Im Oktober soll von Cape Canaveral in Florida aus eine Falcon Heavy-Rakete mit der NASA-Mission Europa Clipper starten. Die 5-Milliarden-Dollar-Mission soll herausfinden, ob Europa, Jupiters viertgrößter Mond, Leben beherbergen kann. Da Europa jedoch ständig von intensiver Strahlung bombardiert wird, die durch das Magnetfeld des Jupiter erzeugt wird, kann die Raumsonde Clipper den Mond selbst nicht umkreisen. Stattdessen gleitet es in eine exzentrische Umlaufbahn um Jupiter und sammelt Daten, indem es wiederholt an Europa vorbeifliegt – insgesamt 53 Mal –, bevor es sich vor der schlimmsten Strahlung zurückzieht. Jedes Mal, wenn die Raumsonde den Jupiter umrundet, ändert sich ihre Bahn leicht, sodass sie von den Polen Europas bis zum Äquator Fotos machen und Daten sammeln kann.

Um komplizierte Touren wie diese zu planen, nutzen Trajektorienplaner Computermodelle, die die Trajektorie Schritt für Schritt akribisch berechnen. Die Planung berücksichtigt Hunderte von Missionsanforderungen und wird durch jahrzehntelange mathematische Forschung zu Umlaufbahnen und deren Zusammenführung zu komplizierten Touren gestützt. Mathematiker entwickeln nun Werkzeuge, mit denen sie hoffentlich ein systematischeres Verständnis dafür schaffen können, wie Umlaufbahnen zueinander in Beziehung stehen.

„Was wir haben, sind die vorherigen Berechnungen, die wir durchgeführt haben und die uns bei der Durchführung der aktuellen Berechnungen leiten. Aber es ist kein vollständiges Bild aller Möglichkeiten, die wir haben“, sagte er Daniel Scheeres, ein Luft- und Raumfahrtingenieur an der University of Colorado, Boulder.

„Ich glaube, das war meine größte Enttäuschung als Student“, sagte Dayung Koh, Ingenieur am Jet Propulsion Laboratory der NASA. „Ich weiß, dass es diese Umlaufbahnen gibt, aber ich weiß nicht, warum.“ Angesichts der Kosten und Komplexität von Missionen zu den Monden von Jupiter und Saturn ist es ein Problem, nicht zu wissen, warum sich die Umlaufbahnen dort befinden, wo sie sich befinden. Was wäre, wenn es eine völlig andere Umlaufbahn gäbe, die die Aufgabe mit weniger Ressourcen erledigen könnte? Wie Koh sagte: „Habe ich sie alle gefunden? Sind da mehr? Das kann ich nicht sagen.“

Nach ihrer Promotion an der University of Southern California im Jahr 2016 wuchs bei Koh ihr Interesse daran, wie Umlaufbahnen in Familien katalogisiert werden können. Jupiter-Umlaufbahnen, die weit von Europa entfernt sind, bilden eine solche Familie; Dies gilt auch für Umlaufbahnen in der Nähe von Europa. Aber andere Familien sind weniger offensichtlich. Beispielsweise gibt es für zwei Körper wie Jupiter und Europa einen Zwischenpunkt, an dem sich die Gravitationseffekte der beiden Körper ausgleichen und stabile Punkte entstehen. Raumfahrzeuge können diesen Punkt umkreisen, auch wenn sich in der Mitte der Umlaufbahn nichts befindet. Diese Umlaufbahnen bilden eine Familie namens Ljapunow-Umlaufbahnen. Fügen Sie einer solchen Umlaufbahn ein wenig Energie hinzu, indem Sie den Motor eines Raumfahrzeugs zünden, und Sie bleiben zunächst in derselben Familie. Aber fügen Sie genug hinzu, und Sie werden in eine andere Familie übergehen – sagen wir, eine, die Jupiter in ihren Umlaufbahnen einschließt. Einige Orbitfamilien benötigen möglicherweise weniger Treibstoff als andere, bleiben ständig im Sonnenlicht oder verfügen über andere nützliche Funktionen.

Im Jahr 2021 stieß Koh auf einen Artikel, in dem es darum ging, wie man mit chaotischen Umlaufbahnen aus der Perspektive der symplektischen Geometrie umgeht, einem abstrakten Bereich der Mathematik, der im Allgemeinen weit von chaotischen Details der realen Welt entfernt ist. Sie begann zu vermuten, dass die symplektische Geometrie über die Werkzeuge verfügen könnte, die sie brauchte, um Umlaufbahnen besser zu verstehen, und nahm Kontakt mit ihr auf Augustin Moreno, der Autor des Papiers. Moreno, damals Postdoktorand an der Universität Uppsala in Schweden, war überrascht und erfreut, als er hörte, dass sich jemand bei der NASA für seine Arbeit interessierte. „Es war unerwartet, aber gleichzeitig auch sehr interessant und irgendwie motivierend“, sagte er.

Die beiden begannen zusammenzuarbeiten und versuchten, Morenos abstrakte Techniken auf das Jupiter-Europa-System sowie auf Saturn und seinen Mond Enceladus anzuwenden, der wie Europa möglicherweise Leben in seinem unterirdischen Ozean hat. Im vergangenen Jahr haben sie zusammen mit anderen Mitarbeitern eine Reihe von Aufsätzen dazu verfasst ein Framework erstellen für Katalogisierung von Umlaufbahnen. Im Januar stellte Moreno, jetzt Professor an der Universität Heidelberg, einen ersten Entwurf fertig, der sein Umfragepapier in ein Dokument umwandelte Buch zum Thema. Mit dem Buch möchte er das abstrakte Gebiet der symplektischen Geometrie für Ingenieure nutzbar machen, die versuchen, Weltraummissionen zu planen. Wenn ihm das gelingt, wird er über Jahrhunderte auseinandergewachsene Forschungsfelder wieder zusammenbringen.

Kein Königsweg zur Geometrie

Die symplektische Geometrie hat ihre Wurzeln in der Physik. Um ein einfaches Beispiel zu nehmen, stellen Sie sich ein Pendel vor. Seine Bewegung kann durch zwei Parameter beschrieben werden: Winkel und Geschwindigkeit. Wenn die Geschwindigkeit niedrig genug ist, schwingt das Pendel hin und her. Bei höherer Geschwindigkeit dreht es sich im Kreis. Bei einem idealisierten Pendel ohne Reibung ist das Verhalten des Systems für alle Zeiten bestimmt, sobald man einen Startwinkel und eine Geschwindigkeit gewählt hat.

Sie können ein Diagramm mit dem Winkel als erstellen x-Achse und die Geschwindigkeit als y-Achse. Da Sie aber bei einer 360-Grad-Reise zum Ausgangspunkt zurückkehren, können Sie die vertikalen Linien dort zusammennähen x ist null Grad und wo x beträgt 360 Grad. Dadurch entsteht ein Zylinder. Der Zylinder spiegelt nicht direkt die physikalische Realität wider – er zeigt keine Wege, die das Pendel verfolgt – vielmehr repräsentiert jeder Punkt darauf einen bestimmten Zustand des Pendels. Der Zylinder bildet zusammen mit den Gesetzen, die die Bahnen bestimmen, denen das Pendel folgen kann, einen symplektischen Raum.

Seit Johannes Kepler im frühen 17. Jahrhundert seine Gesetze formulierte, wissen Physiker und Mathematiker genau, wie man die Bewegung zweier der Schwerkraft unterliegender Körper beschreibt. Je nachdem, wie schnell sie sich bewegen, bilden ihre Bahnen eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel. Die entsprechenden symplektischen Räume sind komplizierter als die eines Pendels, aber dennoch beherrschbar. Aber die Einführung eines dritten Objekts macht die Berechnung exakter analytischer Lösungen unmöglich. Und es wird nur noch komplizierter, wenn Sie dem Modell weitere Körper hinzufügen. „Ohne diese analytische Einsicht tappt man fast immer auf einer bestimmten Ebene ins Dunkel“, sagte Scheeres.

Ein Raumschiff, das sich frei in jede Richtung bewegen kann – von rechts nach links, auf und ab und von vorne nach hinten – benötigt drei Koordinaten, um seine Position zu beschreiben, und drei weitere, um seine Geschwindigkeit zu beschreiben. Das ergibt einen sechsdimensionalen symplektischen Raum. Um die Bewegung von drei Körpern wie Jupiter, Europa und einem Raumschiff zu beschreiben, benötigt man 18 Dimensionen: sechs pro Körper. Die Geometrie des Raums wird nicht nur durch die Anzahl seiner Dimensionen definiert, sondern auch durch die Kurven, die zeigen, wie sich das beschriebene physikalische System im Laufe der Zeit entwickelt.

Moreno und Koh arbeiteten an einer „eingeschränkten“ Version des Drei-Körper-Problems, bei dem einer der Körper (das Raumschiff) so klein ist, dass er keinen Einfluss auf die anderen beiden (Jupiter und Europa) hat. Um die Sache noch weiter zu vereinfachen, gingen die Forscher davon aus, dass die Umlaufbahn des Mondes vollkommen kreisförmig sei. Sie können seine kreisförmige Umlaufbahn als stabilen Hintergrund betrachten, vor dem Sie die Flugbahn der Raumsonde betrachten können. Der symplektische Raum muss nur die Position und Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs berücksichtigen, da die Bewegung von Jupiter und Europa leicht beschrieben werden kann. Der entsprechende symplektische Raum ist also nicht 18-dimensional, sondern sechsdimensional. Wenn eine Bahn in diesem sechsdimensionalen Raum eine Schleife bildet, stellt sie eine periodische Umlaufbahn des Raumfahrzeugs durch das Planet-Mond-System dar.

Als Koh Moreno kontaktierte, war sie neugierig auf Fälle, in denen das Hinzufügen nur einer winzigen Menge Energie dazu führte, dass die Umlaufbahn eines Raumschiffs von einer Familie zur anderen wechselte. Diese Treffpunkte zwischen Umlaufbahnfamilien werden Bifurkationspunkte genannt. Oft treffen sich viele Familien an einem einzigen Punkt. Dies macht sie besonders nützlich für Flugbahnplaner. „Wenn man die Bifurkationsstruktur versteht, erhält man einen Überblick darüber, wo es interessante Verläufe gibt, die man sich ansehen sollte“, sagte Scheeres. Koh wollte wissen, wie man Bifurkationspunkte identifiziert und vorhersagt.

Nachdem er von Koh gehört hatte, engagierte Moreno einige andere Geometer: Urs Frauenfelder der Universität Augsburg, Cengiz Aydin der Universität Heidelberg und Otto van Koert der Seoul National University. Frauenfelder und van Koert hatten das Dreikörperproblem lange Zeit mithilfe der symplektischen Geometrie untersucht. sogar aufdecken eine potenzielle neue Familie von Umlaufbahnen. Doch obwohl Ingenieure bei der Planung von Raumfahrzeugmissionen eine Vielzahl mathematischer Werkzeuge eingesetzt haben, wurden sie in den letzten Jahrzehnten von der zunehmenden Abstraktion der symplektischen Geometrie eingeschüchtert.

In den folgenden Monaten lernten der Ingenieur und die vier Mathematiker langsam die Fachgebiete des anderen kennen. „Bei interdisziplinärer Arbeit dauert es eine Weile, bis man, sagen wir, die Sprachbarrieren überwindet“, sagte Moreno. „Aber nachdem man die geduldige Arbeit erledigt hat, beginnt es sich auszuzahlen.“

Der Werkzeugkasten

Das Team hat eine Reihe von Tools zusammengestellt, von denen sie hoffen, dass sie für Missionsplaner nützlich sein werden. Eines der Werkzeuge ist eine Zahl namens Conley-Zehnder-Index, mit deren Hilfe festgestellt werden kann, ob zwei Umlaufbahnen zur selben Familie gehören. Um es zu berechnen, untersuchen Forscher Punkte, die sich in der Nähe – aber nicht auf – der Umlaufbahn befinden, die sie untersuchen möchten. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass ein Raumschiff einer elliptischen Umlaufbahn um Jupiter folgt, beeinflusst von der Schwerkraft Europas. Wenn Sie es von seiner Bahn abbringen, imitiert seine neue Flugbahn die ursprüngliche Umlaufbahn, allerdings nur grob. Die neue Bahn verläuft spiralförmig um die ursprüngliche Umlaufbahn und kehrt nach der Umrundung des Jupiter zu einem etwas anderen Punkt zurück. Der Conley-Zehnder-Index ist ein Maß dafür, wie stark die Spirale voranschreitet.

Überraschenderweise hängt der Conley-Zehnder-Index nicht davon ab, wie genau Sie das Raumschiff bewegen – es handelt sich um eine Zahl, die sich auf die gesamte Umlaufbahn bezieht. Darüber hinaus ist es für alle Umlaufbahnen derselben Familie gleich. Wenn Sie den Conley-Zehnder-Index für zwei Umlaufbahnen berechnen und zwei unterschiedliche Zahlen erhalten, können Sie sicher sein, dass die Umlaufbahnen aus unterschiedlichen Familien stammen.

Ein weiteres Tool, die sogenannte Floer-Zahl, kann Hinweise auf unentdeckte Umlaufbahnfamilien geben. Angenommen, mehrere Familien kollidieren an einem Gabelungspunkt, wenn die Energie eine bestimmte Zahl erreicht, und mehrere weitere Familien verzweigen sich von diesem Gabelungspunkt, wenn die Energie höher ist. Dadurch entsteht ein Netz von Familien, dessen zentraler Knotenpunkt die Gabelung ist.

Sie können die diesem Bifurkationspunkt zugeordnete Floer-Zahl als einfache Funktion der Conley-Zehnder-Indizes berechnen, die jeder relevanten Familie zugeordnet sind. Sie können diese Funktion sowohl für alle Familien berechnen, deren Energie etwas kleiner als der Bifurkationspunkt ist, als auch für Familien, deren Energie größer ist. Wenn sich die beiden Floer-Zahlen unterscheiden, ist das ein Hinweis darauf, dass es versteckte Familien gibt, die mit Ihrem Gabelungspunkt verknüpft sind.

„Wir stellen Tools bereit, mit denen Ingenieure ihre Algorithmen testen“, sagte Moreno. Die neuen Tools sind in erster Linie dazu gedacht, Ingenieuren zu helfen, zu verstehen, wie Familien von Umlaufbahnen zusammenpassen, und sie anzuregen, nach neuen Familien zu suchen, wo dies gerechtfertigt ist. Es ist nicht dazu gedacht, die über Jahrzehnte verfeinerten Techniken zur Flugbahnfindung zu ersetzen.

Im Jahr 2023 präsentierte Moreno die Arbeit auf einer Konferenz, die von der „Ausschuss für Raumfahrtmechanik„Und er stand in Kontakt mit Ingenieuren, die Weltraumflugbahnen erforschen, darunter einige am JPL und im Scheeres-Labor in Boulder. Scheeres begrüßte die Vermischung der Felder: Er kannte den symplektischen Ansatz zur Planetenbewegung schon lange, fühlte sich aber mathematisch überfordert. „Es war wirklich aufregend zu sehen, wie die Mathematiker versuchten, ihr Fachwissen auf die technische Seite zu übertragen“, sagte er. Scheeres‘ Gruppe arbeitet nun an einem komplexeren System mit vier Körpern.

Ed Belbruno, ein Berater für Flugbahnplanung (und ehemaliger JPL-Orbitalanalyst), der mit Frauenfelder zusammengearbeitet hat, warnt davor, dass die Anwendungen nicht direkt sind. „Obwohl eine mathematische Technik wie die symplektische Geometrie Flugbahnen hervorbringen kann, die wirklich cool sind, und davon gibt es eine ganze Menge, kann es sein, dass sehr, sehr wenige, wenn überhaupt, die Bedingung erfüllen“, die eine echte Mission erfordern könnte , er sagte.

Obwohl die Flugbahnen des Clippers bereits weitgehend festgelegt sind, blickt Moreno auf den nächsten Planeten: Saturn. Er hat seine Forschungsergebnisse bereits Missionsplanern am JPL vorgestellt, die hoffen, ein Raumschiff zum Saturnmond Enceladus zu schicken. Moreno hofft, dass die symplektische Geometrie „Teil des Standard-Werkzeugkastens für Weltraummissionen wird“.