、無限に長い、さらには数え切れないほど長い構築を行うことができます。 そして、途中で多くの制御を維持してきた奇妙なオブジェクトを構築します。 選択の公理がない場合、私が最初に述べたように、連続体の仮説は、中間的な規則のセットは存在しないというものであり、それは選択の公理が真であるかのように同じ意味を持たないものです。 その理由は、たとえば、選択公理が存在しない場合、連続体仮説のさらに強力なバージョンについて話すことができるからです。 同様に、この数直線のすべてのサブセットである実数直線は可算であるか、その中にカントール集合のコピーが存在します。 同様に、ポイントのツリー、セット内に位置するポイントのバイナリ ツリーのようなものがあります。 そして、これは実数と同じ大きさであるという非常に具体的な言い方です。

ストロガッツ (41:14): では、集合論以外の数学に携わる私たちにとって、連続体仮説の時点での — どうやら — 不確定な状態のことで眠れなくなるのでしょうか? 集合論の標準モデルでは決定できないと言われています。 それは重要ですか？ それは数学の残りの部分に影響を与えますか?

ムーア (41:35): ほとんどの場合、答えはノーです。 しかし、それは完全には知られていません。 連続仮説。 それは本当です ソロベイモデル、たとえば: 実数のすべてのセットは可算であるか、その中に非可算で孤立した点を持たない閉じた実数のセットがあります。 しかし、数学に現れるステートメント、自然に現れる質問、他の分野で有機的に現れる質問があり、それらは連続体仮説またはZFCの公理から独立した何かに依存していることが判明しています。 この一例は、メディア限界と呼ばれるものです。これは、物事の限界を取り、物事が測定可能であることを維持するために、確率と確率の一部に役立つデバイスです。 内側限界は、連続体仮説を使用して構築できるものですが、ZFC で構築できるものではありません。

ストロガッツ (42:27): これは嬉しいですね。 つまり、数学は XNUMX つの大きなウェブであると信じたいのです。 そして、それは、「人は島ではない」という古いことわざがあるように、誰からのものか、私にはわかりません。 とにかく、私は数学のどの部分も孤立させたくありません。 ですから、集合論が何らかの形であるとは考えたくありません — つまり、そうであるとは誰も言いませんが、連続体仮説を含む部分でさえ、それが偉大な大陸から切り離されることを望んでいません. そして、そうではないように聞こえます。

ムーア (42:52): そうですね。 ヒルベルト空間を取り、有界作用素とコンパクト作用素を見ると、これらは数学で研究されているオブジェクトのよく研究された代数です。 それらの商を取ることができます。 その自己同形群と呼ばれるものを研究することは、数学者が尋ねるかもしれないことです。 本当に、 ブラウン、ダグラス、フィルモア 1970年代にそれについて尋ねました。 そして、連続体仮説が真であるか偽であるかは、その代数の非常に複雑な自己同形が存在するかどうかに関係していることが知られています。 これは、大学院レベルで教える機能分析コースの標準的なオブジェクトです。 これらは、このオブジェクトの非常に基本的なプロパティです。

(43:34) しかし要点は、これは表面上は何かであるということです — これは集合論の問題ではありません。 集合論者が異なれば、主題が重要である理由についての見解も異なります。 しかし、私にとって、これが主題が何であるか、つまりそれが重要である理由です。 それは、公理に基づいて、決定できないかもしれない質問をしているときに知らせることができるという、このユニークな役割を果たしているということです. 何年も何年も成功せずに決めることができないこの問題を勉強したくないからです。 もし誰かがあなたに、「その問題の解決策を実際に思いつくことは決してないだろう。それを証明することも反駁することもできないから」と言うことができたら、そうですよね? それは知っておくと良いことです。

ストロガッツ (44:13): わかりました。 そうですね、ジャスティン、あなたが送ってくれたこのメッセージはとても励みになります。ジョン・ダン！ それが私が探していた名前です、ジョン・ダン。 これを現代風に言いましょう。誰も島ではありません。 そして、数学の一部でも同じです。 集合論の外側にある最も難解に見えるものでさえ、量子論の根底にある機能分析において、確率において、数学の非常に現実的な部分にまだリンクされています. ですから、これは私にとってのニュースであり、私たちを啓発してくださったことに感謝したいと思います。 これは楽しかったです。 ありがとう。

ムーア （44:46）：ありがとうございます。

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